第05章 恒定磁场(2)
恒定磁场
三、恒定磁场电流或运动电荷在空间产生磁场。
不随时间变化的磁场称恒定磁场。
它是恒定电流周围空间中存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本特征是对置于其中的电流有力的作用。
永久磁铁的磁场也是恒定磁场。
1、磁通密度与毕奥－萨伐尔定律磁通密度是表示磁场的基本物理量之一，又称磁感应强度，符号为B。
电流元受到的安培力 B l d I f d⨯''=毕奥——萨伐尔定律 ⎰⨯=l r r l Id B 2004 πμ对于粗导线，可将导线划分为许多体积元dV 。
⎰⎰⎰⨯=Vrr dV J B 24 πμ 2、磁通连续性定理磁场可以用磁力线描述。
若认为磁场是由电流产生的，按照毕奥－萨伐尔定律，磁力线都是闭合曲线。
磁场中的高斯定理 0d =⋅⎰⎰SS B式中，S 为任一闭合面，即穿出任一闭合面的磁通代数和为零。
应用高斯散度定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅VSdV B S B d0＝⎰⎰⎰⋅∇VdV B由于V 是任意的，故 0＝B⋅∇式中⋅∇为散度算符。
这是磁场的基本性质之一，称为无散性。
磁场是无源场。
3、磁场中的媒质磁场对其中的磁媒质产生磁化作用，即在磁场的作用下磁媒质中出现分子电流。
总的磁场由自由电流与分子电流共同产生。
永磁铁本身有自发的磁化，因而不需要外界自由电流也能产生磁场。
磁媒质的磁化程度用磁化强度M来表征，它是单位体积内的磁偶极矩。
磁偶极矩：环形电流所围面积与该电流的乘机为磁偶极矩，其方向与电流环绕方向符合右螺旋关系。
n IS P m =磁场强度 M B H-=0μ 或 )(0M H B +=μ本构方程 由m H M χ=可得 H B μ＝，该式称为磁媒质的成分方程或本构方程。
磁媒质的分类：r m μμχμμ00)1(=+=，顺磁质 1>r μ，抗磁质 1<r μ，铁磁质1>>r μ。
4、安培环路定律磁场强度H沿闭合回路的积分，等于穿过该回路所限定的面上的自由电流。
回路的方向与电流的正向按右螺旋规则选定。
《恒定磁场》PPT课件
任何物质的分子都存在着圆形电流，称为分子电流。
nˆ
每个分子电流都相当于一个基本磁元体。
各基本磁元体的磁效应相叠加
永磁体
IN e
v
S
基本磁元体受磁场力作用而转向 2、磁场
磁化
图 4－ 4 分 子 电 流
运动的电荷在其周围空间激励出了磁场这种特殊的物质。
磁作用力都是通过磁场来传递的。
3、磁单极子 ①理论上预言存在，但是没有在实验中发现 ②即使存在也是极少的，不会影响现有的一般工程应用。
③洛仑兹力方程
Fq(EvB )
B 的单位： 在SI单位制中，为特斯拉（T） 高斯单位制中，为高斯（Gs )
1 特斯拉 ＝1 (牛顿·秒)/(库仑·米) 1 T＝104 Gs
5、磁感应线 ①磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度 B 的方向； ②通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数正比于该点 B 值的大小。
2、安培磁力定律符合牛顿第三定律
F21F12
二、毕奥----沙伐定律
1、电流回路的 B
将安培磁力定律改写为
写成微分形式
F21
l2I2dl240
l1
I1dl1R21
R231
dF21I2dl24 0
l1
I1dl1R21
R231
只与回路 l1 有关
而电流回路所受磁力可以归结为回路中运动电荷受力的结果
B
A
A
q
F
B
图4－11 磁聚焦
图4－12 磁镜
图4－13 磁瓶
三. 回旋加速器
回旋加速器的优点在于以不很高的振 荡电压对粒子不断加速而使其获极高 的动能。
设D形盒的半径为R0，则离子所能
大学物理恒定磁场总结
大学物理恒定磁场总结引言：物理学是一门研究自然世界中各种现象的学科，而磁场作为物理学中的一个重要概念，扮演着至关重要的角色。
在大学物理学习过程中，学生们会接触到恒定磁场的相关内容。
本文将对恒定磁场进行总结，介绍其基本概念和性质，并对其应用进行一定的探讨。
一、恒定磁场的基本概念恒定磁场是指在空间中磁感应强度大小和方向都保持不变的磁场。
在磁场中，磁感应强度的方向标记着磁场线的方向，磁感应强度的大小代表着该点磁场线通过单位面积的数量。
磁场的起源主要是由带电粒子运动而产生的，如电流。
二、恒定磁场的性质1. 磁场线的性质：磁场线是一系列无穷多的曲线，其方向与该点磁感应强度的方向相同。
在磁场中，磁场线是闭合的，可以形成环状或者螺旋状的结构。
2. 磁场的强弱：磁场强弱的大小与其磁感应强度的大小有关。
磁感应强度越大，磁场越强。
3. 磁场的均匀性：在一个恒定磁场中，如果磁场的磁感应强度大小和方向在整个空间中保持不变，则称其为均匀磁场。
均匀磁场的一个特点是：同一磁场强度下，磁场线的间距是相等的。
三、恒定磁场的运动电荷粒子受力在恒定磁场中，运动电荷粒子受到的力为洛伦兹力。
洛伦兹力的方向垂直于运动电荷粒子的速度方向和磁感应强度的方向，大小为qvb，其中q为电荷大小，v为速度大小，b为磁感应强度大小。
根据洛伦兹力的方向和大小，可以分析出运动电荷粒子在恒定磁场中的运动轨迹。
四、恒定磁场的应用1. 安培力规律：安培力规律描述了电流元在外磁场中所受的力，通过该规律可以计算出电流元受力大小和方向，从而探讨电流在磁场中的作用。
2. 电流感应：当闭合电路中有变化的磁通量时，产生感应电动势从而产生电流。
根据法拉第电磁感应定律可以计算出感应电动势的大小。
五、恒定磁场的实际应用1. 磁共振成像：磁共振成像（MRI）是一种常用的医学影像技术，它利用了核磁共振现象，通过改变恒定磁场和加入额外磁场的方式来获得人体内部的影像。
2. 磁力传感器：磁力传感器利用恒定磁场中电流受力的原理，感测物体运动或距离，广泛应用于工业自动化、车辆导航等领域。
电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
电磁场与电磁波第二版答案陈抗生
电磁场与电磁波第二版答案陈抗生【篇一：2011版电磁场与电磁波课程标准】xt>课程编号：适用专业：总学时数：学分：07050021 通信工程本科理论32学时 3一、课程目的及性质电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，通过本课程的学习，使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。
使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。
培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生学会用场的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。
为后续课程打下坚实的理论基础。
二、本课程的基本内容第一章矢量分析（一）教学目的与要求1、理解矢量的标积和矢积；2、理解标量场的方向导数与梯度；3、理解矢量场的通量、散度与散度定理；4、理解矢量场旋度的散度，标量场梯度的旋度；5、理解亥姆霍兹定理、正交曲面坐标系。
（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、矢量场中的散度定理和斯托克斯定理；无散场、无旋场的含义；格林定理。
（三）课时安排理论6课时（四）主要内容第一节：标量与矢量（1）课时 1、 2、 3、矢量的代数运算矢量的标积与矢积标量场的方向导数与梯度第二节：矢量场（1）课时 1、矢量场的通量、散度与散度定理 2、矢量场的环量、旋度与旋度定理第三节：无散场与无旋场（1）课时1、矢量场旋度的梯度2、标量场梯度的旋度3、格林定理第四节：矢量场的基本定义和坐标系 1、格林定理2、矢量场的唯一性定义3、亥姆霍兹定理4、正交曲面坐标系（3）课时第二章静电场（一）教学目的与要求 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8、（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、 4、电荷分布与电场强度、电位的关系式；静电场边界中：束缚电荷与电场，极化强度的关系；电场能量；虚位移方法在求解电场作用力的应用。
理解电通量定理，电场线及电场强度方向；理解真空中静电场的积分和微分形式；理解电荷的面密度和线密度与电位、电场强度的关系；理解束缚电荷与极化强度的关系；理解介质中静电场的微分与积分形式；理解静电场的边界条件；理解电容与电场能量的关系；理解虚位移方法在求解作用力的方法在常电荷，常电位系统中的应用。
恒定磁场ppt
恒定磁场研究的前沿进展
01
恒定磁场作为一种独特的物理场，具有无辐射、无污染、易于调控等优势，在 基础科学、应用科学和工程技术等领域具有广泛的应用前景。
02
近年来，研究者们在恒定磁场相关的物理、材料、生物医学等领域取得了许多 前沿进展，如在磁性材料研究方面，发现了多种新型磁性材料，提高了磁性材 料的性能和稳定性。
光学性质
恒定磁场可以影响物质的光学性质，如折射率、吸收光谱等。
恒定磁场对物质化学性质的影响
电子结构
恒定磁场可以影响物质的电子结构，从而影响化学键的形成 和断裂。
反应速率
恒定磁场可以影响化学反应速率，从而影响化学反应的能量 转换和物质转化。
04
恒定磁场的应用实例
恒定磁场在医学领域的应用
核磁共振成像（MRI）
恒定磁场的基本特征
恒定磁场是一种非均匀场，其 强度和方向随空间位置的变化
而变化。
恒定磁场具有旋度，因此不会 产生电场。
恒定磁场与电场不同，其强度 不与电流密度成正比，而是与 电流密度和磁导率成正比。
恒定磁场的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ磁性材料制备
磁记录
利用恒定磁场可以控制磁性材料的磁性能参 数，如磁化强度、磁晶各向异性等，从而制 备高性能的磁性材料。
利用恒定磁场将人体中的氢原子磁化，通过检测这些原子核产生的信号，生 成人体内部的高分辨率图像。
磁分离技术
恒定磁场可用于分离血液中的肿瘤细胞、细菌等有害物质，提高疾病诊断和 治疗的准确性。
恒定磁场在材料科学领域的应用
磁性材料制造
恒定磁场可以用于制造高性能的磁性材料，如稀土永磁材料、铁氧体材料等。
磁记录
未来，恒定磁场的研究和应用将会有更多的创新和发 展，为人类的生产和生活带来更多的便利和效益。
大学物理恒定磁场总结
大学物理恒定磁场总结引言恒定磁场是大学物理中重要的概念之一，它广泛应用于电磁学、电动力学等领域。
本文将对恒定磁场的基本概念、性质以及应用进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握恒定磁场的知识。
恒定磁场的基本概念恒定磁场是指在空间中磁场强度大小和方向都不随时间变化的磁场。
磁场由磁场源产生，一般来说，磁体是最常见的磁场源。
恒定磁场的强度由磁感应强度或磁场强度来描述，用符号B表示。
恒定磁场的性质恒定磁场有许多特殊的性质，下面将对其中的若干性质进行讨论。
磁通量磁通量是描述恒定磁场穿过某个闭合曲面的总磁场量的物理量。
它由磁场强度和曲面的面积以及两者之间的夹角决定。
磁通量的单位是韦伯（Wb）。
高斯定律高斯定律是磁学的基本定律之一，它描述了恒定磁场中磁场线的性质。
根据高斯定律，恒定磁场的磁感应强度线是闭合的，不存在磁单极子。
洛伦兹力洛伦兹力是指带电粒子在恒定磁场中受到的力。
它是由粒子电荷、粒子速度和磁场强度之间的相互作用产生的。
洛伦兹力的方向垂直于磁场和粒子速度的平面，并且遵循右手定则。
磁场线磁场线是描述恒定磁场分布的曲线。
根据磁场线的性质，可以确定磁场强度的大小和方向。
磁场线的定义是：在任何点上，磁场强度的方向与通过该点的磁场线的切线方向相同。
恒定磁场的应用恒定磁场在生活中和科学研究中有许多重要的应用，下面将对其中的几个应用进行介绍。
电动机电动机是利用洛伦兹力的原理工作的设备。
它由一个电流线圈和一个恒定磁场构成。
当电流通过线圈时，产生的磁场与恒定磁场相互作用，从而产生力矩使电动机运转。
磁共振成像磁共振成像是一种医学成像技术，利用恒定磁场和射频脉冲来观察人体内部结构。
通过对人体各种组织的不同磁性质的分析，可以得出人体内部的详细结构信息。
磁存储技术磁存储技术是计算机存储中使用的关键技术之一。
它通过在磁性介质中记录信息，利用恒定磁场对信息进行存储和读取。
结论恒定磁场是大学物理中的重要概念，它有许多特性和应用。
本文对恒定磁场的基本概念、性质以及应用进行了总结，并且介绍了一些重要的应用领域。
恒定磁场
1恒定磁场1．真空中位于'r点的点电荷q的电位的泊松方程为（）2．由（）可知，无界空间中的恒定磁场由恒定磁场的散度和旋度方程共同决定3．恒定磁场在自由空间中是（）场4．磁通连续性定律公式物理意义：穿过任意闭和面的磁通量为（）。
即进入闭和面S的磁力线数与穿出闭和面S的磁力线数（），磁力线是闭和的5．安培环路定律公式物理意义：磁感应强度B沿任意闭和路径l的线积分，（）穿过路径l所围面积的总电流与的乘积6．一个载流的小闭和圆环称为（）7．电流环的面积与电流的乘积，称为（）8．在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是（）的，但在偶极子附近，二者场分布（）9．磁力线是（）的，电力线是间断的10．介质在磁场作用下会产生（）11．磁化引起的分子电流、原子电流相当于（）12．磁偶极子产生（）磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。
磁化的结果使介质中的合成磁场可能减弱，也可能增强13．介质磁性能分类：（）磁性介质，（）磁性介质，铁磁性及亚铁磁性介质14．（）磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相反，导致介质中合成磁场减弱15．（）磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相同，导致介质中合成磁场增强16．铁磁性及亚铁磁性介质：在（）作用下，磁化现象非常显著17．在无传导电流的均匀介质中，束缚电流体密度为（）18．只有磁场强度为零或磁场强度与介质表面相垂直的区域，束缚电流面密度为（）19．磁感应强度通过某一表面的通量称为（）20．与某电流交链的磁通量称为（）21．导线回路的总自感等于内、外自感之（）22．单位导线回路的内自感为（）23．磁场问题的基本变量是场源变量和两个基本的场变量：磁感应强度和磁场强度。
实验证明：磁场的两个基本变量之间的关系为（）24．磁通量连续性方程微分形式：（）25．安培力可以用磁能量的空间变化率称（）来计算26．自由空间中一半径为a的无限长导体圆柱，其中均匀流过电流I，求导体内外的磁感应强度27．一段长为L的导线，当其中有电流I通过时，求空间任一点的矢量磁位及磁感应强度28．磁导率为，内外半径分别为a，b的无限长空心导体圆柱，其中存在轴向均匀电流密度，求各处磁场强度和磁化电流密度。
电磁学PPT课件：恒定磁场
,F
0 4
0
(v
//
B时)
Idl rˆ
r2
三、 B的计算：B-S定律——方法1
Idl r
•
P
3个模型：长直电流, 圆电流中心, 长直螺线管
B
B 0I
oI 4 ro
(cos
1
2a
cos
2
)
B 0I
2R
B 0nI
B
2(
x2
o IR2 R2 )3/
2
32
例7. 一长螺线管轴线上的磁场 B ?
路定律等式右边电流的代数和，并讨论： ⑴ 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B
的量值是否相等？ 答：不等 ⑵ 在闭合曲线c上各点的B是否为零？为什
么？ 答：不为零
c
a
b
I2
I1
41
§8.4 利用安培环路定理求磁场的分布
条件： 1、对于所选取的回路，要能够保证 回路上每一点的磁感应强度大小 相等（或者有的地方等于零）。
2R
2
Eo 0
o
Eo 很复杂的表达式
21
例3 求如图所示载流导线在o点产生的磁感
应强度 Bo
AI
B
x2
O
x1
Bo B ABo BBCo BCDo BDAo
I
方向： 垂直ABCD组成的平面
D
C
与电流成右手螺旋
R
O
A
C
I B
ID
Bo BDCo BCA弧o BABo
方向：
22
DI
15
推论：
B
o 4
I ro
(cos
1
cos
第五-恒定磁场【共42张PPT】
B0 J
此式表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空 磁导率的乘积。
另外，由高斯定理获知
SBdSVBdV
那么，根据磁通连续性原理求得
VBdV0
由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即
B0 此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。
综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为
可见，无源区中磁感应强度B 是无旋的。
无
考虑到
，求得
关。为了计算方便起见，令所求的场 对于大多数媒质，磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比，即
a 为物理无限小体积。
r - r' y 可见，矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。
r' 当两者垂直时，受到的力矩最大。
e 点位于xz 平面，即 ' 在设小外电加流磁环场为四的根作长用度下为，l 的除电了流引元围起成电的子平进面方动框以，外电，流磁方' 向偶如极左子下的图示磁。矩方向朝着外加磁场方向转动。
例1 计算无限长的，电流为I 的线电流产生的磁感应强度。
z
dl
r′ r - r′
o
y
r e
x
I
解 取圆柱坐标系，如图示。令 z 轴沿电 流方向。 dl(rr)的方向为B 的方向。那 么，由图可见，这个叉积方向为圆柱坐标 中的 e 方向。因此，磁感应强度 B 的方 向为 e 方向，即
B Be
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁场分布以 z 轴 对称，且与 无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量 z 无关，所 以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此，沿半径为r 的磁场线上 磁感应强度的环量为
大学物理学第五六章恒定磁场自学练习题
07《大学物理学》第五六章恒定磁场自学练习题(共11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章 恒定磁场部分 自学练习题要掌握的典型习题： 1．载流直导线的磁场：已知：真空中I 、1α、2α、x建立坐标系Oxy ，任取电流元I dl ，这里，dl dy =P 点磁感应强度大小：02sin 4Idy dB r μαπ=；方向：垂直纸面向里⊗。
统一积分变量：cot()cot y x x παα=-=-；有：2csc dy x d αα=；sin()r x πα=-。
则： 2022sin sin 4sin x d B I x μαααπα=⎰210sin 4I d x ααμααπ=⎰012(cos cos )4I xμααπ-=。
①无限长载流直导线：παα==210，，02IB xμπ=；（也可用安培环路定理直接求出）②半无限长载流直导线：παπα==212，，04IB xμπ=。
2．圆型电流轴线上的磁场：已知：R 、I ，求轴线上P 点的磁感应强度。
建立坐标系Oxy ：任取电流元Idl ，P 204rIdldB πμ=；方向如图。
分析对称性、写出分量式：0B dB ⊥⊥==⎰；⎰⎰==20sin 4r Idl dB B x x απμ。
统一积分变量：r R =αsin∴⎰⎰==20sin 4r Idl dB B x x απμ⎰=dl r IR 304πμR r IR ππμ2430⋅=232220)(2x R IR +=μ。
结论：大小为2022322032()24I R rIR B R x μμππ⋅⋅==+；方向满足右手螺旋法则。
①当x R >>时，220033224IRI R B x xμμππ==⋅⋅； ②当0x =时，（即电流环环心处的磁感应强度）：00224IIB RRμμππ==⋅； B⊗RI dlIdlr αOB d RrB③对于载流圆弧，若圆心角为θ，则圆弧圆心处的磁感应强度为：04IRB μθπ=。
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
恒定磁场的基本方程
电偶极子： p ql
E
p
20 z3
B
0m 403
2coser
sineθ
E
p
4 0 03
2coser
sineθ
2.当 z ＝0时
B
0 I 20
ez
直接应用毕奥—沙伐定律
B 0
4
l
Idl eR R2
0 I 4
20 02
两对平行放置传输线的磁场分布
长直螺线管磁场的分布（B 线）
一载流导线 I 位于无限大铁 板上方的磁场分布（B 线）
4.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
1. 磁通连续性原理
实验表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无 源场。（在任意媒质中均成立）
散度定理：
s B dS 0 BdV 0
l
4 l' R2
l Idl B
即： B 0
4
I 'dl ' eR l' R2
静电场： E 1 dqeR
40 R2
电流元： dI JdV, KdS, Idl
体电流
面电流
B 0
4
V
J(
r)( r r r
3
r
)dV
B 0 4
B2n
铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况：
2 0, 1 r0 0
铁磁媒质与空气分 界面上磁场的折射
tan1 =
1 0
tan2
r tan2
如果 2 0 ，则 tan1
1
大学物理习题答案解析第五章
第二篇 电磁学求解电磁学问题的基本思路和方法本书电磁学部分涉及真空中和介质中的静电场和恒定磁场、电磁感应和麦克斯韦电磁场的基本概念等内容，涵盖了大学物理课程电磁学的核心内容.通过求解电磁学方面的习题，不仅可以使我们增强对有关电磁学基本概念的理解，还可在处理电磁学问题的方法上得到训练，从而感悟到麦克斯韦电磁场理论所体现出来的和谐与美.求解电磁学习题既包括求解一般物理习题的常用方法，也包含一些求解电磁学习题的特殊方法.下面就求解电磁学方面的方法择要介绍如下.1.微元法在求解电场强度、电势、磁感强度等物理量时，微元法是常用的方法之一.使用微元法的基础是电场和磁场的叠加原理.依照叠加原理，任意带电体激发的电场可以视作电荷元d q 单独存在时激发电场的叠加，根据电荷的不同分布方式，电荷元可分别为体电荷元ρd V 、面电荷元σd S 和线电荷元λd l .同理电流激发的磁场可以视作为线电流元激发磁场的叠加.例如求均匀带电直线中垂线上的电场强度分布.我们可取带电线元λd l 为电荷元，每个电荷元可视作为点电荷，建立坐标，利用点电荷电场强度公式将电荷元激发的电场强度矢量沿坐标轴分解后叠加统一积分变量后积分，就可以求得空间的电场分布.类似的方法同样可用于求电势、磁感应强度的分布. 此外值得注意的是物理中的微元并非为数学意义上真正的无穷小，而是测量意义上的高阶小量.从形式上微元也不仅仅局限于体元、面元、线元，在物理问题中常常根据对称性适当地选取微元.例如，求一个均匀带电圆盘轴线上的电场强度分布，我们可以取宽度为d r 的同心带电圆环为电荷元，再利用带电圆环轴线上的电场强度分布公式，用叠加的方法求得均匀带电圆盘轴线上的电场强度分布.2.对称性分析对称性分析在求解电磁场问题时是十分重要的.通过分析场的对称性，可以帮助我们了解电磁场的分布，从而对求解电磁学问题带来极大方便.而电磁场的对称性有轴对称、面对称、球对称等.下面举两个例子.在利用高斯定律求电场强度的分布时，需要根据电荷分布的对称性选择适当的高斯面，使得电场强度在高斯面上为常量或者电场强度通量为零，就能够借助高斯定律求得电场强度的分布.相类似在利用安培环路定律求磁感强度的分布时，依照电流分布的对称性，选择适当的环路使得磁感强度在环路上为常量或者磁场环流为零，借助安培环路定律就可以求出磁感强度的分布.3.补偿法补偿法是利用等量异号的电荷激发的电场强度，具有大小相等方向相反的特性；或强度相同方向相反的电流元激发的磁感强度，具有大小相等方向相反这一特性，将原来对称程度较低的场源分解为若干个对称程度较高的场源，再利用场的叠加求得电场、磁场的分布.例如在一个均匀带电球体内部挖去一个球形空腔，显然它的电场分布不再呈现球对称.为了求这一均匀带电体的电场分布，我们可将空腔带电体激发的电场视为一个外半径相同的球形带电体与一个电荷密度相同且异号、半径等于空腔半径的小球体所激发电场的矢量和.利用均匀带电球体内外的电场分布，即可求出电场分布.4.类比法 在电磁学中，许多物理量遵循着相类似的规律，例如电场强度与磁场强度、电位移矢量与磁感强度矢量、电偶αr l λεE l l cos d π4122/2/0⎰-=极子与磁偶极子、电场能量密度与磁场能量密度等等.他们尽管物理实质不同，但是所遵循的规律形式相类似.在分析这类物理问题时借助类比的方法，我们可以通过一个已知物理量的规律去推测对应的另外一个物理量的规律.例如我们在研究L C 振荡电路时，我们得到回路电流满足的方程显然这个方程是典型的简谐振动的动力学方程，只不过它所表述的是含有电容和自感的电路中，电流以简谐振动的方式变化罢了.5.物理近似与物理模型几乎所有的物理模型都是理想化模型，这就意味着可以忽略影响研究对象运动的次要因素，抓住影响研究对象运动的主要因素，将其抽象成理想化的数学模型.既然如此，我们在应用这些物理模型时不能脱离建立理想化模型的条件与背景.例如当带电体的线度远小于距所考察电场这一点的距离时，一个带电体的大小形状可以忽略，带电体就可以抽象为点电荷.但是一旦去研究带电体临近周围的电场分布时，将带电体当作点电荷的模型就失效了.在讨论物理问题时一定要注意物理模型的适用条件.同时在适用近似条件的情况下，灵活应用理想化模型可大大简化求解问题的难度.电磁学的解题方法还有很多，我们希望同学们通过练习自己去分析、归纳、创新和总结.我们反对在学习过程中不深入理解题意、不分析物理过程、简单教条地将物理问题分类而“套”公式的解题方法.我们企盼同学们把灵活运用物理基本理论求解物理问题当成是一项研究课题，通过求解问题在学习过程中自己去领悟、体会，通过解题来感悟到用所学的物理知识解决问题后的愉悦和快乐，进一步加深理解物理学基本定律，增强学习新知识和新方法的积极性.01d d 22=+i LCt i第五章 静 电 场5 －1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( )分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ).5 －2 下列说法正确的是( )(A )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷(B )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零(C )闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零(D )闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B ).5 －3 下列说法正确的是( )(A ) 电场强度为零的点，电势也一定为零(B ) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零(C ) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D ) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D ).*5 －4 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p 的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( )(A ) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p 水平指向棒尖端而停止(B ) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动(C ) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动(D ) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动2εσ分析与解 电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B ).5 －5 精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过±10－21 e ，而中子电量与零差值的最大范围也不会超过±10－21e ，由最极端的情况考虑，一个有8 个电子，8 个质子和8 个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？ 若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析 考虑到极限情况， 假设电子与质子电量差值的最大范围为2×10－21 e ，中子电量为10－21 e ，则由一个氧原子所包含的8 个电子、8 个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较.解 一个氧原子所带的最大可能净电荷为二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异，其差异在±10－21e 范围内时，对于像天体一类电中性物体的运动，起主要作用的还是万有引力. 5 －6 1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带 的上夸克和两个带的下夸克构成.若将夸克作为经典粒子处理(夸克线度约为10－20 m)，中子内的两个下夸克之间相距2.60×10－15 m .求它们之间的相互作用力.解 由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律F 与径向单位矢量e r 方向相同表明它们之间为斥力.5 －7 质量为m ，电荷为－e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E ｋ .证明电子的旋转频率满足其中ε0 是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律.分析 根据题意将电子作为经典粒子处理.电子、氢核的大小约为10－15 m ，轨道半径约为10－10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷.点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有由此出发命题可证.()e q 21max 10821-⨯⨯+=1108.2π46202max <<⨯==-Gmεq F F g e e 32e 31-()r r r r e εr q q εe e e F N 78.3π41π412202210===4320232me E εk =v 2202π41r e εr m =v证 由上述分析可得电子的动能为电子旋转角速度为由上述两式消去r ，得5 －8 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl －与其最邻近的八个一价铯离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构.(1) 求氯离子所受的库仑力；(2) 假设图中箭头所指处缺少一个铯离子(称作晶格缺陷)，求此时氯离子所受的库仑力.分析 铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加.为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力.解 (1) 由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故F 1 ＝0.(2) 除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力F 2 的值为F 2 方向如图所示.5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.re εm E K 202π8121==v 3022π4mr εe ω=432022232π4me E εωK ==v N 1092.1π3π4920220212⨯===aεe r εq q F 2204π1Lr Q εE -=2204π21L r r Q εE +=分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为整个带电体在点P 的电场强度接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是证 (1) 延长线上一点P 的电场强度，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为利用几何关系 sin α＝r /r ′， 统一积分变量，则当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度r r q εe E 20d π41d '=⎰=E E d ⎰=LE i E d ⎰⎰==Ly E αE j j E d sin d ⎰'=L r πεq E 202d ()220022204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰E r εq αE L d π4d sin 2⎰'=22x r r +='()2203/22222041π2d π41L r r εQ r x L xrQ εE L/-L/+=+=⎰此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －10 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度.解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系，统一积分变量，有积分得 5 －11 水分子H 2O 中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r 0 .试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度.rελL r L Q r εE l 0220π2 /41/π21lim =+=∞→θθR δS δq d sin π2d d 2⋅==()i E 3/2220d π41d r x qx ε+=θR x cos =θR r sin =()θθθεδθθR πδR θR πεr x q x πεE d cos sin 2 d sin 2cos 41d 41d 02303/2220=⋅=+=02/004d cos sin 2εδθθθεδE π⎰==分析 水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为，而夹角为2θ.叠加后水分子的电偶极矩大小为，方向沿对称轴线，如图所示.由于点O 到场点A 的距离x ＞＞r 0 ，利用教材第5 －3 节中电偶极子在延长线上的电场强度可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布.解1 水分子的电偶极矩在电偶极矩延长线上解2 在对称轴线上任取一点A ，则该点的电场强度由于 代入得 测量分子的电场时， 总有x ＞＞r 0 ， 因此， 式中，将上式化简并略去微小量后，得 5 －12 两条无限长平行直导线相距为r 0 ，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ.(1) 求两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x )；(2) 求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.00er P =θer P cos 20=302π41x p εE =θer θP P cos 2cos 200==30030030cos π1cos 4π412π41x θer εx θer εx p εE ===+-+=E E E 2020π42π4cos 2cos 2x εe r εθer E βE E -=-=+θxr r x r cos 202022-+=rθr x βcos cos 0-=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=23/20202001cos 2cos π42x θxr r x θr x εe E ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈-+x θr x x θr x θxr r x cos 2231cos 21cos 2033/2033/20202300cos π1x θe r εE =分析 (1) 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加.(2) 由F ＝q E ，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量，即：F ＝λE .应该注意：式中的电场强度E 是另一根带电导线激发的电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力. 解 (1) 设点P 在导线构成的平面上，E ＋、E －分别表示正、负带电导线在P 点的电场强度，则有(2) 设F ＋、F －分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有 显然有F ＋＝F －，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引.5 －13 如图为电四极子，电四极子是由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成.试求在两个电偶极子延长线上距中心为z 的一点P 的电场强度(假设z ＞＞d ).分析 根据点电荷电场的叠加求P 点的电场强度.解 由点电荷电场公式，得()i i E E E x r x r ελx r x ελ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+-00000π211π2i E F 00π2r ελλ==-+i E F 002π2r ελλ-=-=+-考虑到z ＞＞d ，简化上式得 通常将Q ＝2qd 2 称作电四极矩，代入得P 点的电场强度5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为① ()()k k k E 202020π41π412π41d z q εd z q εz q ε++-+=()()k k k E 42022220222206π4...321...32112π4/11/1112π4z qd εq z d z d z d z d z z εq z d z d z z εq =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=k E 403π41zQ ε=⎰⋅=S S d s E Φ∑⎰==⋅01d 0q εS S E ⎰⎰'⋅-=⋅=S S S E S E Φd d ⎰⎰'⋅-=⋅=S S S E S E Φd d E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=5 －15 边长为a 的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy 、Oyz 和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点.现将立方体置于电场强度 (k ，E 1 ，E 2 为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量.解 如图所示，由题意E 与Oxy 面平行，所以任何相对Oxy 面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即.而考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有同理因此，整个立方体表面的电场强度通量5 －16 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径(为地球平均半径).由高斯定理r θθR e S d d sin d 2=ER θθER θθER SS2π0π2222πdsin d sin dd sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ()12E kx E +E =i +j 0==DEFG OABC ΦΦ()[]()2221ABGF d a E dS E kx E =⋅++=⋅=⎰⎰j j i S E Φ22a E ABGF CDEO -=-=ΦΦ()[]()2121AOEF d a E dS E E -=-⋅+=⋅=⎰⎰i j i S E Φ()[]()()2121BCDG d a ka E dS E ka E Φ+=⋅++=⋅=⎰⎰i j i S E 3ka ==∑ΦΦ1m V 120-⋅E R R ≈E R ∑⎰=-=⋅q εR E E 021π4d S E地球表面电荷面密度单位面积额外电子数5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有根据高斯定理，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为，每个带电球壳在壳内激发的电场，而在球壳外激发的电场由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理得球体内(0≤r ≤R )∑--⨯-=-≈=2902cm 1006.1π4/E εR q σE 25cm 1063.6/-⨯=-=e σn ()()R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 02Sπ4d r E ⋅=⋅⎰S E ⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E r r ρq ''⋅=d π4d 20d =E rrεqe E 20π4d d =()()()()R r r r Rr>=≤≤=⎰⎰d R r 0d 0E E E E ⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E ()4202πd π41π4r εk r r kr εr r E r==⎰球体外(r ＞R )解2 将带电球分割成球壳，球壳带电由上述分析，球体内(0≤r ≤R )球体外(r ＞R )5 －18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和. 解 由教材中第5 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场它们的合电场强度为()r εkr r e E 024=()4202πd π41π4r εk r r kr εr r E R==⎰()r εkR r e E 024=r r r k V ρq '''==d π4d d 2()r r rεkr r r r r k εr e e E 0222004d π4π41=''⋅'=⎰()r r Rr εkR r r r πr k πεr e e E 20222004d 441=''⋅'=⎰n εσe E 012=n e n r x x εσe E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=220212在圆孔中心处x ＝0，则E ＝0在距离圆孔较远时x ＞＞r ，则上述结果表明，在x ＞＞r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.5 －19 在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O ′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为分析 本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为ρ 的均匀带电球和一个电荷体密度为－ρ、球心在O ′的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P 点产生的电场强度分别为E 1 、E 2 ，则P 点的电场强度 E ＝E 1 ＋E 2 . 证 带电球体内部一点的电场强度为所以 ， 根据几何关系，上式可改写为n rx x εσe E E E 22212+=+=n nεσx r εσe e E 02202/112≈+=a E 03ερ=r E 03ερ=r E 013ερ=2023r E ερ-=()210213r r E E E -=+=ερa r r =-21a E 03ερ=5 －20 一个内外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而 .在确定高斯面内的电荷后，利用高斯定理即可求出电场强度的分布.解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析r ＜R 1 ，该高斯面内无电荷，，故 R 1 ＜r ＜R 2 ，高斯面内电荷 故 R 2 ＜r ＜R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ，故r ＞R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ＋Q 2 ，故电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B )所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .24d r πE ⋅=⎰S E ∑q ∑⎰=/d εq S E ∑=⋅02/π4εq r E 0=∑q 01=E ()31323131R R R r Q q --=∑()()23132031312π4r R R εR r Q E --=2013π4r εQ E =20214π4r εQ Q E +=230234π4ΔεσR εQ E E E ==-=分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且，求出不同半径高斯面内的电荷.即可解得各区域电场的分布.解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理r ＜R 1 ，在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R 1 ＜r ＜R 2 ，r ＞R 2，在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变这与5 －20 题分析讨论的结果一致.5 －22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.⎰⋅=rL E d π2S E ∑q ∑=⋅0/π2εq rL E 0=∑q 01=E L λq =∑rελE 02π2=0=∑q 03=E 000π2π2ΔεσrL εL λr ελE ===分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零解得由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时，并由电势 的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为l E d 02⎰∞=Q W ()0202V Q V V Q W =-=∞()02π4π420312021=+d εQ Q d εQ Q Q Q Q 414132-=-=()2/322031π2yd εQ E E E yy y +=+=()dεQ y y d εQ Q Q W y 022/322002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E Q Q 412-=dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=dεQ V Q W 0202π8=-='。
恒定磁场(二)
B
0 IR
2
（x R ）2 2
2
3
z A
B
a
2[ x
a
0 x
2
a
2 2 3/ 2
( z b) ]
2
N Idz 2a
x a [ x 2 ( z b) 2 ]3 / 2 d z 4a
0 NI
A dz P x b a O B
z
O B
x
x
图 4-1
x2 B a [ x 2 ( z b) 2 ]3 / 2 d z 4a
0 I
2r
积分得到
以O为圆心，在线圈所在处作一半径为r的圆． 则在r到r + dr的圈数为 n
R2
dB
0 nI d r
2r ( R2 R1 )
方向⊙
R2 B ln 2r ( R2 R1 ) 2( R2 R1 ) R1 R1
并设磁感强度的大小为B．作矩形有向闭合环路如图所示，其 ab边在磁场内，其上各点的磁感强度为B，cd边在磁场外，其 上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿 过，因而根据安培环路定理有：
B d l Bab 0
L
N
B
S
a b
d c
因 ab 0 ．所以 B = 0，这不符合原来的 假设．故这样的磁场不可能存在．
0 NI d r
0 NI
四．证明题 1．在一个球面上相对于直径AB等间隔地绕以平行导线而形成如 图所示的球形线圈壳．试证当线圈中通以电流时，在直径AB上所 有各点的磁感强度B均相等． 2 证：设球的半径为a，总匝数为N，直径 AB上一点P的坐标为(0，0，b)，由圆电 流轴线上一点P的磁感强度的公式 可得
(完整版)电磁学(梁灿彬)第五章稳恒电流的磁场
§1 基本磁现象概述 (summary of basic magnetic phenomenon)
一、磁的基本现象
对磁现象的认识很早 最早发现的磁现象：天然磁石吸铁， 我国远在春秋战国时期（公元前六、七世 纪）的古书中已有记载
电磁学讲义
Electromagnetism Teaching materials
CH5 稳恒电流的磁场
2010级物理学专业
前言(Preface)
一、本章的基本内容及研究思路
静止电荷的周围存在着电场 运动电荷周围，不仅有电场，而且还有磁场。 不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也 称为“静磁场”。 稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。 运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又 会对其他的运动电荷（或电流）有作用力。 本章就是从这两个方面来研究磁场的。
大量实验证明，电现象和磁现象存在相互联系。 我们知道，电的作用是“近距”的，磁极或电 流之间的相互作用也是这样的，不过它通过另 外一种场—磁场来传递的。
用磁场的观点，可以把上述关于磁铁和磁铁， 磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用的各 个实验统一起来,概括成这样一个图示：
磁铁 电流
磁场
磁铁 电流
安培认为，任何物质的分子都存在环形电流， 称为分子电流，分子电流产生的磁场在轴线上的 方向可以用右手定则来判断，每一个分子电流相 当于一个小磁体。当物质中的分子电流排列得毫 无规则时，他们的磁场互相抵消，整个物体不显 磁性，但是，在一定条件下，这些分子电流比较 有规则的定向排列起来，他们的磁场互相加强， 整个物体就会显示出磁性。
安培的分子电流的想法基本上是正确的，近 代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子 自旋和电子的轨道运动合成的结果。
第5章 恒定磁场2—矢量磁位
（4）矢量磁位媒质交界面条件
12
=A A 因此，分界面上矢量磁位A 是连续的。
120 d 0 n S
n
A A ∇⋅=⇒⋅==⇒⎰A A S 12 d d S
t C
t
A A ∇⨯=⇒⋅==⋅⇒⎰⎰A
B A l B S 但这只是A 本身的要求。
作为位函数，A 必须满足更高的要求，保证B 的连续性条件成立。
由A 的性质，不难得到：
在无限大均匀媒质中，如果电流只有一个方向，则A与之同方向：
const A=
z
在电磁场分析中，A 具有以下一些有用的性质：•在轴对称场中，等 A 线是磁力线。
轴对称场中，如果电流只有周向分量，（媒质分布也满足轴对称条件），则A也只有周向分量。
轴对称线圈（带或者不带铁心）即属此种情况。
可见，不管是平行平面场还是轴对称场，矢量磁位A都只有一个方向的分量（但磁场B具有两个分量），因此只需要求解一个标量方程即可。
因此在工程实践中，二维恒定磁场一般都采用矢量磁位A进行计算。
使用矢量磁位A 分析磁场B
•用A描述的矢量泊松方程与以B 和H 描述的恒定磁场基本方程是等价的。
•矢量磁位A 的引入是为了简化磁场的分析。
分析磁场的常用方法是：先求A，再由A 计算B。
•求解矢量磁位A，可以使用积分公式，也可以求解A 的泊松方程边值问题。
后者是广泛采用的途径。
等位线
电场线
sin )
θθsin )
θθe
（by ANSYS）
电力线等 线等A 线、磁力线
思考：A 线是什么样子的呢？
作业：
5.14, 5. 17。
广工工程电磁场复习重点
第一章矢量分析1. 标量和矢量的概念，标量积和矢量积。
2. 直角坐标系下的方向导数的求解，直角坐标系下的梯度求解，两者的关系？梯度和等值面的方向关系例1-4-1 1-4-2。
3. 矢量场通量的定义及求解，散度的定义及直角坐标系下的求解，散度定理，拉普拉斯算子的定义例1-5-1。
4. 矢量场环量的定义及求解，旋度的定义及直角坐标系下的求解，旋度定理。
5. 无散场和无旋场的定义，分别可以用什么来表示。
6. 矢量场惟一性定理的内容，亥姆霍兹定理的内容、表达式及含义。
第二章静电场1. 静电场的概念，电场强度，电通量，电场线的概念（与什么电荷有关）；2. 高斯定律的内容（积分式和微分式）及应用的前提条件，静电场的散度及旋度例2-2-33. 电位的定义，电位与电场强度的关系（积分式和微分式），电位与电场力做功的关系，等位面的定义，等位面与电场强度的方向关系4. 自由电荷与束缚电荷（极化电荷）的区别，介质分子的分类，极化的概念、分类，电极化强度的定义，由电极化率对介质的分类，各向同（异）性、（非）均匀、（非）线性、静止（运动）。
5. 电通密度的定义，介质中的静电场方程（积分式和微分式），电通密度线的概念（与什么电荷有关），介电常数的概念，相对介电常数的概念6. 什么叫静电场的边界条件✓介质-介质边界条件？束缚电荷面密度如何求解？（注意与基本方程对应的模型，边界法线方向由1->2）✓什么是静电平衡？导体中及导体表面的电场分布及电位分布？✓导体和介质边界条件的内容，自由电荷面密度？束缚电荷面密度？✓什么是静电屏蔽？电荷处于金属空腔内部及外部，空腔接地及不接地情况下，电场分布？例2-6-17. 电容的定义，部分电容的概念，求等效电容的步骤，例2-7-18. 静电场能量密度？静电场能量的计算9. 库仑定律，虚位移法求电场力常电荷系统、常电位系统例2-9-1第三章静电场的边值问题1. 有源区及无源区的电位微分方程？2. 静电场的唯一性定理？3. 镜像法的实质？四种系统的镜像法求解。
稳恒磁场 052h
7 1
d
dF1 dF2 0 I1 I 2 dl1 dl2 2π d
问 若两直导线电流方向相反二 者之间的作用力如何？
二、带电粒子在电场和磁场中所受的力 电场力
Fe qE
Fm qv B
z
Fm
磁场力（洛仑兹力）
x
o q+
年建成的第
一台强流质 子加速器 ，
可产生数十
种中短寿命 放射性同位
素.
在地磁场的南、北两极附近由于磁感应线与地
面垂直，由外层空间入射的带电粒子可直接射入
高空大气层内。 高速带电粒子与 大气分子相互碰 撞产生的电磁辐
射就形成了绚丽
多彩的极光。
4.
霍耳效应
霍 耳 效 应
B
b
d + + + + +
IB d
即：Idl=q n u S dl=qu dN
df qu B dN 代入安培定律得：
f qu B
特点：1）洛仑兹力只改变粒子的运动方向； 2）洛仑兹力不做功。
（一）带电粒子在电场中的运动
1 . v0 E 匀变速直线运动 2 . v0 E
3 . v0 与 E 斜交
B
y
v
0 方向：即以右手四指由 v 经小于180 的角弯向 B ，拇指的 指向就是正电荷所受洛仑兹力的方向.
运动电荷在电场 和磁场中受的力
F qE qv B
洛仑兹力的给出：
由安培定律：df Idl B
如图所示， 设：S、n、q、u
则I=q n u S
Fm
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磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的
矢量和称为磁化强度，以 M 表示，即
v
N mvi
M i1
V
式中mi 为V中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。V为物理无限小体积。
磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流。形成磁化电流
的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电流。磁化
甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种
现象称为磁化。
外加场Ba
与极化现象不同，磁化结果使媒质中的
合成磁场可能减弱或增强，而介质极化总是
合成场Ba+ Bs 媒 质
二次场Bs
磁化
导致合成电场减弱。
根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性 、顺磁性、铁磁性及亚铁磁性等。
抗磁性。 在正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外加磁场时，电子除了仍然自旋
v JS
v M
evn
Mevz
evr
Mev
a
显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于
l
J s dz'
z
处宽度为dz
的环形电流为(
JvSdz)
，那么该环形电流在
v
轴线上 z 处(z >> a)产生的磁感应强度dB 为
0
z
y
x
v dB
evz
0a2M
2(z z)3
dz
那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z 处产生的合成磁感应强度为
v
电流密度以
v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J
表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化
强度 M的关系为
z
Ñ Av(rv) 0
4π
V
rv
v M
(rv)
rv
dV
0
4π
S
v M
(rv) rv rv
evn
v dS
x
dV'
S'
V' r - r'
r'
P
O
r y
第一项为体分布的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为面分布的磁化
及轨道运动外，轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方式称为进动。
电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方向
相反，导致媒质中合成磁场减弱。因此，这种磁性能称
Bt
为抗磁性，如银、铜、铋、锌、铅及汞等。
顺磁性。在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏观的合成 磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子进动以外，磁偶极子的磁矩 方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁性。 如铝、锡、镁、钨、铂及钯等。
注意，标量磁位的应用仅限于无源区。
5-4 介质的磁化
电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于一个磁
偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。
由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零，
对外不显示磁性。 当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，
Ñ l B dl 0 (I I )
Ñ l
v B
0
v M
v dl
I
令
v
v B
v M
v H
0
则有
vv
Ñ l H dl I
式中H 称为磁场强度，其单位是A/m。上式称为媒质中安培环路定律。它表明
求得
v
v
v2 A B
v
v
2A 0J
A 可见，矢量磁位 满足矢量泊松方程。
前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解——自由空间中的解。
v 在无源区中，J 0 ，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程
v 2 A 0
已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三v 个坐标分量 的标量方程。因此，前述的分离变量法可用于求解矢量磁位 A的各个直角坐
a
由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因
l
J s
此，Jv Mv，即0 体分布的磁化电流密度为零。
0
y
又知表面磁化电流密度
x
v J S
v M
evn
式中en 为表面的外法线方向上单位矢量。因
v M
evz M
，所以表面磁化电流
密度
J
S
仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此
z P(0,0, z)
5-3 磁 位
v
A 一、矢量磁位 v
v
已知矢量磁位A 与磁感应强度B 的关系为
vv B A
矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。
当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需
要导出矢量磁位应该满足的微分方程。
已知 Av， 0那么
v
vv
A A 2 A
标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法也可适用于求
解恒定磁场的边值问题。
已知磁通表达式为 Φ S B，v d那Sv么
vv
Φ S ( A) dS
vv
Ñ 再利用斯托克斯定理，得 v
Agdl
l
由此可见，利用矢量磁位A 计算磁通十分简便。
二、标量磁位 m v
在无源区中，因J
0，得
v
Bv
v 0。可见，无源区中磁感应强度B
是无
旋的。 因此，无源区中磁感应强度B 可以表示为一个标量场的梯度，令
v
B 0m
式中标量 m 称为标量磁位。因
v B
0
，由上式得
2m 0
可见，标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件， 求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即 可求出磁感应强度。
v
B
evz
0a2M 2
l 0
(z
1 z)3
dz
evz
0a2 M
4
(z
1 l)2
1 z2
5-5 介质中的恒定磁场
磁化媒质内部的磁场相当于传导电流 I v及磁化电流 I 在真空中产生的合成
磁场。这样，磁化媒质中磁感应强度 沿B任一闭合曲线的环量为
考虑到 I Ñ l M，v 求dlv得
vv
铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同，但是各个 “磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个 “磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强的磁性。例如 铁、钴、镍等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有非线性，且存在磁滞及剩磁 现象亚。铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁小， 且电导率很低，这类媒质称为亚铁磁媒质。例如铁氧体等。由于其电导率很低， 高频电磁波可以进入内部，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件中获 得广泛的应用。
电流产生的矢量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强度的关系为
v
v
J M
v J S
v M
evn
例 已知半径为a，长度为 l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。
v 若磁化强度为 M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P 点处由磁化电
流产生的磁感应强度。
z P(0,0, z)
解 取圆柱坐标系，令 z 轴与圆柱轴线一致，如图示。