高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(4.2)word学案

2．4.2 抛物线的几何性质

[学习目标] 1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

[知识链接]

类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？ 答：(1)范围：x ≥0，y ∈R ；

(2)对称性：抛物线y 2＝2px (p >0)关于x 轴对称； (3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；

(4)离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率．用e 表示，由定义可知e ＝1. [预习导引]

1．抛物线的几何性质

直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p

2，故AB ＝x 1＋x 2＋p .

3．直线与抛物线的位置关系

直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0

的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.

要点一 抛物线的几何性质

例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 2

9＝1，

其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，

∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p

2＝3，

∴p ＝6.

∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.

规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．

(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．

跟踪演练1 已知双曲线方程是x 28－y 2

9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及

抛物线的准线方程．

解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p

2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正

半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 要点二 抛物线的焦点弦问题

例2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及P 1P 2.

解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．

∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 2

2＝6x 2.

两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2

＝3，

∴直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴P 1P 2＝

1＋

1922－4×(－22)＝2230

3

. 规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．

跟踪演练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求AB 的值； (2)若AB ＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝3， 又F (3

2

，0)．

所以直线l 的方程为y ＝3(x －3

2)．

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y 2

＝6x ，y ＝3(x －32)

消去y 得x 2－5x ＋94

＝0.

若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5， 而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p

2＝x 1＋x 2＋p .

所以AB ＝5＋3＝8.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p

2

＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，

所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－3

2

，

所以M 到准线的距离等于3＋32＝9

2.

要点三 直线与抛物线的位置关系

例3 已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．

由方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

y －1＝k (x ＋2)，

y 2＝4x ，(*)

可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1. 把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝1

4

.

这时，直线l 与抛物线只有一个公共点(1

4，1)．

(2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1，或k ＝12

.

于是，当k ＝－1，或k ＝1

2时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l

与抛物线只有一个公共点． 2°由Δ>0，得2k 2＋k －1<0， 解得－1

.

于是，当－1

2，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解．这时，直线l 与抛

物线有两个公共点． 3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0， 解得k <－1，或k >12

.

于是，当k <－1，或k >1

2

时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l 与抛物