高数答案第12章

第 12 章 （之1）（总第67次）

教学内容: §12．1二重积分概念与性质 **1．解下列各题：

(1) 若D 是以)1,0(),0,1(),0,0(===B A O 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意

义可得到y x y x D

d d )1(⎰⎰--=___________．

答：61

(2) 设f (t )为连续函数，则由平面 z =0，柱面12

2

=+y x 和曲面)(2xy f z

= 所围立体的体

积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：

⎰⎰

≤+1

222

d d )(y x y x xy f ．

(3) 设⎰⎰≤+++=

1

22sin cos 1d d y x y x y

x I 则I 满足 ( ) (A) 2

32

≤≤I (B) 32≤≤I

(C) 21

≤≤I D (D)0

1≤≤-I

答：(A)．

(4) 设σd y x I D

⎰⎰+=

)ln(1，σd y x I D

⎰⎰

+=2

2)(及σd y x I D

⎰⎰+=)(3其中D 是由直线 x =0，y =0，2

1

=

+y x 及1=+y x 所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 ( )

(A) I 3＜I 2＜I 1； (B) I 1＜I 2＜I 3； (C) I 1＜I 3＜I 2； (D) I 3＜I 1＜I 2．

答：（B ）．

(5) 设),0(:2

22>≤+a a y x D 当________=a 时，

π=--⎰⎰

dxdy y x a D

222．

（A ） 1； (B) 3

2

3

； (C) 3

4

3

； (D) 3

21 ．

答：（B ）．

**2．解下列问题：

(1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：

⎰⎰+D

y x e σd 2

2

与

⎰⎰++D

y x σd )1(2

2，其 中，D 为任一有界闭区间．

解：令 22y x u +=，且()()u e u f u +-=1，则有()1'-=u

e u

f ．

∵0≥u ，

∴ ()0',01≥≥-u f e u

即， ()u f 是增函数．

∵ ()0100

=-=e f ， ∴ ()()00≥-f u f 即 ()01≥+-u e u

，

∴2212

2

y x e y x

++≥+， 因此

()

⎰⎰⎰⎰++≥+D

D

y x d y x d e σσ2212

2

．

(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：

⎰⎰++D

y x σd )1(22，}144169),{(2

2≤+=y x y x D ．

解：先求出目标函数()1,2

2

++=y x y x f 在区域

()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1916,2

2y x y x D 上的最小值和最大值，

由于区域D 上的点到坐标原点()0,0=O 的距离为

22y x +，

∴4040222=+≤+≤

y x ，

∴()17,1≤≤y x f ，

又因为该区域的面积为 ππ1243=⨯⨯=D ，

∴ ()π

πσπ2041217,12=⨯≤≤

⎰⎰D

d y x f ．

***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题： (1)

⎰⎰

≤+-1

3

22d d )sin(y x y x y x ；

解：因为I x y x y y x y x I x y y x -=-=

-=

⎰⎰

⎰⎰

≤+≤+1

3

1

3

2

2

2

2

d d )sin(d d )sin(，所以0=I ．

(2) ⎰⎰≤≤++1,122d d e e e e y x y

x y

x y x b a ． 解：⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤++=++=1

,11

,12222d d e e e e d d e e e e x y x y x

y y x y

x y

x x y b a y x b a I ， ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤1,11,12222d d e e e e d d e e e e 21x y x

y x

y y x y x y x x y b a y x b a I )(2d d 2d d e

e e )(e )(211,11,12222b a y x b a y x b a b a y x y x y x y x +=+=++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤．

***4． 设),(y x f 是连续函数，试利用积分中值定理求极限

⎰⎰≤+→2

22d ),(1

lim

2

0r y x r y x f r σπ．

解：积分区域 2

2

2

:r y x D ≤+ 为有界区域，且 ()y x f , 连续， ∴ 由积分中值定理可知：存在点()D ∈ηξ,，使得()()D

D

S

f d y x f ηξσ,,=⎰⎰，

即：

()()ηξπσ,,22

22f r d y x f r y x =⎰⎰

≤+，

又 ∵ 当0→r 时，()()0,0,→ηξ，且()y x f ,在()0,0连续．

∴ ()()0,0,1lim

2

222

0f d y x f r r y x r =⎰⎰≤+→σπ．

第 12 章 （之2）（总第68次）

教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：

**（1）设),(y x f 是连续函数，则

()+

⎰

⎰

--x y x f y y a ay

a a

d ,d 222220

()y y x f dy y a a a d ,2

20

2

⎰

⎰

-()

0>a 可交换积分次序得___________________________．

答：原式=⎰

⎰--a

x a a

x a y y x f x

22

222d ),(d ．