独立重复试验与二项分布含解析理

课后限时集训(五十七)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( )A.1112 B.16 C.130D.215D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩–C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩–C )＝P (A )P (B )P (–C )＝23×14×45＝215.] 2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是( )A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①③C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝12，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×13，所以③错误，排除A.故选C.]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.]4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P AB P A ＝25，故选C.]5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( )A.89B.7381C.881D.19C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为13，设“第i次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3–A 4–A 5)＋P (–A 1A 2A 3A 4–A 5)＋P (–A 1–A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.]二、填空题6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为P ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则P 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意，得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23P 2(1－P )＜C 33P 3，∴3P 2(1－P )＜P 3.∵0＜P ＜1，∴34＜P ＜1.]7．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格率为45，乙的及格率为25，丙的及格率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________． 2425 [设“甲及格”为事件A ，“乙及格”为事件B ，“丙及格”为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23，∴P (–A )＝15，P (–B )＝35，P (–C )＝13，则P (–A –B –C )＝P (–A )P (–B )P (–C )＝15×35×13＝125，∴三人中至少有一人及格的概率P ＝1－P (–A –B –C )＝2425.]8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.14[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果． 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果． 所以P (B )＝49，P (AB )＝19.所以P (A |B )＝P ABP B ＝1949＝14.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试．“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .(1)P (–C )＝P (–A 1 –A 2)＋P (–A 1A 2 –B 1 –B 2)＋P (A 1–B 1 –B 2)＝P (–A 1)P (–A 2)＋P (–A 1)P (A 2)P (–B 1)P (–B 2)＋P (A 1)·P (–B 1)P (–B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝1964. ∴P (C )＝1－1964＝4564.(2)依题意知ξ＝2,3,4， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (–A 1 –A 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (–A 1)P (–A 2)＝58，P (ξ＝3)＝P (A 1–B 1B 2)＋P (–A 1A 2B 1)＋P (A 1–B 1 –B 2)＝P (A 1)P (–B 1)P (B 2)＋P (–A 1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)P (–B 1)P (–B 2)＝516，P (ξ＝4)＝P (–A 1A 2–B 1)＝P (–A 1)P (A 2)P (–B 1)＝116.故投篮的次数ξ的分布列为：10.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列．[解] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x ，则在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x .依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x ＋2x ＋x ＝1，解得x ＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X ～B (n ，p )，其中n ＝3.由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率为p ＝0.6.因为X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 03×0.60×0.43＝0.064， P (X ＝1)＝C 13×0.61×0.42＝0.288， P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216.所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.2161.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为( )A.14B.12C.34D.45C [记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B.若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.] 2．经检测，有一批产品的合格率为34，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P (ξ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2B [根据题意得，P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5，则P (ξ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫340×⎝ ⎛⎭⎪⎫145＝145，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫341×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1545，P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝9045，P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝27045，P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝40545，P (ξ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫345×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝24345，故当k ＝4时，P (ξ＝k )最大．]3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3为两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．②④ [P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误；从甲罐中取出1红球放入乙罐后，则乙罐中有5个红球，从中任取1个为红球的概率为511，即P (B |A 1)＝511，故②正确；由于P (B )≠P (B |A 1)，故B 与A 1不独立，因此③错误；由题意知，④正确．]4．(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为n ，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵81＜90%≤81，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y 的分布列为。