圆锥曲线与方程导学案(整理版)

曲线与方程

1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程．

复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：

1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，

那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；

曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……；

2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试：

1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※ 典型例题

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？

例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？

反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试

练1．下列方程的曲线分别是什么？

(1) 2x y x = (2) 22

2x y x x

-=- (3) log a

x y a =

练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

※ 当堂检测

1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．

A ．2

x y x

= B ．y =

C ．y =

D ．2log 2x y =

2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC u u u r =αOA u u u r +βOB u u u r

，其中α，β∈R ，α+β=1，

则点C 的轨迹为 ( ) ．

A ．射线

B ．直线

C ．圆

D ．线段 3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）． A ．10x y -+= B ．10x y -+=(01)x ≤≤ C ．10x y +-= D ．10x y -+=(01)x ≤≤

4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5

(0,)3

A 和点(1,1)

B ，则a = ，b = ．

5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足1

2

PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．

二、求曲线方程

1、圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．

探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．

※ 典型例题

例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．

小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；

点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．

例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

※ 动手试试

练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．

练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程． ※ 学习小结

1．曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程的步骤： ①建系，设点； ②写出点的集合； ③列出方程； ④化简方程； ⑤验证．

3. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

※ 知识拓展

求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．

【课后作业】

1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34

D -中的（ ）.

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．曲线y =0y x +=的交点个数一定是（ ）． A ．0个 B ．2个

C ．4个

D ．3个