高数习题答案一

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与平面 z =1 所围成的立体的体积 4. 求曲面 z 1 和质心. 2 2 解: 依题意画图: z=x +y 0 y V = ∫∫ [1−(x2 + y2 )]dxdy
= ∫ dθ ∫ (1− r2 )rdr = 2π(1 r2 − 1 r4 )|1 = π . x 0 0 0 2 2 4
z
z = 2 − x2
0
2
y
= ∫ dθ ∫0 rdr ∫ 2
0
Ω 2π
1
2−r2 cos2 θ
2
r (cos θ +2sin θ )
2
f ( r cosθ, r sinθ, z)dz
(5)球域 x2 + y2 +z2 ≤ 9; 解: ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
= ∫ dθ∫0 sinϕdϕ ∫0
2
x + y =4
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(2) 平面薄板的质心:
x2 + y2 = 4
2
∫∫ x= ∫∫
D
x x2 + y2 dxdy x2 + y2 dxdy
(D = D − D2 ) 1
π 2π 2 2cosθ 9 2 2 = (∫ dθ ∫ r cosθ ⋅ rdr − ∫ π dθ ∫ r2 cosθ ⋅ rdr) 0 0 − 16(3π − 2) 0 2
2
+
y2
2
≤1
dv = dxdydz = abcr2 sinϕdrdϕdθ
x2 y2 z2 I = ∫∫∫ ( 2 + 2 + 2 )dxdydz = ∫∫∫ r2 ⋅ r2abcsinϕdrdϕdθ Ω a Ω b c 2π π 1 π 1 5 1 4 = abc∫ dθ ∫ sinϕdϕ∫ r dr = abc ⋅ 2π (−cosϕ)|0 ⋅ r |0 0 0 0 5 4 = πabc. 5
Ω
Ω
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= ∫∫∫ r ⋅ r2 sinϕdrdϕdθ
Ω
= πa .
4
dxdydz , 4.计算三重积分 I = ∫∫∫Ω 3 其中Ω由平面 (1+ x + y + z)
x = 0, y = 0, z = 0和 + y + z =1所围成的四面体. x z 解: 画出Ω的图形.用直角坐标解此题. 1
(2)
其中 是由 所围成的闭区域;
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及
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解: 画出
的图形:
选用柱面坐标解此题较简单.
(3) 与平面 解: 画出
其中 是由曲面 所围成的闭区域; 的图形:用柱面坐标求解.
x
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z 4
z = x2 + y2
0 2
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y
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z 4
z = x2 + y2
x
0 2
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z2 = 2∫ dz∫∫ dxdy ⇒ Dz : πab(1− 2 ) Dz 0 2 3c c z 1z c 4 = 2∫ πab(1− 2 )dz = 2πab(z − 2 )|0= πabc. 0 3 c 3c 2 2
a2 (1−
z z ) b2 (1− 2 ) c2 c
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5.求位于两圆 r = a cosθ, r = bcosθ,(0 < a < b) 之间的均匀 薄板的质心. 解: 依题意画图:由于对称性 y = 0. ∫∫D xdσ 其中D为 D = D − D x= 1 2 D : r ≤ bcosθ, 1 σ b a2 π 2 2 D2 : r ≤ acosθ 而 σ = π ( )2 −π ( ) = (b − a )
0
2π
Ω
π
3
f ( r sinϕ cosθ, r sinϕ sinθ, r cosϕ)r2dr
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2.计算三重积分 (1) 所围成的闭区域; 解: 画出 的图形:
= ∫ dx∫0 dy
0
3 x
其中 是由
3
3
x
0 y=x
y
3 3 x 9 1 2 3 x = ∫ dx∫ (xz + z )|0 dy = ∫ dx∫ (3x + )dy 0 0 0 0 2 2 3 3 9 9 x 9 1 = ∫ (3x + ) y |0 dx = ∫ (3x2 + x)dx = (x3 + x2 )|3 = 47 . 0 0 0 2 2 4 4
'2 x '2 y
R
S1
x2 2 dxdy= 1+ ( 2 2 ) dxdy R +x
o x
R
S2
R
y
(S1 + S2 = 2S1) 即有: S =16S1=16∫∫ D
=16∫
R
xy
R R2 − x2
0
dx∫
R2 −x2
R −x
2
2
dxdy
D
0
dy =16R2.
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2.求半球面 z = 12 − x2 − y2含在旋转抛物面 内的那部分面积. 2 2 解: 依题意画图: z = 12 − x − y
第九章
第九章重积分 习题答案(二)(45) 习题答案 二
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9.3 三重积分 1. 化三重积分 ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三次积分,
Ω
其中 Ω 依次是: (1)由 x =1, y = 2, z = 3及三个坐标面围成的闭区域; z 3 解: 画出 Ω的图形: 则有 ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
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(3) I = ∫∫∫ (x + y )dxdydz,其中 Ω: x + y + z ≤ a ,(z ≥ 0) Ω z 围成的闭区域. y 用球面坐标解此题. 解: 画出Ω的图形. 0 a
2 2
2
2
2
2
I = ∫∫∫ (x2 + y2 )dxdydz= ∫∫∫
Ω
Ω
x r2 sin2 ϕ ⋅ r2 sinϕdrdϕdθ
1 1−x 1−x−y
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解:用“先二后一法”求 又由于对称性有: 解, x2 x2 y2 z2
V = ∫∫∫ dv
Ω
c
x2 y2 z2 5.求椭球体 2 + 2 + 2 ≤1的体积. a b c
+ ≤1−
a
2
b
2
c
2
⇒
x y z2 6. (此题不作要求!) 计算三重积分 ∫∫∫Ω ( 2 + 2 + 2 )dxdydz, a b c 2 2 2 x y z Ω 是椭球体 2 + 2 + 2 ≤1. 其中 a b c x = ar sinϕ cosθ 解: 由广义球面坐标有: y = br sinϕ sinθ z = cr cosϕ
x= 1
2
2
D D2 1 1 2 2 π(b − a ) 4 π π bcosθ acosθ 4 2 2 2 = (∫ π cosθdθ ∫ r dr −∫ π cosθdθ ∫ r2dr) 0 0 − π(b2 − a2 ) − 2 2 π π 4 1 3 bcosθ 1 3 acosθ 2 2 = (∫ π r |0 cosθdθ −∫ π r |0 cosθdθ) 2 2 − 3 π(b − a ) − 2 3 2
Ω
x (2)由 x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 2 和 x + 2y + z = 6所围成的闭区域; 3
= ∫ dx∫ dy∫ f ( x, y, z)dz
1 2 3 0 0 0
0
1
2
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解:画出 Ω的图形:
6
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫
dxdydz I = ∫∫∫ Ω (1+ x + y + z)3
1
0
x + y + z =1
1
= ∫ dx ∫0
0
1
1−x
dy
∫
1−x−y
0
d(1+ x + y + z) (1+ x + y + z)3
x
x + y =1
y
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d(1+ x + y + z) = ∫ dx∫ dy∫ 0 0 0 (1+ x + y + z)3 1 1−x 1 1 = ∫ dx∫ − |1−x−y dy 2 0 0 0 2 (1+ x + y + z) 1 1 1−x 1 1 = ∫ dx∫ [ − ]dy 2 2 0 0 (1+ x + y) 4 1 1 1 1 1−x = ∫ [− |0 − (1− x)]dx 2 0 1+ x + y 4 1 1 1 1 1 1 = ∫( − )dx − ∫ (1− x)dx 2 0 1+ x 2 8 0 1 1 1 1 5 2 1 = [ ln(1+ x) − x + (1− x) ]|0 = ln2 − . 2 4 16 2 16
2
4
x
0 2
y
0
r2
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2 2 2 z (4)由曲面 z = x + 2y 及 = 2 − x 所围成的闭区域;
解:画出 的图形. Ω 在xoy 面上的投影区域为: z = x2 + 2y2 z = x2 + 2y2 z = 2 − x2 ⇒ x2 + y2 ≤1 在柱面坐标下有: x f ( x, y, z)dxdydz ∫∫∫
1
D 2π
由于对称性 x = 0, y = 0.
∫∫∫ z=
Ω
zdxdydz ∫ = 0 V
2π
1 2π ∫ r (1− r4 )dr dθ ∫ rdr∫ 2 zdz 0 2 0 r =
1 1
1
π
π
2
2
1 2 1 6 1 2 = 2( r − r )|0 = . 3 2 6
质心坐标为:
2 (0,0, ). 3
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ∫
0 2 0 3
2π
π
2 1 5 4 5 r dr = 2π ⋅ ⋅1⋅ a = πa . 0 3 5 15
4
a
(4) I = ∫∫∫
Ω
x2 + y2 + z2 dxdydz, 其中 Ω: x2 + y2 + z2 ≤ a2
围成的闭区域. 解: 用球面坐标解此题. I = ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz = ∫∫∫ r ⋅ r2 sinϕdrdϕdθ
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9.4 重积分的应用
x2 + y2 = R2 1.求底圆半径相等的两个直交圆柱面
及 x + z = R 所围立体的表面积.
2 2 2
z
解: 依题意画图: 由 z = R2 − x2 可得
ds = 1+ z + z R = dxdy 由于对称性所求 R2 − x2 表面积为第一卦限表面积的八倍,
y
3.计算三重积分: (1)
其中
是由锥面
z = x2 + y2
与平面 所围成的闭区域; 解: 画出 的图形: 用柱面坐标求解. = ∫∫∫ r2 ⋅ rdrdθdz Ω
y
∫ dz
r
2
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(2) 及 解: 画出
其中 是由曲面 所围成的闭区域; 的图形: 用柱面坐标求解.
空间体在 xoy 面的投影区域为:
xy
dxdy
y
S = ∫∫
2 3
2 2
12 − r 12 − x − y 1 2 = 2π ⋅ 2 3 ⋅ (− ) ⋅ 2 12 − r2 |0 2 = 8 3π ( 3 −1). 2
Dxy
0 0 2
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dxdy = ∫ dθ ∫
2π
2 2
2 3
rdr
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3.设平面薄板所占闭区域D是由圆 x2 + y2 = 4和 x2 + y2 = 2x 所围成,其面密度为 µ(x, y) = x2 + y2 2 2 (1) 求该平面薄板的质量; (2) 求该平面薄板的质心. 解:依题意画图: (1) 平面薄板的质量:
ds = 1+ z + z dxdy =
'2 x '2 y
z
x2 + y2 = 4z
z = 12 − x2 − y2
0
2 2
2 3
x 12 − x2 − y2 z = 12 − x2 − y2 S在xoy面上的投影区域为: ⇒ z2 + 4z −12 = 0, 1 z = (x2 + y2 ) 4 ⇒ z = 2. D : x2 + y2 ≤ 8.
D
9 1 4 2 π 1 4 2cosθ 2 = (sinθ |0π ⋅ r |0 −∫ 2 r |0 dθ) π D − 4 1 16(3π − 2) 4 2 π π 9 9 4 2 =− ⋅ 4⋅ 2∫ 2 cos4θdθ =− ⋅ 4∫ π cos θdθ 0 16(3π − 2) 16(3π − 2) − 2 9 3 1 π 27π =− ⋅ 4⋅ 2⋅ ⋅ ⋅ = − . 16(3π − 2) 4 2 2 32(3π − 2) 27π ,0). 由于对称性, y = 0. 质心坐标为 (− 32(3π − 2)
Ω
2
2−x
6−3x−2 y
0
0
0
f ( x, y, z) dz
2 2
3
2 2 (3)由曲面 z = x + y 及平面 z = 4
所围成的闭区域(柱面坐标); 解:画出 Ω 的图形: ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
z 4
z = x2 + y2
= ∫ dθ
0
2π
∫ rdr ∫ f ( r cosθ, r sinθ, z) dz