九年级数学上册-圆的有关性质24.1.4圆周角教案新版新人教版
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论说课稿
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一幅美丽的圆形喷泉图片，引导学生观察并思考：为什么喷泉的水流会呈现出圆形？这与我们今天要学习的圆周角有什么关系？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示几何图形，降低学生的认知难度；激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性；丰富教学手段，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将鼓励学生积极发言，及时给予肯定和鼓励，营造轻松、愉快的课堂氛围。同时，针对学生的疑问，给予耐心解答，引导他们深入思考。
在整个课程体系中，圆周角定理及推论处于几何模块的圆部分，是圆的基本性质和定理之一。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的对称性以及圆的弦、弧等相关知识。本节课的主要知识点包括：圆周角的定义、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质等。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生在理解圆周角定理的证明过程时可能存在困难。
2.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，影响解题效果。
3.课堂时间有限，可能无法充分满足所有学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上增加师生互动，及时解答学生的疑问，并通过实际操作活动，培养学生的空间想象能力。课后，我将通过作业完成情况、课堂表现和学生反馈来评估教学效果。
4.数学游戏：设计一些与圆周角相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习积极性。
人教版九年级上册24.1.4圆周角教学设计
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。
a.基础题：求给定圆周角的度数。
b.提高题：已知圆周角，求圆心角或弧度。
c.应用题：解决实际问题，如求圆的周长、面积等。
2.学生在练习过程中，巩固圆周角的知识，提高解题能力。
4.能够运用圆周角知识，结合其他数学知识，解决综合性问题，提高学生的数学综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过直观演示、动手操作、合作交流等教学活动，引导学生自主探究圆周角的性质和定理，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.通过对圆周角定理的证明，让学生体会数学推理的逻辑严密性，提高学生的推理能力。
（1）让学生通过画圆、量角等实践活动，自主发现圆周角的性质。
（2）组织学生进行小组讨论，引导学生运用已有知识，推导圆周角定理。
（3）教师适时给予指导，帮助学生突破证明过程中的难点。
3.案例分析，巩固知识
通过对典型例题的分析和讲解，让学生掌握圆周角定理的应用，提高学生的解题能力。
4.紧扣重难点，梯度训练
3.培养学生勇于挑战困难、克服困难的精神，增强学生的自信心和自我价值感。
4.引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，提高学生的数学素养，培养学生的社会责任感。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师要善于运用教育机智，创设生动活泼的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆周角的概念、性质和定理的理解与应用。
2.难点：圆周角定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
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（3）鼓励学生参加数学竞赛、课外活动，拓宽知识视野，提高数学素养。
四、教学内容与过的基本概念，如圆心、半径、直径等，为新课的学习做好铺垫。
（1）请学生回顾圆的定义及圆的基本性质。
（2）提问：圆心角和弧有什么关系？如何计算圆心角的度数？
（二）讲授新知
1.圆周角定理的推导：
（1）引导学生观察圆中的圆周角，尝试总结其性质。
（2）教师通过动画演示，直观展示圆周角定理的推导过程。
（3）讲解圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
2.圆周角定理的应用：
（1）结合实际例题，讲解如何运用圆周角定理解决问题。
（2）引导学生关注圆周角定理在解决角度、弧度等问题中的应用。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳，培养学生发现问题的能力。
2.通过自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
3.通过实际操作，培养学生的动手能力和空间想象能力。
4.引导学生从不同角度思考问题，培养学生思维的灵活性和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，提高学生对数学美的感受。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
3.培养学生的团队协作精神，学会与人沟通交流。
4.通过圆周角定理的学习，使学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
1.导入：通过复习圆的基本概念，引导学生关注圆周角。
2.自主探究：让学生观察圆周角的特点，尝试总结圆周角定理。
3.合作交流：分组讨论，分享探究成果，互相学习，共同完善圆周角定理。
1.学生总结：请学生谈谈本节课的学习收获，对圆周角定理的理解和运用。
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》是本节课的主要内容。
圆周角定理是圆周角定理系列中的重要定理之一，也是后续学习圆的性质和圆的方程的基础。
本节课的内容包括圆周角定理的证明和应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，对角的性质有一定的了解。
但是，对于圆周角定理的理解和运用还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。
三. 教学目标1.了解圆周角定理的内容和证明过程。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的证明过程。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。
2.运用多媒体辅助教学，展示圆周角定理的证明过程，增强学生的直观感受。
3.通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用圆周角定理，巩固所学知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆规、直尺等绘图工具。
3.相关例题和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，引导学生回顾相似三角形的性质和角的性质。
让学生思考：在圆中，圆周角和圆心角之间有什么关系？2.呈现（10分钟）展示圆周角定理的证明过程，引导学生观察和理解证明方法。
通过多媒体动画演示，让学生更直观地感受圆周角定理的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与圆周角定理相关的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）呈现一些例题和练习题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆周角定理在实际问题中的应用。
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角优秀教学案例
1.利用多媒体课件，讲解圆周角的定义及其性质。
2.通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。
3.运用几何图形，解释圆周角定理及其推论。
在讲授新知环节，我将利用多媒体课件，讲解圆周角的定义及其性质。通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。在此基础上，我会运用几何图形，解释圆周角定理及其推论。在这个过程中，注重引导学生积极参与，鼓励他们提出问题，以便更好地理解和掌握圆周角的知识。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论。
2.让学生通过合作、交流，共同探究圆周角的性质。
3.组织学生展示讨论成果，分享彼此的想法和收获。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体课件，展示生活中的圆周角实例，引导学生认识圆周角。
2.通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。
3.设计有趣的数学问题，激发学生的求知欲。
在情景创设方面，我将运用多媒体课件，以生动形象的方式展示圆周角的特点，帮助学生建立起空间观念。通过展示生活中的圆周角实例，引导学生认识圆周角，激发他们的学习兴趣。同时，设计有趣的数学问题，激发学生的求知欲，让他们在解决问题的过程中，自然而然地引入圆周角的知识。
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级上册数学24.1.4圆周角，旨在让学生掌握圆周角的定义、性质及其在几何中的应用。通过对圆周角的学习，培养学生观察、思考、推理的能力，提高他们的空间想象力。
圆周角是圆心角的一种，它在圆中具有重要的地位。在本节内容中，学生需要了解圆周角的定义、性质，并能运用圆周角定理解决实际问题。在教学过程中，我将结合生活实例，引导学生认识圆周角，并通过小组合作、讨论交流的方式，让学生探究圆周角的性质，从而提高他们的合作意识和解决问题的能力。
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角定理教学设计
（1）运用多媒体演示或实物模型，帮助学生直观地理解弦所对圆周角与圆心角的关系。
（2）结合具体例题，引导学生总结解决圆周角定理相关问题的方法和技巧。
4.巩固练习：
设计具有梯度、层次的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
5.课堂小结：
通过师生互动，引导学生回顾本节课所学内容，总结圆周角定理及其应用。
4.通过对圆周角定理的推导和应用，培养学生的空间想象能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，提高学生的数学素养。
2.培养学生勇于探索、积极思考的精神，让学生在解决问题的过程中体验到数学学习的乐趣。
3.引导学生形成良好的学习习惯，如认真审题、规范答题、及时总结反思等，提高学生的学习效率。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：让学生分组讨论如何推导出圆周角定理。
师：请大家分组讨论，每个小组都要思考如何用几何方法推导出圆周角定理。
2.汇报交流：各小组汇报自己的推导过程，其他小组进行评价和补充。
师：现在请各小组派代表汇报你们的推导过程，其他小组认真听，看看有没有需要补充的地方。
3.教师点评：教师对学生的推导过程进行点评，给予肯定和指导。
1.完成作业时，请同学们认真审题，确保解答过程的规范性和准确性。
2.作业完成后，及时进行自我检查，对疑问的地方做好标记，以便在课堂上提问。
3.小组合作完成的开放性问题，鼓励大家积极参与讨论，发挥团队协作精神，共同解决问题。
师：大家的表现都非常棒！在推导过程中，我们要注意严谨的几何论证，确保每一步都合理。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对圆周角定理，设计不同难度的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。
九年级数学上册24.1.4圆周角教案新版新人教版
24.1.4 圆周角一、教学目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.二、课时安排1课时三、教学重点理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题. 四、教学难点了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.五、教学过程（一）导入新课问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?（二）讲授新课活动1：小组合作探究1：圆周角的定义定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.探究2; 圆周角定理及其推论如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.探究3：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.(1)完成下列填空：∠1= . ∠2= . ∠3=.∠5= . （2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？（3）若AC是半圆，∠ADC= ，∠ABC= .探究4:四、圆内接四边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .活动2：探究归纳圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧所对的圆周角相等推论2：等弧所对的圆周角相等推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.反之，直角所对的弦是直径.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.（三）重难点精讲例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．解：(1)∵AC 是直径， ∴ ∠ADC =90°. 在Rt△ADC 中，22221068;DC AC AD =-=-=(2)∵ AC 是直径, ∴ ∠ABC =90°. ∵BD 平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB =∠ADB , ∠BAC =∠BDC . ∴ ∠BAC =∠ACB, 在Rt△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，221052(cm).22AD BC AC ∴==== 归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.（四）归纳小结 1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理及推论的运用。
人教版九年级上册24.1.4圆周角教学设计
人教版九年级上册24.1.4圆周角教学设计一、教学目标1.知道圆周角的定义2.能够计算圆周角的度数3.熟悉圆周角在实际应用中的运用二、教学重点1.圆周角的定义2.计算圆周角的度数三、教学难点1.熟悉圆周角在实际应用中的运用四、教学方法1.讲解：通过讲解圆周角的定义和计算方法，让学生掌握基本概念和方法。
2.实验：通过展示圆形物品，让学生亲身体验圆周角的度数。
3.案例分析：通过实例分析，帮助学生了解圆周角在实际应用中的运用。
五、教学过程1. 导入新知识通过展示圆形物品，如扇形、轮胎等，让学生感受圆形的特征，并引入圆周角的概念。
2. 讲解圆周角的定义让学生掌握圆周角的定义：圆周角是指夹在圆内的两条弧所对的角。
3. 讲解圆周角的计算方法1.讲解圆周角的度数：圆的周长为360度，因此圆周角所对的弧长与圆周长的比例为所对的角与360度的比例。
2.计算圆周角的度数：根据所对弧的长度与圆周长的比例以及圆周的度数制求得圆周角的度数。
4. 实验展示通过展示圆形物品，让学生通过手动旋转掌握圆周角的度数，并在班级中交流讨论。
5. 案例分析1.讲解圆周角在电子产品外观设计中的应用。
2.讲解圆周角在建筑、机器等领域中的应用。
六、教学评价通过布置作业，检测学生对圆周角的掌握程度，并通过课堂互动，了解学生对圆周角在实际应用中的理解情况。
七、板书设计1.圆周角的定义：夹在圆内的两条弧所对的角。
2.圆周角的计算方法：所对弧长与圆周长的比例。
八、课堂设计本节课内容较为抽象，需要通过实物展示和案例分析来帮助学生掌握基本概念和方法。
同时，教师还需要与学生进行及时互动，以确保学生的参与度和掌握程度。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》一. 教材分析《圆周角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆周角的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的定义、半径、直径等。
同时，学生也具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但是，对于圆周角的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析和归纳，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角的定义和性质。
2.运用圆周角解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解圆周角的定义和性质，引导学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体案例，让学生更好地理解圆周角的运用。
3.小组讨论法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件：制作相关的课件，包括圆周角的定义、性质和应用等方面的内容。
2.案例：准备一些具体的案例，用于分析和解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用课件呈现圆周角的定义和性质，让学生初步了解并掌握相关知识。
3.操练（15分钟）让学生通过观察和分析具体的案例，运用圆周角的知识解决问题，巩固所学内容。
4.巩固（5分钟）让学生完成一些练习题，检查对圆周角知识的掌握程度，并对存在的问题进行讲解和辅导。
5.拓展（5分钟）引导学生进一步思考和探讨圆周角在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是人民教育出版社九年级数学上册第24章《圆》的第四节内容。
本节主要让学生通过探究圆周角的性质，掌握圆周角定理及其推论，并能在实际问题中运用。
圆周角定理是圆的内接四边形定理的重要组成部分，对于学生理解圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但学生对于圆周角的理解和应用还不够深入，需要通过本节内容的学习，进一步巩固和提高。
同时，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，需要在教学过程中加强引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆周角定理及其推论，能运用圆周角定理解决简单问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：圆周角定理及其推论。
2.难点：圆周角定理的证明和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、推理，从而得出圆周角定理。
2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，运用圆周角定理解决问题。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和图片，以便于学生观察和分析。
2.准备一些实际问题，供学生练习和应用。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与圆有关的实际问题，引导学生思考圆周角的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示圆周角定理的内容，让学生初步了解圆周角定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，通过观察、分析、推理，证明圆周角定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生运用圆周角定理解决一些实际问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生进一步探索圆周角定理的推论，了解圆周角定理在几何中的应用。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(教案)
2.教学难点
-理解圆周角与圆心角的关系：学生需要通过观察和思考，理解圆周角与圆心角之间的数量关系，这对于空间观念较弱的学生来说是一大挑战。
-推导和应用圆周角定理的推论：学生在掌握了圆周角定理的基础上，需要能够推导出相关的推论，并能够灵活应用于解决实际问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示圆周角定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
此外，关于学生小组讨论环节，我觉得主题设置得较为贴近生活，能够激发学生的兴趣。但在讨论过程中，我发现部分学生的思考不够深入，可能是因为我对他们的引导不够。在以后的教学中，我需要提高自己的引导能力，提出更有针对性的问题，激发学生的思考。
最后，课堂总结环节，我尽量让学生自己总结今天所学的内容，这样有助于加深他们的印象。但从学生的反馈来看，他们对于圆周角知识点的掌握程度还是有所差异。为了帮助每个学生都能更好地掌握这些知识点，我计划在课后加强个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了圆周角这一章节的内容。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于圆周角定义的讲解，我尝试通过日常生活中的例子来引导学生理解，效果还不错。但我也注意到，部分学生对圆周角与圆心角的关系仍然有些模糊。在以后的教学中，我需要更加注重学生对这一概念的理解，可以通过更多实例和直观演示来加强他们的认识。
24.1.4 圆周角 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
问题4：为了证明上面发现的结论，首先观察圆周角与圆心O的位置 特点，然后将它进行分类.
结论：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 因此，我们得到以下三种情况：
圆心在圆周角外
圆心在圆周角的一边上
圆心在圆周角内
探索新知 活动五：证明圆周角与圆心角的关系
证明：在⊙O中 OA=OC
∴∠A= ∠C ∵∠BOC是△AOC的外角
圆周角的概念
我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(1)图中的圆周角：__∠__B_A_C____. (2)这个角所对的弧：_______.
说出下图中有哪些圆周角，并分别说出它们所对的弧.
A
∠BAC 、∠B 、∠C 、∠BDC 、∠CAD
D
O C
∠ADB 、∠BAD 、∠ADC
B
探索新知
∴∠BOC= ∠A+ ∠C
A
O B
D
A
OO
B
C
D
A
O C
D
A O
A
O
D
C
D
C
B
A O
D条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
几何语言： 在⊙O中
课堂小测
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的 同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= 70 º， (2)∠BDC= 35 º.
AA
追问：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对
O
的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得
C 出同样的结论吗？
结论仍然成立. B
探索新知 活动三：探究圆周角与圆心角的数量关系
因此， 猜想：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
九年级数学上册(人教版)24.1.4圆周角(第一课时)优秀教学案例
1. 引导探究：引导学生观察、分析圆周角与圆心角的关系，引导学生归纳总结圆周角定理；
2. 解决问题：让学生运用圆周角定理解决实际问题，提高解决问题的能力；
3. 拓展思考：设计拓展性问题，如“圆周角定理在其他几何图形中的应用”，引导学生深入思考，提高逻辑思维能力。
问题导向环节是本节课的核心部分。在这一环节，我会引导学生观察、分析圆周角与圆心角的关系，让学生通过自主探究，归纳总结出圆周角定理。在解决问题环节，我会设计不同难度的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。此外，我还会设计拓展性问题，激发学生的思考兴趣，提高学生的逻辑思维能力。
2. 问题情境：设计具有启发性的问题，如“圆周角与圆心角有什么关系？”，引导学生主动探究，引发思考；
3. 实践情境：让学生亲自动手作图，体验圆周角定理的应用，提高实践能力。
在情景创设环节，我会注重引导学生观察生活中的圆形物体，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过设计具有启发性的问题，激发学生的求知欲，引导学生主动探究。同时，我会组织学生进行实践操作，让学生在动手实践中体验圆周角定理的应用，提高实践能力。
（三）学生小组讨论
1. 讨论问题：让学生分组讨论如何运用圆周角定理解决实际问题；
2. 分享讨论成果：鼓励学生分享讨论过程中的收获和感悟，互相学习；
3. 教师指导：针对学生的讨论情况进行点评，引导学生进一步思考。
在学生小组讨论环节，我会提出讨论问题，让学生分组讨论如何运用圆周角定理解决实际问题。在讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论情况。讨论结束后，鼓励学生分享讨论成果，互相学习。最后，我会针对学生的讨论情况进行点评，引导学生进一步思考。
2. 问题导向的教学方式：通过设计具有启发性的问题，如“圆周角与圆心角有什么关系？”引导学生主动探究，引发思考。这种问题导向的教学方式，能够有效地激发学生的求知欲，培养学生的逻辑思维能力，并且能够让学生在学习过程中始终保持积极的状态。
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》优秀教学案例
3.教师要关注小组合作的过程，及时发现和解决问题，确保小组合作活动的有效进行。
4.利用小组合作评价，鼓励学生积极参与，培养他们勇于承担责任的精神。
（四）总结归纳
1.引导学生对所学知识进行反思，巩固所学内容，提高他们的自我学习能力。
2.探究性学习的设计：在教学过程中，我设计了具有挑战性和梯度的问题，引导学生逐步深入探讨圆周角的性质和定理。同时，我鼓励学生提出问题，培养他们敢于质疑的精神，使他们在问题中发现问题、解决问题。这种探究性学习的设计有效地培养了学生的独立思考能力和解决问题的能力。
3.小组合作的学习方式：我设计了小组合作探究活动，让学生在小组内部分工合作，共同完成任务，培养他们的团队协作能力和沟通能力。通过小组合作，学生能够相互学习、相互帮助，提高了他们的合作交流能力，同时也增加了课堂的活力和互动性。
2.通过实物展示或模型制作，让学生直观地感受到圆周角的形成过程，帮助学生建立圆周角的概念。
3.设计具有启发性的问题，引导学生思考圆周角与日常生活的联系，提高他们的实际应用能力。
4.创设轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高他们的学习效率。
（二）讲授新知
1.引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探索圆周角的性质，培养他们的独立思考能力。
2.引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探索圆周角的性质，培养他们的独立思考能力。
3.在问题解决过程中，教师要给予学生及时的点拨和指导，帮助他们克服困难，提高他们的解决问题的能力。
4.鼓励学生提出问题，培养他们敢于质疑的精神，使他们在问题中发现问题、解决问题。
（三）小组合作
1.设计小组合作探究活动，让学生在小组内部分工合作，共同完成任务，培养他们的团队协作能力。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(第2课时)教学设计
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中含有圆周角的物体，如时钟、风扇、自行车轮等，引导学生观察并思考这些物体上的圆周角特点。
-提问学生：“你们知道什么是圆周角吗？圆周角有哪些特点？”激发学生对圆周角的兴趣。
2.教学目的：
-通过生活中的实例，让学生感知圆周角的存在，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，构建概念：
-让学生通过画圆、量角等活动，直观感受圆周角的特点。
-引导学生通过小组合作，探讨圆周角的定义，推导圆周角定理及推论。
-教师适时给予提示和引导，帮助学生理解圆周角的性质和定理。
3.实践应用，巩固知识：
-设计具有挑战性的练习题，让学生独立完成，巩固圆周角的知识。
-通过实际案例，如园林设计、道路规划等，让学生运用圆周角知识解决实际问题。
-对本节课学习的圆周角的定义、定理、推论进行梳理和归纳。
-总结圆周角知识在实际生活中的应用。
2.教学方法：
-学生分享学习体会，总结圆周角知识的关键点。
-教师点评学生的发言，强调重点知识，并对本节课进行总结。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
-激发学生的好奇心，引导学生积极思考，为新知的探究奠定基础。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-圆周角的定义：从圆上任意两点分别向圆内引两条不重合的射线，所形成的角叫做圆周角。
-圆周角定理：ห้องสมุดไป่ตู้周角的度数等于它所对圆弧的度数的一半。
-圆周角推论：圆内接四边形的对角互补。
2.教学方法：
-采用讲解、演示、举例等教学方法，让学生理解圆周角的定义及性质。
人教版九上数学第24章 圆 24.1.4 课时1 圆周角定理及其推论教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时1圆周角定理及其推论教案【教材内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】知识与技能：1．了解圆周角的概念；2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；【教学重点】圆周角的定理、圆周角的定理的推导．【教学难点】1．探究圆周角的定理的存在；2．运用数学分类思想证明圆周角的定理．【教学过程设计】一、情境导入进行中的足球比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究知识点一：圆周角定理例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．例3 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长例4 如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明例5 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算例6 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD ＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明例7如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补．三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【板书设计】24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1 圆周角定理及其推论1.圆周角的概念2.圆周角定理及推论3.圆内接四边形的性质4.应用圆周角定理及推论进行计算【课堂检测】C1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin cC =2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin bB=2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a A同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin cC =2R教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．人教版九年级数学（上）第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 课时1圆周角定理及其推论学案【学习目标】 知识与技能1．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题； 3．了解拱高、弦心距等概念．过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法．情感、态度与价值观在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质 进行证明，培养学生的创新意识． 【学习重点】垂径定理及其推论． 【学习难点】探索并证明垂径定理． 【自主学习】一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【新知探究】一、小组合作1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__53 __cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．【学习总结】学生总结本节课的收获与困惑．(2分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．教师点拨：圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。
九年级数学上册第二十四章24.1圆有关的性质24.1.4圆周角备课资料教案(新版)新人教版
第二十四章 24.1.4圆周角知识点1：圆周角的概念顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角.关键提醒:(1)圆周角必须具备两个特征:一是顶点在圆周上,二是角的两边都和圆相交;(2)圆周角与圆心角一样,在圆中经常出现,它们的相同点是角的两边都和圆相交,不同点是圆心角的顶点在圆心而圆周角的顶点在圆上.知识点2：圆周角定理及推论圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理的推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;(2)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等;(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.关键提醒:(1)圆周角定理中,包含了两方面的意义:一是圆周角与圆心角存在关系的前提条件是同圆或等圆中它们对着同一条弧,二是对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半,不能丢掉“同弧或等弧所对的圆周角和圆心角”这一条件,而简单地说成“圆周角等于圆心角的一半”;(2)“相等的圆周角所对的弧相等”的前提条件是“在同圆或等圆内”,离开这个前提条件,结论不一定成立;(3)圆的直径常与90°的圆周角联系在一起,有关直径问题,常作直径所对的圆周角构成直角;有关90°的圆周角所对的弦为直径;(4)在同圆或等圆中,两个圆周角、两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,他们对应的其余各组量也相等.知识点3：圆的内接四边形概念和圆内接四边形的性质圆的内接多边形定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形性质:圆的内接四边形的对角互补.关键提醒:根据圆的内接多边形性质不难得出:圆的内接四边形任何一个外角等于它的内对角.A. ①②B. ③C. ③④D. ③④⑤答案:B.点拨:由于图形①②中的角的顶点不在圆上,所以图形①②中的角不是圆周角.图形④中的角的只有图形③中的角符合圆周角的两个条件考点2AB=4,如图A B,由垂径定理可得AC=2,OC=OA,【例3】在圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数的比是3∶2∶7,求四边形各内角度数.解:设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x,2x,7x.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=3x+7x=180°.解得x=18°.∴∠A=3x=54°,∠B=2x=36°,∠C=7x=126°.又∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-36°=144°.点拨:根据圆的内接四边形性质,可知∠A+∠C=180°,再运用方程思想即可求出四边形各内角度数.。
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24.1.4 圆周角
【知识与技能】
理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.
【过程与方法】
经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力.
【情感态度】
通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
【教学重点】
圆周角定理及其推论的探究与应用.
【教学难点】
圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及
圆周角定理及推论的应用.
一、情境导入,初步认识
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
［相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］
【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析,初步
感知角的特征.
二、思考探究,获取新知
1.圆周角的定义
探究1 观察下列各图,图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置,此时∠APB叫做圆心角,这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上,角的两边都与⊙O相交,这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.
【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.
【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.
2.圆周角定理
探究2如图,（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧？
（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系？
（3）改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律,请用语言叙述.
解：（1）圆心角有：∠AOB圆周角有：∠C、∠D,它们所对的都是AB
（2）∠C=∠D=1/2∠AOB
.（3）改变动点C在圆周上的位置,这些圆周角的度数没有变化,并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.
【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小,移动点C,让学生观察当C点位置发生改变过程中,图中有哪些不变,从而交流总结,找出规律,同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系,为定理分情况证明作铺垫.
为了进一步研究上面发现的结论,如图,在⊙O上任取一个圆周角∠ACB,将圆对折,使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同,这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上；
（2）在圆周角的内部；
（3）在圆周角的外部.
已知：在⊙O中,AB所对的圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB,求证：∠ACB=1/2∠AOB.
［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］
如图（1）,圆心O在∠ACB的边上,∵OB=OC,∴∠B=∠C,而∠BOA=∠B+∠C,
∴∠B=∠C=1/2∠AOB.
图（2）（3）的证明方法与图（1）不同,但可以转化成（1）的基本图形进行证明,证明过程请学生们讨论完成.
得出圆周角定理：
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.
注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”,而且必须是“同弧或等弧”,如下图（1）.
②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况,它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.
【教学说明】在定理的证明过程中,要使学生明确,要不要分情况来证明.若要分情况证明,必须要明白按什么标准来分情况,然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中,第（1）种情况是特殊情况,是比较容易证明的,经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况,体现由一般到特殊的思想方法。
对于后面要学生注意的两个问题,是为了加强学生对圆周角定理的理解,使学生能准确的掌握好圆周角定理。
3.圆周角定理的推论
议一议（1）特殊的弧——半圆,它所对的圆周角是多少度呢？
（2）如果一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是多少呢？
结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）
【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质,为在圆中确定直角,构成垂直关系创造了条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据.
4.圆内接四边形
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
⊙O是四边形ABCD的外接圆.
连接OB、OD,由圆周角定理可知：
∠A=1/2∠1,∠C=1/2∠2
而∠1+∠2=360°,∴∠A+∠C=
∴∠A与∠C互补,同理可得∠ADC+∠ABC=180°.
由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中,对角∠A与∠C,∠ADC与∠ABC互补.
若延长BC至E,使得四边形ABCD有一个外角∠DCE,则∠DCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.
由此可知圆内接四边形有如下性质：
圆内接四边形的对角互补,外角等于内对角.
【教学说明】从圆内接四边形的定义出发,可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角,再由圆周角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个性质,学生要能分清这个命题的题设和结论,并结合图形写出已知和求证.
三、典例精析,获取新知
例1如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D.
求BC、AD、BD的长.
分析：由直径AB可知△ACB和△ADB为直角三角形,进而可用勾股定理求BC,又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2,从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.
解：∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∴△ACB和△ADB为直角三角形.
在Rt△ABC中,BC==8（cm）.
∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠2,∴AD=BD,∴AD BD
.又在Rt△ABD中22（cm）
【教学说明】利用圆周角定理及其推论,将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.
例2 如图.AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠AOD=30°.求∠BCD的度数.
分析：这题有两种解答思路,可用圆周角定理,∠C=（180°+∠AOD）×1/2,也可由圆内接四边形的对角互补知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D,是等腰△OAD的两底角,从而可求出∠C.两种方法都不难求出∠C=105°.
【教学说明】教师提示,学生可自主选择方法,并由学生板书解答过程,发展学生的数学符号语言能力.
四、运用新知,深化理解
1.如图（1）所示,⊙O的直径AE=10cm.∠B=∠EAC,求AC的长.
2.如图（2）所示,AB是⊙O的直径,以AO为直径的⊙C与⊙O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？
3.如图（3）所示,两圆相交于A、B两点,小圆经过大圆的圆心O,点C、D分别在两圆上,若∠ADB=100°,求∠ACB的度数.
【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点,同时体会这节常见题型及常见辅助线的作法.在解题过程中,教师要对没有找到方法的学生进行点拨.
【答案】1. 52cm
2.(1)OA=OB,AC=OC,AE=DE (2)OE=1/2BD且OE∥BD
3.40°
五、师生互动,课堂小结
师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？
【教学说明】学生自主交流小结,教师加以补充和点评,营造轻松愉悦的氛围.
1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中,要求学生学会分类讨论,以及转化的数学思想解决问题,同时也培养了学生勇于探索的精神.其次,本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质,通过例题和习题训练,可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识,从中获取成功的经验,建立学习的自信心.
2.圆周角定理的证明分了三种情况探讨,这里蕴含着重要的数学思想——分类思想,教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等,故教学过程中要整理相互交融的知识结构,加强分类思想的渗透.。