二次函数与坐标轴交点
中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题-附带答案
中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题-附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b；③4a+b=0；④当x＞-1时y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1B．-1C．2D．-2 3．已知二次函数y=x2−x+14m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m<5D．m>2 4．二次函数y=x2-2x-2与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3 5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于（-1，0），（3，0），则下列判断错误的是（）．A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x>1时y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是-1和3D．当y<0时x<-17．若抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞1 8．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1013y﹣1353①ac＜0；②当x＞1时y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2B．m≥2C．m≥0D．m＞4 10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4 11．已知抛物线y＝ax2﹣2ax＋a﹣c（a≠0）与y轴的正半轴相交，直线AB∥x轴，且与该抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，当x＝x1＋x2时函数值为p；当x＝x1+x2q.则p﹣q的值为（）2时函数值为A．a B．c C．﹣a＋c D．a﹣c 12．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根二、填空题(共6题；共6分)13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．14．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为．15．若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2=0的解为．16．已知二次函数y=x2－2x－3与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且∥ABC的面积等于10，则C点坐标为．17．抛物线y＝（m﹣1）x2+2x+ 12m图象与坐标轴有且只有2个交点，则m＝．18．若二次函数y=kx2−4x+3的函数值恒大于0，则k取值范围是.三、综合题(共6题；共56分)19．已知二次函数y＝x2－（m＋2）x＋2m－1（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3）．①求函数图象与x轴的交点坐标；②当0＜x＜5时求y的取值范围．20．（1）解方程：x2−x+13=3(x2+1)+5x；（2）求二次函数y=2x2−5x的图象与x轴的交点坐标．21．已知二次函数y=mx2﹣5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．（1）求点A，B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时∥MAO的周长最小．22．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．23．已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．24．已知二次函数y=ax2﹣4ax+1（1）写出二次函数图象的对称轴：；（2）如图，设该函数图象交x轴于点A、B（B在A的右侧），交y轴于点C．直线y=kx+b经过点B、C．①如果k=﹣13，求a的值②设点P在抛物线对称轴上，PC+PB的最小值为√13，求点P的坐标．参考答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】C13．【答案】0或114．【答案】815．【答案】﹣1或216．【答案】（4，5）或（－2，5）17．【答案】﹣1或2或018．【答案】k>4 319．【答案】（1）解：令y=0，则x2−(m+2)x+2m−1=0，∴△=[−(m+2)2]−4(2m−1)=m2+4m+4−8m+4=m2−4m+8=(m−2)2+4≥4∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点；（2）解：①∵函数的图象与y轴交于点（0，3）．∴2m−1=3，∴m=2，∴抛物线的解析式为：y=x2−4x+3，当x2−4x+3=0，∴(x−1)(x−3)=0，∴x1=1，x2=3，所以抛物线与x 轴的交点坐标为：(−1，0)，(−3，0). ②∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴ 抛物线的开口向上，当x =2时函数的最小值为−1， 当x =0时 当x =5时∴ 当0＜x ＜5时y 的取值范围为：−1≤y ＜8.20．【答案】（1）解：将方程化为一般式，得x 2+3x −5=0．∵Δ=b 2−4ac =32−4×1×(−5)=29>0．∴x =−3±√292×1=−3±√292．解得x 1=−3+√292，x 2=−3+√292．（2）解：把y =0代入y =2x 2−5x 中得2x 2−5x =0． 解得x 1=0，x 2=52．∴二次函数y =2x 2−5x 的图象与x 轴的交点坐标是(0，0)和(52，0)．21．【答案】（1）解：当x=0时y=1，则点A 的坐标为（0，1）∵抛物线对称轴为x= 5m 2m = 52∴B 点坐标为（5，1）（2）解：设直线OB 解析式为y=kx ，把B （5，1）代入可得5k=1，解得k= 15 ∴直线OB 解析式为y= 15 x由轴对称的性质可知当点M 运动到直线OB 与二次函数对称轴的交点时∥MAO 的周长最小．当x= 52时y= 12∴M 点的坐标为（ 52， 12 ）22．【答案】（1）解：由顶点A （﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a （x+1）2+4（a≠0）．∵二次函数的图象过点B （2，﹣5） ∴点B （2，﹣5）满足二次函数关系式 ∴﹣5=a （2+1）2+4 解得a=﹣1．∴二次函数的关系式是y=﹣（x+1）2+4（2）解：令x=0，则y=﹣（0+1）2+4=3∴图像与y轴的交点坐标为（0，3）；令y=0，则0=﹣（x+1）2+4解得x1=﹣3，x2=1故图像与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（1，0）23．【答案】（1）解：当x=0时y=1．所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；（2）解：①当m=0时函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根所以∥=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．综上，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9 24．【答案】（1）直线x=2（2）解：①当x=0时y=1∴点C的坐标为（0，1）．将（0，1）代入y=kx+b，得：b=1．∵k= −1 3∴y=−13x+1当y=0时有−13x+1=0解得：x=3∴点B的坐标为（3，0）．将B（3，0）代入y=ax2﹣4ax+1，得：9a﹣12a+1=0解得：a=3；②当PC+PB取最小值时点P是直线BC与直线x=2的交点，且PC+PB的最小值=BC= √13．∵OC=1∴在Rt∥OBC中OB= 2√3∴此时点B的坐标为(2√3，0)将点B的坐标代入y=kx+1得：2√3k+1=0解得：k=−√36∴此时直线BC的解析式为：y=−√36x+1∵当x=2时.∴点P的坐标为(2，3−√33)。
二次函数与坐标轴交点
二次函数与坐标轴的交点问题
预习导入：
一次函数36
=+与x轴的交点坐标为；与y轴的交
y x
点坐标为。
思考问题：你能求出下列二次函数与x轴，y轴的交点坐标吗？请试一试。
1、223
y x x
=-+
=-+ 3、2610 =-- 2、244
y x x
y x x
归纳：二次函数2
=++的图像与x轴的位置关系：
y ax bx c
1、2
当时，抛物线与轴有个交点；
∆>=++
0y ax bx c x
2、2
∆==++
当时，抛物线与轴有个交点；
0y ax bx c x
3、2
当时，抛物线与轴个交点；
0y ax bx c x
∆<=++
例：若抛物线221
y x x m x
=-+-与轴有交点,求m的取值范围。
练习：1、抛物线2
=--+与坐标轴有个交点，
y x x
34
2、抛物线2
=++与x轴有两个交点，则m的取值范围
2
y x x m
3、已知抛物线22
y x m x m
=+-+与x轴只有一个交点，求m的值。
(21)
4、已知二次函数25
=-+-，求证：不论k为何实数，此函数图像与x
y x kx k
轴都有两个交点。
拓展探索：
1、已知抛物线2
=++与x轴的两个交点坐标分别为（-1,0）
y ax bx c
（5,0），那么一元二次方程20
++=的根是。
ax bx c
2、二次函数的图像如图所示，你能写出图像与x轴的
另外一个交点的坐标吗？请写下来。
二次函数与x轴的交点
y x O y x O yx O 二次函数与x 轴的交点函数y = ax ²+b x +c 与x 轴的交点.① a =0，b ≠0时 y =b x +c 函数与x 轴有 个交点.② a ≠0时，以a ＞0为例.由⎩⎨⎧=++=02y c bx ax y 得： ；△= .当△≥0时，21x x += . 21x x ⋅= . ||21x x -= .例题讲解1.求抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点. 2、求抛物线4832+-=x x y 与直线y =4的两个交点.3.求抛物线4832+-=x x y 与直线y =x -2的两个交点.4.抛物线4832+-=x x y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B(A 在B 左边),在直线BC 下方抛物线上找一点P ，使得△BPC 的面积最大，并求出最大值.5.已知直线y =-x +6与函数y =x5的图象交于A 、B 两点，O 为原点，求△A BO 的面积.6.已知二次函数142-++=k x x y（1）若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围。
（2）若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的取值7.已知函数y =ax ²-ax +3x +1的图像与x 轴有且只有一个交点，求a 的值和与x 轴的交点坐标.课堂测试1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a5、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝16、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在 范围时0322≤--x x .7、已知二次函数2y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值8、已知抛物线22y x mx m =-+-.（1）求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.。
中考数学《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项练习题及答案
中考数学《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（）A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根2．已知抛物线y=ax2+bx+c(a＜0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1<y2D．不能确定3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．c＜0B．a+b+c＜0C．2a﹣b=0D．b2﹣4ac=04．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是() A．k≤2且k≠1B．k<2且k≠1C．k=2D．k=2或15．函数y=ax+1与抛物线y=ax2+bx+1(b≠0)的图象可能是（）.A．B．C．D．6．若关于x的一元二次方程（x-2）(x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．37．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-2n+1n(n+1)x+1n(n+1)与x轴交于A n，B n两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009（）A．20092008B．20082009C．20102009D．200920108．二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k<3B．k<3，且k≠0C．k≤3D．k≤3，且k≠010．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根11．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；3．④a+b+cb−a的最小值为其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤二、填空题13．已知函数y=ax2−2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是.14．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是．15．如图，P是抛物线y=2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x=t平行y轴，分别与y=x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=．16．抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，0），则线段AB的长度为．17．抛物线y= 49(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为18．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．三、综合题19．如图，二次函数y=- 12x2+bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，-4)两点（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．20．已知二次函数y=ax2+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16).（1）求此二次函数解析式；（2）若此二次函数与x轴的交点为点A、点B，与y轴的交点为点C，求△ABC的面积. 21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；22．已知二次函数y=（x-1）（x-m）．（1）若二次函数的对称轴是直线x=3，求m的值．（2）当m>2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．23．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；24．已知抛物线顶点坐标为（1，3），且过点A（2，1）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线与x轴两交点分别为点B、C，求线段BC的长度．参考答案1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】D12．【答案】C13．【答案】0或114．【答案】y=﹣38x2+ 34x+315．【答案】5±√52或1或316．【答案】217．【答案】618．【答案】x1=4，x2=﹣219．【答案】（1）解：分别把点A(2，0)、B(0，-4)代入y=−12x2+bx+c得{−12×22+2x+c=0c=−4解得：{b=3c=−4∴这个二次函数的解析式为：y=−12x2+3x−4（2）解：由（1）中抛物线对称轴为直线∴点C的坐标为：(3，0)∴AC=3−2=1∴△ABC的面积为：12⋅OB⋅AC=12×4×1=220．【答案】（1）解：把点(1,9)和(6,−16)代入函数解析式得{9=a+b+8−16=36a+6b+8解得a=-1, b=2. 所以二次函数的解析式为y=−x2+2x+8（2）解： 令y=0,得-x 2+2x+8=0, 解得x=-4或x=2 得A 、B 的坐标为（-4,0），（2,0） 则AB=6令x=0, 得y=8 ∴C 点坐标为（0,8），则OC=8 ∴S △ABC =12AB ×OC =12×6×8=24 .21．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣3，AB ＝4∴A 、B 两点到对称轴的距离相等，且为2 ∴A 点坐标为（-5，0），B 点坐标为（-1，0）把A 、B 两点的坐标分别代入函数解析式中，得： {−25−5m +n =0−1−m +n =0解得： {m =−6n =−5∴y =−x 2−6x −5（2）解：∵y =−x 2−6x −5 平移后过原点∴设平移后过原点的抛物线为 y =−x 2+bx 令 y =−x 2+bx =0 ，解得：x=0 ∴C （b ，0）且b>0∵y =−x 2+bx =−(x −b 2)2+b 24∴顶点P 的坐标为 (b 2，b 24) ∵△OCP 是等腰直角三角形 ∴b 2=b 24解得：b=2∴顶点P 的坐标为 (1，1)22．【答案】（1）解： 令y =0，即0=(x −1)(x −m) ，得x 1=1，x 2=m也即抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（m，0）∵（1，0），（m，0）关于抛物线对称轴对称，且对称轴是直线x=3∴1+m2=3，解得m=5（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线x=1+m 2∵m>2，∴x=1+m 2>32∵a=1＞0，且0≤x≤3时，二次函数的最大值是7∴当x＝0时y max=7∴把（0，7）带入抛物线表达式得7=(0−1)(0−m)∴m=723．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2−2ax−3+2a2=a(x−1)2+2a2−a−3∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）解：由（1）可得y=a(x−1)2+2a2−a−3∵抛物线的顶点在x轴上∴2a2−a−3=0解得a1=32，a2=－1∵a<0∴a=－1∴抛物线的解析式为y=−x2+2x−1．24．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+3把A（2，1）代入得a•（2﹣1）2+3=1，解得a=﹣2所以抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2+3（2）解：y=0时，﹣2（x﹣1）2+3=0解得x1=1+ √62，x2=1﹣√62所以BC=1+ √62﹣（1﹣√62）= √6。
初中数学 二次函数与坐标轴的交点如何求解
初中数学二次函数与坐标轴的交点如何求解
在初中数学中，二次函数与坐标轴的交点是一个重要的概念。
这些交点对于分析二次函数的性质、解决实际问题以及绘制函数图像都非常关键。
下面将详细介绍如何求解二次函数与坐标轴的交点：
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数，且a不等于零。
二次函数与坐标轴的交点可以通过以下步骤来求解：
1. 求解与x轴的交点：
当二次函数与x轴的交点时，函数的纵坐标为零。
我们可以通过以下公式来计算与x轴的交点的横坐标：f(x) = 0，即ax^2 + bx + c = 0。
这是一个二次方程，可以使用求根公式或配方法来解。
求解得到的解为二次函数与x轴的交点的横坐标。
2. 求解与y轴的交点：
当二次函数与y轴的交点时，函数的横坐标为零。
我们可以直接将x等于零代入二次函数的表达式中，得到与y轴的交点的纵坐标。
通过以上步骤，我们可以求解二次函数与坐标轴的交点。
这些交点对于我们理解二次函数的图像特征、分析函数的零点、最值以及对称性等都非常重要。
在解决实际问题和绘制函数图像时，求解二次函数与坐标轴的交点可以帮助我们确定函数的关键特征和行为。
理解如何求解二次函数与坐标轴的交点，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数的概念。
补充：二次函数的交点式
直线x=1
（-1,0）、（3,0） （-1,0）、（-3,0） （-1,0）、（3,0）
归纳：
二次函数
y a(x x1)( x x2 ) 的对称轴是直线
x x1 x2 2
顶点是（ x1 x2 , 代入解释求y）
2
练习： 1、若二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（-1,0） ，则对称轴是 直线x=1
（1）y x2 2x 3 （2）y x 2 4x 3 （3）y 2x 2 8x 6
y=(x+1)(x-3) y=(x+1)(x+3) y=2(x+1)(x+3)
（2）求以上二次函数与x轴的交点坐标
y x2 2x 3
与x轴的交点 （-1,0）、（3,0）
y x2 4x 3
y a(x x1)( x x2 )
二 次 函 数 对 称 轴 顶点
与坐标轴交点
一般 式 y ax2 bx c(a 0)
x b 2a
b 4ac b2 与 y 轴交于点
( , 2a
4a
) （0，c ）顶点 式y a源自x h)2 k直线x=h
（h，k）
1、用十字相乘法对下列二次函数的解析式进行改写：
则该抛物线与x的交点坐标是 (x1,0)、(x2,0)
故我们把这种二次函数的关系式叫做交点式（也叫 两根式）
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐 标轴的交点坐标.
（1） y x 2 3x 2 （2）y 3x2 9x 12（3）y 2x2 12 x 10
(1)y=(x-2)(x-1) (2)y=3(x-4)(x+1) (3)y=2(x-1)(x-5)
备战中考数学专题二次函数图像与坐标轴的交点问题(含解析)
2019备战中考数学专题-二次函数图像与坐标轴的交点问题（含解析）一、单选题1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是()A.k<3B.k<0且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠02.如图图形中阴影部分的面积相等的是（）A.①①B.①①C.①①D.①①①3.在如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a ＜0，b＞0，c＞0；①b2﹣4ac=0；① ＜c；①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有（）A.1条B.2条C.3条 D.4条4.若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（）A. B. C.D.5.二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，则下列结论正确的是（）A.x1＜1＜x2＜2B.x1＜1＜2＜x2C.x2＜x1＜1D.2＜x1＜x26.对某个函数给定如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现将有界函数（0 x m，1≤m≤2）的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，且≤t≤2，则m的取值范围是（）A.1≤m≤B.≤m≤C.≤m≤D.≤m≤27.二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A.1或－3B.5或－3C.－5或3D.以上都不对8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α（x﹣1）2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点．CD①x轴与抛物线交于D点且A（﹣1，0）则OB+CD=（）A.4B.5C.6D.79.“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x= ﹣2实数根的情况是（）A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根10.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A.k＞-B.k＞-且k≠0C.k≥-D.k≥-且k≠011.抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），则它与x轴另一个交点的坐标为（）A.（﹣2，0）B.（﹣1，0）C.（2，0）D.（5，0）二、填空题12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________．13.二次函数y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是________．14.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为________．15.已知y=﹣x2+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则①ABC的面积为________．16.二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）（a≠0，a，b，C为常数）的图象，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是________．17.已知正整数a满足不等式组（x为未知数）无解，则a的值为________；函数y=（3﹣a）x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为________18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.三、解答题19.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）（1）当m=0时，求该函数的零点．（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，tan①CBA=．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，①BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．四、综合题21.已知二次函数为y=x2﹣2x+m（1）写出它的图象的开口方向，对称轴；（2）m为何值时，其图象顶点在x轴上方？22.已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求①ABC的面积．23.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求出点A、B、C的坐标．（2）求S①ABC（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S①NAB=S①ABC，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围。
备战中考数学专题二次函数图像与坐标轴的交点问题(含解析)
2021备战中考数学专题-二次函数图像与坐标轴的交点问题〔含解析〕一、单项选择题1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围是()A.k<3B.k<0且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠02.如图图形中阴影局部的面积相等的是〔〕A.①②B.②③C.①③D.①②③3.在如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③ ＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有〔〕A.1条B.2条C.3条D.4条4.假设函数的图象与坐标轴有三个交点，那么的取值范围是〔〕A. B. C.D.5.二次函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A.x1＜1＜x2＜2B.x1＜1＜2＜x2C.x2＜x1＜1D.2＜x1＜x26.对某个函数给定如下定义：假设存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤M，那么称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现将有界函数〔0 x m，1≤m≤2〕的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，且≤t≤2，那么m的取值范围是〔〕A.1≤m≤B.≤m≤C.≤m≤D.≤m≤27.二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，那么m的值为〔〕A.1或－3B.5或－3C.－5或3D.以上都不对8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α〔x﹣1〕2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点．CD∥x轴与抛物线交于D点且A〔﹣1，0〕那么OB+CD=〔〕A.4B.5C.6D.79.“一般的，假如二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版?数学?九年级〔下册〕P21〞参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x= ﹣2实数根的情况是〔〕A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根10.二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围为〔〕A.k＞-B.k＞-且k≠0C.k≥-D.k≥-且k≠011.抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为〔﹣3，0〕，那么它与x轴另一个交点的坐标为〔〕A.〔﹣2，0〕B.〔﹣1，0〕C.〔2，0〕D.〔5，0〕二、填空题12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是〔﹣1，0〕，〔3，0〕，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________．13.二次函数y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是________．14.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为________．15.y=﹣x2+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，那么∥ABC的面积为________．16.二次函数y=ax2+bx+c 〔a≠0〕〔a≠0，a，b，C为常数〕的图象，假设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，那么m的取值范围是________．17.正整数a满足不等式组〔x为未知数〕无解，那么a的值为________；函数y=〔3﹣a〕x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为________18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.三、解答题19.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．函数y=x2﹣2mx﹣2〔m+3〕〔m为常数〕〔1〕当m=0时，求该函数的零点．〔2〕证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A〔2，0〕、点B〔点B在点A的右侧〕，与轴交于点C，tan∥CBA=．〔1〕求该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；〔3〕设抛物线上的点E在第一象限，∥BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．四、综合题21.二次函数为y=x2﹣2x+m〔1〕写出它的图象的开口方向，对称轴；〔2〕m为何值时，其图象顶点在x轴上方？22.在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为〔3，0〕，与y轴相交于点C；〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕求∥ABC的面积．23.二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点〔A在B的左边〕，与y轴交于点C．〔1〕求出点A、B、C的坐标．〔2〕求S∥ABC〔3〕在抛物线上〔除点C外〕，是否存在点N，使得S∥NAB=S∥ABC，假设存在，求出点N 的坐标，假设不存在，请说明理由．答案解析局部一、单项选择题1.【答案】D【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围。
初中数学专题复习(二次函数图像与坐标轴交点问题)
初中数学专题复习（二次函数图像与坐标轴交点问题）1．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x 轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，则△＞0且a≠1，当△＝（﹣2a+3）2﹣4（a﹣1）（a﹣4）＝8a﹣7＞0时，解得a＞，∵a取满足条件的最小整数，而a≠1，故a＝2，当a＝2时，y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4＝x2﹣x﹣2，设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，对于y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则y＝x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝﹣2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，﹣2），由直线y＝kx﹣2知，该直线过点C，①当k＞0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过点B、C，将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝2k﹣2，解得k＝1；②当k＜0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点，当直线过点A、C时，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k﹣2，解得k＝﹣2，当直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式得：x2﹣x﹣2＝kx﹣2，即x2﹣（k+1）x＝0，则△＝（﹣k﹣1）2﹣4×1×0＝0，解得k＝﹣1，综上，k＝1或﹣2或﹣1，答案：D．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），答案：B．3．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，答案：C．4．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，答案：C．5．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜＜1B．＞1C．0＜＜1D．＞1解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，∴x3＜x1＜﹣5，由图象可知：0＜＜1一定成立，答案：A．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴B（3，0），A（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，答案：B．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，答案：B．8．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c＝b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．答案：B．二．填空题（共7小题）9．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）和（0，2）．解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，且m≠2，由求根公式可得x＝，x＝，x1＝＝1，x2＝＝＝，当m＝1时符合题意；此时x2＝2；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）和（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）和（0，2）．10．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是2．解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＞﹣1．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．13．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为4．解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴，解得，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，∴n的最小值是4，故答案为：4．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为①④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；②△ABC的面积＝AB•y C＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是①③（填写序号）．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．三．解答题（共5小题）16．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．解得a＝﹣．则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．故A（﹣1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴＝．∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD＝2﹣1＝1．∴＝EG．设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．∴＝﹣（t﹣2）2+2．∵＜0，∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．17．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，当m＝1时，S最大，最大值为8．18．如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），故抛物线的对称轴为x＝2，即﹣b＝2，解得：b＝﹣4，（2）∵b＝﹣4∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，由，解得；由，解得．19．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．。
【特荐】九年级上册数学 人教版 二次函数与一元二次方程的关系(知识点+练习题)
课题：二次函数与一元二次方程的关系（一）二次函数与坐标轴的交点 环节一、求函数与坐标轴的交点坐标1、求一次函数36y x =+与x 轴、y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 当y=0时，得方程 解得∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 2、求二次函数y=x 2-4x+3与x 轴，y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）； 当y=0时，得方程 解得∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）与（ ， ）.3、求二次函数962++=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：4、求二次函数322+-=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：环节二：两个函数的交点坐标1、如图，已知直线x y =与直线3+-=x y 相交 于点A ， 则交点A 的坐标是即方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的解是直线x y =与直线3+-=x y 的交点坐标（x ，y ）是方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的 .5、求二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标. 解：依题意，得方程组⎩⎨⎧解得⎩⎨⎧∴二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标是 . 3、由上题还可知：方程x 2=21x+3的解是 .归纳总结：1、二次函数与一元二次方程的关系：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标12,x x 是一元二次方程 的根.2、（1）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个不同的交点；（2）当24b ac -=0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有 根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个交点；（3）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴 交点；环节三、巩固练习 A 组1、抛物线y=x 2-5x-6 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.2、抛物线y=--2x 2+3x+2 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.3、已知方程2x 2-3x+5=0的两个根是25，-1，则二次函数y=2x 2-3x-5与x 轴两个交点坐标（ ， ）和（ ， ），两交点间距离为 .4、不论m 为何实数时，抛物线y=x 2－mx －1与x 轴的交点（ ）.A.有0个B.有1个C.有2个D.无法确定5、已知直线y=－2x+3与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，求A 、B 两点的坐标.6、已知：二次函数y=2x 2-4x-6，求：（1）函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，（2）求函数图象与y 轴交点、与x 轴交点坐标，并画出草图 ※（3）以此函数与x 轴，y 轴交点为顶点的三角形的面积 解：（二）、二次函数与一元二次不等式之间的关系 环节一、例题学习例1、已知：二次函数y=x 2-3x-4的图象（如图）（1）方程x 2-3x-4=0的解是 ，则二次函数与x 轴交点的坐标是（ ， ）和（ ， ）；图象与y 轴交点坐标是（ ， ）；（2）看图得：当x 或x 时，y>0；此时不等式x 2-3x-4>0 的解集为（3）看图得：当 <x< 时，y<0；此时不等式x 2-3x-4<0的解集为 例2、已知y=x 2+4x-12,当x 取何值时y>0, 当x 取何值时y ＜0?解：函数2412y x x =+-，开口向 ，对称轴 ，顶点坐标 ；函数y= x 2+4x-12与x 轴交点坐标（ ， ）和（ ， ） 根据开口方向、顶点坐标和对称轴与x 轴交点坐标，画出函数草图： 看图回答：不等式x 2+4x-12>0的解集由上图，可得，不等式x 2+4x-12<0的解集是 .小结：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()()0,0,21x x ： ① 0＞a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0； ② 0＜a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0. 环节二、巩固练习 A 组1、抛物线如图所示：①当x 时，y=0； ②当x= 时，y 有最 值.③当x<－1或x>3时，y 0；当－1<x<3时，y 0； -11 2 3xyO —1 —22、抛物线y=x 2-2x-8开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ， 与y 轴的交点坐标（ ， ）与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）。
九年级数学二次函数交点问题专题
九年级二次函数交点问题专题【知识解读】二次函数与坐标轴交点问题笔记二次函数图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根当△>0时,抛物线与x轴有2个交点当△=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有1个交点当△<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点【实战演练】二次函数与坐标轴交点问题例题1、二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A.k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0练习1、已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)，该函数的图象与x轴的交点个数为。
练习2、抛物线y=mx2+(2m−1)x+m−1与x轴的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.无法确定【知识解读】二次函数与一次函数交点问题笔记二次函数图象与一次函数图象的交点个数:解决二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m的交点个数问题,我们可以把两个函数解析式联立,即ax2+bx+c=kx+m,求这个一元二次方程的判别式即可。
若△>0,则二次函数与一次函数的图象有两个交点；若△=0,则二次函数与一次函数的图象有一个交点；若△<0,则二次函数与一次函数的图象没有交点次；函数图象与一次函数图象的交点坐标求解二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m的交点坐标问题,我们可以把两个函数解析式联立,即ax2+bx+c=kx+m,,求这个一元二次方程的解即可，解就是交点的横坐标，代入任意一个解析式中，求出的y值为纵坐标。
【实战演练】二次函数与一次函数交点问题例题5(1)判断直线y=−x+1与抛物线y=x2−3x+1是否有交点，如果有交点，求出交点坐标。
(2)当b为何值时,直线y=3x+b与抛物线y=x2+2x−1只有一个交点例题6、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2与直线y=2x+3相交于A、B两点，已知点A的坐标（-1，1），求点B的坐标。
二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
二次函数的图象与坐标轴的交点(新)
二次函数的图象与坐标轴的交点情况例1 画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴，y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时， 函数值y 小于0例2 已知二次函数142-++=k x x y（1）若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围。
（2）若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的值例3 已知抛物线m mx x y 222--=的图象与x 轴有两个交点为),0,(1x )0,(2x ，且52221=+x x ，求m 的值。
例4 已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？ （2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
例5 已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；【大展身手】1.二次函数y=x 2-3x 的图象与x 轴两个交点的坐标分别为 . 2.y=x 2-7x-5与y 轴的交点坐标为 .3．抛物线22n mx x y --=)0(≠mn 的图象与x 轴交点有（ ）个 4．函数m x mxy 22-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有（ ）个5．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有 。
6．抛物线5232--=x x y 与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点坐标为 ．7．已知方程05322=--x x 的两根是25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两个交点间的距离为 ．8.如果二次函数c x x y ++=42图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）9.二次函数322--=x x y 图象与x 轴交点之间的距离为 。
初中数学 二次函数的图像的对称轴与直线的交点坐标如何确定
初中数学二次函数的图像的对称轴与直线的交点坐标如何确定二次函数的图像的对称轴与直线的交点坐标的确定是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们确定二次函数图像的对称轴和直线的交点坐标。
下面我将为你详细介绍二次函数图像的对称轴与直线的交点坐标的确定方法，并提供一些解题技巧和实例。
一、二次函数图像的对称轴与直线的交点坐标的确定方法1. 二次函数的标准形式：-二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的对称轴的定义：-二次函数的对称轴是指二次函数图像关于某直线对称的轴线，对称轴可以表示为x = h，其中h为常数。
3. 二次函数的对称轴与直线的交点坐标的定义：-二次函数的对称轴与直线的交点坐标是指二次函数图像的对称轴与直线的交点的坐标，交点坐标可以表示为(h, f(h))。
4. 对称轴与直线的交点坐标的确定：-对称轴的坐标为x = -b / (2a)。
-根据对称轴的坐标，可以确定直线的斜率和截距。
-将直线的方程代入二次函数的方程，解方程组，可以求得直线与二次函数的交点坐标。
二、解题技巧和实例分析1. 解题技巧：-确定二次函数的系数a和b的值。
-根据系数a和b的值，可以确定二次函数图像的对称轴的坐标。
-根据对称轴的坐标，可以确定直线的斜率和截距。
-将直线的方程代入二次函数的方程，解方程组，可以求得直线与二次函数的交点坐标。
2. 实例分析：例题：已知二次函数的方程为y = 2x^2 - 3x + 1，确定二次函数图像的对称轴与直线3x - 4y + 5 = 0的交点坐标。
解析：首先，确定二次函数的系数a和b的值。
对于二次函数y = 2x^2 - 3x + 1，系数a = 2，系数b = -3。
然后，通过系数a和b的值，可以确定二次函数图像的对称轴的坐标。
对称轴的坐标为x = -b / (2a)。
代入系数b = -3和a = 2，得到x = 3/4。
接下来，根据对称轴的坐标，可以确定直线的斜率和截距。
二次函数与坐标轴交点问题
二次函数中的交点问题
练一练
4．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （D ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
练一练
5、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是 (B ) 7 7 A、 k ≥ B、k≥ 且k 0 4 4
7 C、 k ＞ 4
对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， Δ=b2-4ac。
练一练
1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、 4 B两点，则AB的长为 .
2、直线y=－3x+2与抛物线y=x2－x+3 的交点有 一 个，交点坐标 (-1,5) 为 。 3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点 则b= 4或-4。
二次函数与x轴的交点：
• 当Δ>0时,抛物线与x轴有 两 个交点，这两个交点 的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。 • 当Δ=0时,抛物线与x轴有 一个交点。这时方程 ax2+bx+c=0有两个相等 的根。 • 当Δ<0时，抛物线与x轴 无 交点。这时方程 没有实数根 ax2+bx+c=0根的情况 。
一元二次函数与x.轴两交点间距离公式
一元二次函数与x轴两交点间距离公式1.引言一元二次函数是高中数学学习中的重点内容之一，在解决实际问题中经常要用到与x轴的交点和交点间距离等概念。
本文将重点介绍一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式，并通过实例演示其应用。
2.一元二次函数的定义一元二次函数是形如$f(x)=ax^2+b x+c$的函数，其中$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne q0$。
它的图像一般呈抛物线状，开口方向由$a$的正负决定。
3.计算交点的横坐标为了计算一元二次函数与x轴的交点，我们先需要求解方程$f(x)=0$的解。
以求解$x^2-4x+3=0$为例，我们可以使用求根公式或配方法来求解。
假设方程的两个解为$x_1$和$x_2$，则$x_1$和$x_2$就是一元二次函数与x轴的交点的横坐标。
4.计算交点间的距离一元二次函数与x轴的交点间的距离可以通过下面的公式来计算：$$d=|x_1-x_2|$$其中，$d$表示交点间的距离，$x_1$和$x_2$表示一元二次函数与x 轴的交点的横坐标。
5.实例演示现在我们通过一个实例来进一步理解一元二次函数与x轴交点间距离的计算。
实例描述已知一元二次函数$f(x)=x^2-4x+3$，求函数与x轴交点间的距离。
解决步骤1.首先，将方程$f(x)=x^2-4x+3=0$进行因式分解或使用求根公式求解。
我们可以得到$x_1=1$和$x_2=3$，即方程的两个解。
2.使用公式$d=|x_1-x_2|$计算交点间的距离。
代入$x_1=1$和$x_2=3$，可得$d=|1-3|=2$。
结果分析根据计算结果，一元二次函数与x轴交点间的距离为2。
这意味着函数的图像在$x=1$和$x=3$两点处与x轴相交，并且两个交点间的距离为2个单位。
6.总结本文介绍了一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式和应用方法。
通过求解方程和计算交点间的距离，我们可以确定一元二次函数与x轴的关系，并得出交点间的距离。
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线公式含义编辑交点式：[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
交点式的推导编辑设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,即ax²+bx+c=0有两根分别为x1,x2,a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0 十字交叉相乘：1x -x11x -x2a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。
解决二次函数，还有一般式和顶点式一般式：y=ax²+bx+c顶点式：y=a(x-h)²+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]一般的，如果a，b，c是常数(a≠0)，那么y叫做x的二次函数。
2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中 .5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.四个象限位置图四个象限位置图①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0 时，开口向上；当a<0 时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作对称轴 .特别地，y轴记作直线 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中a 的作用（1）a决定抛物线的开口，a>0, 开口向上；a<0,开口向下。
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二次函数与坐标轴的交点问题
预习导入：
一次函数36
=+与x轴的交点坐标为；与y轴的交
y x
点坐标为。
思考问题：你能求出下列二次函数与x轴，y轴的交点坐标吗？请试一试。
1、223
y x x
=-+
=-+ 3、2610 =-- 2、244
y x x
y x x
归纳：二次函数2
=++的图像与x轴的位置关系：
y ax bx c
1、2
当时，抛物线与轴有个交点；
∆>=++
0y ax bx c x
2、2
∆==++
当时，抛物线与轴有个交点；
0y ax bx c x
3、2
当时，抛物线与轴个交点；
0y ax bx c x
∆<=++
例：若抛物线221
y x x m x
=-+-与轴有交点,求m的取值范围。
练习：1、抛物线2
=--+与坐标轴有个交点，
y x x
34
2、抛物线2
=++与x轴有两个交点，则m的取值范围
2
y x x m
3、已知抛物线22
y x m x m
=+-+与x轴只有一个交点，求m的值。
(21)
4、已知二次函数25
=-+-，求证：不论k为何实数，此函数图像与x
y x kx k
轴都有两个交点。
拓展探索：
1、已知抛物线2
=++与x轴的两个交点坐标分别为（-1,0）
y ax bx c
（5,0），那么一元二次方程20
++=的根是。
ax bx c
2、二次函数的图像如图所示，你能写出图像与x轴的
另外一个交点的坐标吗？请写下来。