第05章 恒定磁场(2)

v
B
evz
0a2M 2
l 0
(z
1 z)3
dz
evz
0a2 M
4
(z
1 l)2
1 z2
5-5 介质中的恒定磁场
磁化媒质内部的磁场相当于传导电流 I v及磁化电流 I 在真空中产生的合成
磁场。这样，磁化媒质中磁感应强度 沿B任一闭合曲线的环量为
考虑到 I Ñ l M，v 求dlv得
vv
标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法也可适用于求
解恒定磁场的边值问题。
已知磁通表达式为 Φ S B，v d那Sv么
vv
Φ S ( A) dS
vv
Ñ 再利用斯托克斯定理，得 v
Agdl
l
由此可见，利用矢量磁位A 计算磁通十分简便。
二、标量磁位 m v
在无源区中，因J
0，得
v
电流密度以
v
J
表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化
强度 M的关系为
z
Ñ Av(rv) 0
4π
V
Baidu Nhomakorabea
rv
v M
(rv)
rv
dV
0
4π
S
v M
(rv) rv rv
evn
v dS
x
dV'
S'
V' r - r'
r'
P
O
r y
第一项为体分布的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为面分布的磁化
铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同，但是各个 “磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个 “磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强的磁性。例如 铁、钴、镍等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有非线性，且存在磁滞及剩磁 现象亚。铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁小， 且电导率很低，这类媒质称为亚铁磁媒质。例如铁氧体等。由于其电导率很低， 高频电磁波可以进入内部，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件中获 得广泛的应用。
5-3 磁 位
v
A 一、矢量磁位 v
v
已知矢量磁位A 与磁感应强度B 的关系为
vv B A
矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。
当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需
要导出矢量磁位应该满足的微分方程。
已知 Av， 0那么
v
vv
A A 2 A
a
由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因
l
J s
此，Jv Mv，即0 体分布的磁化电流密度为零。
0
y
又知表面磁化电流密度
x
v J S
v M
evn
式中en 为表面的外法线方向上单位矢量。因
v M
evz M
，所以表面磁化电流
密度
J
S
仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此
z P(0,0, z)
注意，标量磁位的应用仅限于无源区。
5-4 介质的磁化
电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于一个磁
偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。
由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零，
对外不显示磁性。 当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，
求得
v
v
v2 A B
v
v
2A 0J
A 可见，矢量磁位 满足矢量泊松方程。
前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解——自由空间中的解。
v 在无源区中，J 0 ，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程
v 2 A 0
已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三v 个坐标分量 的标量方程。因此，前述的分离变量法可用于求解矢量磁位 A的各个直角坐
磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的
矢量和称为磁化强度，以 M 表示，即
v
N mvi
M i1
V
式中mi 为V中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。V为物理无限小体积。
磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流。形成磁化电流
的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电流。磁化
v JS
v M
evn
Mevz
evr
Mev
a
显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于
l
J s dz'
z
处宽度为dz
的环形电流为(
JvSdz)
，那么该环形电流在
v
轴线上 z 处(z >> a)产生的磁感应强度dB 为
0
z
y
x
v dB
evz
0a2M
2(z z)3
dz
那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z 处产生的合成磁感应强度为
甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种
现象称为磁化。
外加场Ba
与极化现象不同，磁化结果使媒质中的
合成磁场可能减弱或增强，而介质极化总是
合成场Ba+ Bs 媒 质
二次场Bs
磁化
导致合成电场减弱。
根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性 、顺磁性、铁磁性及亚铁磁性等。
抗磁性。 在正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外加磁场时，电子除了仍然自旋
及轨道运动外，轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方式称为进动。
电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方向
相反，导致媒质中合成磁场减弱。因此，这种磁性能称
Bt
为抗磁性，如银、铜、铋、锌、铅及汞等。
顺磁性。在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏观的合成 磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子进动以外，磁偶极子的磁矩 方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁性。 如铝、锡、镁、钨、铂及钯等。
Ñ l B dl 0 (I I )
Ñ l
v B
0
v M
v dl
I
令
v
v B
v M
v H
0
则有
vv
Ñ l H dl I
式中H 称为磁场强度，其单位是A/m。上式称为媒质中安培环路定律。它表明
电流产生的矢量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强度的关系为
v
v
J M
v J S
v M
evn
例 已知半径为a，长度为 l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。
v 若磁化强度为 M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P 点处由磁化电
流产生的磁感应强度。
z P(0,0, z)
解 取圆柱坐标系，令 z 轴与圆柱轴线一致，如图示。
v
Bv
v 0。可见，无源区中磁感应强度B
是无
旋的。 因此，无源区中磁感应强度B 可以表示为一个标量场的梯度，令
v
B 0m
式中标量 m 称为标量磁位。因
v B
0
，由上式得
2m 0
可见，标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件， 求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即 可求出磁感应强度。