高中数学直线方程练习题

高中数学直线方程练习题．高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，∞）+8﹣）∪（2，2．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）2]（﹣∞，﹣B．∪C．（﹣∞，﹣2]．[，+∞） D[﹣2，，]+∞）A． [3．已知点A （﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点））相交，则实数m的取值范围是（﹣，+∞） D．．（﹣∞，﹣2]∪[[A．∪（﹣∞，][2，+∞） B．﹣[，2] C2]，﹣4．已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）﹣]．（﹣∞，﹣3，2] B．[D﹣，] C．[∞）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）+[∪，5．已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）．．≥．D 或．k5 BAC，），P（﹣1，1）6．已知A（﹣2，若直线（），B2l，过点P且与线） AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（段．． AB∪ C．．D7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终 2第26页（共页））的斜率k的取值范围是（没有交点，则直线l2k＜＞k2或kD＜ C．kA＜．k＜2．＞B．内一点，且O三点共线，为△ABC，8．已知，若B，O，D） t的值为（则．A．． B ． CD））两点的直线方程是（，9．经过（30），（0，44y+12=0 3x﹣A．3x+4y12=0D．4x+3y﹣C．4x﹣3y+12=0﹣12=0B．） 10．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（x+y+3=0A．2x+y=0 B．2x+y=0x+y+3=0或C．x﹣y+3=0 D．）．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（ 11x+y=1．A．x+y=2 B．C．x=1或y=1 Dx+y=2或x﹣y=0边上的中，G（41），则BC12．已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点）点坐标为（），﹣3．（6，﹣6，﹣1） C．（53） D，A．（50） B．（小题）二．填空题（共4的值l，则实数a，若ax+3y+1=0，l：2x+（a+1）y+1=0l ∥13．已知直线l：2112．是．a= （和直线l：2x+5+a）y=8平行，则x+4y=514．直线l：（3+a）﹣3a21，∥l）x+3y+2m=0，当m= 时，ll15．设直线l：x+my+6=0和：（m﹣22112．l当m= 时，l⊥21互相1=0a+3）y﹣）2）y+4=0与直线（2﹣ax+（﹣）16．如果直线（2a+5x+（a． a的值等于垂直，则小题）11三．解答题（共始AB1）且与线段，﹣过点2，），直线lP（﹣12B），（．已知点17A11，（﹣． k的斜率的取值范围为 l终有交点，则直线第3页（共26页）．x+2y=6满足直线l：18．已知x，y（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；的取值范围．，3]时，求2）当x∈[1（，），﹣1）、B（5A19．已知点（1，2的方程；l2，求直线B两点到直线l的距离都为（1）若A，（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；的距离的最大值．到直线l2）求点P（21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．；（Ⅰ）证明：直线恒过定点M（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B 两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：2x+y+3=0的交点M，且射到x21轴上一点N（1，0）后被x 轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3的直线方程．l距离为（3）求与3y=3x+3l：23．已知直线求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；对称的直线的方程．l2（2）直线y=x﹣关于24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=0和l：x+y+6=021截得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，的一般方程．求直线l'27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．页（共4第26页）的面积；ABCACB=，求△）若点（1C在线段OB上，且∠（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知108=0经过点P﹣，求直线l的倾斜角．ax+10y+84L直线：第5页（共26页）高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋?滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，∞）+2﹣8）∪（，【分析】利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．=【解答】=﹣8，解：=2，kk=PAPB∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．．C故选：【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋?碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（），][﹣2+∞） D．2]+∞） B．（﹣∞，﹣C．（﹣∞，﹣2]∪，[A．[，【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点上点的斜率的最小值和最大值得答案．AB与线段【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），的斜率最小，为）时直线l1上的点A（，3AB连接P与线段，．l的斜率最大，为1BP连接与线段AB上的点（﹣2，﹣）时直线．的取值范围是∴k．D故选：第6页（共26页）本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．【点评】3．（2016秋?雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）﹣，+∞） D．．（﹣∞，﹣2]∪[[A．﹣（﹣∞，]∪[2，+∞） B．，[2] C2]，﹣【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），．==﹣==﹣2，kk PBPA∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，，2≤≤﹣∴．∴．B故选：【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2016秋?庄河市校级期末）已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）﹣]D．（﹣∞，，C．[﹣3+．（﹣∞，﹣3]∪[2，∞） B．[2] ﹣，] A∞）+[，∪【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k 或 k ≤k，用PMPN直线的斜率公式求出k和k的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．PMPN解：如图所示：【解答】由题意得，所求直线l的斜率k满足 k ≥k 或 k≤k，PMPN≤=2，或3=﹣， k即 k≥，3，或2k≤﹣≥∴k页）26页（共7第．A故选：本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．【点评】5．（2013秋?迎泽区校级月考）已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）．．B ． CDAk．或≥5【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．，），2解：（如图象）即P（﹣1【解答】=5，PM的斜率k=由斜率公式可得1，直线PN的斜率k==2当直线l与x轴垂直（红色线）时记为l′，可知当直线介于l′和PM之间时，k≥5，≤﹣，之间时，k当直线介于l′和PN≤﹣，或kk的斜率k的取值范围是：≥5l故直线A故选第8页（共26页）本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜【点评】率的关系，属中档题．，A（﹣26．（2004秋?南通期末）已知）），B（2，），P（﹣1，1，若）的倾斜角的范围是（ P且与线段AB有公共点，则直线l过点直线l．A ．B∪D．C ．先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜【分析】角的范围求出倾斜角的具体范围．α，直线的倾斜角为l的斜率等于k【解答】解：设直线==，或﹣﹣ k=由题意知，k=PAPB，tanα=k，，π）α∈设直线的倾斜角为α，则[0150°≤α＜180° 0°≤α≤120°或由图知．故选：D 269第页（共页）本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于【点评】基础题．始终）与线段AB（1，13，﹣2），若直线l过点P，7．已知点A（2，3）B（﹣）的斜率k的取值范围是（没有交点，则直线l2＜．k．k ＞D2k＜B．k＞2或k＜ CA．＜所在直线的斜率，数形结合得答案．PBPA，【分析】求出，）1（，1，﹣32），若直线l过点P，2【解答】解：点A（，3）B（﹣，的斜率是=2∵直线PA．的斜率是=直线PB如图，始终有公共点，ABl与线段∵直线的取值范围是（k∴斜率），2．．故选：A 2610第页（共页）本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想【点评】方法，是基础题．内一点，且为△，若ABC8．（2017?成都模拟）已知O，） t的值为（ B，O，D三点共线，则．C． DA．． B为，E与OF BC相交于点E【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接由=2，的中点．根BC点，O可得是直线=2AE的中点．BCOM∥的交点．过点O作D三点共线，可得点D是BO与AC，据，B，O的中点．即可得出．M为AC于点交ACM，则点，E BC相交于点OFOC为邻边作平行四边形OBFC，连接与【解答】解：以OB，的中点．为BCE，，∴∵=2=2的中点．AE∴点O是直线三点共线，D，∵O，，B的交点．ACBO与D∴点是的中点．AC，则点MM为交作过点OOM∥BCAC于点，，=BC则OM=EC= 2611第页（共页），∴MCDM=AM=ACAD=∴，t=．∴．B故选：【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋?沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）12=0﹣A﹣12=0．3x+4y．4x﹣B．3x4y+12=0C．﹣3y+12=0D4x+3y直接利用直线的截距式方程求解即可．【分析】所以所求直线方程为：两点，4）），，（0，（【解答】解：因为直线经过3，0．﹣4x+3y12=0即．D故选【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．10．（2016秋?平遥县校级期中）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）x+y+3=0A．．2x+y=0 B2x+y=0或．y+3=0 Dx+y+3=0xC．﹣【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．页）26页（共12第．，即2x+y=0y=﹣2x【解答】解：当直线过原点时，方程为当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可，﹣3得 k=故直线方程是 x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，．D故选：【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋?运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，x+y=a把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，．y=x）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为把（1，1．x﹣y=0综上，所求直线的方程为：x+y=2或．D故选：【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春?泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G （4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣3）第13页（共26页）利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一【分析】半，用向量表示即可求得结果．；【解答】解：如图所示，，）4，13），三条中线交于点G（∵△ABC的顶点A（2，，则（=2，x，y）设BC边上的中点D，1）4，y﹣，1﹣3）=2（x﹣﹣∴（42，即，解得；0）D（5，即所求的坐标为．A故选：本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是【点评】基础题．小题）4二．填空题（共，若y+1=0a+1）2x+ax+3y+1=0，l：（l13．（2015?益阳校级模拟）已知直线：21．3 ﹣l，则实数a的值是∥l21【分析】根据l∥l，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否21即可．l满足l∥21【解答】解：∵l∥l，21，）﹣a+12×3=0（∴a2，即a6=0+a﹣第14页（共26页）；a=2解得a=﹣3，或，a=﹣3时，l为：﹣3x+3y+1=0当1；l∥﹣2y+1=0，满足ll为：2x212，时，l2x+3y+1=0为：当a=21重合；与ll为：2x+3y+1=0，l221．的值是﹣3所以，实数a．3故答案为：﹣本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问【点评】题，是基础题目．）5+a（l：2x+2015．（秋?天津校级期末）直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线1421．7 平行，则a= ﹣y=8﹣4×2=0，且5）3+a﹣（3a5+a≠）8．进【分析】根据两直线平行的条件可知，（的值．a而可求出【解答】解：直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x+（5+a）y=8平行，21则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，2．+8a+7=0即a解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．．a=﹣7∴．7故答案为：﹣【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋?台州期末）设直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= 21m=⊥时， ll，当∥．l﹣1 时，l2121【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．第15页（共26页），﹣2）x+3y+2m=0l：x+my+6=0和l：（m【解答】解：∵直线21，ll∥21≠，∴=；m=﹣1解得，）﹣2x+3y+2m=0x+my+6=0和l：（m∵直线l：21，⊥ll21，2）+3m=0∴1×（m﹣；解得m=．1，故答案为：﹣本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注【点评】意直线的位置关系的合理运用．）﹣a）y+4=0与直线（2a（2016春?信阳月考）如果直线（2a+5）x+（﹣2．16的值等于 a=2或a=﹣1=0a+3）y﹣互相垂直，则a2 ．x+（【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）N为直线y﹣1=0①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所时两直线互相垂直．以a=2，k= 要使两直线互相垂直，②当直线M和N的斜率都存在时，k=（MN．2a=﹣即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．综上所述：a=2或a=﹣22a=a=2故答案为：或﹣【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1，应注意斜率不存在的情况．第16页（共26页）小题）三．解答题（共11Pl过点（﹣2，2），直线，17．（2016秋?兴庆区校级期末）已知点A（11），B k始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为≤，﹣（﹣11）且与线段AB．1 ，或k≥﹣3【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，，），﹣1过点P（﹣1l1），B（﹣2，2），直线∵A（1，，又∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．（2015春?乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（的取值范围．2）当x∈[1，3]时，求【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l的坐标．的对称点P（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；第17页（共26页））的斜率的取值范围．，1C（∈[1，3]2时，的几何意义为到点（2）当x，y=，当x=3当x=1时，时，y=，，），），B（由可得A（13﹣，====，从而kk ACBC[，+k∞）的范围为（﹣∞，﹣]∪∴【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l 的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．|AB|=【解答】解：∵，＞=5，|AB|2∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，第18页（共26页）x+b﹣l的方程为平行直线AB时：ky==，可设直线①当直线l AB，b=或b=依题意得：=2，解得：故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；﹣=k的方程为y可设直线，），l②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3）3x﹣（依题意得：，k==2，解得：；=0﹣的方程为：x﹣故直线l2y（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一条，定有2经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；条；1若2m=|AB|，则有条，|AB|，则有0若2m＞，∵|AB|=5条直线符合题意；42.5时，有综上：当m＜当m=2.5时，有3条直线符合题意；条直线符合题意．2＞当m2.5时，有【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋?眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．第19页（共26页），联立方程组=0，求2x+y+m（y+2）【分析】（1）把直线方程变形得，恒过的定点．l得方程组的解即为直线（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，，）1，﹣2解方程组，得Q（∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，垂直时，等号成立，PQl 与当且仅当直线=2．的长度，等于到直线l的距离的最大值即为线段PQ∴点P【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．（2010秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）21．证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x分）3．（4﹣y﹣得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k ＜0），则其方程为y+2=k（x+1），第20页（共26页）分）8，（，OB=|k﹣∴2|OA=|﹣1|﹣2）||=（﹣1）（k|..（10分）S=﹣?OA?OB=|AOB△，00，∴﹣k＞∵k＜（﹣）+（﹣k）]=[4+∴S=[]﹣≥4．AOB△当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）分）144，（∴△AOB的面积最小值是直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：212x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．的坐标；轴的对称点P）求点M关于x（1的方程．l（2）求反射光线所在的直线3的直线方程．l距离为（3）求与3【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．3得，（﹣21）．）由【解答】解：（1，∴M所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．...（4分）．2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠（2180°﹣α.l的斜斜角为α，则直线直线，所MN的倾斜角为3．的斜率以直线l3的方程为：分）．即． (9)反射光线所在的直线l3解法二：第21页（共26页）．∠2因为入射角等于反射角，所以∠1=．3，∴∠2=∠根据对称性∠1=∠3所以反射光线所在的直线l的方程就是直线PN的方程．3，整理得：直线PN的方程为：．的方程为．…（l9分）故反射光线所在的直线3，（3）设与l平行的直线为3根据两平行线之间的距离公式得：b=3，，或，解得，或．…（所以与l13分）为：3【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋?嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；对称的直线的方程．﹣2关于l（2）直线y=x【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得P′的坐标；的值，可得m、n到关于m，n的方程组，求得（2）求出交点坐标，在直线y=x ﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7则由）．，，解得：交点为（2）由，）2，0﹣在直线y=x2上任取点（，得到对称点为所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂第22页（共26页）直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋?宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M，点M关于y轴的对称点M，求21的方程，MM得直线21与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M（5，1）．同1．）3，5关于y轴的对称点M（﹣样容易求得点M2据M及M两点可得到直线MM的方程为x+2y﹣7=0．2112．）得交点P，（，）．轴的交点Q（0与令x=0，得到MMy21解方程组x+2y﹣7=0，，﹣2y+2=0x）即为所求．0QP（（，，）、故点本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．【点评】25．（2010?广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=01和l：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．2【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l、l联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=521的方程．的值，从而求得kl可求出法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l的夹角为θ，1求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l、l之间的距21第23页（共26页）夹角的关系求解．l离及l与1法三：设直线l、l与l分别相交于A（x，y），B（x，y），211221则通过求出y﹣y，x﹣x的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l2112的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l、l的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），21，符合题意．﹣4+9|=5截得的线段AB的长|AB|=|若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．得解方程组．，﹣A）（得解方程组．，﹣（）B．|AB|=5由222﹣+=5+．得（））（﹣．y=1解之，得k=0，直线方程为综上可知，所求l 的方程为x=3或y=1．d=之间的距离为解法二：由题意，直线l、=，l21，5AB的长为l、l所截得的线段且直线L被平行直线21，故θ，则=sinθ=θ=45°．l设直线与直线l 的夹角为1由直线l：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，1．y=1的方程为：x=3或）（3，1，故直线l又由直线l过点P解法三：设直线l与l、l分别相交A（x，y）、B（x，y），则x+y+1=0，x+y+6=0．2122112121．①）=5y）+（y﹣x两式相减，得（x﹣211222．②﹣yy）=25（）﹣x又（x+2121页）26页（共24第或联立①、②可得90°．0°或l的倾斜角分别为由上可知，直线．y=1x=3或故所求的直线方程为本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，【点评】直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．），1l′经过点P（2：26．（2009秋?重庆期末）已知直线l5x+2y+3=0，直线的一般方程．，求直线l'且与l的夹角等于45k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然设出直线l′的斜率为【分析】后求出直线的方程．k′，解：设直线l′的斜率为【解答】分）， (7)分），…（10分）1313=0；…（3x+7y3y﹣11=0和﹣直线l′：7x﹣本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公【点评】式与到角公式的区别，考查计算能力．为坐标原点．O），6，02，），B（0A27．已知点（ACB=OB上，且∠在线段ABC，求△的面积；（1）若点C，已知|PD|=2|BD|PBD到，且DO（2）若原点关于直线AB的对称点为，延长的倾斜角．l经过点=0P，求直线﹣：直线Lax+10y+84108 2625第页（共页）【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，=2，由题意可得把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，的倾斜角．由斜率求直线lACB=OB上，且∠）∵点C在线段，故AC的【解答】解：（1，∴∠ACO=，倾斜角为1=b），由﹣1，设点C（0，AC 得 b=2，即点C（0，2），故的斜率为﹣．2=4×4，故△ABC的面积为× A BC=4，点到BC的距离为2+=1，即 3x+y的方程﹣6=0d，点P（c，），AB，，（2）设D（mn），D，得由（ m=，）n=，故，（﹣），﹣d），=，（﹣c=由题意知，，=2d=，，，∴﹣c=d=﹣﹣﹣，解得 c=108ax+10y+84P，﹣﹣（）代入直线l：P，﹣），把=0（，故 a=10108．，即得=0 得a?+10?+84﹣，故直线l的倾斜角为的斜率为∴直线l 120°．﹣=【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．第26页（共26页）。