[马丁加德勒]从惊讶到思考数学悖论奇景 第一章 逻辑学悖论
数学科普大师——马丁·加德纳
人生驿站RAND GARDEN OF SCIENCE2010年5月22日是全美国乃至全世界的科普爱好者黯然神伤和扼腕叹息的日子,因为在那个星期六,一个睿智非凡充满奇思妙想的大脑停止了转动,一名在数学科普领域无可替代的伟人与世长辞,一位95岁的老人告别了他终生热爱的数学传播事业。
他就是在美国家喻户晓、在世界享有盛誉的数学科普大师马丁·加德纳。
1914年10月21日,马丁·加德纳(MartinGardner)出生于美国俄克拉荷马州的塔尔萨。
母亲是一位幼儿教师,父亲是一位爱好魔术的地质学博士,在他的影响下加德纳很小就对魔术产生兴趣,并成为终身爱好。
中学时代加德纳对几何学颇有兴致,热衷于各类数学游戏,这为他致力于用数学游戏传播数学埋下伏笔。
在进入芝加哥大学之后,他又逐渐对科学和哲学产生浓厚兴趣,于1936年获得哲学学士学位。
大学期间,加德纳没有接受任何正式的高等数学教育。
他曾自称数学水平极低,但也正由于这个短板,反倒成为他后来开辟数学游戏专栏的特长。
因为他必须设法用简单方式诠释深奥内容,并用通俗易懂的情境呈现,显然这更贴近读者的理解水平,所以加德纳自嘲撰写数学科普文章最好是不太懂数学。
毕业后加德纳成为报刊记者,二战期间他为美国海军服役四年,主要从事文书工作。
战后,他开始从事自由撰稿人和编辑的工作。
1956年,一个偶然的事件改变了他的一生。
当时由纽曼主编的四大卷《数学世界》成为英美的畅销书,高级科普杂志《科学美国人》的主编皮尔由此看到了数学科普的商机,决定创办“数学游戏”专栏。
而此前曾给杂志写过几篇文章的加德纳给他留下深刻印象,皮尔当即邀请加德纳主持这个专栏。
于是,加德纳跑到纽约,购买众多书籍潜心研究。
此时的他似乎回到了命中注定的数学轨道,全部的热情和才智都情不自禁飞扬在数学传播的世界中,从此一发不可收拾。
在《科学美国人》杂志上撰稿的,一般都是各个科学、技术领域中的专家学者。
即便如此,也很少有人能在这份期刊发表超过两篇以上的文章,唯一例外就是加德纳。
逻辑学课件5逻辑学第五章逻辑规律
从惊讶到思考
——数学悖论奇景 《科学美国人》杂志社 马丁· 加德纳
第二节 （无或不）矛盾律
逻 辑 基 本 规 律
斯多葛派是由古希腊哲学家西蒂姆的芝诺 （zeno of citium,约公元前336－264年）创立 的。他在一个画廊（Stoa）里讲学，人称“画 廊（Stoa）”学派，与伯拉图的雅典学园和亚 里士多德的逍遥学派并称三大学派。该学派第二 个代表人物克里西普（Chrisipus）被称为古代 最伟大的逻辑学家之一。斯多葛学派早期研究认 识论和逻辑学，晚期重视社会伦理。“命题逻辑” 的第一个系统的建立约在亚里士多德之后的半个 世纪：它是斯多葛学派的逻辑。
第二节 （无或不）矛盾律
必有一假
逻 辑 基 本 规 律
一、矛盾律的基本内容和公式： １.基本内容： 在同一时间、同一方面对同一个思维对象不能作出两个相 矛盾的认识,即不能同时肯定两个相互矛盾的论述（两可） 操两可之说，设无穷之辞。 课本：在同一个思维过程中，互相否定（反对和矛盾）的 两个思想不能同时为真，其中必有一假，（见逻辑方阵）
逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来 完全消除这种恶性的矛盾。 方法：语言层次理论和排除自身
4.
第二节 （无或不）矛盾律
逻 辑 基 本 规 律
啊哈.灵机一动——美国科普大师马丁·伽德纳讲解不一样的数学
边 长 ９ ｍ 嘛 ！ ”
Ｏ．余 春 先 生 恍 然 大 悟 ，惭 愧 地 说 ：“看 来 你 的 确 是 匆 明 （聪 明 ），我 真
是 余 春 （愚 蠢 啊 ！ ”
ｆ．真 是 轻 而 易 举 ．问 题 怎 么 会 这 么 简 单 ？
匆 明 女 士 突 然 看 出 来 ．水 池 的 一 边 是 一 个 矩 形 的 对 角 线 ．而 该 矩 形
图 １
Ｃ．建 筑 师 福 兰 克 ．余 春 一 时 语 塞 ．他 慢 吞 吞 地 说 ：“让 我 想 想 ． 曰 长 ５ １２＇ １．
ｃ 长 ４ ｍ，要 求 出 ＢＤ 的 长 度 ．恐 怕 要 用 一 下 勾 股 定 理 吧 ．”
ｄ．就 在 余 春 先 生 煞 费 苦 心 求 解 时 ，市 长 忽 然 嚷 道 ：“很 显 然 ，水 池 每
．
，
。
全豹 这些小故事本来都是配有漫画 的 这样大家看起来会更加轻松一
．
．
点 此 处为 了节省篇幅 ．
略去 这是第二
．
．
部分 “几 何技巧
” 中 的 故 事 《长 度 求
八 年级 数学 ． 配 合 华 师大教材角 镜
解 技 巧 》．
ａ．在 某 城 市 的 一 个 公 园 中 ． 有 一 个 较 大 的 圆
．
、
从惊讶到思考-----数学悖论奇景
数学的无穷无尽的魅力在于它在最棘手 的悖论中能盛开出美丽的理论之花！ 的悖论中能盛开出美丽的理论之花！
谢
谢！
பைடு நூலகம்
一、由自指引发的悖论
1、我在说谎 、 2、理发师悖论 、 3、书目悖论 、 4、苏格拉底悖论 、 5、世界上没有绝对的真理 、
二、引进无限带来的悖论 1、 阿基里斯悖论 、 2、 二分法悖论 、
三、诡辩论
1、什么是诡辩？ 、什么是诡辩？
有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡， 有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡， 他们中间谁会洗？ 他们中间谁会洗？
悖论的主要形式： 悖论的主要形式： 1．似非而是型。论断看起来像是错了， ．似非而是型。论断看起来像是错了， 但实际上却是对的（佯谬）。 但实际上却是对的（佯谬）。 2．似是而非型。论断看起来好像是对 ．似是而非型。 但实际上却错了。 的，但实际上却错了。 3．二难推理型。一系列推理看起来好像 ．二难推理型。 无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
2、 邓析赎尸诡论 、
四、由量变和质变引发的悖论 1、谷“堆”的定义 、 2、秃头的定义 、 3、一整袋谷子落地没有响声 、
五、思考蠕虫问题 一条蠕虫以每秒1厘米的速度在一根 一条蠕虫以每秒 厘米的速度在一根 长一米的橡皮绳上从一端向另一端爬行， 长一米的橡皮绳上从一端向另一端爬行， 而橡皮绳每秒钟伸长1米，问这条虫子 而橡皮绳每秒钟伸长 米 能否爬到橡皮绳的另一端？ 能否爬到橡皮绳的另一端？
从惊讶到思考
数学系 刘宏伟
我今天说的话都是
假话！
悖论来自希腊语“ 悖论来自希腊语“para+dokein”， ， 意思是“多想一想” 意思是“多想一想”。 悖论是自相矛盾的命题。 悖论是自相矛盾的命题。 解决悖论难题需要创造性的思考， 解决悖论难题需要创造性的思考，悖论 的解决又往往可以给人带来全新的观念。 的解决又往往可以给人带来全新的观念。
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
13
芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
18
症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
第一章 逻辑学悖论优秀课件
4．一句话和他的反话
▪ M：这句话有几个 字？
▪ 七个字。
▪ 显然原话错了！那 么它的反话就应该 是对的吧，是不是？
4．一句话和他的反话
▪ M：不对，这句语的反话正好是八个字。 所以，它像它原来的话一样是错的。我们 怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
2．说谎者悖论
▪ 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采 用上述形式表达（即一句话谈的正是它本 身）就变得清晰起来？这是因为它消除了 说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真 话。
2．说谎者悖论
▪ 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经 说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎， 就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想 了一会儿，就说：“不是。”
▪ 语句：“这句话是错的”。
5．发狂的计算机
▪ M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地 打出对、错、对、错的结果，陷入了无休 止的反复中。
5．发狂的计算机
▪ 世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的 计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和 西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈 佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎 者悖论时，计算机便进入反复振荡状态， 陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的 《逻辑机和逻辑图》）。
1．克里特人伊壁孟德
▪ 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去 完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话 呢！
▪ 一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于 “说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。
▪ 有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱， 据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常 常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
逻辑学悖论
逻辑学悖论说谎者悖论“这句话是错的。
”上面这个句子是对的吗？如果是对的，这句话就是错的；如果是错的，这句话就是对的。
这一类的悖论变化是无穷的。
例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治．摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。
”你可以创造一个这样的悖论吗？无穷倒退“先有鸡还是先有蛋？”先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那么是先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学为“无穷倒退“的最普通的例子，无穷倒退还有很多例子。
柏拉图：「下面苏格拉底说的话是假的。
」苏格拉底：「柏拉图说了真话。
」这是说谎者悖论的一个翻版。
假若苏格拉底说的是真的，那么柏拉图说的必然是真的。
但是，如果柏拉图说的是真的，那苏格拉底说的就必须是假的。
若我们假定苏格拉底说的是假的，那就意味着柏拉图说的是假的，这么，要是柏拉图说的是假的，苏格拉底说的就必须是真的，结果我们又从头开始，这个过程就会这样子一直重复下去。
理发师悖论“我给城里一切不自已刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。
”著名的理发师悖论是伯特纳德．罗素提出的。
一个理发师的招牌写着如上面的告示。
谁给这位理发师刮脸呢？他提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个着悖论用故事通俗地表述出来。
某些集合看起来是它自已的元素。
现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合，这个集合是它本身的元素吗？无论你如何作答，都会得到矛盾。
设对于一类集合：A1={a11，a12，…a1i，…}，A2={a21，a22，…a2i，…}，…，A i={a i1，a i2，…a ij，…}都满足条件a ij∈A i ( i = 1，2，…j = 1，2，…)，但A i∉A i一切这类集合物成新集合A={A1，A2，…，A i} A1∈A，问A ∈A？如果认为A ∈A，则A应该不是自身集合的元素，即A ∉A；如果A ∉A，A就应是本集合的元素，即A ∈A，得到矛盾。
趣味逻辑和悖论
悖论的定义
定义： 如果某种理论的公理及其推理规 则看上去是合理的，但在这个理论中 却推出了两个互相矛盾的命题，或者 证明了这样一个复合命题，它表现为 两个矛盾命题的等价式，我们称这个 理论包含了一个悖论。
悖论的定义
悖论≠诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、 逻辑论述其错误的原因，是与现有理论 相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所 在的理论体系中，不能阐明其错误的原 因，是与现有理论相容的。 悖论是（在当时）解释不了的矛盾 。
1.第一次数学危机
（3）欧多克斯比例理论的建立 大约在公元前 370 年 ，古希腊数学家欧多克斯 （ Eudoxus, 公 元 前 408— 前 355 年）建立了新的比 例理论，标志着这一悖论 的解决。
1.第一次数学危机
（4）对数学发展的影响——公理几 何与逻辑的诞生
在此以前的各种数学，无非都是‚算‛ ，也就是提供算法。比如泰勒斯预测日 食，利用影子距离计算金字塔高度，测 量船只离岸距离等等，都是属于计算技 术范围的。
格登纳对这 姑娘说：‚我 有三个问题， 请你对每个问 题 只 用 ‚ Yes” 或‚ No” 回答， 不必多做解释 。
让她无法说NO的约会
第一个问题是：你愿意如实地回答 我的下面两个问题吗？‛ 姑娘答：‚Yes !” “ 很好，‛格登纳继续说：‚我 的第二个问题是，如果我的第三个 问题是‘你愿意和我一道吃晚饭吗 ’，那么，你对这后两个问题的答 案是不是一致的呢？‛
鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就 说错了。我应该吃掉他。 母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说 对了，你就得把他交回给我 。
数学中充满矛盾：
正数与负数，实数与虚数，有限 与无限，常量与变量，连续与离散， 直观与抽象，分析与综合，微分与积 分，数与形，加与减等等。
逻辑学悖论
逻辑学悖论如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，刁就会发现，凚没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。
凐他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，凘遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，凎结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。
凥到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？这一章的主要目的，刋是尽可能用娱乐的方式，刢通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。
凭在这里，刧“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。
凭在其他几章中，凾悖论是强烈违反我们直觉的问题。
凞在这里，利悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，凌就像证明2+2又等于4，列又不等于4一样。
凚逻辑悖论是“不可解”的，別除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。
凉尽管从古希腊起到今天，刦逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，减可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
凕在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。
刅在这里，利你会看到引自伯特兰德?罗素的话，刎他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，切后来他和阿尔弗雷德?怀特里德合作，凟写了《数学原理》，凶这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。
凭作为一个数学教师，刃不用人提醒就懂得，刋逻辑学是一切演绎推理的基础，凑一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。
処对这些基础的理解往往是较困难的，凥它使初学学生丧失对数学的兴趣。
刏幸好，凷这组故事可以帮助你使学生认识到，凐逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，刜而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。
凣在这组故事中有三个中心问题。
凳1．在我们谈论语句的真实价值时，凶为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？3．在什么样的特殊情况下，凬预言未来在逻辑上是不可能的？最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。
数学之美
也表现出一种奇特的整齐性.
对数学整齐美的追求，可以获得新的数学成果。例如， 一元一次方程有一个根，一元二次方程有两个根， 一 元三次方程有3个根，一元四次方程有4个根。由这些特 殊方程的根的个数与方程的次数的一致性，促使数学 家提出如下的猜想：一元n次方程有n个根。这一猜想的 证实就得到了代数基本定理。
7、奇异性
例如：
2 1 2
1 1 1 2 2 ...
(精确到4位小数)，
美国的杜格勒比发现
4 5 e6
数学审美教育的作用
在数学教学过程中，应该让学生理解数学的内在美，通 过数学概念的概括，公式的推导，方法的获得，让学生 知道数学美表现在哪里，如何从数学美的角度来评判解 题方法的优劣，怎样在美的启迪下，寻求新的解题方法。 这些审美活动的作用主要表现在： 1、有利于激发我们对数学学习的兴趣
n 1
(2 1)
n
（其中n与2n 1都是素数）
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用 途，但完美数的奇异和美丽吸引了0和284： 220的全部正约数（不包括220）加起来： 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284 284的全部正约数（不包括284）加起来： 1+2+4+71+142= 220
1、统一性
就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。数学中一 些表面看来不相同的概念、定理、法则，在一定的条件下 可以处于一个统一体中。
2、简洁性
简洁美：简洁、有效、直观，这是数学中的一种美。
悖论：思维的魔方
悖论：思维的魔方课程简介“悖论”（paradox）指思维中深层次的矛盾，并且是难解的矛盾。
它们是巨大且艰深的理智难题，以触目惊心的形式向我们展示了：我们的看似合理、有效的“共识”、“前提”、“推理规则”在某些地方出了问题，我们思维中最基本的概念、原理、原则在某些地方潜藏着风险。
悖论对人类理智构成严重挑战，并在人类的认知发展和科学发展中起重要作用。
课程大纲具体授课计划如下，有可能根据具体进程做适当调整：第一周，预备知识和悖论概述看8个视频，每次25分钟左右：1．同一律2．矛盾律、排中律和二值原则3．充足理由律4．什么是悖论？5．悖论的类型6．如何解决悖论？7．苏格拉底的诘问法8．有关结婚的二难推理第二周，上帝悖论和连锁悖论看9个视频，每次25分钟左右：9．半费之讼和鳄鱼悖论10．有关上帝的悖论（一）11．有关上帝的悖论（二）12．有关上帝的悖论（三）13．模糊性：连锁悖论14．忒修斯之船及其他15．多值逻辑和真值度理论16．超赋值理论17．认知主义第三周，芝诺悖论和无穷之谜看7个视频，每次25分钟左右：18．芝诺悖论19．超级任务——芝诺悖论的现代变体20．无穷倒退和无穷嵌套21.康德的时空“二律背反”22．数学中的“无穷悖论”23．关于“无穷”的数学和哲学24．集合论初步知识第四周，逻辑-集合论悖论和语义悖论看8个视频，每次25分钟左右：25．逻辑-集合论悖论举要26．罗素的类型论（一）27．罗素的类型论（二）28．公理集合论29．真理论述要（一）30．真理论述要（二）31．语义悖论举要（一）32．语义悖论举要（二）第五周，语义悖论、归纳悖论和认知悖论看8个视频，每次25分钟左右：33．塔斯基的语义学34．克里普克的真理论35．休谟问题36．对休谟问题的回应37．渡鸦悖论38．绿蓝悖论和彩票悖论39．与同一替换有关的认知悖论40．认知逻辑和逻辑万能问题第六周，各种认知悖论看9个视频，每次25分钟左右：41．意外考试悖论42．可知性悖论和自我欺骗悖论43．序言悖论与认知逻辑趣题44．盖梯尔问题45．对盖梯尔问题的回应46．人工智能和图灵测试47．塞尔的中文屋论证48．笛卡尔的怀疑论论证49. 普特南的缸中之脑论证第七周，认知悖论和合理行动悖论看7个视频，每次25分钟左右：50. 赌徒谬误51．囚徒困境52．对囚徒困境的分析53．纽康姆悖论54．对纽康姆悖论的分析55．其他的博弈、决策和合理行动悖论（一）56．其他的博弈、决策和合理行动悖论（二）第八周，道德悖论和中国古代悖论看7个视频，每次25分钟左右：57．决定论和自由意志58．休谟问题和康德原则59．罗尔斯论正义原则60．一些道德悖论61．中国古代文化中的悖论62．中国古代关于类属关系的悖论63．中国古代的语义悖论第九周，中国古代悖论看6个视频，每次25分钟左右：64．中国古代的认知悖论（一）65．中国古代的认知悖论（二）66．中国古代的相对化悖论67．庄子的“吊诡之辞”68．庄子的“吊诡之辞”分析69．《墨经》的逻辑学第十周，关于悖论的进一步思考看8个视频，每次25分钟左右：70．究竟什么是悖论？71．严格悖论产生的根源（一）72．严格悖论产生的根源（二）73．严格悖论是否具有统一结构？74．悖论是逻辑矛盾还是辩证矛盾？75．自谓指称是否应该尽量避免？76．悖论能否一揽子解决和最终解决？77．悖论研究的意义课程说明本课程将讲授历史上已经提出的一些著名悖论，涉及的论题有：一些扰人的二难困境；模糊性：连锁悖论；芝诺悖论和无穷之迷；逻辑-数学悖论；语义悖论；休谟问题和归纳悖论；认知悖论；合理行动和决策的悖论；道德悖论；中国古代文化中的悖论；对于悖论的进一步思考，如此等等。
一个数学教授都可能答错的简单概率问题
某电器经销商，一个月卖出的电冰箱数 X是一个随机变量,其分布为
P X k 1 12, k 1,2, ,12 。
已知卖出一台获利300元，滞销一台需保养费 100元。问该电器商月初应该买进多少台，才 使月平均收益最大。
随机模拟与Monte Carlo方法
在现实生活中存在许多随机现象，研究 随机现象通常采用概率统计方法。但有些随 机问题比较复杂，很难用概率论中的解析理 论加以处理。此时可以用计算机对随机现象 进行模拟，这种方法称为随机模拟方法或称 为Monte Carlo方法。 在数学建模中，Monte Carlo方法除了可 以用于求解随机模型外，还可用于仿真和检
分析2: 作圆内接三角形的内切圆，其半 径为1/2，同样根据几何概率，要使弦长大于 3 ，当且仅当弦的中点在内切圆内 ( 或者该 弦的中点到圆心的距离小于1/2 ) 。 从而，其 概率为
内切圆的面积 1 P 外接圆的面积 4
分析3: 由于弦的中点必在某直径上，故 考虑中点落在某直径上的弦，则弦长大于当 且仅当弦的中点位于直径的中段，由几何概 率知其概率为1/2。
分之一，当主持人打开了有山羊的3号门后， 那么1号门和2号门后有汽车的概率就都变成 了1／2，完全没有必要改变原来的选择。
玛丽莲在接下来的二期专栏中对她的结 论给予了开玩笑式的解释：假如当主持人打 开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台 上选。他在能选的两个门中任选一个，有车 的概率确实都是50%。但你不是刚到，你有 优势，因为主持人帮助过你了，他为你在其
假设你正在参加一个游戏节目，你被要 求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一 辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了 一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有 什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门, 假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号
数学 悖论
红衣女子是真实的 还是在拼图里的？
两列火车会相撞吗？
美国魔术· 安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品
球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？
折叠的棋盘：你从上面还是从下面看到棋盘呢?
曲折的悖论：这是一个奇妙的不可能成立的曲折体， 由匈牙利艺术家托马斯· 伐克期创作
瑞典艺术家奥斯卡· 卢特 斯瓦尔德，给了我们不可 能的三角形中又一种变化。
1 2 1
概率悖论之贝壳之谜
• 三个贝壳的谜题改编自蒙特霍问题，也就是三门 问题，源于博弈论和数学游戏问题.以下是蒙提霍 尔问题的一个著名的叙述：假设你正在参加一个 游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中 一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊.你选 择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有 什么，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三 号门.他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换 你的选择对你来说是一种优势吗？这条问题亦被 叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上 并不自相矛盾，但十分违反直觉.这问题曾引起一 阵热烈的讨论.
概率悖论之三张卡片的骗局
• 问题提出：三张卡片，分别为第一张A两面 都是红色，第二张B，一面是红色，一面是 黑色，第三张C两面都是黑色.庄家把卡片 放在帽子里摇晃，取出一张放在桌子上， 打赌下面和上面的颜色相同.庄家会这样说， 这个赌博是公平的.假定取出的卡片上面是 红色，那么不可能是卡片C，所以要么是A， 要么是B，也就是要么相同，要么不同，这 样的话输赢的概率都是1/2.
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。 正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说，
从惊讶到思考-----数学悖论奇景-教案
从惊讶到思考教案[教学课题] 从惊讶到思考[课时安排]15分钟教学方法启发式教学讲授与多媒体演示结合教学目标1.使学生对悖论有个初步的了解2.掌握悖论的主要形式了解现实生活中存在的悖论3.通过本堂客的学习引发学生对悖论学的兴趣进一步培养逻辑思维能力4.提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力。
教学重点难点了解悖论对悖论三种形式的认知及其举例介绍通过本节的学习使学生对悖论学研究产生性趣自己教学用具用PowerPoint软件自制计算机幻灯片计算机辅助教学软件教学过程设计教学活动教学目的引课:首先提出问题“我今天说的话全部是谎话”对同学进行提问然后分析引发思考发现这句话的矛盾点存在哪里进而引出本章课题主要内容悖论激发兴趣导入新课开始播放幻灯片解释课题什么是悖论?悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。
让学生认识什么是悖论悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
悖论是自相矛盾的论题解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念悖论的三种形式：1．两难推理：一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．似是而非：一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．似非而是：一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
使学生了解悖论的三种形式分别对三种形式做出解释及举例论证1、两难推理：纪晓岚的故事引出趣味对联：天下霜，天下雪。
下雪下霜变成水多麻烦，不如开始就下水人吃饭，人吃菜。
吃饭吃菜变成屎多麻烦，不如开始就吃屎如果爱…………如果你爱我，你不会故意伤害我，如果你爱我，你不会故意欺骗我。
你或者是故意伤害我，或故意欺骗我。
所以，你不爱我借助两个趣味幽默的例子给学生阐明两难悖论的意义2、似非而是：借助书籍《似是而非》及书中提出的十大戒律使学生们了解似非而是型悖论3、似是而非：罗素悖论，唐吉可德的故事进而引发学生的思考讨论分析故事中出现的悖论用故事例子来加深学生对悖论形式的理解通过对三种形式的佐证举例使学生进一步了解悖论激发学生对悖论学的学习兴趣播放图片和视频给学生们展示一些因视觉误差而产生的悖论激发学生们对悖论学习的热情介绍悖论的意义悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学等学科的非常广泛的论题。
数学悖论奇观
数学悖论奇观数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论的解决都是一次数学的飞跃。
所以在中学数学教学中适当讲几个悖论，有助于激发学生兴趣。
下面辑录几则生动而奇妙的悖论，其中的奥妙留给读者去思考。
1、说谎者悖论公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。
”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。
可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：（1）“我在说谎”如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎，矛盾不可避免。
它的一个翻版：（2）“这句话是错的”这类悖论的一个标准形式是：如果事件a发生，则推导出非a，非a发生则推导出a，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
拓扑学中的单面体是一个形象的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。
他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。
这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。
在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。
”他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。
事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。
只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。
”罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。
”但是这一方法并没有取得成效。
“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。
数学悖论奇景
二、让我们再来建造第二批金字塔。
这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。
我们依然由小到大从上往下排，在达到最高的9个数字时，再由大到小地排下去，它们每行的数字也依旧是从增加到减少，形成一个横卧的金字塔。
我们依然也列出两种方向的排法。
你猜怎么着?这次的结果依然和第一批金字塔相同：还是1234567890!真是十分奇妙!（图B）三、下面来换上所有的偶数如何?但是我们不得不排除掉数字0，因为它在加法中不起多大作用。
这时参加循环排列的数字只有2、4、6、8这4个，比刚才的奇数数字少了1个，但我们仍然由小到大从上往下排，待排到出现9个数字为止，然后再逐步递减到只剩下1个数字。
真想不到，答案又是1234567890!这场“奇偶数大战”出人意料的以1∶1告终，双方谁也没有占到什么便宜。
（图C）四、如果你嫌刚才的金字塔不够壮观，那么这次可以让台阶更长一些，堆得也更高一些，排得最高时达到17个数字。
不过如果你细心观察的话，这里的排列规律并没有什么区别，故不再详细介绍了。
现在请你仔细看，这次的结果为112233445566778890，是个18位数。
这两座金字塔可以说很壮观吧!（图D）五、事实上，构建金字塔的材料是很多的，并不局限于以上所举的那一些。
不妨选上3个数字，假定是1、4、7或者2、4、6，我们也可以拿它们来建塔。
当然这里要做点变动，细心的读者会从以下的金字塔中发现有个别的数字并不服从总的规律。
这样做完全是为了使结果符合理想数987654321。
但如果粗心一点的话，你是不会发觉的。
（图E）用数字建造金字塔能使你感到数学既美丽又奇妙，希望你也能建造出类似的金字塔。
（秦伟摘自《聪明泉》1996年7、8期）爸爸心里最明了○胡宏纶杨继川译托尼对做统计工作的爸爸斯坦·斯达特曼说：“爸爸，请你给我和弟弟查理出几道趣题，好吗?”“当然好。
”爸爸说，“我很乐意接受你的提议。
”于是，父子之间有关趣题的讨论便开始了。
当时我就震惊了：无穷带来的各种悖论
当时我就震惊了：无穷带来的各种悖论希尔伯特旅馆悖论（Hilbert'sparadox of Grand Hotel）希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。
一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。
我让 1 号房间的客人搬到 2号房间，2 号房间搬到3 号房间⋯⋯n 号房间搬到n+1 号房间，你就可以住进 1号房间了。
”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。
我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到4 号，3 号搬到6 号⋯⋯n 号搬到2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。
”这就是德国大数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出的著名悖论。
每个学过集合论的学生，都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。
虽然人们把它叫做一个“悖论”，它在逻辑上却是完全正确的，只不过大大出乎我们的意料罢了。
一扯上无限，有趣的事说也说不完。
意大利数学家伽利略（Galileo Galilei）在他的最后一本科学著作《两种新科学》（Two New Science）中提到一个问题：正整数集合{1, 2, 3, 4, ⋯⋯} 和平方数集合{1, 4, 9, 16, ⋯⋯} 哪个大呢？一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，前者显然比后者大；可另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合大小应该相等才对。
伽利略比较早地使用了一一对应的思想，可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。
最后他得出的结论就是，无限集是无法比较大小的。
说到这里，我们不得不提到德国另一位伟大的数学家乔治·康托（George Cantor），他建立了集合论（set theory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小，只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了，而是叫势（cardinality）。
如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。
粤教版高中语文选修《论帽子哲学》教案
粤教版高中语文选修《论帽子哲学》教案高中语文选修课本《论帽子哲学》是英国作家加德纳的作品，下面是店铺给大家带来的粤教版高中语文选修《论帽子哲学》教案，希望对你有帮助。
高中语文《论帽子哲学》教案教学目标：1、了解文章的主旨2、培养学生客观分析评价事物与人的品质教学重难点：重点：文章思想内容的把握难点：认识那种不够客观公正、戴有色眼镜看世界的错误做法教学方法：自读、讨论、小结教学时数：一课时教学程序设计：一、导语设计：在生活中，我们总是不断地在评判别人和被别人评判，而在这一过程中不可避免地会出现许多谬误与偏见，那么，为什么会产生这样的偏见呢?如何才能避免或减少这种错误呢?学完本文之后我想大家一定可以找到答案。
二、解题：1、作者介绍：加德纳，英国当代著名的新闻记者、散文家。
他有着敏锐的社会洞察力和突出的表达能力，往往能够关注到生活中很细小但却又很关键的社会问题。
3、题目分析：帽子是作为全文的引子出现的，由帽子引出对于社会社会问题的思考，而所谓“帽子哲学”是指因为帽子产生的一些个人理论。
三、整体感知：1、集体朗读全文，感知文章主旨⑴要求：① 有感情地朗读文章② 读准字音③停顿准确合理⑵教师点评：① 总体不错，感情投入，停顿合理。
② 个别字词读音还需注意，如：滑稽(jī)俾斯麦(bǐ)喏(nuò)伺候(cì hou)⑶全文主旨：我们所有的人都是通过特殊的锁孔去看待人世。
(文章的最后一段)2、快速阅读全文，弄清以下问题：⑴文章的最后一段的主旨与题目中的“帽子”有何关系?⑵作者为了充分证明自己的观点又举了哪些例子?(完成表格)⑶对于这些例子，作者又是如何处理的呢?讨论并明确：⑴帽子事件是作者亲身经历的一件事，文章通过帽店老板光凭帽子大小来评判一个人的地位、身份等来引出对于一种社会现象的思考，是全文的引子。
高中语文《论帽子哲学》作者简介20世纪下半叶，美国科普界叱咤风云数十年的三位大师级马丁·加德纳(左)人物是艾萨克·阿西莫夫、卡尔·萨根与马丁·加德纳，堪称一时瑜亮，难分轩轾。
马丁·加德纳的两道趣题
马丁加德纳的两道趣题
又耳
【期刊名称】《时代数学学习：8年级》
【年(卷),期】2005(000)001
【摘要】马丁．加德纳(Martin Gardner)是当代美国最为著名的数学科普作家，
马丁·加德纳读万卷书，行万里路，知识非常渊博，所发表的数学科普文章，内容
几乎涉及数学的每一个分支，从最简单的算术、代数到莫测高深的拓扑学、超穷数，覆盖面之广泛，“热点”之众多，令人侧目．
【总页数】2页(P86-87)
【作者】又耳
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.马丁·加德纳：数学科普大师 [J], 曾甘霖
2.从两道智力赛题中得到的启示——一道特殊的一次方程组趣题的求解 [J], 周士
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3.两道数学竞赛题与一个有趣的不等式 [J], 张赟;张寒星
4.两道数学竞赛题与一个有趣的不等式 [J], 张赟
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[马丁·加德勒]从惊讶到思考——数学悖论奇景第一
章逻辑学悖论
第一章逻辑学悖论
如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，就会发现，没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。
他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。
到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？
这一章的主要目的，是尽可能用娱乐的方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。
在这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。
在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。
在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。
逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。
尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直
接结果。
在这里，你会看到引自伯特兰德·罗素的话，
他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作，写了《数学原理》，这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。
作为一个数学教师，不用人提醒就懂得，逻辑学是一切演绎推理的基础，一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。
对这些基础的理解往往是较困难的，它使初学学生丧失对数学的兴趣。
幸好，这组故事可以帮助你使学生认识到，逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。
在这组故事中有三个中心问题。
1．在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？
2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？
3．在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可能的？最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。
现代几何学教科书，如雅可比的《几何学》，和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。
如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。
这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背
景知识，并预计到可能会提出的问题，还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。
1．克里特人伊壁孟德伊：所有的克里特人都是撒谎者。
M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，
他必然说了假话。
他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。
他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？。