沪教版七年级 整式乘法公式,带答案
整式乘法ppt 沪教版
分别乘方，再把所得幂相乘.
式子表达：
n (ab)
n n =a b
注：以上 m\n 均为正整数.
小宇作的画
mx
1 8
x
x
x
3 x 4
1 8
x
mx 若两张画纸同样大小请大家列式计算一下两幅画的面积
第一幅的面积是 第二幅的面积是 (mx)(
x(mx)
)
这是两个单项 式相乘，结果 可以表达得更 简单些吗？
沪科版七年级（下册） 8.2整式乘法（第1课时）
单项式与单项式相乘
×) 2.(a ) =a ( ×) 3.(ab ) =ab (× ) 4.m +m =m (×) √ 5. (-x)3· (-x)2=-x5 ( 6. b · b =2b (× )
1.m2 · m3=m6 (
5 2 7 2 3 6 5 5 10 3 3 3
判断并纠错
m5 a10 a3b6 2m5
)
b6
7. (－3xy)2 =－6x2y2(
×
) 9x2y2
记住:
底数不变，指数相加. 1、同底数幂相乘：
式子表达： 2、幂的乘方： 底数不变，指数相乘. 式子表达：
m a
·
n a
m + n =a
m n (a )
=
mn a
等于把积的每一个因式 3、积的乘方：
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
沪教版七年级上册 整式乘法-带答案
3.多项式与多项式相乘法则的推导
教学难点：
1.分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则
2.单项式与多项式相乘时结果的符号的确定
3.多项式与多项式相乘的应用
考点及考试要求：
1. 单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算
2. 单项式与多项式相乘的法则及推导
2、已知：多项式 与3x+1的积中含 项的系数为10，且积中不含x项，求a、b的值。
a=3，b=-1
自我测试
一、选择题：
1、下列说法中，不正确的是（ D ）
A.单项式乘以单项式，其结果一定仍是单项式
B.两个单项式相乘，积的系数是这两个单项式系数的积
C.两个单项式相乘，每一个因式所含字母都在结果里出现
方法提炼
1、展开式中不含某一项，说明该项的系数为0
2、整式的乘法会联合同类项出考题，所以要熟练掌握理解定义
3、运用整式乘法的运算规律，可以简化运算
巩固练习
一、填空题：
1、 .2
2、
3、 =
4、 。
5、若 ，则A=__________。
二、选择题：
1、若多项式 ，则a、b的值为（ D ）
A.a=2，b=3 B. a=2，b=-3 C. a=-2，b= -3 D. 都不对
（1）原式= （2）原式= （3）原式=
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：观察原式和计算结果，会发现积的最高次项和常数项恰好分别是两个因式的最高次项的乘积和两个常数项的乘积，比较两个代数式的同次项的方法，特别是比较其最高次项和常数项的方法，在考试中经常用到。
解：（1）原式= （2）原式=
沪教版(五四制)七年级数学上册 9.3整式的乘法同步讲义(带答案)
-------------整式的乘法（★★★）1.掌握底数、指数、同底数幂的概念；；2.掌握同底数幂的乘法运算法则，并能灵活地运用法则进行计算；3.掌握幂的乘方、积的乘方的概念，并知道他们的区别；4.掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则并能够准确运算；5.理解并掌握单项式与单项式相乘法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；6.理解和掌握单项式与多项式相乘法则，能够熟练地进行多项式的乘法计算；7.熟练运用法则进行多项式与多项式的相乘、单项式与多项式相乘的计算。
知识结构1. 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（、都是正整数）2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（、都是正整数）3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（为正整数）4. 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
运算步骤是：①系数相乘为积的系数；②同底数幂相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；注：1、单项式与单项式相乘的法则，对于三个以上的单项式相乘也适用．2、单项式与单项式相乘的实质是乘法的交换律与结合律以及幂的运算性质．5. 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
注：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘，②要注意符号。
单项式乘以多项式的实质是乘法的分配律与单项式乘以单项式的和．“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自己写出计算公式，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1计算：(★★)答案：解：原式同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
七年级数学下册第8章8.2整式乘法讲解与例题（新版）沪科版
七年级数学下册第8章8.2整式乘法讲解与例题（新版）沪科版8.2 整式乘法1．掌握单项式与单项式相乘、单项式的除法、单项式与多项式相乘、多项式除以单项式、多项式与多项式相乘的法则，并体会单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的⼏何意义．2．会利⽤法则进⾏整式的基本运算．3．理解整式乘法运算的算理，发展有条理地思考能⼒和语⾔表达能⼒．4．提倡多样化的算法，培养创新精神与能⼒．1．单项式与单项式相乘(1)单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它的指数作为积的⼀个因式．如：(－5a2b3)(－3a)＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b3＝15a3b3.⼜如，(－3ab)(－a2c)2·6ab(c2)3＝(－3ab)·a4c2·6abc6＝[(－3)×6]a6b2c8＝－18a6b2c8.(2)理解单项式与单项式相乘的法则时的注意事项：①法则的推导是运⽤了同底数幂的乘法性质和乘法的交换律和结合律，是根据已有的知识进⾏计算后再概括得到的，所以，没有必要对法则进⾏死记硬背．②法则包括乘式⾥的系数的运算、同底数幂的运算和不同字母的运算三个部分．系数相乘时，注意符号．相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加．对于只在⼀个单项式中含有的字母，连同它的指数⼀起写在积⾥，作为积的因式．③单项式的乘法在整式乘法中占有重要的地位，熟练地进⾏单项式的乘法运算是学好多项式乘法和多项式的混合运算的关键．④单项式乘以单项式的结果仍是单项式．⑤单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适⽤．(3)单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式⾥含有的字母，则连同它的指数作为商的⼀个因式．事实上，单项式除以单项式可概括为三步：①系数相除，所得结果作为商的系数；②同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式；③只在被除式⾥含有的字母，连同它的指数⼀起也作为商的⼀个因式．例如：计算6a 3b 2x 4÷3ab 2，这是单项式6a 3b 2x 4除以单项式3ab 2，系数相除，得6÷3＝2；同底数的幂相除，得a 3÷a ＝a 2，b 2÷b 2＝1；照抄单独底数的幂x 4，最后把2，a 2,1，x 4相乘即得所求的商为2a 2x 4.如果系数相除除不尽，则商的系数不要⽤带分数表⽰．例如：计算8m 5n 3÷6m 3n 2＝43m 2n ，注意不要写成113m 2n . (4)单项式除法的注意事项：根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算⽅法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进⾏考虑．因此在运⽤单项式的除法法则进⾏计算时，应注意以下⼏点：①运算中不要忽略原来省写的指数1；⽐如：计算(－a 4b 3c 2)÷a 3bc 2＝－ab 2，⽽不是－ab 3；②在运算中不要忽略了仅在被除式⾥单独含有的字母，在商中要⼀并写上；③⾮同底数的幂相除时，要先化为同底数的幂后再相除．例如：计算(－a 4)÷(－a )2＝－a 4÷a 2＝－a 2；或(－a 4)÷(－a )2＝－(－a )4÷(－a )2＝－(－a )2＝－a 2；这⾥不要以为(－a 4)÷(－a )2＝(－a )2＝a 2，因为(－a 4)与(－a )2不是同底数的幂．④计算时应先系数相除，再同底数幂相除，最后再单独的字母与1相除．【例1－1】填空：(1)－a m b 2·(－3a 3b n )＝__________.(2)(7×102)·(2×106)＝__________.解析：(1)综合运⽤有理数的乘法、幂的运算性质、单项式与单项式相乘的法则求解．－a m b 2·(－3a 3b n )＝[－1×(－3)]·(a m ·a 3)·(b 2·b n )＝3a m ＋3b n ＋2.(2)利⽤单项式与单项式相乘的法则计算，结果要⽤科学记数法来表⽰．(7×102)·(2×106)＝(7×2)×(102×106)＝14×108＝1.4×109.答案：(1)3a m ＋3b n ＋2 (2)1.4×109单项式乘以单项式的结果仍是单项式，只是系数和指数发⽣了变化，不能将系数和指数混淆．【例1－2】计算：(－3xy )·(－2x )·(－xy 2)2.分析：本题是单项式的乘法运算，且含有积的乘⽅运算，在运算时应先确定积的符号，因为前两个单项式的系数为负，第三个单项式的系数为正，所以积的结果为正．解：(－3xy )·(－2x )·(－xy 2)2＝(3xy )·(2x )·(x 2y 4)＝6x 4y 5.当多个单项式相乘时，应先确定积的符号，然后再按照法则进⾏计算．在单项式的乘法中，凡是在单项式⾥出现过的字母，在结果中应该全有，不能漏掉．⼀般情况下，积中字母的排列顺序按英⽂字母顺序排列，这样不会漏乘字母．【例1－3】计算：(1)(－0.5a 2bc 2)÷? ??－25ac 2； (2)(6×108)÷(3×105)；(3)(6x 2y 3)2÷(－3xy 2)2.解：(1)(－0.5a 2bc 2)÷? ??－25ac 2＝??????? ????－12×? ????－52a 2－1bc 2－2 ＝54ab ； (2)(6×108)÷(3×105)＝(6÷3)×108－5＝2×103；(3)(6x 2y 3)2÷(－3xy 2)2＝36x 4y 6÷9x 2y 4＝(36÷9)x 4－2y 6－4＝4x 2y 2.2．单项式与多项式相乘(1)单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，⽤单项式和多项式的每⼀项分别相乘，再把所得的积相加．即：n (a ＋b ＋c )＝na ＋nb ＋nC ．(2)单项式与多项式相乘的⼏何意义如图，⼤长⽅形是由三个⼩长⽅形组成的，其长是a ＋b ＋c ，宽是n ，那么，⼤长⽅形的⾯积S ＝n (a ＋b ＋c )，同时这个⼤长⽅形的⾯积等于三个⼩长⽅形的⾯积和，于是这个⼤长⽅形的⾯积也可以表⽰成：S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＝na ＋nb ＋nc ；于是有n (a ＋b ＋c )＝na ＋nb ＋nC ．从⽽验证了单项式与多项式相乘的法则．(3)理解单项式与多项式相乘的法则时的注意事项：①根据分配律将单项式分别乘以多项式的各项，可归结为单项式的乘法；②单项式与多项式相乘的结果是⼀个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．如，－3a 2b (3ab 2c －2b 2c ＋cb )＝(－3a 2b )×3ab 2c ＋(－3a 2b )×(－2b 2c )＋(－3a 2b )×cb＝－9a 3b 3c ＋6a 2b 3c －3a 2b 2C ．③混合运算中，应注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从⽽得到最简结果．④积的符号问题是易错点，运算时应注意积的符号，多项式的每⼀项都包括它前⾯的符号，要认真观察，尤其是存在负号的情形．(4)多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每⼀项除以这个单项式，再把所得的商相加．即(a ＋b ＋c )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m ＋c ÷m .此式表明：多项式除以单项式，⽤多项式的每⼀项分别与这个单项式相除，再把结果相加．可见，多项式除以单项式，最终要化归为单项式除以单项式的计算．多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前⾯的符号．例如：计算(12a 3b 2－6a 2b －3ab )÷(－3ab )时，运⽤法则先把原式化为：12a 3b 2÷(－3ab )－6a 2b ÷(－3ab )－3ab ÷(－3ab )，然后分别计算，得原式＝－4a 2b ＋2a ＋1.(5)多项式除以单项式运算的注意事项：当多项式中的某⼀项被全部除掉后，该项的商是1，⽽不是0.如上述的例⼦(12a 3b 2－6a 2b－3ab )÷(－3ab )＝－4a 2b ＋2a ＋1.不要错误地以为是－4a 2b ＋2A ．【例2－1】计算：(1)(－3ab )(2a 2b －ab ＋2)；(2)x (x －2)－2x (x ＋1)－3x (x －5)．解：(1)(－3ab )(2a 2b －ab ＋2)＝(－3ab )(2a 2b )＋(－3ab )(－ab )＋(－3ab )×2＝－6a 3b 2＋3a 2b 2－6ab ；(2)x (x －2)－2x (x ＋1)－3x (x －5)＝x ·x ＋x ·(－2)＋(－2x )x ＋(－2x )·1＋(－3x )·x ＋(－3x )·(－5)＝－4x 2＋11x .【例2－2】计算：(1)(－2a 3m ＋2n ＋3a 2m ＋n b 2n －5a 2m )÷(－a 2m )；(2)[(a ＋b )5－(a ＋b )3]÷(a ＋b )3.分析：(1)利⽤多项式除以单项式法则计算即可；(2)把a ＋b 看成⼀个整体，那么此式可以看做多项式除以单项式，因此仍可运⽤多项式除以单项式的法则计算．解：(1)(－2a 3m ＋2n ＋3a 2m ＋n b 2n －5a 2m )÷(－a 2m )＝(－2a 3m ＋2n )÷(－a 2m )＋3a 2m ＋n b 2n ÷(－a 2m )＋(－5a 2m )÷(－a 2m )＝2a 3m ＋2n －2m －3a 2m ＋n －2m b 2n ＋5a 2m －2m ＝2a m ＋2n －3a n b 2n ＋5.(2)原式＝(a ＋b )5÷(a ＋b )3－(a ＋b )3÷(a ＋b )3＝(a ＋b )2－1＝a 2＋2ab ＋b 2－1.3．多项式与多项式相乘(1)多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项与另⼀个多项式的每⼀项相乘，再把所得的积相加．即：(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋bm ＋an ＋bn .(2)多项式与多项式相乘的⼏何意义如图，⼤长⽅形是由四个⼩长⽅形组成的，其长是m ＋n ，宽是a ＋b ，那么⼤长⽅形的⾯积可以表⽰成(a ＋b )(m ＋n )，同时这个⼤长⽅形的⾯积也可以表⽰成S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋SⅣ＝am ＋bm ＋an ＋bn ；于是有(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋bm ＋an ＋bn .从⽽验证了多项式与多项式相乘的法则．(3)理解和运⽤多项式与多项式相乘的法则时的注意事项：①要防⽌两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”．检查的⽅法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积．如：(a ＋b )(m ＋n )，积的项数应是2×2＝4，即有4项．当然，若有同类项，则应合并同类项，得出最简结果．②多项式是单项式的和，每⼀项都包括前⾯的符号，在计算时⼀定要注意确定积中各项的符号．③对于含有同⼀个字母的⼀次项系数是1的两个⼀次⼆项式相乘时，可以运⽤下⾯的公式简化运算：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋aB ．【例3】计算：(1)(3x ＋1)(x －1)；(2)(x ＋y )(x 2－xy －1)．分析：多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的法则计算．(1)先⽤3x 分别与x ，－1相乘，再⽤1分别与x ，－1相乘，然后把所得的积相加；(2)分别⽤x ，y 与第⼆个多项式的每⼀项相乘，再把所得的积相加，注意不要漏项、丢符号．解：(1)(3x ＋1)(x －1)＝3x 2－3x ＋x －1＝3x 2－2x －1.(2)(x ＋y )(x 2－xy －1)＝x 3－x 2y －x ＋x 2y －xy 2－y ＝x 3－x －y －xy 2.多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏．相乘时，要按⼀定的顺序进⾏，即⼀个多项式的每⼀项乘以另⼀个多项式的每⼀项．在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．多项式的每⼀项都包含它前⾯的符号，确定积中每⼀项的符号时应⽤“同号得正，异号得负”．运算结果中有同类项的要合并同类项．4．整式的乘法运算及混合运算整式的乘法运算包括单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘．进⾏整式的乘法运算应注意以下⼏点：把握分配律的使⽤；把握多项式与多项式相乘。
沪教版七年级上册-整式乘法公式-带答案
4.将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你添加的这个单项式可以是____________.（只要填一个符合题意的即可） 1- 或 x 2±或441x 5.22222()()()_________x y x y x y -+-+=。
224x y -6.2222(9)(9)(9)x x x -+--_____________=。
218162x -二． 选择题1.下列运算不能用平方差公式的是（ D ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+ C.(13)(31)a a -+ D.()()a b a b +-- 2.下列各式的计算中正确的是（D ） A.22(3)(3)3m n m n m n +-=- B.2(23)(23)29x x x +-=- C.222(2)24x y x xy y +=++ D.22(1)21x x x --=++3.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ A ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +4.在一块直径为a+b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草的场地面积。
（用,,a b π的代数式表示） 答：2πab 精解名题1.计算，当a 6 = 64时, 该式的值。
解：立方差，立方和公式。
原式=23(4)a - 又∵a 6 = 64， ∴24a =，原式=0 2.计算：。
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第5讲 乘法公式(解析版)
本节课学习乘法公式，需要掌握会用文字和字母表示平方差公式、完全平方公式，知道平方差公式和完全平方公式的结构特征．理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等．做到能够理解补充的立方和、差公式以及完全立方公式．重点是在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式和完全平方公式．难点是在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算．1．平方差公式两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：22()()a b a b a b +-=-． 2．公式变化（1）位置变化：()()22()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-．（2）符号变化：()()2222()()()a b a b a b a b a b b a ---=-+-=--=-．（3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式．乘法公式内容分析知识结构模块一：平方差公式知识精讲2 / 25【例1】计算：（1）()2(2)_____a a +-=；（2）()2(2)______x y x y -++=； （3）220.10.1______33m n m n ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()_______n n x y x y -+=；（5）()()22______x y z x y z z -+-++=-（）；（6）()224(_______)16x y y x -=-；（7）()220.23(_______)0.049a b a b -=-．【答案】（1）24a -； （2）224y x -； （3）2240.019m n -； （4）22n x y -；（5）x y -； （6）4x y --； （7）0.23a b +． 【解析】略．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【例2】如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式________________．【答案】22()()a b a b a b -=+-． 【解析】略．【总结】本题考察了用面积法推导基本公式．【例3】对于任意整数n ，能整除代数式(3)(3)(2)(2)n n n n +--+-的整数是（）．baabba 例题解析A ．4B ．3C ．5D ．2【答案】C【解析】原式=22(9)(4)5n n ---=-， ∴能被5整除，选择C ． 【总结】本题考察了平方差公式．【例4】若3a b -=-，229a b -=，求a b +的值． 【答案】-3．【解析】22()()a b a b a b +-=-，223a b a b a b -∴+==--．【总结】本题考察了平方差公式．【例5】若()122a m a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的结果中不含关于a 的一次项，那么m 的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．14D ．14-【答案】D ．【解析】1202a m +=的系数是：14m ∴=-，故选D ．【总结】本题考察了多项式相乘及项与系数的概念．【例6】简便计算：（1）8892⨯；（2）16252477⨯；（3）2201620152017-⨯．【答案】（1）8096； （2）4862449； （3）1． 【解析】（1）原式=(902)(902)810048096-+=-=；4 / 25（2）原式=11148(25)(25)625624774949+-=-=；（3）原式=2222016(20161)(20161)2016(20161)1--+=--=． 【总结】本题考察了用平方差公式进行简便运算．【例7】计算：（1）()()2323(32)(32)m n m n m n m n +---+； （2）()()()2224x x x +-+； （3）()()()()2222a b a b a a +---⋅-．【答案】（1）2255m n --； （2）416x -； （3）422a b -． 【解析】（1）原式=22222249(94)55m n m n m n ---=--； （2）原式=224(4)(4)16x x x -+=-； （3）原式=424422a b a a b -+=-． 【总结】本题考察了整式的混合运算．【例8】解方程：()()()()22223(3)2x x x x x x -+-+=-+-． 【答案】8x =．【解析】222242182x x x x -+-=-- 216x -=- 8x =【总结】本题考察了平方差公式在解方程中的应用．【例9】已知()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值． 【答案】4±．【解析】2(22)163a b +-= 24()64a b += 2()16a b +=4a b +=±【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例10】计算：()()2114412124x x x ⎛⎫⋅-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭．【答案】4161x -．【解析】原式=2(21)(21)(41)x x x -++ =22(41)(41)x x -+ =4161x -【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例11】已知()258654481t +=，求()()4868t t ++的值． 【答案】654381．【解析】原式=(5810)(5810)t t +-++ =2(58)100t +- =654481-100 =654381．【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例12】计算：2222100999897-+-+···221+-． 【答案】5050．【解析】原式=(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)+-++-+++-=10099989721++++++ =(1001)1002+=5050． 【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例13】已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【答案】26，28．【解析】原式=1212(31)(31)+- =1266(31)(31)(31)++- =12633(31)(31)(31)(31)+++-，6 / 25∴原式可以被26，28整除．【总结】本题考察了平方差公式的应用以及对整除的概念理解．【例14】计算： （1）()()()24212121+++···()32211++；（2）()()42241(1)1x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++⋅++⋅++⎣⎦⎣⎦．【答案】（1）642；（2）88(1)x x +-． 【解析】（1）原式=22432(21)(21)(21)(21)1-++++=64211-+ =642；（2）原式=2244(1)(1)[(1)][(1)]x x x x x x x x +++-++++ =222244[(1)][(1)][(1)]x x x x x x +-++++ =4444[(1)][(1)]x x x x +-++ =88(1)x x +-．【总结】本题主要考查了通过添项构造平方差公式的基本形式，综合性较强．1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：()2222a b a ab b +=++ ()2222a b a ab b -=-+与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 2．完全平方变形应用（1）()2222()22a b a b a b ++-=+；()()224a b a b ab +--=；模块二：完全平方公式 知识精讲（2）()()224a b a b ab +=-+；()()224a b a b ab -=+-；（3）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；（4）()()224a b a b ab +--=；()()22222a b a b a b ++-+=．3．完全平方公式推广应用 （1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）()()22222()2a b c a b c a b c a ab b c +++-=+-=++-； （3）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc +++++=+++++； （4）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc -+-+-=++---．【例15】填空：（1）()223________a b +=； （2）213_________2x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）()222________a b --=；（4）()2(2)________x y x y +--=；（5）()222____164x y x y ++=+； （6）2246_____(2_____)a ab a ++=+； （7）()()223_____69m n n mn m -⋅=-+．【答案】（1）224129a ab b ++； （2）221394x xy y -+；（3）22444a ab b ++；（4）2244x xy y ---； （5）8xy ； （6）29342b b ；；（7）3m n -．例题解析8 / 25【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例16】填空．（1）()2_______________a b c ++=； （2）()223__________________a b c --=； （3）212____________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （4）()()223232__________x x x x ++--=．【解析】（1）原式=222222a b c ab bc ac +++++； （2）原式=222491264a b c ab bc ac ++-+-；（3）原式=22214244933x y z xy yz xz ++--+；（4）原式=4242(32)9124x x x x x -+=---．【总结】本题考察了三项和的完全平方公式和平方差公式的运用．【例17】填空：()2232(32)_______a b a b +--=． 【答案】24ab ．【解析】原式=2222(9124)(9124)24a ab b a ab b ab ++--+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例18】计算：（1）()()2223(31)31x x x ---+； （2）()2229(3)(9)(3)a a a a --++-；（3）()()222323x y x y ++-； （4）22110.5(0.5)33a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【解析】（1）原式=422424129(91)42110x x x x x -+--=-+；（2）原式=42421881(81)18162a a a a -+--=-+；（3）原式22222241294129818x xy y x xy y x y =+++-+=+； （4）原式222211111124394393a ab b a ab b ab =++-+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例19】下列各式能用完全平方公式计算的有（）个．① ()()2332a b b a --；②()23(23)a b a b -+--； ③()23(32)a b b a --+；④()()2332a b a b -+．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】两个括号内各项都相等或都互为相反数，则适用于完全平方公式．两个括号内有些项相等，有些项互为相反数，则适用平方差公式．则①③适用于完全平方公式，选择B ．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用． 【例20】若2,1a b a c -=-=，则()()222a b c c a --+-的值是（ ）．A ．9B ．10C ．2D ．1【答案】B【解析】由已知得：23a b c a b a c --=-+-=， 9110∴=+=原式，选择B ． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例21】如果实数a b c ，，满足222a b c ab ac bc ++=++，那么（）．A ．a b c ，，全相等B ．a b c ，，不全相等C ．a b c ，，全不相等D ．a b c ，，可能相等，也可能不等【答案】A【解析】化简得：2220a b c ab ac bc ++---=2220a b c ab ac bc ++---= 2221(222222)02a b c ab ac bc ++---=2221[()()()]02a b b c a c -+-+-= a b c ∴==．10 / 25【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例22】已知123a b a c b c +=+=+=，，，则222_______a b c ab ac bc +++++=． 【答案】7．【解析】原式=2221[()()()]2a b b c a c +++++=1(149)72++=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例23】如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为________． 【答案】23k =±．【解析】由已知得：2211()93x kx x ++=±，23k ∴=±． 【总结】本题考察了完全平方式的概念，注意两种情况的考虑．【例24】若()227499x a x bx -=-+，则_______a b +=． 【答案】45．【解析】由已知得：2914a a b⎧=⎨=⎩， 解得：334242a a b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 45a b ∴+=．【总结】本题考察了完全平方式的概念．【例25】若22151525m n m n -=+=，，则()2013mn 的值为_________．【答案】1．【解析】由已知得：2221()25m n m -=，2222()()2mn m n m n ∴=+--=， 1mn ∴=， 2013()1mn ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例26】已知()()22364a b a b +=-=，，则______ab =． 【答案】8．【解析】224()()32ab a b a b =+--=， 8ab ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例27】若712a b ab +==，，则22a ab b -+的值为_________． 【答案】13．【解析】原式=2()3493613a b ab +-=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例28】用简便方法运算：（1）299.7；（2）221.372 1.378.638.63+⨯⨯+；（3）229.610.4⨯．【答案】（1）9940.09； （2）100； （3）9968.0256． 【解析】（1）原式=2(1000.3)10000600.099940.09-=-+=； （2）原式=22(1.378.63)10100+==； （3）原式=22(100.4)(100.4)-+12 / 252(1000.16)=- 10000320.0256=-+ 9968.00256=．【总结】本题考察了完全平方式在简便运算中的应用．【例29】若2(1)()6m m m n ---=，求222m n mn +-的值．【答案】18．【解析】化简得：226m m m n --+=， 即：6m n -=-，∴原式=2()361822m n -==．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例30】（1）已知()2133a b ab -==，，求()2a b +与()223a b +的值．（2）已知22410a b a b +=+=，，求22a b 与()2a b -的值．【答案】（1）25，57； （2）9， 4． 【解析】（1）22()()4131225a b a b ab +=-+=+=， 2223()3[()2]31957a b a b ab +=-+=⨯=； （2）2222[()()]16106ab a b a b =+-+=-=， 3ab ∴=，229a b ∴=．∴222()21024a b a ab b ab -=-+=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例31】（1）已知222x y z a xy xz yz b ++=++=，，求()()222()x y x z y z +++++的值；（2）已知2225a b c bc ac ab ++---=，求()()()222a b b c a c -+-+-的值． 【答案】（1）22a b +； （2）10．【解析】（1）原式=2222()22x y z xy yz xz a b +++++=+； （2）原式=2222()10a b c ab ac bc ++---=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例32】已知(2018)(2016)2017x x --=，求22(2018)(2016)x x -+-的值． 【答案】4038．【解析】原式=2[(2018)(2016)]2(2018)(2016)x x x x ---+-- =422017+⨯ =4038．【总结】本题综合性较强，考察了完全平方式的应用，注意对题目的准确理解．【例33】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab ac bc ++的值． 【答案】225-． 【解析】2222221[()()()]2a b c ab ac bc a b b c a c ++---=-+-+-，199361()2252525ab ac bc ∴---=++，27212525ab ac bc ∴++=-=-． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例34】（1）已知222450x y x y +--+=，求()2112x xy --的值； （2）试说明不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数． 【答案】（1）2-；（2）略．【解析】（1）由已知，得：22(1)(2)0x y -+-=，所以12x y ==，， 2∴=-原式；（2）原式=22(3)(2)2x y ++-+，22(3)0(2)0x y +≥-≥，．∴不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形，另外考察了利用完全平方公式的思想完成配方，从而说明代数式的值恒正，综合性较强．14 / 25【例35】（1）已知16x x -=，求221x x+的值；（2）已知2310x x ++=，求①1x x +； ②221x x +； ③441x x+的值． 【答案】（1）38． （2）-3， 7， 47．【解析】(1)22211()238x x x x +=-+=；(2)由已知得：11303x x x x++=+=-，即：， ∴22211()27x x x x +=+-=； ∴ 4224211()247x x x x+=+-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形的应用．1、立方和、差公式 两数和（或差）乘以它们的平方和与积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差）， 这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式．即：()2233()a b a ab b a b +-+=+，()2233()a b a ab b a b -++=-．2、完全立方公式 ()3322333a b a a b ab b +=+++．()3322333a b a a b ab b -=-+-．模块三：立方和、差，完全立方公式知识精讲【例36】填空，使之符合立方和或立方差公式： （1）()33(__________)27x x -=-； （2）()323(__________)827x x +=+；（3）()()22_____24__________a ab b ++=；（4）()()22_____964__________a ab b -+=．【答案】（1）239x x -+； （2）2469x x -+； （3）3328a b a b --，； （4）3332278a b a b ++，． 【解析】略．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的应用．【例37】用完全立方公式计算： （1）()32x +；（2）()332x y +；（3）()345a b -．【解析】（1）原式=326128x x x +++． （2）原式=32232754368x x y xy y +++． （3）原式=322364240300125a a b ab b -+-． 【总结】本题考察了完全立方公式的应用．【例38】计算： （1）()()()22223(39)339x y x xy y x y x xy y +-+--++．（2）()2222()()()a b a b a ab b a ab b +-++-+． 【答案】（1）354y ； （2）66a b -．【解析】（1）原式=33333(27)(27)54x y x y y +--=；（2）原式=333366()()a b a b a b -+=-． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的综合运用．【例39】化简求值：()()22224(1)(1)x x x x x x +-++-++，其中23x =-．例题解析16 / 25【答案】11627． 【解析】原式=3338127x x x ++-=+，当23x =-时，原式=3216112()77632727⨯-+=-+=．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例40】已知3a b +=且2ab =，求33a b +的值． 【答案】9．【解析】原式=22()()a b a ab b +-+=2()[()3]a b a b ab ++-， 当3a b +=且2ab =时，原式=3(96)9⨯-=． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例41】已知：14x x +=．求下列各式的值：（1）221x x +；（2）331x x+． 【答案】（1）14； （2）52．【解析】（1）原式=21()216214x x+-=-=；（2）原式=22111()()()52x x x x x x ++-+=．【总结】本题考察了立方和立方差公式．【习题1】填空：（1）__________4343a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）212_______23a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；随堂检测（3）()()____________x y z z x y +---=；（4）212___________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【答案】（1）22916b a -； （2）22124439a ab b -+；（3）222222x y z xy xz yz ----++； （4）22212444933x y z xy xz yz ++-+-．【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式和平方差公式的综合运用．【习题2】若22848x y x y +=-=，，则______y x -=． 【答案】-6．【解析】22()()x y x y x y +-=-，6x y ∴-=， 6y x ∴-=-．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【习题3】已知()22210x y x y +--+=，则()999______x y +=．【答案】1．【解析】由已知得：2()2()10x y x y +-++= 2(1)0x y +-= 1x y ∴+= ∴原式=1．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题4】若2216x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A ．8B ．16C ．8±D ．16±【答案】C【解析】由已知得：原式=2(4)x y ± 8k ∴=±，故选C ．【总结】本题考察了完全平方公式的概念，注意两种情况的分类．18 / 25【习题5】计算： （1）()2(2)()()x y x y x y x y +--+-+； （2）241645255x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）()22(2)a b a b +--； （4）()2()()x y x y x y +-++；（5）2224(2)(42)m n m mn n +-+．【答案】（1）2225x y -； （2）4256625x -； （3）236a ab -+； （4）222x xy +； （5）368m n +． 【解析】（1）原式=2222224()25x y y x x y ---=-； （2）原式=2241616256()()2525625x x x -+=-； （3）原式=222222(44)36a ab b a ab b a ab ++--+=-+； （4）原式=22222222x y x xy y x xy -+++=+； （5）原式=368m n +．【总结】本题考察了平方差公式与完全平方公式在整式乘法中的应用．【习题6】运用平方差公式计算： （1）()()9783-⨯-；（2）21899033⨯；（3）9.610.4⨯；（4）22016201620152017-⨯．【答案】（1）8051； （2）880999； （3）99.84； （4）2016．【解析】（1）原式=(907)(907)8100498051+-=-=； （2）原式=1118(90)(90)810080993399-+=-=；（3）原式=(100.4)(100.4)1000.1699.84-+=-=；（4）原式=22016201620161)20161)--+（（=2016．【总结】本题考察了平方差公式在简便运算的中运用．【习题7】如果()332(332)32a b a b +++-=，求a b +的值． 【答案】2±．【解析】化简得：2(33)432a b +-=，即29()36a b +=， 所以2()4a b +=，所以2a b +=±．【总结】本题考察了平方差公式的运用，注意结果中的两种情况的讨论．【习题8】已知2254690a ab b a ++-+=，求a b +的值． 【答案】-3．【解析】化简得：222(69)(44)0a a a ab b -++++=，即22(3)(2)0a a b -++= ∴3020a a b -=+=，， 解得：36a b ==-，，3a b ∴+=-．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题9】已知132a b ab +==，，求：（1）22a b +；（2）22a ab b ++；（3）44a b +；（4）b aa b+；（5）33a b +的值．【答案】（1）8； （2）182； （3）1632； （4）16； （5）452．【解析】（1）原式=2()2918a b ab +-=-=； （2）原式=211()9822a b ab +-=-=； （3）原式=2222211()2646322a b a b +-=-=； （4）原式=2216a b ab+=；20 / 25（5）原式=222345()()()[()3]3(9)22a b a ab b a b a b ab +-+=++-=⨯-=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题10】计算： （1）已知15a a+=，则4221_______a a a ++=． （2）2217a a +=，则1_____a a +=，1______a a -=．（3）已知14a a -=，求221a a +和441a a+的值． 【答案】（1）24； （2）35±，； （3）18， 322． 【解析】（1）原式=222111()2124a a a a++=+-+=； （2）22211()29a a a a +=++=， 13a a ∴+=±；22211()25a a a a -=+-=， 15a a ∴+=±．（3）22211()218a a a a +=-+=，4224211()2322a a a a +=+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题11】已知2212x y x y +=+=，，求66x y +的值． 【答案】132． 【解析】222()2x y x y xy +=+-，2222()()121xy x y x y ∴=+-+=-=-，12xy ∴=-．方法一： 3325()[()3]2x y x y x y xy ∴+=++-=，663323313()22x y x y x y ∴+=+-=； 方法二：44222227()22x y x y x y +=+-=，662244222213()()2()2x y x y x y x y x y ∴+=++-+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题12】若A =()24821(21)(2++()321，则2016A -的末位数字是多少？【答案】9．【解析】23264(21)(21)(21)(21)21A =-++-=-由12345222428216232=====，，，，得到：642的末位数字是6 6161--=-，2016A ∴-的末位数字是：9．【总结】本题考察了平方差公式的运用以及通过找规律得到个位数字的特征，综合性较强．【作业1】如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )．A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数 【答案】C【解析】∵22()()44a b a b ab +--==，∴1ab =， a b ∴、互为倒数，选择C ．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业2】若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 ．【答案】444x x ±或．【解析】（1）2241(21)x Q x ++=±，4Q x =±；（2）22241(21)Q x x ++=+，44Q x =；（3）22141(2)4x Q x x ++=+，2116Q x =，不符合题意． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业3】若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值 为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4【答案】A【解析】22222213(1)3x x x x x +-=++-=+-，13m k ∴==-，． 课后作业22 / 252m k ∴+=-，故选择A ．【总结】本题考察了利用完全平方公式的思想进行配方．【作业4】计算：2222222212345699100-+-+-++-的值是( ) A ．5050B ．5050-C ．10100D ．10100- 【答案】B【解析】原式(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)=+-++-+++- (123499100)=-++++++ =5050-．【总结】本题考察了平方差公式的应用，注意符号的变化．【作业5】若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．【答案】6．【解析】222[(2)(3)](2)2(2)(3)(3)25x x x x x x +--=+-+-+-=2(2)(3)251312x x ∴-+-=-=，(2)(3)6x x ∴-+-=，即：(2)(3)6x x +-=．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【作业6】计算：（1）22111933y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）22(5)(5)x x x x -++-；（3）22222()()()x y x y x y -++；（4）()2223(49)(49)(23)m n m n m n m n +--++-；（5）()22a b c -+；（6）2201620182017⨯-．【解析】（1）原式222244111()()9981y x y x y x =-+=-； （2）原式=4242(5)1025x x x x x --=-+-；（3）原式=2222224428448()()()2x y x y x y x x y y -+=-=-+；（4）原式=222222412916814129m mn n m n m mn n ++-++-+=22899m n -+；（5）原式=2224424a b c ab ac bc ++-+-；（6）原式=2(20171)(20171)20171-+-=-．【总结】本题主要考察了乘法公式在计算中的运用，注意公式的准确运用．【作业7】已知2(1)()5a a a b ---=-，求222a b ab +-的值． 【答案】252． 【解析】由已知得：225a a a b --+=-，5b a ∴-=-．2222()25222a b ab a b +--∴===原式． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业8】已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】7．【解析】由224()()24ab a b a b =+--=-，得：6ab =-，2()167a b ab ∴=+-=+=原式．【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业9】已知201520172016a ⨯=，201620182017b ⨯=，201720192018c ⨯=，比较三者大小．24 / 25【答案】a b c <<． 【解析】2201611201620162016a -==-， 同理：112017,201820172018b c =-=-． a b c ∴<<．【总结】本题考察了平方差公式在比较大小中的运用．【作业10】已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值． 【答案】145． 【解析】化简得：2(3)0x y -=，3x y ∴=，359514265x y y y x y y y ++∴===--原式． 【总结】本题考察了非负数的性质和平方差公式的运用．【作业11】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求222a b c ab bc ca ++---的 值．【答案】3．【解析】由已知得：121a b b c a c -=-=--=-，，， 2221[()()()]2a b b c a c ∴=-+-+-原式1(141)32=++=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用，综合性较强，要注意观察．【作业12】求多项式222451213x xy y y -+-+的最值．【答案】最小值是1．【解析】原式=2222(2)3(44)1x xy y y y -++-++=222()3(2)11x y y -+-+≥，∴代数式有最小值，最小值是1．【总结】本题考察了完全平方公式的逆用，从而判定代数式的大小．。
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
沪教版数学七年级上第九章整式9.15十字相乘法练习一和参考答案
沪教版数学七年级上第九章整式9.15十字相乘法练习一和参考答案数学七年级上第九章整式9.15 十字相乘法（1）一、选择题1．将22x 2﹣83x+21因式分解是（）A ．（2x+3）（11x ﹣7）B ．（2x+3）（11x+7）C ．（11x ﹣3）（2x ﹣7）D ．（2x-3）（11x-7）2．若多项式15x 2﹣39x ﹣18可因式分解成（ax+b ）（cx+d ），则|a+b+c+d|之值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．将 4x 2+3x ﹣10因式分解，其中的一个因式是（）A ．4x+5B ．4x ﹣5C ．x ﹣2D ．2x ﹣54．将（6x 2﹣3x ）+2（﹣7x+5）因式分解，可得（）A ．（6x+5）（x+2）B ．（3x ﹣1）（2x ﹣5）C ．（3x+1）（2x+5）D ．（6x ﹣5）（x ﹣2）5．将5x 2+17x ﹣12的因式分解为（）A ．（5x+3）（x-4）B ．（5x ﹣3）（x+4）C ．（5x ﹣3）（x-4）D ．（5x+3）（x+4）6．将 2x 2+kx ﹣3的因式分解得（2x ﹣1）（x+3），则k 等于（）A ． 1B ． -1C ． 5D ． -57. 若6522-++-y ax y x 能分解为两个整系数一次因式的积，则a 的值为（）A. 1B. 2±C. 2D.1± 8. 若c bx ax ++2能分解为)117)(23(-+x x ，则c b a ++等于（）A. -20B. -19C. 19D. 20二、填空题9. 因式分解：3522++x x = 。
10. 因式分解：4x 2+9x －28= 。
11. 因式分解：11 x 2+16x+5= 。
12 因式分解： 20－9y －20y 2= 。
13. 因式分解：2x 2+3x+1= ； 6x 2－11x+3= 。
14. 因式分解：2y 2+y －6= ； 4m 2-8m+3= 。
沪教版七年级数学第一学期9.3.3整式的乘法
知识点1 单项式与单项式相乘1.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.也可简单地写成：单项式⨯单项式=（系数相乘）⋅（同底数幂相乘）⋅（单独字母的幂） 2.进行单项式乘法运算时，可按下面三个步骤进行： （1）系数相乘——确定系数（特别注意符号）. （2）相同字母相乘——底数不变，指数相加. （3）不同字母相乘——连同它的指数照搬下来. 3.进行单项式乘法运算时应注意：（1）计算系数时，先确定结果的符号，再把它们的绝对值相乘.（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”.（3）在乘法结果中，不要漏掉只在一个单项式中含有的字母因式，应连同它的指数一起写在积里. （4）单项式乘法中若有其他运算，应注意运算顺序：“先乘方，再乘法”.（5）单项式相乘的结果仍为单项式.三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用. 例1 计算：（1）22312)()(63x x y yz ⋅-（） ； （2）2323(7)ax a xy ⋅-例2 计算：（1）221()2mn mnx -- ； （2）3242411()()555ab ab ab -+-练习1.计算：（1）23223213(-)[(](0.4)32x y xy xy ⋅-⋅-） ； （2）223231(2)()()()43x y xy xy x --⋅---⋅-.第三讲 整式的乘法知识要点知识点2 单项式与多项式相乘1.单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再 把所得的积相加.如()m a b c ma mb mc ⋅++=++或().a b c m am bm cm ++⋅=++2.进行单项式与多项式乘法运算时应注意：（1）非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍为多项式；积的项数与所乘多项式的项数相同. （2）正确运用去括号法则来确定积中每一项的符号.（3）含有乘方、乘法、加减法的混合运算中，要注意运算顺序，还要注意合并同类项，得到最简结果. 例1 计算：（1）225312()642ax a x ax -⋅--； （2）2(4)(321)xy x xy +- ；（3）21120061112[(1)]32n n n x y y xy -+⋅-+-.练习1.计算：（1）()m a b c --； （2）21[42()]2xy xy xy x y -+；（3）22222()3(42)2(74)a a ab b ab a b b a ab b ----+-+.知识点3 多项式与多项式相乘1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如()()a b m n am an bm bn ++=+++.2.进行多项式与多项式乘法运算时应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止重复，避免漏项.积的项数在没有合并同类项之前，应为两个多项式项数的积.（2）运算时要注意积的符号，正确运用符号法则.例1 计算：（1）(23)(32)a b a b --； （2）(5)(4)x y y x -+； （3）22()()x y x xy y +-+例2 先化简，再求值. 2(2)(25)(23)3(45)x x y x y y x y -+-+--，其中2x =，1y =-.练习1.计算：(2)(21)(32)a a a ---2.化简求值：253()xy x y xy y ---，其中22xy =-.3.已知22(8)(3)x ax x x b ++-+的乘积中不含2x 项，也不含3x 项，求a 与b 的值.巩固练习 一.计算题： 1. 42(4)(4)(4)mna a a ⋅⋅-= . 2. 19981999(0.125)(8)⋅-= .3. 23223()()a b ab -⋅-= . 4. 532(610)(710)(210)⨯⨯⨯= . 5. 221(2)(2)()2x xy y ⋅-= . 6. 2(5)(231)x x x -⋅++= . 7. ()()a b c d ++= . 8. (25)(5)a b a b --= . 9. (8)(11)x x --的积的一次项x 的系数是 ，常数项是 . 二.选择题1.下列计算错误的是（ ）A. 2324(231)8124a a a a a a -+-=--+ B. 22(1)mmmmm m a a a a a a -+=-+C. 2243244(3)(41)12393x x x x x x -⋅-+=-+- D. 23224(2)(9)186439a a a a a a --⋅-=-++ 2.下列计算结果错误的是（ ）A. ()()a b x y ax ay bx by ++=+++B. ()()a b x y ax ay bx by --=-+-C. ()()a b x y ax ay bx by -+=+--D. ()()a b x y ax ay bx by +-=-+- 3.下面计算结果正确的是（ ）A. 22(1)(21)21ab ab a b ab +-=++B. 2(2)(32)62a b a b a a +-=-- C. 2(1)(12)231a a a a --=-+- D. 2(31)(41)1241a a a a ++=++ 4.要使2(2)43256x x a x b x x ++-=++成立，则a ，b 的值分别是（ ）A. 1a =，2b =B. 1a =，2b =-C. 1a =-，2b =-D. 1a =-，2b =三.简答题 1.计算：（1）232322(3)(3)(2)a b ab a b -⋅-⋅-； （2）22313[()][(][2)]32x y y x y x --⋅--⋅-）（ （3）31()(874)2x x x --+； （4）22(34)(23)a b x y -+； 课堂练习（5）(9)(10)x x ++； （6）22(3)(2)pq pq --.2.计算：（1）2231314(2)()()10()( 3.5)257ab a b ab a b a b ---⋅+-+-⋅；（2）11211(6)()23n n m n m x y x y x y ++-⋅-； （3）23332(3)7[(41)]x x x x x --+； （4）1122(3257)5m m m m xx x x x +---+-⋅； （5）2(21)(35)x x --.四.解答题1.先化简，再求值：3222(1)(1)1x x x x x x x +-+-+-+（其中132x =）.2.解不等式：3(13)13(1)(1)(21)(23)x x x x x x +>-+--+.3.当22()(32)x mx n x x ++-+不含2x ，x 项，求m 、n 的值.4.已知2A a b c =--，2B b c a =--，2C c a b =--.求证：()()()0b c A c a B a b C -+-+-=.5.解方程：22(31)(3)(21)(1)(37)4x x x x x x x -+--+=++. 家庭作业 一.填空题1.计算：(23)(2)m n m n +-= ； 66(0.1)10⋅= . 2.计算：323(2)(3)x x y ⋅-= ； 321()()2m mt t-⋅= .3.计算：23(32)(32)(23)x y x y y x -⋅-⋅-= . 4.计算：2(1)(1)x x x -++= ； 2011201250.2⋅= .5.长方体的长是38.210⨯毫米，宽是21.510⨯毫米，高是200毫米，用科学记数法表示它的体积是 立方毫米.6.请你以a 为底数，1、2、3为指数，写出一个算式，使它的运算结果是10a （指数可以重复使用）： . 二．解答题1.232223(2)(8)()()x y x x y -+⋅-⋅- 2.6233()0.1[()]4m n m n ---+-+3.(4)()6(2)(3)m n m n m n m n +--+-4.12(0.75)(0.5)33m n m n +-4.解方程：2(3)(3)(21)(7)x x x x x +-=-+-5.解方程：2(2)(4)6x x x ++=+6.解不等式：2(3)2(4)(5)x x x x x -≥-+-四．解答题1.已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且m 的绝对值为3，求233c dab m m+--的值.2.先化简，再求值：231(0.5)( 3.5)7y xy x y -⋅--⋅，其中0.2x =，2y =-.3.先化简，再求值：1(912)3(34)nnn n y y y y y ++---，其中3y =-，2n =.4.长方形的长为x 厘米，宽比长小3厘米，在该长方形的中间挖去一个面积为1平方厘米的圆. （1）用含x 的多项式表示剩余部分的面积； （2）当4x =时，计算剩余部分的面积.5.我们规定一种运算：a ※b =ab a b --.如3※2=32321⨯--=.请你计算： （1）4※3a ； （2）(1)x +※(21)x -.6.设P 是一个多项式，且22453232P x y x y x ÷=-+，求P .7.若210m m +-=，求3222008m m ++的值.8.如果22(3)(3)y ay y y b ++-+的展开式中不含2y 和3y 项，求,a b 的值.。
(用)沪科版七年级数学下整式乘除、公式、因式分解
整式乘除、公式、分解因式一、单项式乘以单项式 （1）系数（2）相同字母（3）其他字母=∙-xy z y x 3232 二、单项式除以单项式：（1）系数（2）相同字母（3）其他字母 xy z y x 3643÷-三、单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式) -2a 2 ·(-3a 2+2a+1) 四、多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再把所的的商相加。
即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)( (6a 4-4a 3-2a 2)÷(-2a 2) 五、多项式与多项式相乘的法则；用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
)1)(13()22)1222-+-++n n n n （（六、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+2247)4-7)x y x y +（（ 2)2-)ab ab -+-（（ ))((z y x z y x +--+ 999910001⨯ 2189921900⨯七、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=- 222006200640102005+⨯-八、因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.彻底分解。
在下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、2(3)(3)9x x x -+=-B 、2524(3)(8)x x x x +-=-+ C 、223(2)3x x x x +-=+- D 、211()x x x x-=- 1、提取公因式法 ()ma mb mc m a b c ++=++① 系数② 字母 ③指数⑴y x y x y x 3234268-+-； ⑵23()2()x x y y x ---2、运用公式法ⅰ）平方差公式逆用22()()a b a b a b -=+- ⑴22364a b -； ⑵22122x y -.ⅱ）完全平方公式逆用 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-⑴2244x y xy --+； ⑵543351881a b a b a b ++. 3、分组分解法 分组后能出现公因式或可运用公式.（1）22244z y xy x -+-； （2）b a b a a 2322-+-4、特殊类型22()()();x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++ (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++练习：解方程：()()()2365218x x x x x x +-+=--求值:（1）x-y=4，xy=2,求x+y ．（2）061121022=++-+y x y x ，求y x +（3）已知x ²-3x+1=0，求和（4）（3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)因式分解：（1）322220255a b a b a b -+ （2）221625x y -（3） 2222a b a b -+- （4）2105ax ay by bx -+-（5）2222()()ab c d a b cd --- （6）42441x x x -+-1、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是2、如图，一块直径为a+b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，求剩下的钢板的面积。
11.1 整式的乘法(第2课时 幂的乘方)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
个
A. a2 a
C. aa
)
B. 2 aa
D.
)2等于(
A
)
3. 若 k 为正整数，则( k5)3的意义为( C
A. 3个 k5相加
B. 5个 k3相加
C. 3个 k5相乘
D. 8个 k 相乘
)
4. [2024许昌期末] 下列计算正确的是( A
A. ( a3)3＝ a9
2
3
C. a ＋ a ＝ a
大小，如25＞23，55＞45.在底数(或指数)不相同的情况下，可以
先化相同，再进行比较，如2710与325.
解：2710＝(33)10＝330，∵30＞25，∴330＞325，即2710＞325.
(1)比较254，1253的大小.
解：(1)254＝(52)4＝58，1253＝(53)3＝59.
∵8＜9，∴58＜59，即254＜1253.
例4 计算：
(1)(a3)4·(a4)3·a
(2)(x3)2·(x3)5
解：(1)(a3)4·(a4)3·a
(2)(x3)2·(x3)5
=a3×4·a3×4·a1
=x6·x15
=a12·a12·a1
=x21
=a12+12+1
=a25
练一练
2. 计算
(1)( x2)3；
解：(1)( x2)3＝ x2×3＝ x6.
(2)－( a3)2·a7；
解：(2)－( a3)2·a7 ＝－ a6·a7＝－ a13.
(3)(－32)3×(35)2；解：(3)(－32)3×(35)2＝－32×3×35×2
6×310＝－36＋10＝－316.
＝－3
沪教版数学七年级上第九章整式9.10整式的乘法练习一和参考答案
沪教版数学七年级上第九章整式9.10整式的乘法练习一和参考答案数学七年级上第九章整式9.10 整式的乘法（1）一、选择题1．下列计算正确的是（）A ．3y 3·5y 3=15y 9；B ．2x 5·3x 4=5x 9；C ．3x 3·4x 3=12x 3；D ．9a 3·2a 2=18a 5．2．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为r 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）A 、22r πB 、24r πC 、2r πD 、不能确定3．已知：有理数满足0|4|)4(22=-++n n m ，则22n m 的值为（）A.±1 B.1 C. ±2 D.24．规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*b + a*（-b ）计算结果为（）A. 0B. 2aC. 2bD.2ab5．(-6x n y)2·3x n-1y 2的计算结果是（）A ．18x 3n-1y 4；B ．-36x 2n-1y 4；C ．-108x 3n-1y 2；D ．108x 3n-1y 4．6．下列计算正确的是（）A ．33332222232)2143(+++++-=?+-n n n n b a b a ab b a b a ； B ．(-x)(2x+x 2-1)=-x 3-2x 2+1； C ．(-3x 2y)(-2xy+3yz-1)=6x 3y 2-9x 2y 2z 2-3x 2y ； D. (6xy 2-4x 2y)·3xy=18xy 2-12x 2y7．下列计算正确的是（）A ．(a+b)2=a 2+b 2；B ．a m ·(a n + a m )=a mn +a 2m ；C ．(a-b)3(b-a)2=(a-b)5；D ．(-a 2)3=(-a 3)2．8．把下列各题的计算结果写成10的幂的形式，正确的是（）A ．100×103=106；B ．1002n ×1000=104n+3；C ．1000×10100=103000；D ．1005×10=10005=1015．9．2t 2-2(t+1)(t-5)的计算结果正确的是（）A ．-8t-10；B ．8t+10；C ．2t 2-8t+10；D ．2t 2+8t-10．10．下列计算错误的是 ( )A ．(x+1)(x-4)=x 2+5x+4；B ．(m-2)(m+3)=m 2+m-6；C ．(y+4)(y-5)=y 2-y-20；D ．(x-3)(x-6)=x 2-9x+18．二、填空题11．a 8·a 7= ； a 20=( )5；5m 2·2m 3=____ ．12． (x+a)(x+a)=______；a 3·(-a)5·(-2a)3·(-7a 2b 3)=______． 13. =?-20152014)542()145( 14．(-a 2b)3·(-ab 2)2=______；(2x)2·x 4=( )2．15．18a 2b 3=6a 2·______；[(a m )n ]p =______；(-mn)2(-m 2n)3=______．16．(2x 2)3-6x 3[x 3-x(4x 2+1)]= ．17．一长方体的高是(a+1)厘米，底面积是(a 2+a-6)厘米2，则它的体积是． 18．2(a-b)2[7(a-b)3](b-a)5=______ ．19．若a 2n-1·a 4n+1=a 12，则n=______．20．(3×106)(5×107)(4×104) ．21．(-5x n-1y 2)·(-2x)= ．22．(-5ab)·(-a 2c 2)·3ab 2= ．23．(-3a)·(a 2+3a-4)= ．24．(2m-3n)(m-2n)= ．25．(x+2y)(3a+b)= ．26．2(-ab)2·(-a 2b)·(-a 2b 3c)2= ．28. (3x+2y+1)(2x-y)=三、计算29 (3a 2 - 23a - 9)·(-6a) 30. (x-y)( x 2+xy+y 2)31.(2x －y )(2x ＋y )＋2y (y －6x ) 32 ))((22y xy x y x +-+四、解答题33．计算[(-a)2m ]3·a 3m +[(-a)3m ]3(m 为自然数)．34．先化简2y n (y n +6y-8)-3(2y n+1-3y n )，再求其值，其中y=-2，n=1．35．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒．问地球与太阳的距离约是多少千米？(用科学记数法写出来)36．已知ab2=-3，求-2ab(a2b5-2ab3-b)的值．37．已知a+b=1，a(a2+2b)+b(-3a+b2)=2，求ab的值．38．已知(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≡(x2-3x)2+a(x2-3x)+b，求a，b 的值．39．．已知一个两位数的十位数字比个位数字小1，若把十位数字与个位数字互换，所得的新两位数与原数的乘积比原数的平方多405，求原数．40．比较2100与375的大小．41．求不等式(2x+4)(2x-4)＞4 (x-3)(x+4)的正整数解．42．已知2a =3b =6c (a ，b ，c 均为自然数)，求证：ab-cb=ac ．43．求证：对于任意自然数n ，n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除．44．观察下列各式：2311= 233321=+ 23336321=++ 23333104321=+++……观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .45．阅读下列材料：让我们来规定一种运算：c a db =bc ad -，例如：41 52=3854251-=-=?-?，再如：1x 32=3x-2 按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：① 21-- 12= (只填最后结果); ② 当x= 时, 1x 21x -=0; (只填最后结果) ③ 求x,y 的值，使81-x 3y =1x 1--y = —7（写出解题过程）.。
沪教版七年级 整式复习,带答案
整式复习（一）教学目标使学生牢固掌握本章的知识要点：基本概念、单项式的系数与次数、多项式的项数与次数、多项式的升（降）幂排列、合并同类项法则、去（添）括号、整式的加减，乘法公式．项式的混合运算．教学难点1．基本概念、去括号与合并同类项.2．整式的加减运算及乘法公式．考点及考试要求1．代数式的意义及列代数式；2．单项式；3．多项式及整式的有关概念；4．整式的加减运算；知识精要一、基本概念1．代数式用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．2．单项式表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式．（包含单个的数字、单个的字母、数字与字母的乘积、几个字母的乘积等形式．）注：(1)单独的一个数或一个字母也是单项式．(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．(3)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式，即多项式由单项式组合而成的．注：（1）多项式中的每个单项式就是一个项．（2）多项式中有几个单项式就有几项．（3）多项式中次数最高的单项式的次数就是多项式的次数．（4）多项式中不含字母的项叫做常数项．4．整式单项式和多项式统称整式．补充：分母含有字母的代数式叫做分式．5．同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．二、基本运算法则1．整式加减法法则几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．注：去括号法则括号前是“＋”号，去掉括号和括号前的“＋”号，括号内各项移到括号外时，符号保持不变．括号前是“－”号，去掉括号和括号前的“－”号，括号内各项移到括号外时，符号全都改变．注意事项：（1）“变”的情况．（2）括号外面乘以数字，注意分配律的使用要全面．（3）注意添括号法则与去括号法则的区别与练习．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．法则：（1）同类项的系数相加作为结果的系数；（2）字母和字母的次数保持不变．（4）幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m ·a n =a m ＋n (m ，n 是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．(a m )n =a mn (m ，n 是正整数)．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． (ab )m =a m b m (m 是正整数)．3．整式的乘法法则单项式与单项式相乘：系数与系数相乘，同底数幂相乘，单独的幂相乘．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加．多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加．4.乘法公式：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去） 这两个数积的二倍．222()2a b a ab b +=++（1）222()2a b a b ab →+=+-222()2a b a ab b -=-+（2）22222a b a ab b →+=-+立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+精解名题1．直接求值法：先把整式化简，然后代入求值．例:先化简，再求值3－2xy＋2yx2＋6xy－4x2y，其中x=－1，y=－2．2．隐含条件求值法：先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值．例1: 若单项式－3a2－m b2与b n＋1a3是同类项，求代数式m2－(－3mn＋3n2)＋2n2 的值．例2: 已知（a－2）＋(b＋1)2=0，求5ab2－[2a2b－(4ab2－2a2b)]的值．3．整体代入法: 不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等．例1: 已知a =x ＋19，b =x ＋18，c =x ＋17，求a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值．例2:已知x 2＋4x －1=0，求2x 4＋8x 3－4x 2－8x ＋1的值．例3:已知b a b a +-2=6，求代数式ba b a +-)2(2＋)2()(3b a b a -+的值．巩固练习1.列代数式（1）“a 的倒数与b 的2倍的和”用式子表示为 .（2）“a 与b 和的平方”用式子表示为 .（3）“a 、b 的平方和”用式子表示为 ．（4）“a 与b 差的平方”用式子表示为 ．（5）“a 、b 的平方差”用式子表示为 ．2.奇数、偶数、数位的表示.（1）n 是整数，则用n 表示两个连续奇数为 、 .（2）一个十位是x ，个位是y 的两位数可表示为 .（3）一个两位数的个位数字是a ，十位数字是b ，则用式子表示这个数为 ．（4）一个三位数，十位上的数为a ，个位上的数比十位上的数大2，百位上的数 是十位上的数的2倍，用字母a 来表示这个三位数，结果是 ．（5）x 表示一个两位数，把3写到x 的右边组成一个三位数，则这个三位数可表 示为 ．（6）三个连续偶数，中间一个为2n ，则这三个连续偶数的和为 ．3.增减率（利率）的应用.（1）某商品原价a 元，经过两次连续降价，每次降幅10％，则现售价 元.（2）某商店在销售某商品时，先按进价提高40%标价，后来为了吸引消费者， 再按8折销售，此时每件仍可获利60元，设此商品进价为x 元，可得方程 .自我测试一、选择题1、计算下列各式结果等于45x 的是（ ）A 、225x x ⋅B 、225x x +C 、x x +35D 、x x 354+2、下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ）A 、()()a b b a --B 、()()11-+-x xC 、()()b a b a +---D 、()()11+--x x3、下列各式计算正确的是（ ）A 、()66322b a b a =-B 、()5252b a b a -=-C 、1244341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-4、下列各式计算正确的是（ ）A 、2229161413121b ab a b a +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B 、()()842232-=++-x x x x C 、()222b a b a -=- D 、()()116141422-=++b a ab ab5、已知41=+a a 则=+221aa ( ) A 、12 B 、 14 C 、 8 D 、166、已知x 2＋y 2=2, x ＋y =1、则xy 的值为 （ ）A 、21- B 、211- C 、－1 D 、3 7、下列四个多项式是完全平方式的是（ ） A 、22y xy x ++ B 、222y xy x --C 、22424n mn m ++D 、2241b ab a ++8、4224y x y x -与下列那个式子不相等（ ）A 、()()2222xy y x xy y x --B 、()2222y x y x -C 、()()y x y x y x -+22D 、()()22xy y x y x xy -+9、计算2120+(－2)120所得的正确结果是( )A 、2120B 、－2120C 、0D 、212110、当()mn mn 66-=-成立，则（ ） A 、m 、n 必须同时为正奇数. B 、m 、n 必须同时为正偶数.C 、m 为奇数.D 、m 为偶数.11、()()1333--⋅+-m m 的值是（ ）A 、1B 、－1C 、0D 、()13+-m二、填空题1、a m ·a m · =a 2m +22、若代数式1322++a a 的值为6，则代数式5962++a a 的值为 .3、3=x a ，则=x a 2 .4、()()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅ac abc c 241223 . 5、()()()=-++52552x x x .6、代数式()27b a +-的最大值是 .7、若()()，b a a a 412=---则ab b a -+222的值是 . 8、代数式()()()()111142+-++-y y y y 的值为 .9、若()12492==+，xy y x ，则=+22y x .10、=++229124b ab a （ ）211、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+2244111x x x x x x .三、计算题（1） 223(2)(3)x x -⋅- （2）)32(1022xy y x xy -⋅-（3）2(23)x y - （4） 22(3)(3)x x +--（5）()()y x y x 2332-+ （6）()()()()232233574x xy xy xy y y x -⋅--⋅-+-（7）()()14314322+++-x x x x （8） ()()()()4216224+++-x x x x（9）()()()()c b a c b a c b a c b a ++---+--+ （10）()()()737355322+---a a a四、简便方法计算（1）999.8×1000.2 （2）24994.解答题1、化简与求值：(a －2)(a ＋2)＋3(a ＋2)2－6a(a ＋2)，其中a ＝5.2、化简与求值：（a ＋b ）（a －b ）＋（a ＋b ）2－a (2a ＋b )，其中a =23，b ＝211-3、已知22()1,()49x y x y +=-=，求22y x +与xy 的值4、已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值5、已知 ，012=-+a a 求1999223++a a 的值整式复习（一）教学目标使学生牢固掌握本章的知识要点：基本概念、单项式的系数与次数、多项式的项数与次数、多项式的升（降）幂排列、合并同类项法则、去（添）括号、整式的加减，乘法公式．项式的混合运算．教学难点1．基本概念、去括号与合并同类项. 2．整式的加减运算及乘法公式．考点及考试要求1．代数式的意义及列代数式；2．单项式；3．多项式及整式的有关概念；4．整式的加减运算；知识精要一、基本概念1．代数式用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．2．单项式表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式．（包含单个的数字、单个的字母、数字与字母的乘积、几个字母的乘积等形式．）注：(1)单独的一个数或一个字母也是单项式．(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．(3)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式，即多项式由单项式组合而成的．注：（1）多项式中的每个单项式就是一个项．（2）多项式中有几个单项式就有几项．（3）多项式中次数最高的单项式的次数就是多项式的次数．（4）多项式中不含字母的项叫做常数项．4．整式单项式和多项式统称整式．补充：分母含有字母的代数式叫做分式．5．同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．二、基本运算法则1．整式加减法法则几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．注：去括号法则括号前是“＋”号，去掉括号和括号前的“＋”号，括号内各项移到括号外时，符号保持不变．括号前是“－”号，去掉括号和括号前的“－”号，括号内各项移到括号外时，符号全都改变．注意事项：（1）“变”的情况．（2）括号外面乘以数字，注意分配律的使用要全面．（3）注意添括号法则与去括号法则的区别与练习．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．法则：（1）同类项的系数相加作为结果的系数；（2）字母和字母的次数保持不变．2.幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．nm amn=⋅(m，n是正整数)．a+a幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．m amnn((m，n是正整数)．)a=积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．n bnn((n是正整数)．)aab=3．整式的乘法法则单项式与单项式相乘：系数与系数相乘，同底数幂相乘，单独的幂相乘．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加．多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加． 5.乘法公式：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去） 这两个数积的二倍．222()2a b a ab b +=++（1）222()2a b a b ab →+=+- 222()2a b a ab b -=-+（2）22222a b a ab b →+=-+ 立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=- 立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+精解名题1．直接求值法：先把整式化简，然后代入求值．例: 先化简，再求值 3－2xy ＋2yx 2＋6xy －4x 2y ，其中x =－1，y =－2． 解：3－2xy ＋2yx 2＋6xy －4x 2y =3＋4xy －2x 2y ． 当x =－1，y =－2时，原式=3＋4×(－1)×(－2)－2×(－1)2·(－2) =3＋8＋4 =15．2．隐含条件求值法：先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值． 例1: 若单项式－3a 2－m b 2与b n ＋1a 3是同类项，求代数式m 2－(－3mn ＋3n 2)＋2n 2的值．解：∵－3a2－m b2与b n＋1a3是同类项，∴ 2－m =3，n+1=2∴m=－1 ，n=1∴m2－(－3mn＋3n2)＋2n2= m2＋3mn－3n2＋2n2= m2＋3mn－n2，当m=－1 ，n=1时，原式=(－1)2＋3×1×(－1)－12=－3例2: 已知（a－2）＋(b＋1)2=0，求5ab2－[2a2b－(4ab2－2a2b)]的值．解：∵ (a－2)2＋(b＋1)2=0，且(a－2)2≥0，(b＋1)2≥0，∴a=2 ，b=－1∴ 5ab2－[2a2b－(4ab2－2a2b)]=5ab2－(2a2b－4ab2＋2a2b)=5ab2－2a2b＋4ab2－2a2b=9ab2－4a2b当a=2，b=－1时，原式=9×2×(－1)2－4×22×(－1)=18＋16=34．3．整体代入法: 不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等．例1: 已知a=x＋19，b=x＋18，c=x＋17，求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．解：∵a= x＋19，b= x＋18，c= x＋17，∴a－b=1，b－c=1，a－c=2．∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc= 12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)= 12[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋( a2－2ac＋c2)]= 12[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．当a－b=1，b－c=1，a－c=2时，原式= 12 (12＋12＋22)= 12×6=3．例2:已知x 2＋4x －1=0，求2x 4＋8x 3－4x 2－8x ＋1的值． 解：∵x 2＋4x －1=0，∴x 2＋4x =1．∴2x 4＋8x 3－4x 2－8x ＋1 =2x 2(x 2＋4x )－4(x 2＋4x )＋8x ＋1 =2x 2＋8x －3 =2(x 2＋4x )－3 =－1． 例3:已知b a b a +-2=6，求代数式ba b a +-)2(2＋)2()(3b a b a -+的值．解：∵b a b a +-2=6 ∴612=-+b a b a ∴原式=2×6＋3×61=2112巩固练习1．列代数式（1）“a 的倒数与b 的2倍的和”用式子表示为12b a+． （2）“a 与b 和的平方”用式子表示为()2b a +． （3）“a 、b 的平方和”用式子表示为22b a +． （4）“a 与b 差的平方”用式子表示为()2b a -．（5）“a 、b 的平方差”用式子表示为22b a -． 2．奇数、偶数、数位的表示．（1）n 是整数，则用n 表示两个连续奇数为 2n －1、2n ＋1 ．（2）一个十位是x ，个位是y 的两位数可表示为 10x ＋y ． （3）一个两位数的个位数字是a ，十位数字是b ，则用式子表示这个数为 10b ＋a ．（5）一个三位数，十位上的数为a ，个位上的数比十位上的数大2，百位上的数是十位上的数的2倍，用字母a 来表示这个三位数，结果应是 211a ＋2 ． （5）x 表示一个两位数，把3写到x 的右边组成一个三位数，则这个三位数可 表示为 10x ＋3 ．（6）三个连续偶数，中间一个为2n ，则这三个连续偶数的和为 6n ． 3．增减率（利率）的应用．（1）某商品原价a 元，经过两次连续降价，每次降幅10％，则现售价0.81a 元． （2）某商店在销售某商品时，先按进价提高40%标价，后来为了吸引消费者，再按8折销售，此时每件仍可获利60元，设此商品进价为x 元，可得方程 0.8×(1＋40%)x －x =60 ．自我测试一、选择题1、计算下列各式结果等于45x 的是（ A ）A 、225x x ⋅B 、225x x +C 、x x +35D 、x x 354+ 2、下列式子可用平方差公式计算的式子是（ C ） A 、()()a b b a -- B 、()()11-+-x x C 、()()b a b a +--- D 、()()11+--x x 3、下列各式计算正确的是（ D ） A 、()66322b a b a =- B 、()5252b a b a -=-C 、1244341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛- D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫⎝⎛-4、下列各式计算正确的是（ B ）A 、2229161413121b ab a b a +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B 、()()842232-=++-x x x xC 、()222b a b a -=-D 、()()116141422-=++b a ab ab5、已知41=+a a 则=+221aa ( B ) A 、12 B 、 14 C 、 8 D 、166、已知x 2＋y 2=2, x ＋y =1、则xy 的值为 （ A ）A 、21- B 、211- C 、－1 D 、37、下列四个多项式是完全平方式的是（ D ）A 、22y xy x ++B 、222y xy x --C 、22424n mn m ++D 、2241b ab a ++8、4224y x y x -与下列那个式子不相等（ A ） A 、()()2222xy y x xy y x -- B 、()2222y x y x - C 、()()y x y x y x -+22 D 、()()22xy y x y x xy -+ 9、计算2120+(－2)120所得的正确结果是( D ) A 、2120 B 、－2120 C 、0 D 、2121 10、当()mn mn 66-=-成立，则（ C ）A 、m 、n 必须同时为正奇数.B 、m 、n 必须同时为正偶数.C 、m 为奇数.D 、m 为偶数. 11、()()1333--⋅+-m m的值是（ C ）A 、1B 、－1C 、0D 、()13+-m二、填空题1、a m ·a m · 2a =a 2m +22、若代数式1322++a a 的值为6，则代数式5962++a a 的值为 20 .3、3=x a ，则=x a 2 9 .4、()()=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅ac abc c 241223.5、()()()=-++52552x x x 6254-x .6、代数式()27b a +-的最大值是 7 .7、若()()，b a a a 412=---则ab b a -+222的值是 8 . 8、代数式()()()()111142+-++-y y y y 的值为 －2 . 9、若()12492==+，xy y x ，则=+22y x 25 . 10、=++229124b ab a （ 2a +3b ）211、=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+2244111x x x x x x 2 .三、计算题（1）223(2)(3)x x -⋅- （2）)32(1022xy y x xy -⋅- 解：原式=7108x - 解：原式=32232030x y x y -+（3）2(23)x y - （4） 22(3)(3)x x +-- 解：原式=229124y xy x +- 解：原式=x 12（5）()()y x y x 2332-+ （6） ()()()()232233574x xy xy xy y y x -⋅--⋅-+-解：原式=22656y xy x -+ 解：原式=333333454916y x y x y x -- =3378y x -（7）()()14314322+++-x x x x （8） ()()()()4216224+++-x x x x 解：原式=222)4()13(x x -+ 解：原式=()()()1644422++-x x x =22416169x x x -++ =()()161644+-x x= =2568-x（9）()()()()c b a c b a c b a c b a ++---+--+ （10）()()()737355322+---a a a解：原式=])([])([2222c b a c b a +---- 解：原式=)499(5)25309(222--+-a a a =22)()(c b c b --+ =2454550601822+-+-a a a =bc 4 =2636052+-a a四、简便方法计算（1）999.8×1000.2 （2） 2499 解：原式=)2.01000)(2.01000(-+ 解：原式=2)1500(- =1000000－0.04 =250000-1000+1 =999999.96 =249001五、解答题1、化简与求值：(a －2)(a ＋2)＋3(a ＋2)2－6a(a ＋2)，其中a ＝5. 解：原式=a a a a a 126)44(34222--+++- =228a -+当a ＝5时， 原式=－422、化简与求值：（a ＋b ）（a －b ）＋（a ＋b ）2－a (2a ＋b )，其中a =23，b ＝211- 解：原式=ab a b ab a b a --+++-2222222=ab当a =23，b ＝211-， 原式=－13、已知49)(,1)(22=-=+y x y x ，求22y x +与xy 的值 解：)(222y x + =50)()(22=-++y x y x2522=+∴y x224()()48xy x y x y =+--=- 12xy ∴=-（1）4、已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值 解：原式=mn n m 3)(2-+=64－45=195、已知：，012=-+a a 求1999223++a a 的值解：012=-+a a12=+∴a a∴原式=1999223+++a a a=1999)(22+++a a a a=19992++a a=2000。
沪教版六年级升七年级-整式的乘法,带答案
主题整式的乘法教学内容1．理解并掌握单项式与单项式相乘法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；2．理解掌握单项式与多项式相乘法则及推导，熟练进行单项式与多项式相乘的计算；3．理解掌握多项式与多项式相乘法则及推导，熟练进行多项式与多项式的相乘的计算．（以提问的形式回顾）一、思考：利用乘法的交换律和结合律计算：2223x y xy⋅222222332323(23)()()6x y xy x y x y x x y y x y⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅⋅=运算步骤：(1)系数相乘为积的系数；(2)同底数幂相乘，作为积的因式；(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；练习：1．计算以下各题：(1)223(4)(3)ax a x-⋅-(2)322(2)(5)x x y-⋅(3)23223(2)5()5x y xy x y-⋅⋅-(4)2232354()()53xy xy xy x y⋅+-⋅单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 计算下列各题：(1)2352(4)2(5)x y xy x y -⋅ (2) 2332432521()(3)()32x y xy x y y -⋅--⋅ 636363(1)641054x y x y x y =-=解：原式692286581181181181(2)927481353412x y x y x y y x y x y x y =-⋅-⋅=--=-解：原式试一试：计算下列各题： (1)233221(2)(3)72a b a b abc ⋅-⋅(2) 42232134()345xy ax a x y -⋅⋅- 694211111(1)8972a b a b abc a b c =⋅⋅=解：原式23422663134(2)[()]()()()34515x x x y y a a x y a =-⨯⨯-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=解：原式例2. 计算下列各题：222213(1)5(4)()22xy x y xy x xy y ⋅+-+- 2323(2)(2)(231)3(2)x x x x x x -+--- 322222232322343223453(1)(4)(4)(4)()22564427442x y xy x xy xy xy y x y x y x y xy x y x y xy =+-⋅+-⋅+-⋅-=--+=--+解：原式 23222354224542(2)42434(1)32381246381510x x x x x x x x x x x x x x x x x =⋅+⋅+⋅--⋅+⋅=+--+=+-解：原式试一试：计算下列各题：2222222222(4263)36224263363643612413x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x +-----+=++---++-=+-+=+==解：试一试：先化简，再求值：22(3)(2)1x x x x x -+-+，其中3x =23322223211313110x x x x x x x =-+-+=+=+=+=解：原式当时，（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1．计算：23322()(3)__________3x y xy -⋅= ． 2．计算：()32322()2___________a ab b⋅-⋅-= ．3．计算：221(631)3m n m mn --=____________________． 4．计算：2(4)(243)a a a -⋅+- = ． 5．计算：()()235___________.x x -+=6．已知5,4=+=y x xy ，则)1)(1(++y x = ． 7．解方程：12)12()2(322+=+--+x x x x x x8．先化简，再求值：(31)(23)(65)(4)x x x x +----，其中2x =-。
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乘法公式课时目标1. 学会用文字和字母表示平方差公式，知道平方差公式的结构特征.2. 在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式.3. 学会用文字和字母表示完全平方公式，知道完全平方公式的结构特征.4. 理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等.5. 在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算，如公式的逆用和配方.知识精要一．平方差公式()()__________a b a b +-=注：公式中的 ,a b 既可表示一个数，也可以表示单项式，多项式等代数式. 二、完全平方公式2()__________a b +=2()_______________a b -=推广：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++22222()2222a b c d a b c d ab bc cd da +++=+++++++ 三、乘法公式的变形应用 （1）平方差公式的常见变形 ● 位置变化如()()__________a b b a +-= ● 符号变化如()()()()a b a b b a b a ---=--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()b a =--22a b -=2222()()()()()a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+● 系数变化如()()()()ma mb a b m a b a b +-=+-22()m a b =- （2）完全平方公式的常见变形 ● 符号变化如2222()()2a b a b a ab b --=+=++或 2222()()2a b a b a ab b -+=-=-+ ● 移项变化222()2a b a ab b +=++（1）22___________a b →+=222()2a b a ab b -=-+（2）22____________a b →+=22(1)(2)()()4a b a b ab -=+--=（3）立方和（差）公式：22()()__________a b a ab b +-+=热身练习7. 填空题1. 计算：)121)(121(+---a a =_________________2. 计算：11()()33n n x x -+=______________________3. 计算：2211()(________)24x y x y -+=-4. 将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你 添加的这个单项式可以是____________.（只要填一个符合题意的即可）5. 22222()()()_________x y x y x y -+-+=6. 2222(9)(9)(9)x x x -+--_____________=8. 选择题7.下列运算不能用平方差公式的是（ ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+C.(13)(31)a a -+D.()()a b a b +-- 8.下列各式的计算中正确的是（ ）A.22(3)(3)3m n m n m n +-=-B.2(23)(23)29x x x +-=-C.222(2)24x y x xy y +=++D.22(1)21x x x --=++ 9.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +10.在一块直径为a +b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草的场地面积. （用,,a b π的代数式表示）精解名题1.分组讨论探索：你们能理解下列图形所表达的恒等式？ 试写出来，并说出图形的意义(1)a+ a = a a + a恒等式__________________________(2) b=a= + + +恒等式__________________________2.计算：(1) 2(1)(1)(1)x x x+-+；(2) (1)(1)x y x y+---（3）21495033⨯3.已知,x y a xy b+==.求：（1）22x y+（2）33yx+4.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.5.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律.6.某高级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形的长少6米，比原来长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？7.将多项式29x x +加上一个整式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你有哪些方法，请尽量写出不同的解法.备选例题一．用平方差公式解题 1.计算：2432(12)(12)(12)(12)1+++++2.计算：1)13()13)(13)(13(23242+++++3.计算：)1611)(411)(211(+++错误!未找到引用源。
4.计算：)120032003)(120032003(2003200320042-+-5.计算：)5423)(5423(++-+-+c b a c b a二．用对称式求值： 1. 已知：0132=++x x ，求37431413++-+x x x x 的值.2. 已知：31142=+x x 求：1484++x x x 的值3.已知：0132=++a a ，求(1)a a 1+； (2)221a a +； (3)331a a +； (4)441aa +方法提炼1. 利用平方差公式分解因式，首先要掌握好公式的特点.即项数－－2项，符号－－相反，次数－－偶数.要熟记1～20的平方数.2. 有些多项式需要先提取公因式，然后再用公式法分解，注意一定要分解到使每个多项式因式都不能再分解为止.3. 分解中易出现的错误是：（1）系数不分解为平方数 （2）分解后的因式不整理巩固练习一、选择题1．下列计算中，运算正确的有几个（ ） (1) a 5+a 5=a 10 (2) (a +b )3=a 3+b 3 (3) (－a +b )(－a －b )=a 2－b 2 (4) (a －b )3= －(b －a )3A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．下列各式的计算中，正确的是（ ） A 、53162() a a a = B 、(－2a 2)3= －6a 6 C 、－(－a 2)4=a 8 D 、(a 2)3=a 5 3．计算()3535212aa --⎛⎫⎪⎝⎭的结果是（ ） A 、162a B 、4 C 、304a D 、304a - 4．下列各式中，计算错误的是（ ）A 、(x +1)(x +2)=x 2+3x +2B 、(x －2)(x +3)=x 2+x －6C 、(x +4)(x －2)=x 2+2x －8D 、(x +y －1)(x +y －2)=(x +y )2－3(x +y )－2 5．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为 （ ） A 、5-B 、5C 、－2D 、26．已知(a +b )2=m ，(a —b )2=n ，则ab 等于（ ） A 、()n m -21B 、()n m --21C 、()n m -41D 、()n m --41 7．)12)(12(+-+x x 的计算结果是 （ ）A 、142+xB 、 241x -C 、 241x +D 、 142--x8．已知：有理数满足0|4|)4(22=-++n nm ，则22n m 的值为（ ）A 、±1B 、1C 、 ±2D 、2 9．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ） A 、 －24ab B 、2ab C 、24ab D 、－12ab 10．下列运算中，正确的是（ ）A 、()222a b a b +=+ B 、()2222x y x xy y --=++ C 、()()2326x x x +-=- D 、()()22a b a b a b --+=-11．如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -，则这个单项式为（ ）A 、214a cB 、14acC 、294a cD 、94ac12．为了应用平方差公式计算()()c b a c b a -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）A 、()[]()[]b c a b c a +--+B 、()[]()[]c b a c b a -++-C 、()[]()[]a c b a c b +--+D 、()[]()[]c b a c b a -+-- 13．在①x 2－(－2)2＝(x +2)(x －2)；②(2a +b )2＝4a 2+b 2；③(81×10)0＝1；④(m +2)(m －4)＝m 2－8中正确的算式有 （ ）A 、 1个B 、2个C 、3个D 、 4个 14．已知7)(2=+b a ，3)(2=-b a ，则22b a +与ab 的值分别 （ ） A 、 4，1 B 、2，23 C 、5，1 D 、 10，2315．（－x －y ）2 展开后的结果是（ ）A 、－x 2－2xy －y 2B 、x 2+2xy +y 2C 、－x 2－2xy +y 2D 、x 2－2xy +y 2二、填空题1．若1,2=-=-c a b a ，则=-+--22)()2(a c c b a . 2．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= . 3．已知a a 1-=3，则221aa +的值等于 . 4．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方公式的结果，则常数k ＝ .自我测试一．填空题1.2)(c b a +-= .2.18a a +=，则221__________________a a+=. 3.22(23)(32)______________a b a b ---=.4.2242(7)49A p q q p ⨯-=-，则代数式A 为_____________________5.2222(2)()mn m n +-=_______________________.22123101122124_______________--⨯=6.712×688+144 = .7. . 二．运用乘法公式计算 8.(1)(1)x y x y ++--9.22()()a b c d a b c d ++--+-+10.2111()(2)(2)428x x x -++11.222()5()()3()x y x y x y x y +-+-+-12.不论a取任何整数值，代数式281-+-的值总是整数的平方，求k的值.a a k乘法公式课时目标1.学会用文字和字母表示平方差公式，知道平方差公式的结构特征.2.在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式.3.学会用文字和字母表示完全平方公式，知道完全平方公式的结构特征.4.理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等.5.在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算，如公式的逆用和配方.知识精要一、平方差公式22()()a b a b a b +-=-注：公式中的 ,a b 既可表示一个数，也可以表示单项式，多项式等代数式. 二、完全平方公式222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+ ( 口诀：首平方，尾平方，二倍首尾放中央.)推广：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++22222()2222a b c d a b c d ab bc cd da +++=+++++++ 三、乘法公式的变形应用 （1）平方差公式的常见变形 ● 位置变化22()()()()a b b a b a b a b a +-=+-=- ● 符号变化()()()()a b a b b a b a ---=--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()b a =--22a b -=2222()()()()()a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ● 系数变化如()()()()ma mb a b m a b a b +-=+-22()m a b =- （2）完全平方公式的常见变形 ● 符号变化2222()()2a b a b a ab b --=+=++ 2222()()2a b a b a ab b -+=-=-+ ● 移项变化222()2a b a ab b +=++（1）222()2a b a b ab →+=+-222()2a b a ab b -=-+（2）ab b a b a 2)(222+-=+→22(1)(2)()()4a b a b ab -=+--=（3）立方和（差）公式：2233()()a b a ab b a b ±+=±热身练习二．填空题6. 计算：)121)(121(+---a a =2114a -7. 计算：11()()33n n x x -+=219n x -8. 计算：)21(y x +-)21(y x --2241y x -=9. 将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你 添加的这个单项式可以是12x ±或或214x 或414x （只要填一个符合题意的即可） 10. =+--+22222)()()(y x y x y x 224x y - 11. 2222(9)(9)(9)x x x -+--=218162x - 三．选择题7.下列运算不能用平方差公式的是（ D ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+C.(13)(31)a a -+D.()()a b a b +-- 8.下列各式的计算中正确的是（ D ）A.22(3)(3)3m n m n m n +-=-B.2(23)(23)29x x x +-=-C.222(2)24x y x xy y +=++D.22(1)21x x x --=++ 9.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ A ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +10.在一块直径为a +b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草皮的场地面积.（用,,a b π的代数式表示） 解：ab b a b a S ππππ21)2()2()2(222=--+=精解名题1.分组讨论探索：你们能理解下列图形所表达的恒等式？ 试写出来，并说出图形的意义(1)a+ a = a a + a恒等式 ()224a a a =+(2) b =a= + + +恒等式()()224b a ab b a +=+-2.计算：(1) 2(1)(1)(1)x x x +-+；解：原式=22224(1)(1)()11x x x x -+=-=-(2) (1)(1)x y x y +---解：原式=[(1)][(1)]x y x y -+--22(1)x y =--2221x x y =-+-（3）21495033⨯解：原式=11(50)(50)33+-22150()3=-2211850()25002499399=-=-=3.已知,x y a xy b +==.求：（1）22x y + （2）33y x + 解：（1）原式22()22x y xy a b =+-=- （2）原式=ab a y x xy y x 3)(3)(33-=+-+4.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方. 证明：设这四个数分别为,1,2,3a a a a +++，（a 为整数） (1)(2)(3)1a a a a ++++(3)(1)(2)1a a a a =++++222222(3)(32)1(3)2(3)1(31)a a a a a a a a a a =++++=++++=++a 是整数，整数的和、差、积、幂也是整数∴231a a ++是整数.∴四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方5.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律. 解：22(105)100210525a a a +=+⨯⨯+100(1)25a a =++ “个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数的个位数5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数字a 乘以(1)a +的积.例如：215225=，幂的百位上的数字212=⨯ 225625= 623=⨯ 2351225= 1234=⨯ ………210511025= 1101011=⨯6.某高级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形的长少6米，比原来长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？ 解：比原来大了，大了36米.设操场改建后的边长为x ，则原操场的长为(6)x +，宽为(6)x -， 根据题意得 222(6)(6)(36)36x x x x x -+-=--= 答：改建后的操场比原来大了36平方米.7.将多项式29x x +加上一个整式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你有哪些方法，请尽量写出不同的解法. 解：逆用完全平方公式(1) 加上一个x -后，得22299(3)x x x x x +-== (2) 加上136后，得21936x x ++=21(3)6x + (3) 加上28x x --，得22298x x x x x +--=备选例题一．用平方差公式解题 1.计算：2432(12)(12)(12)(12)1+++++解：原式=121)21()21)(21)(21)(21)(21(32842+-+++++-=121)21()21)(21)(21)(21(328422+-++++- 错误!未找到引用源。