离散数学讲解第三章

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函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。
美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域 和常量的基础上的。 所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的 任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域， 而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与 常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷， 变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个元素。 利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如 果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应 叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：XY，y=f(x)”。 从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念 摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科 中。
根据定义，若在A中有一个元素a，使得f(a) ≠g (a) , 则f≠g 。
设 A 和 B 都 是 有 限 集 , ＃ A ＝ n, ＃ B ＝ m, 设 A={a1,a2,…,an}, B={b1,b2, …,bm}。
A中n个元素的取值方式是 种, 因此由A到B的函数有mn个, n个 m m m
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２.对下列每一函数，确定是否内射，是否满射，是否双射。分别将 “内”、“满”或“双”填入相应的括号内。
(1)
f1 : I I
i 2 i是偶数 f1 i 1 i是奇数 2
满
(2)
f2 : R R
f3 : N 2 N
f 2 r 2r 15
记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A
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例3 设A={a, b, c}, B={1, 2}, 构造出所有由A到B的函数,并验证
#(BA)=(#B)#A
解: 由A到B的函数如下:
f1={(a,1),(b,1),(c,1)} , f3={(a,1),(b,2),(c,1)} , f5={(a,2),(b,1),(c,1)} , f7={(a,2),(b,2),(c,1)} , f2={(a,1),(b,1),(c,2)} f4={(a,1),(b,2),(c,2)} f6={(a,2),(b,1),(c,2)} f8={(a,2),(b,2),(c,2)}
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函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确化阶段。
德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义：“若对x(a≤x≤b)的每 一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如 何，都称y是x的函数”。 这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数 概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的内涵。因而，此定义才真正 可以称得上是函数的科学定义，为理论研究和实际应用提供了方便。 为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充： “函数y=f(x)的自变量，可以不必取[a,b]中的一切值，而可以仅取其任一 部分”，换句话说就是x的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个 数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函 数成了一个非常广泛的概念。
有 h(gf)＝(hg)f
在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数学 家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出了如下函数定 义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一 变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自 变量，其他各个变量称为函数”。
这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清 的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。 函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都 无关要紧。
所以# (BA)=8 。
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二、几种特殊的函数
定义 设f是一由A到B的函数, （1）若当ai≠aj 时，有f (ai)≠f (aj), (或者说当f (ai)＝f (aj) 时, 有ai = aj)则称f是由A 到 B的内射。 （2）若对任意b∈B，必存在a∈A，使f(a)=b，则称f是 A到B的满射。 （3）若f既是内射，又是满射，则称f是由A到B的双射。
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例4
(a) 是内射，但不是满射；
(b) 是满射, 但不是内射； (c) 既不是内射，也不是满射； (d) 既是内射，又是满射，因此是双射。
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练习
１.设A＝{1, 2, 3, 4, 5} , B={6, 7, 8, 9, 10}, 判断下列由A到B 的关系哪些是函数,哪些不是函数。在相应的括号中键 入“Y”或“N”。 (1) f1＝{(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ Y ） (2) f2＝{(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)} （ N ） (3) f3＝{(3, 6),(2, 9),(1, 9),(4, 9),(5, 9)} （ Y ） (4) f4＝{(2, 9),(3, 8),(1, 7),(2, 6),(4, 7),(5, 10)} （ N ）
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函数概念的产生
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数， 运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在 1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量，他称为“未知 和未定的量”，同时也引入了函数的思想。 英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是 函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从 一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得 到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算， 但这一定义未能引起人们的重视。 一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在 1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几 何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线 是由一个方程式给出的。
２. 函数的定义域和值域
函数的定义域Df=A,而不会是A的真子集。 函数的值域满足Rf B.但对于函数f,常将Rf记作f(A)。 即f(A)=Rf ={b|b∈B且存在a∈A使f(a)=b}
例如 例2中f (2)=6, f (4)=4, g (1)=3, g (3)= 6 Df =Dg=Ａ f(A)=Rf={2, 4, 6}, g (A)=Rg={2, 3, 5, 6}
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函数概念的第六次扩张，提出了“现代函数定义”。
19世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了集合论的范 畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。 在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概 念——关系。 这就是现代的函数定义，它在形式上回避了“对应”术语， 使用的全部是集合论的语言，一扫原来定义中关于“对应”的 含义存在着的模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范围 更加广泛了。
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函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了 “几何的函数概念”。
十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几 何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上 表示为曲线)。
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函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证因素， 体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数 定义的雏型”。
因此gf ={(a1,c2),(a2,c2),(a3,c1),(a4, c3)} 复合函数gf就是复合关系 fg 。要注意的是为了方便，当将其 看作复合函数时，在其表示记号中颠倒f和g的位置而写成gf。
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二、函数复合运算的性质
定理 设f是一个由集合A到B的函数，IA和IB分别是A和B
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3.1 函数
一、 函数的概念
1. 函数 例１.设A＝{1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6},A到B的关系
={(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4)}
定义 设有集合A、B，f是一由A到B 的关系，如果对于每一个 aA ，均存在 唯一的bB，使得 afb（或(a,b)f），则 称关系f是由A到B的一个函数。记作f： A→B。
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f要是集合A到B的函数, 必须满足以下条件: 1. A中的每个元素都要有像 2. A中的一个元素不可以有两个不同的像 3. A中不同的元素可以映射到相同的像
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３.函数的相等
定义 设f和g都是由集合A到B的函数,如果对于所有的 aA ,均有f(a)=g(a),则称函数f和g相等,记作f=g 。
f3 (n1, n2 ) n1 2
n
双
(3)
(4)
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满
内
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f4 : N N
f 4 (n) 2n
3.2 函数的复合运算
一、复合函数
定义 设有函数f：A →B和g：B→C，f和对于任一a∈A， (gf)(a)=g(f(a))。 即如果集合B中的元素b是a在f作用下的像，且集合C中的元素 c是b在g作用下的像，那么ｃ就是a在函数gf作用下的像。
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例1 设集合A={a1,a2,a3,a4}, B={b1,b2,b3,b4,b5},
C＝{c1,c2,c3,c4} 函数f:A→B和g:B→C，分别定义为 f={(a1, b2), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}, g={(b1,c1), (b2,c2), (b3,c1), (b4,c3), (b5,c3)},