二次函数与坐标轴交点
二次函数与坐标轴的交点问题
预习导入：
一次函数36
=+与x轴的交点坐标为；与y轴的交
y x
点坐标为。
思考问题：你能求出下列二次函数与x轴，y轴的交点坐标吗？请试一试。1、223
y x x
=-+
=-+ 3、2610 =-- 2、244
y x x
y x x
归纳：二次函数2
=++的图像与x轴的位置关系：
y ax bx c
1、2
当时，抛物线与轴有个交点；
∆>=++
0y ax bx c x
2、2
∆==++
当时，抛物线与轴有个交点；
0y ax bx c x
3、2
当时，抛物线与轴个交点；
0y ax bx c x
∆<=++
例：若抛物线221
y x x m x
=-+-与轴有交点,求m的取值范围。
练习：1、抛物线2
=--+与坐标轴有个交点，
y x x
34
2、抛物线2
=++与x轴有两个交点，则m的取值范围
2
y x x m
3、已知抛物线22
y x m x m
=+-+与x轴只有一个交点，求m的值。
(21)
4、已知二次函数25
=-+-，求证：不论k为何实数，此函数图像与x
y x kx k
轴都有两个交点。
拓展探索：
1、已知抛物线2
=++与x轴的两个交点坐标分别为（-1,0）
y ax bx c
（5,0），那么一元二次方程20
++=的根是。
ax bx c
2、二次函数的图像如图所示，你能写出图像与x轴的
另外一个交点的坐标吗？请写下来
二次函数的交点式
二次函数的交点式标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
二次函数之交点式 【课前自习】 1.根据二次函数的图象和性质填表： 2.用十字相乘法分解因式： ①322--x x ②342++x x ③6822++x x 3.若一元二次方程02=++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线 c bx ax y ++=2与x 轴交点坐标是 . 【课堂学习】 一、探索归纳： 1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322--=x x y ②342++=x x y ③6822++=x x y 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322--=x x y ②342++=x x y ③6822++=x x y
坐标： 3.你发现什么 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点坐标是（01， x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232+-=x x y ⑵232-+-=x x y ⑶ 4622+-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是：
二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与x 最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x 轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称 轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标是（01， x ）、（02，x ）则，对称轴是 ，顶点【拓展提升】 已知二次函数的图象与x 值是4. ⑴求对称轴和顶点坐标.
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形 题目中的问题是关于二次函数顶点和x轴两交点构成等腰直角三角形的情况。在这篇文章中，我们将一步一步解答这个问题，并对相关的数学概念进行详细解释。接下来，我们来开始探索这个问题。 第一部分：二次函数基础知识 在讨论题目之前，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是实数且a \neq 0。二次函数的图像呈现出抛物线的形态，可以开口向上、向下。其中，a 控制了图像的开口方向：当a > 0 时，抛物线开口向上，这种函数称为上凹函数；当a < 0 时，抛物线开口向下，这种函数称为下凹函数。 第二部分：顶点坐标与x轴交点 现在，我们考虑一个二次函数的顶点坐标和与x轴的交点。顶点坐标可以通过计算二次函数的极值点得出，而与x轴的交点可以通过令二次函数等于零求解。我们假设该二次函数的顶点坐标为(h, k)，与x轴的两个交点分别为x1 和x2。根据题目要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。 首先，我们可以通过求导数来找到二次函数的极值点，即顶点坐标。对f(x) 求导可以得到f'(x) = 2ax + b。极值点的横坐标可以通过求解方程f'(x) = 0 来得到，即2ah + b = 0，解得h = -\frac{b}{2a}。
接下来，我们来计算与x轴的交点。我们令f(x) = ax^2 + bx + c 等于零，即ax^2 + bx + c = 0。通过求解这个二次方程，我们可以得到与x轴的交点的横坐标：x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 和x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。 根据题目的要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。我们可以通过计算两个交点之间的距离和两个交点到顶点的距离，来验证这一点。 首先，计算两个交点之间的距离，即d = x_1 - x_2 = \left \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}。 接着，计算交点到顶点的距离。我们可以使用顶点的坐标(h, k) 和交点的横坐标计算交点到顶点的距离，即d_1 = h - x_1 和d_2 = h - x_2 。 由于我们要构成一个等腰直角三角形，所以d = d_1 = d_2。将这个等式带入并代入之前的方程，我们得到\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} = h - x_1 = h - x_2 。 接下来，我们来计算等腰直角三角形的条件。一个等腰直角三角形意味着两条腰的长度相等，并且与直角的两个边的长度也相等。假设等腰直角三角形的腰的长度为s，与直角的两个边的长度为d。
知识点 二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数
一、选择题 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小． 2. （2011台湾，32，4分）如图，将二次函数y ＝31x 2－999x ＋892的图形画在坐标平面上，判断方程31x 2－999x ＋892＝0的两根，下列叙述何者正确（ ） A ．两根相异，且均为正根 B ．两根相异，且只有一个正根 C ．两根相同，且为正根 D ．两根相同，且为负根 考点：抛物线与x 轴的交点。 专题：综合题。 分析：由二次函数y ＝31x 2－999x ＋892的图象得，方程31x 2－999x ＋892＝0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案． 解答：解：∵二次函数y ＝31x 2－999x ＋892的图象与x 轴有两个交点，且与x 轴的正半轴相交， ∴方程31x 2－999x ＋892＝0有两个正实根． 故选A ． 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：抛物线与x 轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x 轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x 轴无交点时，方程无实根． 3. .（2011?江西，6，3）已知二次函数y=x 2+bx ﹣2的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则它与x 轴的另一个交 点坐标是（ ） A 、（1，0） B 、（2，0） C 、（﹣2，0） D 、（﹣1，0） 考点：抛物线与x 轴的交点。 分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x 2+bx ﹣2求出b 的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式 x=12122x x x +==-，可求出它与x 轴的另一个交点坐标． 解答：解：把x=1，y=0代入y=x 2+bx ﹣2得： 0=1+b ﹣2， ∴b=1， ∴对称轴为122 b x a =- =-， ∴1 2122x x x +==-， ∴2x =﹣2，
备战中考数学专题二次函数图像与坐标轴的交点问题(含解析)
2021备战中考数学专题-二次函数图像与坐标轴的交点问题〔含解析〕 一、单项选择题 1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围是() A.k<3 B.k<0且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 2.如图图形中阴影局部的面积相等的是〔〕 A.①② B.②③ C.①③ D.① ②③ 3.在如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③ ＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有 一个正根，你认为其中正确的结论有〔〕 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.假设函数的图象与坐标轴有三个交点，那么的取值范围是〔〕 A. B. C. D. 5.二次函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.x1＜1＜x2＜2 B.x1＜1＜2＜x2 C.x2＜x1＜1 D.2＜x1＜x2 6.对某个函数给定如下定义：假设存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤M，那么称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现 将有界函数〔0 x m，1≤m≤2〕的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，且≤t≤2，那么m的取值范围是〔〕 A.1≤m≤ B.≤m≤ C.≤m≤ D.≤m≤2
7.二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，那么m的值为〔〕 A.1或－3 B.5或－3 C.－5或3 D.以上都不对 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α〔x﹣1〕2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交于 C点．CD∥x轴与抛物线交于D点且A〔﹣1，0〕那么OB+CD=〔〕 A.4 B.5 C.6 D.7 9.“一般的，假如二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版?数学?九年级〔下册〕P21〞参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x= ﹣2实数根的情况是〔〕 A.有三个实数根 B.有两个实数根 C.有一个实数根 D.无实数根 10.二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围为〔〕 A.k＞- B.k＞-且k≠0 C.k≥- D.k≥-且k≠0 11.抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为〔﹣3，0〕，那么它与x轴另一个交点的坐标为〔〕 A.〔﹣2，0〕 B.〔﹣1，0〕 C.〔2，0〕 D.〔5，0〕 二、填空题 12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是〔﹣1，0〕，〔3，0〕，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________． 13.二次函数y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是________． 14.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为________． 15.y=﹣x2+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，那么∥ABC的面积为________． 16.二次函数y=ax2+bx+c 〔a≠0〕〔a≠0，a，b，C为常数〕的图象，假设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，那么m的取值范围是________．
二次函数线段及交点问题
专题八：二次函数之线段及交点问题 求线段长度 例题1 ：在平面直角坐标系中，抛物线y=?1 2x2+5 2 x?2与x轴交于A、B （A点在B点的左侧）与y轴交于点C。 （1）如图1，连接AC、BC，求△ABC的面积。 （2）如图2：①过点C作CR∥x轴交抛物线于点R，求点R的坐标； ②点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P坐标。（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF= ?4√2a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长。
练习1 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x 轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD 于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．
x2+bx+c与x轴交于A（﹣练习2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 3 2 1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．①求n的值； ②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由； （3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为5 ．求点H到OM'的距离d的值． 3
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式 交点式： y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根. 如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点, 那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式. 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a
≠0). (3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明： (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
二次函数交点式对称轴公式
二次函数交点式对称轴公式 二次函数是数学中常见的一种函数类型，其特点是含有二次项的多项式函数。在解析几何中，二次函数的图像是一个抛物线，它可以打开向上或向下，并且具有一个对称轴。 交点式是二次函数的一种常见表现形式，它使用函数与直线的交点来描述二次函数的性质。而对称轴则是二次函数图像的一条特殊线，具有对称性质，可以帮助我们更好地理解和分析二次函数。 二次函数的交点式表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。这个式子描述了一个关于x的二次方程，通过求解x与y轴的交点，我们可以得到二次函数的零点，即二次方程的解。 而二次函数的对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。这个公式告诉我们，二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，其横坐标x的值等于二次函数中一次项系数b的相反数除以二次项系数a的两倍。 对称轴是二次函数图像的特殊线段，具有对称性质。对称轴将二次函数图像分成两部分，左右两部分关于对称轴对称。这意味着，如果我们在对称轴上选择一个点A，那么与点A关于对称轴的另一个点B，它们的纵坐标y的值相等。
对称轴还有一个重要的性质，即二次函数的顶点位于对称轴上。顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是抛物线的拐点。通过对称轴的横坐标和纵坐标，我们可以求得二次函数的顶点坐标。 二次函数的交点式和对称轴公式是解析几何中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析二次函数。通过交点式，我们可以求得二次函数的零点，从而解决实际问题中的方程。而对称轴则可以帮助我们确定二次函数图像的形状和性质，从而更好地理解二次函数的行为。 例如，我们可以通过交点式求解二次方程的解，进而得到二次函数与x轴的交点。这些交点可以帮助我们确定二次函数的零点，也就是函数取零的x值。 而对称轴公式可以帮助我们确定二次函数图像的形状。通过计算对称轴的横坐标，我们可以确定抛物线的对称轴在x轴上的位置。通过计算对称轴的纵坐标，我们可以确定抛物线的顶点坐标，进而确定抛物线的最高点或最低点。 除了交点式和对称轴公式，还有其他方法可以描述二次函数的性质，如顶点式、标准式等。每种表达形式都有其独特的优势和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的表达形式。 二次函数的交点式和对称轴公式是解析几何中重要的概念，它们可
二次函数坐标公式
二次函数坐标公式 二次函数是一种常见的函数形式，其数学表示形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，x 为自变量，y 为因变量。二次函数在几何 上表现为抛物线的形状，可以用来描述很多现实生活中的曲线关系，因此 在数学中具有很重要的意义。 二次函数的坐标公式指的是根据二次函数的一些特定信息，求解二次 函数表达式的系数a、b和c的公式。常见的一些特定信息包括：顶点坐标、过给定点、与坐标轴的交点等。 一、顶点坐标公式 1. 顶点坐标公式可以通过完成平方的方法来推导。对于一般形式的 二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，它的顶点坐标可以由下列 公式求得： x=-b/(2a) y=-Δ/(4a) 其中Δ = b^2 - 4ac。 二、过给定点公式 2. 过给定点公式可以用来求过给定点 (x0, y0) 的二次函数表达式。考虑到二次函数的通解形式 y = ax^2 + bx + c，我们可以得到过点 (x0, y0) 的二次方程 y0 = ax0^2 + bx0 + c 展开后可得
ax0^2 +bx0 + c - y0 = 0 这是一个关于a、b、c的方程，可用来求解它们的数值。 三、与坐标轴的交点公式 3.二次函数与坐标轴的交点包括与x轴的交点和与y轴的交点。 a) 与 x 轴的交点：即求解二次方程 y = ax^2 + bx + c = 0 的根。它可以通过求解二次方程的解的公式来获得，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。 b)与y轴的交点：即求解x=0时的函数值，即 (0,c)。 通过这些公式，我们可以根据给定的条件，求解二次函数的表达式的 系数a、b和c。下面以几个例子来说明如何使用这些公式。 例1：已知二次函数的顶点坐标和另一个点坐标，求二次函数的表达式。 已知二次函数的顶点坐标为(2,3)，过点(4,7)，求二次函数的表达式。 解：根据顶点坐标公式，可以得到a的值为1、然后，代入另一个点 的坐标(4,7)到二次函数的表达式中，可以获得一个方程： 7=a(4^2)+b(4)+c。 将a的值1代入后，可以简化为： 7=16+4b+c。 由此可以解得一个线性方程：
二次函数与x轴交点距离公式
二次函数与x轴交点距离公式 数学中的二次函数是一种常见的函数形式，它的一般式子为：y = ax²+bx+c。其中，a、b、c三个系数决定了该函数的一些重要特征，比 如开口向上或向下，对称轴位置，以及与x轴相交的位置等等。在二 次函数中，与x轴的交点距离是一个经常会涉及到的问题。在本文中，我们将介绍如何求解二次函数与x轴交点距离公式，希望读者能够掌 握这个重要的数学工具。 一、二次函数的基本知识及求根公式 在开始介绍二次函数与x轴交点距离的公式之前，我们需要先了解二 次函数的一些基本知识。二次函数在数学中有着广泛的应用，比如在 物理学中可以描述抛物线的运动轨迹，在经济学中可以用来分析成本 和收益的关系等等。 二次函数的一般式子可以用下面的公式来表示： y = ax²+bx+c 其中，a不等于0，b、c是任意实数。这个函数的图像是一个开口朝上 或向下的抛物线，具有对称轴、顶点等一些特征。
另外，二次函数的求根公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助 我们快速准确地求解一个二次方程的根。对于一个一般的二次方程 ax²+bx+c=0，它的求根公式可以用下面的公式来表示： x = (-b±√(b²-4ac))/2a 其中，±表示两个相反的根，a、b、c分别是二次方程ax²+bx+c=0中的 系数。利用这个公式，我们可以很容易地求得一个二次方程的解。 二、二次函数与x轴交点距离公式 在了解了二次函数的基本知识之后，我们来看一下如何求解二次函数 与x轴交点距离的公式。首先，我们需要知道如何求出一个二次函数 的根。当二次函数与x轴相交时，其实就是求这个二次函数的根。因此，我们可以先利用二次方程的求根公式来求出这个二次函数的根， 然后再计算这些根与x轴的距离。 假设一个二次函数为y = ax²+bx+c，我们需要求出它与x轴的交点距离。首先，我们需要求出这个二次函数的根。根据二次方程的求根公式， 这个二次函数的根可以表示为： x1 = (-b+√(b²-4ac))/2a x2 = (-b-√(b²-4ac))/2a
二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根。 考点一、平面直角坐标系（3分） 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中
间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分） 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0 点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0 点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0 点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<0 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数
一元二次函数与x.轴两交点间距离公式
一元二次函数与x轴两交点间距离公式 1.引言 一元二次函数是高中数学学习中的重点内容之一，在解决实际问题中经常要用到与x轴的交点和交点间距离等概念。本文将重点介绍一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式，并通过实例演示其应用。 2.一元二次函数的定义 一元二次函数是形如$f(x)=ax^2+b x+c$的函数，其中$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne q0$。它的图像一般呈抛物线状，开口方向由$a$的正负决定。 3.计算交点的横坐标 为了计算一元二次函数与x轴的交点，我们先需要求解方程 $f(x)=0$的解。以求解$x^2-4x+3=0$为例，我们可以使用求根公式或配方法来求解。假设方程的两个解为$x_1$和$x_2$，则$x_1$和 $x_2$就是一元二次函数与x轴的交点的横坐标。 4.计算交点间的距离 一元二次函数与x轴的交点间的距离可以通过下面的公式来计算： $$d=|x_1-x_2|$$ 其中，$d$表示交点间的距离，$x_1$和$x_2$表示一元二次函数与x 轴的交点的横坐标。 5.实例演示 现在我们通过一个实例来进一步理解一元二次函数与x轴交点间距离的计算。 实例描述 已知一元二次函数$f(x)=x^2-4x+3$，求函数与x轴交点间的距离。
解决步骤 1.首先，将方程$f(x)=x^2-4x+3=0$进行因式分解或使用求根公式求解。我们可以得到$x_1=1$和$x_2=3$，即方程的两个解。 2.使用公式$d=|x_1-x_2|$计算交点间的距离。代入$x_1=1$和 $x_2=3$，可得$d=|1-3|=2$。 结果分析 根据计算结果，一元二次函数与x轴交点间的距离为2。这意味着函 数的图像在$x=1$和$x=3$两点处与x轴相交，并且两个交点间的距离为 2个单位。 6.总结 本文介绍了一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式和应用方法。通过求解方程和计算交点间的距离，我们可以确定一元二次函数与x轴 的关系，并得出交点间的距离。这对于解决实际问题中涉及一元二次函数 的情况非常有帮助。 希望本文的介绍和实例演示能够帮助读者更好地理解一元二次函数与 x轴交点间距离的计算方法，并能够灵活运用于实际问题的解决中。 >注意：本文仅涉及一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式，其 他相关概念和性质在本文中未做详细介绍。如需了解更多相关知识，请参 考相关教材或课程。
类型9 二次函数图像与x轴交点类问题(精选20题) 2020年中考数学 三轮冲刺 难点题型突破
二次函数图像与x轴交点类问题 1．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣或﹣12B．﹣或2C．﹣12或2D．﹣或﹣12 2．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（） A．0B．﹣C．2D．﹣2 3．如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（） A．B．2﹣6C．6+4D．6﹣4 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M ﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3．则a﹣b+c的最小值是（）
A．﹣15B．﹣12C．﹣4D．﹣2 5．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1； 将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（） A．0≤t＜2或10＜t≤12B．0≤t≤2或10≤t≤12 C．0≤t＜2或6＜t≤8D．0≤t≤2或6≤t≤8 6．如图，抛物线y＝x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（） A．﹣＜m＜﹣B．﹣＜m＜﹣C．﹣＜m＜﹣D．﹣＜m＜﹣7．如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（） A．B．C．D．1 8．二次函数y1的图象与x轴交于A，O两点，顶点为点B（﹣1，﹣1），将函数y1的图象向上、向右平移得到y2的图象，点B的对应点B′在x轴上，点A的对应点A′在y轴