二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟

《计算材料学》课程设计

指导老师：江建军教授

电子科学与技术系

2004年6月

二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟

彭延杰 邓峰 吴晓辉 罗佳星 罗鸣 彭欢

杨胜荣 梅巍 高志超 李冠娜 鲁力

( 华中科技大学电子科学与技术系0109班 武汉 430074 )

摘要： 研究了二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚现象，根据玻色—爱因斯坦分布公式建立数学模型，用MATLAB模拟了一定温度下各能级粒子

占有数，一定粒子数下基态占有率与温度的关系以及不同粒子数下基态

占有率与温度的关系，验证了BEC现象的一些基本特性，用C程序模拟

了有限粒子数大致的玻色凝聚过程。

关键词： 简谐势阱 玻色—爱因斯坦凝聚 逸度 临界温度 Abstract： The properties of Bose-Einstein condensation with finite number of particles in a two-dimensional harmonic oscillator

potential are studied.Mathematical model is established

according to the Bose-Einstein distribution equation.The

occupation numbers of particles in every energy level and the

relation between occupation rate at ground state and

temperature in the condition of certern particle number and

different particle number is simulated with MATLAB.Some basic

properties of BEC phenomenon is verified.The coarse process of

Bose-Einstein condensation at limited particle number is

simulated with C language.

Keyword： Harmonic oscillator potential;Bose-Einstein condensation;

fugacity;critical temperature

1 引言

1.1什么是玻色——爱因斯坦凝聚（BEC 以下皆以BEC代称）

爱因斯坦将所有自旋为整数的微观粒子, 称为玻色子, 它们都遵循玻色-爱

因斯坦统计,其特征是表现完全对称性。爱因斯坦发现, 如果粒子数守恒,即使粒子之间完全没有相互作用,玻色子系统在足够低的温度下, 会发生相变,即系统中有的粒子会达到零动量态。这就是所谓玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 。发生凝聚时，能量趋近于零时, 系统状态的总数目变得极其小。因为在温度下降时, 没有任何粒子消失, 系统中绝大多数粒子只能在其基态积累, 从而凝聚到最低能态。在热力学极限下,即粒子数与系统体积都趋于无限大时, 就会经历这个相变[1,2]。

1.2 BEC的近期进展及其前景

为了实现BEC，许多科学家做出了努力，取得了一系列成果[3]。

1995 年6 月5 日10 时54 分，美国在Boulder 的科罗拉多大学的维曼教授与美国NIST 的高级学者(开始为博士后) 科耐尔，在科罗拉多大学与NIST 的联合研究所中的联合天体实验室中，首次观察到约2000 个铷(87Rb) 原子的玻

10−K.。

色-爱因斯坦凝聚，持续时间约15—20s，温度约117 ×7

在1995 年9 月。以凯特利(Wolfgang Ketterle) 、克勒普奈尔和普里恰德(W. Prichard) 等为中心的MIT 小组,利用激光和电磁装置冷却和约束纳原子气体(23Na) ,奇迹般地使数以10 万计的钠原子呈现玻色-爱因斯坦凝聚. 由于凝聚物中包含更多的原子, 更便于研究其物理性质。

BEC 态的出现, 开辟了研究宏观量子现象的新天地. 并且由于原子的波长

远小于可见光的波长, 所以应用这种凝聚物所制成的原子激光, 将可在微电子线路的感光印刷术、精密测量、制造更小更高效的计算机芯片等方面找到新应用，相信随着实验技术的不断完善, 必将在应用领域产生巨大的变革, 而探讨势阱对产生BEC 的重要作用则是BEC 理论研究的一个中心内容.

1.3 本文探讨内容

与三维系统相比较，低维系统具有一些不同的性质，我们在这里研究的是二维情况下的BEC。由文献[4]的结论，在给定粒子数N的情况下，完全自由的理想玻色气体不可能出现BEC。而只有处于外势阱中的玻色气体，凝聚才可能发生。又由文献[5]，低温条件下，发生BEC的气体处于高度有序的状态下，二维无限深势阱中不会发生BEC。实验室中产生的BEC现象都是有限个粒子。因此我们研究二维简谐势阱中有限粒子数玻色气体的一些性质。

2 原理与建模 将体系热函数2212V m r ω=

代入薛定谔方程，可得二维谐振子的能级[5]，,11()()22

x y j j x x y y E j j ωω=+++ （1） x ω,y ω分别为谐振子沿x 和y 方向两种振动模式的圆周率，x j 和y j 为相应的量子数

/(2)h π= （2）

h 是普朗克常数，为了方便讨论，我们考虑各向同性谐振子。此时， x y ωωω==，谐振子的能级

j j E ω= （＋1） （3）

式中x y j=j +j 。考虑处于各向同性简谐势阱中的理想玻色气体，根据玻色—爱因斯坦分布，若不考虑简并度，

j ()/j=0j=01N=N 1j E kT e µ∞∞−=−∑∑ （4）

若考虑简并度，简单分析可知, 第j 个能级的简并度1g j =+，则分布

11exp[(1)/()]1

j j N Z j kT ω−+=+− （5） 令/k θω= 为特征温度，[/()]Z exp kT µ=为逸度，其中µ为化学势，k 为玻尔兹曼常数。代入（5）得

11exp[(1)/]1

j j N Z j T θ−+=+− （6） 所有粒子对应得量子数从0到∞，统计可得系统的总粒子数

101exp[(1)/]1

j j N Z j T θ∞−=+=+−∑ （7） 相应的，系统内能 21100(1)(1)exp[(1)/]1exp[(1)/]1

j j j j E j k U Z j T Z j T θθθ∞∞−−==++==+−+−∑∑ （8） 在系统总粒子数N 给定的条件下, 根据式(7) 可确定不同温度下的逸度Z . 把