二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟
一维理想气体中的玻色–爱因斯坦凝聚
一维理想气体中的玻色–爱因斯坦凝聚一维理想气体中的玻色-爱因斯坦凝聚玻色-爱因斯坦凝聚是一种奇特的量子现象，它在一维理想气体中尤为引人注目。
一维理想气体是指具有极高温度下几乎不受相互作用影响的气体。
本文将探讨一维理想气体中玻色-爱因斯坦凝聚的形成以及其对量子物理学的重要意义。
首先，了解一维理想气体的特性对于理解玻色-爱因斯坦凝聚至关重要。
一维理想气体的基态波函数可以通过求解一维薛定谔方程得到。
在极低温度下，原子几乎都占据能级的基态，即量子简并态。
此时，由于粒子之间的相互作用很弱，粒子之间的碰撞几乎消失，其动态行为更加接近于经典统计行为。
在这种条件下，原子开始表现出玻色-爱因斯坦凝聚的迹象。
玻色-爱因斯坦凝聚是指一种现象，即在低温下，具有整数自旋的玻色子（如气体中的玻色子）会聚集到一个量子态，占据能级的基态，形成凝聚体。
这种凝聚体与凝聚态物质中的液体、固体等不同，其具有非常奇特的量子性质。
在一维理想气体中，玻色-爱因斯坦凝聚的形成与粒子数密度以及温度密切相关。
当温度降低到临界值以下，粒子的平均间距变得很小，粒子之间的相互作用变得相对较强。
此时，粒子将不再以单个性态存在，而是开始占据相同的量子态，形成所谓的“同态占据”。
玻色-爱因斯坦凝聚的产生在实验上已有明确的证据。
通过高精度冷却技术，实验者们能够将玻色子降温到几乎接近绝对零度，然后通过观察原子的行为确定是否发生了凝聚。
实验结果显示，在临界温度以下，玻色子会聚集在一个相同的能级上，形成了凝聚体。
这种聚集现象在一维理想气体中特别明显，因为相互作用非常弱，使得粒子更容易以相同的量子态存在。
玻色-爱因斯坦凝聚的发现对量子物理学的发展具有重大意义。
首先，它为量子统计提供了一个重要的实验验证。
在凝聚体中，玻色子表现出与费米子（如电子）完全不同的统计行为。
其次，玻色-爱因斯坦凝聚是一种具有非常纯净的量子态，可以用来研究量子信息以及量子纠缠等重要的量子现象。
此外，玻色-爱因斯坦凝聚还为研究超流、超导等其他凝聚态现象提供了新的范例。
三维非谐势阱中BEC混沌动力学研究
三维非谐势阱中BEC混沌动力学研究【摘要】玻色—爱因斯坦凝聚（BEC）是一种新的物质形态，一个宏观量子系统。
本文在平均场理论和双模近似的框架下，推导出研究玻色—爱因斯坦凝聚体动力学行为及其性质的数学模型Gross-Pitaevskii方程，用数值方法通过Fortran 语言和Matlab程序模拟研究了该系统基态波函数和化学势随非线性项的变化，并对其混沌特征和吸引子等非线性动力学参数做了分析，并从模拟数据发现了在临界值处直接由周期态进入混沌态，没有经历准周期行为，而且状态随初始条件的变化而变化，从瞬态混沌到定态混沌经过了一系列的分岔的现象。
【关键词】玻色-爱因斯坦凝聚；G-P方程；非线性动力学分析1.引言玻色—爱因斯坦凝聚是科学巨匠爱因斯坦在1925年预言的一种新物态。
这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态（通常为基态）。
在预言提出70年后，终于在美国的JILA小组和MIT 小组分别用碱金属原子87Rb和23Na通过激光冷却、静磁阱与蒸发冷却等技术实现了。
后来相继实现了氢原子的玻色—爱因斯坦凝聚、费米原子组成的分子和费米原子对的玻色—爱因斯坦凝聚。
这种新的物态特性的研究在近几年有广泛和迅猛的发展，当前在玻色—爱因斯坦凝聚领域里关于强作用费米子体系、以及费米子与玻色子混合系统的费什巴赫共振的实验研究进展迅速，竞争激烈。
逐渐引起了全球广泛的科学研究兴趣。
我们知道《国家中长期科学和技术发展规划纲要（2006-2020）》中将量子调控列为基础性前沿研究方面的四项重大科学计划之一。
今年在中科院物理所举办的第一届国际“光与原子的量子调控”研讨会中将冷原子、玻色—爱因斯坦凝聚列为首个话题，足见玻色—爱因斯坦凝聚研究对量子调控基础研究的重要性。
这些原子组成的集体步调非常一致，因此内部没有任何阻力。
激光就是光子的玻爱凝聚，在一束细小的激光里拥挤着非常多的颜色和方向一致的光子流。
二维光晶格中玻色—爱因斯坦凝聚GP方程的解
青岛大学硕士学位论文圈１．３”Ｒｂ原予ＢＥＣ的吸收成像图１．４＇７Ｒｂ原子ＢＥＣ原子密度的二维相空间分布８第一章玻色一爱冈斯坦凝聚——新的物质状态图１．５２３Ｎａ原子ＢＥＣ的吸收成像图１．６Ｋｅｔｔｅｒｌｅ在钠原子气中实现的ＢＥＣ９青岛大学硕－ｆ＝学位论文图１．７玻色一爱因斯坦凝聚的实验照片图１．３和图１．４是”Ｒｂ原子玻色一爱因斯坦凝聚的照片，在图１．３中（ａ）为８７Ｒｂ原子形成玻色一爱因斯坦凝聚前的吸收成像图。
形成凝聚前，原子布局于各个能态，速度分布呈各向同性。
图中原子云的对称形状，反映了热甲衡状态原子的各向同性的速度分布。
（ｂ）为”Ｒｂ原子刚刚形成玻色一爱因斯坦凝聚的临界状态。
形成凝聚时，原子处于最低量子态，在不对称势阱中的速度分布呈各向异性。
图中椭圆形的原子云反映了各向异性的速度分布。
（ｃ）为”Ｒｂ原子几乎完全形成玻色一爱因斯坦凝聚时的图像，速度分布的各向异性更加明显。
图１．５是２３Ｎａ原子的玻色一爱因斯坦凝聚的照片，各阶段的图像与”Ｒｂ原子的很类似。
实现玻色一爱因斯坦凝聚的关键就是要不断的提高玻色气体的无量纲相空间密度，实现ＢＥＣ的实验步骤大体如下：首先利用激光冷却和囚禁技术获得大数目、高密度的超冷玻色原子气体：然后将样品装入静磁阱中，再利用射频蒸发冷却技术进一步降低温度，提高无量纲向空间密度，最后利用光学手段检测是否形成了ＢＥＣ。
由上述过程町以知道ＢＥＣ有四种重要的实验技术：初始冷玻色原子气体地获得、静磁阱，蒸发冷却技术和ＢＥＣ的光学检测手段。
１．３．１冷玻色原子气体的产生１９６０年激光的发明为囚禁和冷却气体原子提供了一种新的方法。
１９６８年，前苏联科学家Ｖ．Ｓ．Ｌｅｔｏｋｈｏｖ提出利用激光场来囚禁中性原子的建议。
“。
１９７０年，美国Ｂｅｌｌ实验室的科学家Ａ．Ａｓｈｋｉｎ提出利用激光的压力偏转原子束。
“。
紧接着，１９７５年，美国斯坦福大学的Ｔ．Ｗ．Ｈａｎｓｃｈ和Ａ．Ｃ．Ｓｃｈａｗｌｏｗ首先提出用二束激光相对的中性原子而使其冷却的思想”“。
低温物理学中的玻色爱因斯坦凝聚研究
低温物理学中的玻色爱因斯坦凝聚研究在低温物理学领域，玻色爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation，简称BEC）是一项引人注目的研究课题。
本文将介绍BEC的原理、实验观测以及其在物理学和科学研究中的潜在应用。
一、玻色爱因斯坦凝聚概述玻色爱因斯坦凝聚是指一种特殊的物质状态，在极低温度下，玻色子（具有整数自旋的粒子）聚集在最低的能级上，在宏观上形成一个相干态。
这种相干态可以通过玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein distribution）来描述，其中大量的玻色子聚集在基态上，并且它们具有相同的量子波函数。
二、实验观测玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚的实验观测是低温物理学领域的重大突破。
通过降低气体的温度并使用激光冷却技术，科学家们成功地观测到了一维、二维和三维体系中的BEC。
在实验中，首先利用激光冷却将气体冷却至几个微开尔文，然后使用磁场和辐射力将气体约束在一个形状稳定的磁阱中。
随着温度的进一步降低，玻色子将集聚在磁阱的基态上，形成BEC。
三、玻色爱因斯坦凝聚的物理学意义1. 量子统计效应：玻色爱因斯坦凝聚是一种完全由量子力学效应驱动的现象。
通过研究BEC，科学家们可以更深入地了解量子统计效应对物质行为的影响。
这对于理解和解释其他量子系统中的物理现象具有重要意义。
2. 超流性和相干性：玻色爱因斯坦凝聚体系表现出超流性和相干性。
超流性是指无粘阻的流动，这在宏观尺度上是不寻常的。
相干性则意味着玻色子具有相干的相位关系，类似于光学中的激光。
这些特性使得BEC在传感器、量子计算和量子模拟等领域具有广泛的应用前景。
四、玻色爱因斯坦凝聚的潜在应用1. 传感器：由于玻色爱因斯坦凝聚具有高度灵敏的物理特性，例如超流性和精密测量能力，可以应用于传感器技术。
利用BEC构建的传感器可以实现高精度的测量，例如重力和加速度测量。
2. 量子计算：BEC作为量子比特的载体可以被用于实现量子计算。
玻色-爱因斯坦凝聚论文：玻色-爱因斯坦凝聚孤子非谐势阱散射长度
玻色-爱因斯坦凝聚论文：玻色-爱因斯坦凝聚孤子非谐势阱散射长度【中文摘要】自从实验观察到二元玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose-Einstein Condensates, BEC)现象以来,有关多组分BEC中的非线性研究已成为目前物质波研究领域中广泛关注的热点之一。
实验上,可调控的宏观物理量有:囚禁BEC的外部势阱和可利用Feshbach 共振技术来控制的原子间相互作用强度。
对于多组分BEC,原子间的相互作用不仅存在种内相互作用,还存在种间相互作用。
理论上,二元BEC的相关物理性质均可采用平均场近似理论下的耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程来描述。
本文从GP方程出发,利用多重尺度方法,研究了非谐外部势阱中的二元BEC中的孤子动力学行为和随时间变化的种间相互作用强度对二元BEC中孤子碰撞行为的影响。
全文共分为四章,主要结构如下:第一章,介绍了BEC的相关基础知识、基本理论,简要回顾了二元BEC的相关实验及当前的理论研究现状。
同时,基于平均场理论,简扼推导出描述BEC动力学的GP方程。
最后,对我们所采用的研究方法—多重尺度方法和论文的研究内容进行了简明扼要的介绍。
第二章,利用多重尺度方法,解析地研究了四次非谐势调制下的二元BEC中的孤子融合现象。
结果表明,凝聚体中两个不同组分中的孤子会发生融合现象。
且随着四次非谐外部势阱强度的增加,融合现象变得更加迅速。
从而证实,二元BEC中两孤子的融合行为可通过外部非谐势阱调控。
第三章,解析地研究了随时间变化的种间散射长度对二元BEC中孤子动力学行为的影响。
结果表明,两个孤子间发生碰撞的位置、时间和频率均与种间散射长度密切相关。
也就是说,二元BEC中的孤子碰撞行为可以通过种间散射长度来调控。
与此同时,我们发现孤子的幅度也可以利用种间散射长度来调控。
最后一章,对本文做了一个简单的总结,且对下一步研究工作进行了展望。
【英文摘要】Since the observation of two-componentBose-Einstein condensates (BECs) in the experiments, there are plenty of researches concentrating on the nonlinear phenomena of multi-component BEC. Experimentally, the controllable two macroscopical parameters are the external trapping potential and the strength of interatomic interactions. And the interatomic interactions could be modulated by means of Feshbach Resonance. In multi-component BECs, the interatomic interactions include both the intraspecies interactions and the interspecies interactions. Theoretically, the ultra-cold two-component BECs system in the mean field approximation can be well described by coupled time-dependent Gross-Pitaevskii (GP) equations. In this thesis, beginning with GP equations and applying multiple-scale method, we analytically study the dynamical properties of the two-component Bose-Einstein condensates trapped in a harmonic plus quartic anharmonic potential, and the dynamical properties and collision properties of the solitons in two-component BECs withtime-dependent interspecies interactions. The thesis is organized as follows:In chapter one, we introduce the elementary knowledge, the basic concept and theory of BEC. Then, we state the related experimental implementation and current theoretical research of two-component BECs. Based on the mean-field theory, we briefly deduce the GP equations, which govern the dynamics of the condensates. Finally, we present the multiple-scale method, which will be used in the following chapters for theoretical analysis, and give a summary of our work in this thesis at the end of this chapter.In chapter two, by using the multiple-scale method, we analytically study dynamical properties of two-component BECs trapped in a harmonic plus quartic anharmonic potential. It is shown that the anharmonic potential has an important effect on the dark solitons of the condensates. Especially, when the strength of the anharmonic external potential increases, the fusion of the two solitons becomes faster. This implies that the fusion of the two solitons can be controlled by an anharmonic potential.In chapter three, we analytically study the soliton dynamical properties of two-component BECs with time-dependent interspecies scattering length by using the multiple-scale method. It is shown that the interspecies scattering length hasan important effect on the solitons collision property of the condensates. The position, the time, and the frequency of the collision between two solitons are relative to thetime-dependent interspecies scattering length of the condensates. That is to say, the collision property of the two solitons in two-component Bose-Einstein condensates can be controlled by the time-dependent interspecies scattering length. Additionally, the amplitude of the solitons is also close related to the time-dependent interspecies scattering length.In Final chapter, we make a summary of our work and give some prospects in future works.【关键词】玻色-爱因斯坦凝聚孤子非谐势阱散射长度【英文关键词】Bose-Einstein condensates Soliton Anharmonic potential Scattering length【目录】二元玻色—爱因斯坦凝聚中的孤子动力学摘要4-5Abstract5-6第1章绪论8-22 1.1 玻色-爱因斯坦凝聚简介8-11 1.2 二元玻色-爱因斯坦凝聚11-13 1.3 二元玻色-爱因斯坦凝聚的研究现状13-18 1.3.1 二元玻色-爱因斯坦凝聚的实验观察14-16 1.3.2 二元玻色-爱因斯坦凝聚中的非线性物理研究16-18 1.4 本文主要研究方法、内容及意义18-22 1.4.1本文的主要研究方法—多重尺度方法18-20 1.4.2 本文的主要研究内容及意义20-22第2章非谐外部势对二元BEC 中孤子动力学的影响22-31 2.1 引言22 2.2 理论模型22-24 2.3 多重尺度展开及孤子解析解24-28 2.4 非谐外部势强度对二元BEC 孤子融合的影响28-30 2.5 本章小结30-31第3章含时种间相互作用下二元BEC 中孤子的碰撞行为31-39 3.1 引言31 3.2含时情况下的理论模型31-33 3.3 变系数KdV 方程及其孤子解析解33-35 3.4 二元BEC 中孤子的碰撞行为35-38 3.5 小结38-39第4章总结与展望39-41 4.1 论文工作总结39 4.2下一步工作的展望39-41参考文献41-47致谢47-48个人简历及攻读硕士学位期间完成的学术论文及研究成果48【采买全文】1.3.9.9.38.8.4.8 1.3.8.1.13.7.2.1 同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发【说明】本文仅为中国学术文献总库合作提供，无涉版权。
三维简谐势阱中玻色_爱因斯坦凝聚的边界效应_袁都奇
则粒子的能级可以表示为 ( ) 2 nx ny nz ε(nx , ny , nz ) = + 2 + 2 + ε0 . m L2 Ly Lz x 力势可以写为 ∑ q= − ln[1 − z exp(−βε)]
s
(5)
利用 (5) 式, 简谐势阱中理想玻色气体的巨热
= −
∞ ∑ ∞ ∑ ∞ ∑ nx =0 ny =0 nz =0
[2−6]
,已
经进行了全面、 深入研究. 然而在热力学极限条件 下得到的结论, 对于有限尺度和有限粒子数系统并 不成立. 近年来, 人们开展了对于有限尺度和有限粒子 数系统热力学性质的研究 [7−20] , 例如, 文献 [7, 8] 研究了经典理想气体在密闭容器内的边界效应和 Casimirlike 尺度效应; 文献 [9, 10] 研究了量子理想 气体在二维密闭空间和三维管中的边界效应和连 通效应; 文献 [12] 在考虑有限尺度效应的情况下, 研究了相对论 π 介子气体的玻色 -爱因斯坦凝聚; 文献 [18] 研究了 D 维密闭容器内理想费米气体的 有限尺度效应; 文献 [19, 20 ] 研究简谐势阱中理想 玻色气体有效面积和有效宽度; 文献 [3] 及 [21—23]
关键词: 边界效应, 理想玻色气体, 玻色 -爱因斯坦凝聚, 简谐势阱 PACS: 05.30.–d, 05.30.Jp, 67.85.Jk DOI: 10.7498/aps.63.170501
研究了简谐势阱中玻色爱因斯坦凝聚的有限粒子
1 引
言
数效应. 这些研究得到了不同于热力学极限条件下 的一系列重要结论, 其结果能够更好的反映对应有 限系统的实际热力学性质, 使得有限系统的研究成 为热力学统计物理一个新的热点领域. 利用简谐势阱囚禁的超冷量子气体, 不论在理 论, 实验还是应用研究方面, 都具有重要意义. 文 献 [24] 指出, 简谐势阱中超冷量子气体的热力学极
玻色爱因斯坦凝聚研究进展分析
摘要近二十年来，科学家对玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)问题进行了很多实验，就此问题的研究得到了快速发展，并取得了一系列重大的实验进展。
本文简单介绍了玻色-爱因斯坦凝聚问题的的起源，重点阐述了玻色-爱因斯坦凝聚的实验成功及其研究进展，并探讨了玻色-爱因斯坦凝聚的潜在应用，展望了其发展前景。
关键词：玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)；蒸发、冷却与操控；原子BECABSTRACTIn the last two decades,scientists carried out many experiments about Bose-Einstein Condensation. Progress has been achieved on the issue of Bose-Einstein Condensation research, and a series of significant experimental progress have been made. This thesis reviews the origin of Bose Einstein condensation problem. We focus on the experimental success of Bose Einstein condensation and its research progress, discussing the potential application of Bose-Einstein condensation and predicting its development prospect.Keywords: Bose-Einstein Condensation;Evaporative cooling and control; Atomic BEC目录第一章前言.................................................................................................................... - 1 -第二章玻色-爱因斯坦凝聚问题的起源及探索................................................. - 2 -2.1 玻色-爱因斯坦凝聚问题的起源......................................................................... - 2 -2.2 实现玻色一爱因斯坦凝聚的探索...................................................................... - 2 - 第三章玻色-爱因斯坦凝聚实验的成功............................................................... - 3 -3.1 实现玻色-爱因斯坦凝聚的技术——激光冷却和捕陷原子............................. - 3 -3.2 在稀薄碱金属原子气体中实现玻色一爱因斯坦凝聚...................................... - 3 - 第四章玻色-爱因斯坦凝聚研究进展 ................................................................... - 5 -4.1 原子BEC ............................................................................................................. - 5 -4.2 全光型BEC ....................................................................................................... - 10 -4.3 双阱和光晶格中BEC ....................................................................................... - 11 -4.4 固体中的BEC ................................................................................................... - 12 - 第五章玻色-爱因斯坦凝聚的潜在应用展望 ................................................... - 13 -5.1 原子激光............................................................................................................ - 13 -5.2 精确测量............................................................................................................ - 13 -5.3 芯片技术............................................................................................................ - 14 -5.4 探测方面............................................................................................................ - 14 - 第六章结语................................................................................................................... - 16-参考文献 ............................................................................................................................ - 17-致谢 ........................................................................................................................... - 18 -第一章前言自然界，有两种基本的粒子。
F=1旋量玻色-爱因斯坦凝聚的向列压缩
F=1旋量玻色-爱因斯坦凝聚的向列压缩
杨超楠;郑任菲;赵兴东;周鲁
【期刊名称】《河南师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(50)6
【摘要】旋量玻色-爱因斯坦凝聚是量子光学领域的热点研究对象,同时在精密测量领域也被广泛应用.基于半经典的截断维格纳近似方法研究了F=1旋量玻色-爱因斯坦凝聚中的自旋向列压缩.通过数值模拟得到自旋向列压缩的动力学行为,并在自旋向列球上展示了自旋向列压缩的物理特性.最后研究了系统在任意初始态下的自旋向列压缩行为.研究展现了旋量玻色-爱因斯坦凝聚在精密测量领域的潜在应用.【总页数】8页(P106-113)
【作者】杨超楠;郑任菲;赵兴东;周鲁
【作者单位】华东师范大学物理与电子科学学院;合肥工业大学物理学院;河南师范大学物理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O469
【相关文献】
1.复合势下三维旋量玻色-爱因斯坦凝聚暗孤子及其自旋纹理
2.旋量玻色-爱因斯坦凝聚体平均自旋在外场中的演化
3.自旋轨道耦合自旋1旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中波的传播
4.旋量玻色-爱因斯坦凝聚体拓扑性质的研究进展
5.旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中的自旋压缩
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爱因斯坦凝聚
高等统计物理王延颋 2017年2月24日14. 玻色-爱因斯坦凝聚玻色系统的粒子间存在统计吸引，因此玻色粒子倾向于具有相同的量子数，导致出现玻色-爱因斯坦凝聚现象。
14.1. 理想玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚公式(5.51)给出的理想玻色气体状态方程为()()()5/23B 3/2311ln 11111P g z z k T V zg z v V z λλ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪-⎩ (14.1)对于理想玻色气体，公式(5.53)给出的0=p 态的平均粒子数为01zn z=- (14.2)因为必须有00n ≥，所以z 的取值区间为01z ≤≤ (14.3)并且对所有z 都有()()3/23/23/21131 2.6122l g z g lζ∞=⎛⎫≤=== ⎪⎝⎭∑(14.4)其中()x ζ是黎曼Zeta 函数。
14.1.1. 产生凝聚的条件式(14.2)代入(14.1)中的第二式得()3033/2n g z V vλλ=- (14.5)使得00n >的条件是()()33/23/21g g z vλ>≥(14.6)即满足条件(14.6)的系统会有不可忽略的粒子数占据动量为零的单量子态，产生玻色-爱因斯坦凝聚。
相空间由分割面方程()33/21g vλ=(14.7)划分成凝聚区和非凝聚区两部分。
对于给定的v 值，可以确定转变热波长()33/21c vg λ=(14.8)对应于转变温度()22/3B 3/22(1)c T k m vg π=(14.9)同样，给定温度可以求得转变比容()33/21c v g λ=(14.10)因此，产生玻色-爱因斯坦凝聚的条件是 （a ）v 一定时c T T <(14.11)或者（b ）T 一定时c v v <(14.12)即低温和高密度是产生玻色-爱因斯坦凝聚的条件。
14.1.2. 易逸度与温度和比容的关系用图解法可以画出z 随3vλ在有限V （杨展如第82页图3.1.3）和V →∞（杨展如第83页图3.1.4）下的单调不增的函数关系。
玻色-爱因斯坦凝聚的相关研究
玻色-爱因斯坦凝聚的相关研究The related research on Bose-Einsteincondensation化学与分子工程学院98级应用化学系刘睿摘要本文对玻色-爱因斯坦凝聚中的唯里关系及分子凝聚进行了研究。
在综述里本文先阐明玻色-爱因斯坦凝聚的基本概念，介绍相关的实验进展。
在第二章里我们对二维空间涡流状态束缚的零温玻色-爱因斯坦凝聚的Gross Pitaevskii 方程用唯里能量关系进行详细的分析并对其数值解进行讨论。
第三章对分子态的玻色-爱因斯坦凝聚的形成及性质开展了探讨。
AbstractThe purpose of this dissertation is to deeply understand the virial-relationship in Bose-Einstein condensation and the molecular Bose-Einstein condensate. A comprehensive review of the basic concepts of Bose-Einstein condensation, including its theory, experiments and technical skills is presented. We test the result of the Gross Pitaevskii equation of the trapped zero temperature Bose Einstein condensed atomic gases with Virial theorem in the two dimensional space of the vortex state. The numerical solution of virial relationship of the system is analyzed in detail. We also discuss the formation and properties of MBEC (molecular Bose-Einstein condensation).一、 BEC 理论和实验概述（一）、玻色-爱因斯坦凝聚的基本理论形成BEC 的条件是（1） 其中T Mk h B πλ2/=是热波长（chermal wavelength ）, 它和粒子的德布罗意波长同数量级，V 是粒子所占体积，N 是粒子数。
二分量玻色_爱因斯坦凝聚中的二超流体模型_公丕锋
＊安徽省高等学校省级自然科学研究项目(批准号:KJ2010B184)资助的课题.＊Project Supported by the Natural S cience Research Project of University in Anhui Province (Grant No .KJ2010B184).第33卷第4期2011年8月低 温 物 理 学 报CH INESE JOU RNAL OF LOW TEM PERAT URE PH YSICSV ol .33,N o .4A ug ust 2011二分量玻色-爱因斯坦凝聚中的二超流体模型＊公丕锋 尹新国 路洪艳淮北师范大学物理系,安徽淮北235000收稿日期:2010-12-23;修回日期:2011-02-17【摘要】 4He 超流体在一定温度下可用二流体模型描述,包括常规流体和超流体两种成分.用这种二流体模型来描述二分量玻色爱因斯坦凝聚时叫做二超流体模型,是从耦合G ro ss -Pitaevskii 方程出发推导得到的.二超流体模型与4He 超流体中的二流体模型非常相近.在特定条件下,二超流体中的两个波模行为非常接近4He 超流体中二流体模型中的第一声波和第二声波.关键词:二流体模型,4He 超流体,玻色爱因斯坦凝聚PAC C :0340G ,0340K ,0720MTWO -SUPERFLUID MODEL OF TWO -C OMPONENTBOSE -EINSTEIN C ONDENSATES＊GONG Pi -feng YIN Xin -guo LU Hong -yanDep artment o f Phy sics ,H uaibei Norma l Univer sity ,Anhu i Huaibei 235000Received date :2010-12-23;revised m anu script received date :2011-02-17【Abstract 】 Superfluid 4He a t a finite tempe rature is described by the two -fluid mo del w ith the no rmal fluid compo -nent and the superfluid component .W e fo rmulate the two -fluid model for tw o -component BECs ,namely two -super -fluid mode l ,star ting fro m the co upled G ro ss -P itaev skii equations .T he tw o -super fluid mo del w ell co rre sponds to the two -fluid mode l in superf luid 4He .I n a specia l conditio n ,the tw o so und mo des in the tw o -superfluid mode l behav e like first and seco nd sounds in the two -fluid model of supe rfluid 4He .Keywords :T wo -fluid model ,Bo se -Einstein Co ndensa te ,Superfluid 4H e PAC C :0340G ,0340K ,0720M1引 言自从Kapitsa 发现4H e 在低于临界温度时具有超流特性以来,在低温物理领域4H e 超流体无论在理论上还是在实验上都得到了充分研究[1].Tisza [2]和Landau[3]通过引入二流体模型对4He 超流体的性质进行了深入研究,二流体模型中中包括常规流体和超流体并且二者是独立的,可通过如下方程组描述ρn ( v n t +(v n · )v n )=-ρn ρP -ρn σ T +ηn 2v n (1)ρs ( v s t +(v s · )v s )=-ρsρP +ρs σ T (2)其中,ρn、v n是常规流体密度、流速,ρs、v s是超流体密度、流速,σ是常规流体单位质量的熵,ρ=ρn+ρs 是总流体密度,ηn是常规流体黏性系数.压强梯度P对两种成分来说沿着相同方向.而温度梯度T 对两种成分来说沿着相反方向.由温度梯度导致的温度逆流性是4He超流体的一个特性.当两成分之间的相对速度很大时,它们之间会通过摩擦力F s n产生相互作用,把式(1)、(2)相加便可得到摩擦力F s n.4He 超流体的其它公式是通过守恒定律与质量密度和熵密度的变化关系式导出.相应的流体力学方程为ρt=- ·j(3)σt =-ρsσρ·(v n-v s)(4) jt=-P(5)T (v n-v s)=-ρσρnT(6)其中,j=ρn v n+ρs v s,由上述方程组可得到质量密度和熵密度的波动方程,从而可导出第一声波和第二声波.第一声波是总密度的振动模式的传播,存在于常规流体中;而第二声波是4H e超流体独有的密度波,随着熵振动传播,而与总密度振动无关,并不存在于常规流体之中.原子玻色-爱因斯坦凝聚在现代物理中是很重要的研究方向之一,尤其是二成分玻色-爱因斯坦凝聚能够产生各种量子涡旋的奇异结构,并能导致一些特殊的流体力学不稳定性,如Kelvin-H elmholtz 不稳定性和Rayleigh-Tay lo r不稳定性.当相对速度超过某一临界值,逆流变得非常不稳定,并且有量子微扰出现.在本工作中,我们将用4He超流体的二流体模型的形式来描述二成分BEC,并可得到四个方程形式与方程(3)、(4)、(5)、(6)类似,可以从这四个方程推出两个声模,分别为第一声波和第二声波.期望把4H e超流体与二成分BEC联系在一起研究,找到二者的一些共同特点.2二分量BEC中的二流体模型玻色爱因斯坦凝聚态的二元混合物在T=0的平均场近似下,可用波函数ψj=n j e iφj表示,其中j(j=1,2)表示不同成分,波函数ψj由耦合G ross-Pita方程来确定i tψ1=-22m12ψ1+V(r)ψ1+g11|ψ1|2ψ1+g12|ψ2|2ψ1(7)itψ2=-22m22ψ2+V(r)ψ2+g22|ψ2|2ψ2+g12|ψ1|2ψ2(8)其中m j是粒子质量,g jj是成分内部相互作用因子,g12是两分量间相互作用因子.把ψj代入方程(7)和方程(8)可得流体力学方程ρ1t=- ·(ρ1v1)(9)ρ2t=- ·(ρ2v2)(10)ρ1tv1=ρ1(22m21ρ1Δρ1-12v21-1m21V)-ρ1(g11m21ρ1-g12m1m2ρ2)(11)ρ2tv2=ρ2(22m22ρ2Δρ2-12v22-1m22V)-ρ2(g22m22ρ2-g12m1m2ρ1)(12)其中ρj=m j n j是质量密度,v j=m jφj是超流速度.方程(9)、(10)是关于质量密度ρj的方程组,方程(11)、(12)是关于超流速度v j的欧拉方程.我们要推出类似方程(1)、(2)的关系式来查找4He超流与二分量BEC之间的对应关系.在这里我们考虑长波近似,所以势能项和量子压强项在方程(11)、(12)中被忽略掉,整个系统的压强为P=g11ρ212m21+g22ρ222m22+g12ρ1ρ2m1m2 如果P=-EV,方程(11)、(12)转化为ρ1(v1t+(v1·)v1)=-12P～-12～T～(13)ρ2(v2t+(v2·)v2)=-12P～-12～T～(14)其中,～T～=g112m21ρ21-g222m22ρ22+g12m1m2(ρ1ρ2+ρ2ρ1)用某一标量势来描述上式的右边是很困难的.由于ρ1、ρ2有特殊的依赖关系.我们用～T～来表示是为了强调～T～项与式(1)、(2)中的T对应,从式(13)、(14)可推出二成分BEC.压强梯度P～在二分量中沿相同的方向,然而～T～沿相反的方向.这种性质与4H e超流体的二流体模型十分类似.270低 温 物 理 学 报第33卷3二分量BEC中的第一声波和第二声波在此,我们将从二成分BES的四元方程组中推导出两个波模.在这里假设超流速度v j很小且非线性项可以忽略.由方程(9)+ (10),方程(11)+(12)可得tρ+=- ·j+(15)tρ-=- ·j-(16)t j+=- {g118m21(ρ++ρ-)2+g22 8m22(ρ+-ρ-)2+g124m1m2(ρ2+-ρ2-)}(17)t j-=- {g118m21(ρ++ρ-)2-g228m22(ρ+-ρ-)2}+g124m1m2{(ρ++ρ-)(ρ+-ρ-)-(ρ+-ρ-)(ρ++ρ-)}(18)其中ρ±≡ρ1+ρ2,j±≡ρ1v1±ρ2v2,第一声波为二成分中ρ的振动,第二声波为σ的振动.我们假定ρ+、ρ-的振动分别和第一声波、第二声波相对应.现在式(17)、(18)中右边分别是P～和～T～.可把P～、～T～写成ρ+、ρ-的函数形式P～=Aρ++Bρ-(19)T=Cρ++Dρ-(20)其中,A=g114m21(ρ++ρ-)+g224m22(ρ+-ρ-)+g122m1m2ρ+,B=g114m21(ρ++ρ-)-g224m22(ρ+-ρ-)-g122m1m2ρ-,C=g114m21(ρ++ρ-)-g224m22(ρ+-ρ-)+g122m1m2ρ-D=g114m21(ρ++ρ-)+g224m22(ρ+-ρ-)-g122m1m2ρ+从方程(15)～(18)可导出两个波动方程,2t2ρ+=A2ρ++B2ρ-(21)2t2ρ-=C2ρ++D2ρ-(22) 考虑到平面波ρ+,ρ-在平衡位置ρ0+,ρ0-附近以频率ω、波矢k的波动形式传播ρ+=ρ0++δρ+ex p[i(k·r-ωt)]ρ-=ρ0-+δρ-ex p[i(k·r-ωt)] 波速为c2=g114m21(ρ0++ρ0-)+g224m22(ρ0+-ρ0-)±{[g114m21(ρ0++ρ0-)-g224m22(ρ0+-ρ0-)]2+g2124m21m22(ρ0++ρ0-)(ρ0+-ρ0-)}(23)其中c≡ω/|k|,可通过长波极限下,双成分BEC 的Bo goliubo v激子的色散关系得到.超流体4H e的第一声波、第二声波的波模是ρ、σ的独立振动.然而方程(23)不能描述第一声波、第二声波.因为这两个声波是混合在一起的.我们发现当B、C消失时ρ+、ρ-是独立振动的.此条件可简写为ρ01=ρ02 g11m21=g22m22 这两种波模的波速为c2±=s2±g12ρ0m1m2(24)其中s=g11ρ01/m21=g22ρ02/m22且ρ0=ρ01=ρ02 .c2+对应于ρ+,是第一声波,c2-对应于ρ-,是第二声波.第一声波波速随g12增加而增加,第二声波波速随g12增加而减小.当|g12|>g=g11g22时, c±变为虚数.这将导致流体力学框架坍塌,或在二分量BEC中出现相变.4结 语从耦合GP方程出发,我们用二流体模型的公式表示二分量BEC.此模型与4He超流体中的二流体模型吻合的非常好,得到的两个声模在4He超流体中是完全独立存在的.我们更感兴趣的是第二声模如何与二分量BEC中涡旋发生作用.参 考 文 献[1]P.L.Kapitz a,N atur e,141(1937),74.[2]L.Tisza,Nature,141(1938),913.[3]n dau,J.P hys.U.S.S.R.5,71(1941).[4]H.Takeu chi,N.Suzu ki,K.Kasamats u,H.Saito,and M.Tsu bota,Ph ys.Rev.B.,81(2010),094517.[5]K.Sasaki,N.Suz uki,D.Akamatsu,and H.S aito,Ph ys.Rev.A.,80(2009),063611.271第4期公丕锋等:二分量玻色-爱因斯坦凝聚中的二超流体模型。
二维双色型光晶格中玻色-爱因斯坦凝聚的局域化
二维双色型光晶格中玻色-爱因斯坦凝聚的局域化张耀文;陈海军【摘要】利用含时变分法研究了二维双色型光晶格中玻色爱因斯坦凝聚中稳定局域态的性质。
根据含时变分法利用高斯型试探波函数和Euler‐Lagrange方程给出了高斯型局域态的波包宽度随时间变化的二阶微分方程，确定稳定了局域态的波包宽度。
利用数值计算方法直接求解了Gross‐Pitaevskii方程，给出了稳定局域态的空间分布。
结果表明，在原子之间存在非线性排斥和吸引作用，或者非线性相互作用为零时，在二维玻色‐爱因斯坦凝聚中均可以形成稳定的局域态。
%The localization of a two‐dimensional Bose‐Einstein condensate in a two‐dimensional quasiperiodic bichromatic optical lattice is investigated using the numerical solution and variational approximation of a mean‐field Gross‐Pitaevskii equation . The second‐order differential equation for the evolution of the width is obtained , and the width of the stationary states obtained by setting the time derivative to zero is given . T he results confirm that the existence of the stationary localized states in the presence and in the absence of the inte r‐atomic interaction .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P36-39)【关键词】玻色-爱因斯坦凝聚;双色型光晶格;局域态;二维【作者】张耀文;陈海军【作者单位】陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳745000;陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O513自从1958年Anserson预言了电子波函数在无序势能(disordered potential)中的局域化[1]之后,最近,实验上观察到了无序势能中电磁波,声波和量子物质波的局域化[2],尤其在量子物质波方面,实验上分别实现了 Rb原子[3]和 K原子的局域化[4].局域化研究同样引起了理论研究的关注,文献[2]通过数值模拟含时Gross-Pitaevskii方程,研究了一维双色准周期光晶格势阱中无相互作用玻色-爱因斯坦凝聚体中的局域化行为,主要研究了激光振幅和波长的变化对局域化行为的影响.自旋-轨道耦合作用下准周期双色型光晶格中玻色爱因斯坦凝聚的局域化行为利用变分和数值计算方法进行了研究,表明有自旋-轨道耦合和Rabi耦合作用存在时可以形成稳定的局域态[5].双色型光晶格中玻色-费米混合体系中局域化态也得到了研究,结果表明可以存在共生的局域化态[6].另外,对双色型光晶格中双组分玻色-爱因斯坦凝聚体系中对称破缺也进行了研究,给出了两种类型的稳定局域态[7].上述关于双色型光晶格中局域化的理论研究只考虑了一维体系中稳定局域态各个方面的性质,而我们的工作把类似的研究推广到二维体系,利用数值模拟和含时变分法研究了二维玻色爱因斯坦凝聚体系中稳定局域态的性质,首先利用含时变分法给出了稳定局域态波包宽度所满足的条件,其次利用数值模拟二维Gross-Pitaevskii方程,给出了各种参数组合下稳定局域态.利用含时变分法研究二维双色型光晶格中玻色-爱因斯坦凝聚局域态的稳定性.对于稀薄的玻色体系,描述体系的动力学方程是平均场理论中无量纲化二维Gross-Pitaevskii方程其中，ψ(x,y,t)为二维波函数,满足归一化条件2=1；g表示原子之间的非线性相互作用,其和原子的质量m与s波散射长度as有关,g>0表示原子之间存在排斥相互作用，g<0表示原子之间存在吸引相互作用.表示二维双色型光晶格.其中，Aη j表示晶格强度,kη j为激光波数.采用正弦的形式表示双色型光晶格,在x=0,y=0处晶格具有局域最小值,所对应的稳定局域态应有最大值,因此在变分法计算时可以采用高斯型波函数.标准的含时变分法过程中和方程(1)所对应的Lagrangian密度为鉴于上述理由我们选择含时高斯型试探波函数满足归一化条件.其中,变分参数wη(t)表示波函数的宽度;αη(t)和βη(t)分别表示Phase和Chirp.把试探波函数(4)式代入方程(3)并进行全空间积分可以得到体系的有效Lagrangian函数为了得到变分参数随时间的变化规律,根据Euler-Lagrange方程可以得到由方程(7)可以得到方程(8)可以看作单位质量的质点在保守力场中运动时的运动方程,与之对应的有效势能为取方程(8)为0对应稳定的局域态,因此能得出稳定局域态的宽度Wη满足下列方程把Wη代入方程(4),假定αη=βη=0,得到稳定的高斯型波函数,作为数值计算的初始条件.利用数值计算方法研究双色光晶格中玻色爱因斯坦凝聚的局域化行为,取λη 2/λη 1=0.86,sη 2=sη 1=2,这种情况下局域态占据双色型光晶格中央少数几个格子,波包不容易扩散,因此用高斯型波函数近似更合理.利用Crank-Nicholson差分方法求解方程(1),x和y方向的格子数都为200,空间步长和时间步长分别为0.1和0.001,计算的时间循环次数为2×105,计算过程中所有物理量均取无量纲化单位.首先考虑原子之间存在吸引相互作用时(g=-1)不同λη1取值下的局域化态行为,对于二维双色型光晶格,考虑了x和y方向晶格参数相同的对称情况和x和y方向晶格参数不同的非对称情形,计算结果如图1,2所示.图1给出了λη1=10的对称情况下的计算结果.由变分法结果η=0给出(假定αη=βη=0)的高斯型波函数,即t=0初始时刻的波函数,作为数值计算的初始条件;对于中间时刻t=100的波函数,在这个过程中为了计算的稳定性,原子之间的非线性相互作用从0逐渐增大,可以看出原子有扩散到外部晶格中的趋势,但是这种扩散不是很显著,在波函数的图像中只有四个小的突起,仍然可以看成是高斯型分布;对于t=200的终态波函数,即最终稳定的局域化状态,可以看出有一小部分原子扩散到了外部晶格,而且这种扩散受双色晶格的影响是不均匀的,最终在同一圆周上形成了对称的突起,但不是整个的环状扩散.为了监视整个数值计算过程,图1还给出了x=0时波函数随时间的传播情况.可以看出,整个传播过程是一个呼吸过程,即原子从中间到外部不断地扩散和吸收,即体系会在原子大部分集中在中央部分的状态和大部分扩散到外部的晶格中的状态之间周期变化,表现为波包的振幅周期性变化.后面其它参数组合下计算过程和图1一样.图2给出了固定原子之间非线性相互作用g=-1,λη1取不同值时波函数的contour 图,分别对应λη1=5,10,15,对应的晶格强度逐渐减小,随着晶格强度的减小,势阱的约束能力逐渐减弱,原子向外部晶格中扩散的趋势明显,尤其λη1=15时,大部分原子已经扩散到外部晶格中,但是这种扩散没有持续下去,最终形成了稳定的局域化态.对于λx1=5和λy1=10的情形,由于两个方向的晶格是相加的关系,因此兼具图λx1,λy1=5和λx1,λy1=10的结果的特征,最终形成了不对称的稳定的局域化态.因此,二维双色型光晶格对原子具有很好的束缚作用,在吸引相互作用下能形成稳定的局域化态,而且随着晶格强度的减小,形成了向外部晶格扩散的稳定的局域化态.其次考虑不同原子之间相互作用下体系的局域化态,取对称的情形λη1=10,原子之间的非线性相互作用分别为g=-1,0,1,4.图3给出了不同g值所对应的稳定的局域化态的contour图,可以看出当原子之间存在吸引或排斥作用,甚至无相互作用存在时均能形成稳定的局域态.原子之间的相互作用从吸引到排斥作用(例如,g=-1到g=4)的变化过程中,原子从中央向外部晶格的扩散趋势是加强的,原子之间的排斥相互作用越强,原子越容易向外部晶格扩散.另外,可以看出由于二维双色型晶格的存在,原子在外部对称地分布在不同的晶格势阱中.利用含时变分方法和数值计算方法求解Gross-Pvitaevskii方程研究了二维双色型光晶格中盘状玻色-爱因斯坦凝聚中局域态的稳定性,二维双色型光晶格是在对应的一维光晶格的基础上提出来的,在两个相互垂直的方向上的一维光晶格的叠加,在其中无原子之间相互作用和存在吸引与排斥相互作用时均可以形成稳定的局域化状态,这种状态不同于周期性光晶格中的能隙孤子,它们有向外扩展的趋势.含时变分法能给出稳定高斯型局域态波包宽度所满足的方程,这种结果具有一般性,而数值计算方法能对变分法结果进行检验,给出某一特定参数组合下高斯波包随时间的演化情况,形成最终的稳定局域态,具有特殊性.本文计算结果表明了变分法结果的正确性,所给定的参数组合下均能通过高斯型初态演化为最终的稳定状态.变分法和数值计算方法结合是研究非线性系统的一种有效手段,可以推广到其它类似系统稳定性的研究.E-mail:***************【相关文献】[1] ANDERSON P W.Absence of diffusion in certain random lattices[J].PhysRev,1958,109:1492-1505.[2] ADHIKARI S K,SALASNICH L.Localization of a Bose-Einstein condensate in abichromatic optical lattice[J].Phys Rev A,2009,80:023606(1-7).[3] BILLY J,JOSSE V,ZUO Z,et al.Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder[J].Nature,2008,453:891-894.[4] ROATI G,D’ERRICO C,FALLANI L,et al.Anderson localization of a non-interacting Bose-Einstein condensate[J].Nature,2008,453:895-898.[5] CHENG Y S,TANG G H,ADHIKARI S K.Localization of a spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensate in a bichromatic optical lattice[J].Phys Rev A,2009,89:063602(1-8).[6] CHENG Y S,ADHIKARI S K.Localization of a Bose-Fermi mixture in a bichromatic optical lattice[J].Phys Rev A,2011,84:023632(1-7).[7] CHENG Y S,ADHIKARI S K.Symmetry breaking in a localized interacting binary Bose-Einstein condensate in a bichromatic optical lattice[J].Phys Rev A,2010,81:023620(1-8).。
旋转环形阱中玻色爱因斯坦凝聚平面波解的动力学研究
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ３ —１ ０ ； 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ７ —１ ８
基金项 目： 湖南省教育厅科 学研 究项 目（ １ ３ Ｃ ８ ８ １ ） ； 湘南学院科研项 目（ ［ ２ ０ １ ２ ］ １ ２ ６— ４ ８ ， ２ ０ １ １ Ｙ Ｚ ０ ２ ， ２ ０ １ ０ Ｙ ０ ６ ４ ）
邓海明 ， 金
（ １ ． 湘 南学 院 物 电 系 ， 湖 南 郴州
摘
桂。 ， 陈亚琦 ， 李 璋
４ ２ ３ ０ ０ ０； ２ ． 资 兴市立 中学 ， 湖南 郴州 ４ ２ ３ ４ ０ ０ Ｊ
要 ：详细计算 了环形阱 中单分 量 Ｂ Ｅ Ｃ平面波解的波 戈留波夫激发 ， 得到 了精确的激发谱 ． 分析 了平 面波稳 定的参
２ 旋 转 环 形 阱 系统 及 平 面 波解 的 波 戈 留 波夫 激 发
我们研究 的系统是 一个无 量纲 化 了的 Ｇ Ｐ方程
３ ， １２ ， １
ｉ
：一
＋２ ｉ ｉ ２ ＋Ｑ ２ ＋２ ｚ Ｏ ＂ Ｉ Ｉ
（ １ ）
其中 一 ３ ０ ２ 为动能项 ， ２ Ｑ 为由旋转引起的角动量项（ Ｑ为环形阱旋转的角速度） ， ２ 丌 ） ， Ｉ Ｊ 为原子间相
＝
∑（ ～ ＋ ： ｅ ～ ｎ ） ・ ｅ 一
作者简 介： 邓海明（ １ ９ ８ １ 一） ， 女， 湖 南衡 阳人 ， 讲师 ， 在读博 士， 研究方向 ： 冷原子物理 ．
・
ｌ Ｏ ・
邓海明等 ： 旋转环 形阱 中玻 色２ ）
其 中 ＝ （ Ｑ 一． ， ） ＋ ） ， 为 系统 的化学 势 ， 化学 势 为最低 的态 是体 系 的基态 ， 所 以当环 形 阱旋 转 的角 速度 发生 变化时 ， 系统基态将是不一样的 ， 具体体现平面波角量子数 ． ， 的取值上 ． 当 一０ ． ５＜Ｑ＜０ ． ５ 时， Ｊ 取零为基态 ； 当 一１ ． ５＜Ｑ ＜一０ ． ５ 时， Ｊ 取１ 为基态 ； 当０ ． ５＜Ｑ ＜１ ． ５ 时， Ｊ 取一 １ 为基态 ． 依次类推 ． 那么该平面波解的稳定性如何 ， 在什么参数 区域是稳定 的， 在什 么参数区域是不稳定 的呢？我们用波戈 留波夫分析方法进行研究 ． 接下来将详细介绍此方法 ， 并给出具体推导 ． 将Ｂ Ｅ Ｃ凝聚体所受到的量子扰动假定为如下形式
二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟
《计算材料学》课程设计指导老师：江建军教授电子科学与技术系2004年6月二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟彭延杰 邓峰 吴晓辉 罗佳星 罗鸣 彭欢杨胜荣 梅巍 高志超 李冠娜 鲁力( 华中科技大学电子科学与技术系0109班 武汉 430074 )摘要： 研究了二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚现象，根据玻色—爱因斯坦分布公式建立数学模型，用MATLAB模拟了一定温度下各能级粒子占有数，一定粒子数下基态占有率与温度的关系以及不同粒子数下基态占有率与温度的关系，验证了BEC现象的一些基本特性，用C程序模拟了有限粒子数大致的玻色凝聚过程。
关键词： 简谐势阱 玻色—爱因斯坦凝聚 逸度 临界温度 Abstract： The properties of Bose-Einstein condensation with finite number of particles in a two-dimensional harmonic oscillatorpotential are studied.Mathematical model is establishedaccording to the Bose-Einstein distribution equation.Theoccupation numbers of particles in every energy level and therelation between occupation rate at ground state andtemperature in the condition of certern particle number anddifferent particle number is simulated with MATLAB.Some basicproperties of BEC phenomenon is verified.The coarse process ofBose-Einstein condensation at limited particle number issimulated with C language.Keyword： Harmonic oscillator potential;Bose-Einstein condensation;fugacity;critical temperature1 引言1.1什么是玻色——爱因斯坦凝聚（BEC 以下皆以BEC代称）爱因斯坦将所有自旋为整数的微观粒子, 称为玻色子, 它们都遵循玻色-爱因斯坦统计,其特征是表现完全对称性。
超冷玻色原子气体向光晶格装载过程分析
超冷玻色原子气体向光晶格装载过程分析肖菲;王文新;胡松青【摘要】利用热力学统计的方法,研究了超冷玻色原子气体向光晶格装载过程中体系的热力学性质,研究发现:当T/Tc为常数时,谐振势阱中基态占据率比光晶格中的大,凝聚体系更加稳定;凝聚体的内能U与Tα+1成正比,定容热容量CV与Tα成正比;超冷玻色原子气体向光晶格缓慢绝热装载过程中,体系的熵保持不变;当T/Tc小于0.30时,随着加载强度的增大,基态占据率变大,体系越稳定,然而,当T/Tc大于0.70时,随着加载强度的增大,玻色体系变得不稳定了.【期刊名称】《青岛科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(031)003【总页数】4页(P327-330)【关键词】玻色-爱因斯坦凝聚;光晶格;谐振势阱;热力学性质【作者】肖菲;王文新;胡松青【作者单位】中国石油大学(华东)物理科学与技术学院,山东,东营,257061;中国石油大学(华东)物理科学与技术学院,山东,东营,257061;中国石油大学(华东)物理科学与技术学院,山东,东营,257061【正文语种】中文【中图分类】O530随着激光冷却和俘获技术的迅速发展,人们对超冷玻色原子气体的凝聚态特性进行了一系列的理论研究和实验探索。
目前冷原子光晶格已成为冷原子操控中的一个重要课题,在量子计算、量子信息和量子输运等方面有着广阔的应用前景[1-16]。
近年来,光晶格中冷原子的装载与冷却成为凝聚态物理的研究热点之一。
文献[17]从实验上对近共振三维光晶格中铯原子的装载与冷却问题进行了研究,描述了三维光晶格势场的建立,在铯原子磁光阱和光学粘团的基础上实现了红失谐光晶格中铯原子的装载。
本研究利用热力学统计的方法,分析了超冷玻色原子气体向光晶格装载过程中体系的热力学性质,计算了玻色体系总粒子数、临界温度、基态占据率和内能、定容热容量、熵等热力学参量,并分析了各热力学参量的变化特点以及临界温度附近系统的稳定性。
简谐势阱中的理想玻色气体
简谐势阱中的理想玻色气体
陈丽璇
【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1997(000)004
【摘要】应用统计物理方法对谐振势作用下的理想玻色体进行理论计算，导出系统发生玻色－爱因斯坦凝聚（ＢＥＣ）时的一些物理量，发现产生凝集的情况与外势场的形式紧密相关，由理论计算求得的临界温度Ｔｃ和基态的粒子占据率Ｎ０／Ｎ与实验结果符合较好，这些研究有助于对这种新物态性质的了解。
【总页数】1页(P530)
【作者】陈丽璇
【作者单位】厦门大学物理学系;厦门大学物理学系
【正文语种】中文
【中图分类】O4
【相关文献】
1.外势阱中n维理想玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚 [J], 陈丽璇;严子浚;李明哲
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3.简谐势阱中有限粒子数二维玻色气体性质的数值分析 [J], 周照群;苏国珍;陈丽璇
4.二维简谐势阱中理想气体玻色-爱因斯坦凝聚的转变温度 [J], 王翀;闫柯柱
5.准二维谐振势阱中有限尺度的非理想玻色气体 [J], 金丽霞;吴曙东;詹志明;陈爱喜
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谐振子势与四次方势的联合势阱中旋转BEC的基态
谐振子势与四次方势的联合势阱中旋转BEC的基态
李平
【期刊名称】《忻州师范学院学报》
【年(卷),期】2022(38)2
【摘要】应用托马斯—费米近似解析求解谐振子势与四次方势的联合势阱中的旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态密度分布。
当旋转角频率一定,增加势阱的宽度和中心高度或者势阱宽度和中心高度一定时,凝聚体密度分布从涡旋晶格相转变到巨涡旋相。
进而,应用虚时演化和时间傅里叶赝谱法进行数值求解,发现数值解与解析解相互吻合。
【总页数】4页(P11-14)
【作者】李平
【作者单位】山西晋中理工学院理学教研部
【正文语种】中文
【中图分类】O411.1
【相关文献】
1.囚禁于简谐势+四次势阱中两组分旋转玻色爱因斯坦凝聚体
2.简谐势＋四次势阱中两组分自旋轨道耦合旋转玻色爱因斯坦凝聚体
3.谐振子势阱中理想费米气体化学势的研究
4.谐振子势阱中理想费米气体化学势的研究
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数学物理中的量子统计和玻色-爱因斯坦凝聚的应用
量子统计是一门研究微观粒子的统计行为的学科，而玻色-爱因斯坦凝聚则是量子统计中的重要现象之一。
在数学物理领域，量子统计和玻色-爱因斯坦凝聚的研究受到广泛关注，并在实际应用中发挥着重要作用。
玻色-爱因斯坦凝聚是指一群玻色子在低温下出现的一种现象。
玻色子是一类具有整数自旋的粒子，如光子、声子等。
根据玻色-爱因斯坦统计，玻色子在同一量子态上可以同时存在，因此在低温下，当玻色子数量达到一定程度时，会发生凝聚现象。
这种凝聚使得大量的玻色子占据同一个量子态，表现出像一种宏观量子现象。
玻色-爱因斯坦凝聚的研究不仅有助于深化人们对量子统计的理解，还具有许多实际应用。
玻色-爱因斯坦凝聚的应用之一是在激光方面。
激光是一种高度相干的光源，可以产生纯净、一致的光束。
通过将玻色-爱因斯坦凝聚应用于激光技术中，可以产生出更加优秀的激光器。
例如，基于玻色-爱因斯坦凝聚的光学晶格钟具有高精度和稳定性，可以用于时间测量、导航等领域。
此外，还有一些基于玻色-爱因斯坦凝聚的激光器可以产生出高功率和超窄线宽的激光，可用于激光切割、激光雷达等高科技应用。
玻色-爱因斯坦凝聚在物质科学中也有广泛应用。
例如，在超导领域，研究者使用超冷气体中的玻色-爱因斯坦凝聚来模拟和研究高温超导现象。
通过调控凝聚体中的温度、场强等参数，可以研究超导材料的性质和机制，有助于开发高温超导材料。
另外，玻色-爱因斯坦凝聚还可以用于制备高精度的传感器。
通过将玻色-爱因斯坦凝聚与其他物质相互作用，可以实现敏感的探测和测量，例如压力传感、磁场测量等。
此外，玻色-爱因斯坦凝聚还可以在量子计算、量子通信等领域发挥重要作用。
量子计算是一种基于量子力学的计算方式，具有强大的计算能力。
而玻色-爱因斯坦凝聚可以作为量子比特的载体，用于构建量子计算机。
同时，玻色-爱因斯坦凝聚还可以用于量子通信中的量子存储和量子传输，实现更安全和高效的通信。
总的来说，数学物理中的量子统计和玻色-爱因斯坦凝聚的研究不仅对深化我们对微观世界的认识具有重要意义，还在激光技术、物质科学、量子计算和量子通信等领域有广泛的应用。
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《计算材料学》课程设计指导老师：江建军教授电子科学与技术系2004年6月二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟彭延杰 邓峰 吴晓辉 罗佳星 罗鸣 彭欢杨胜荣 梅巍 高志超 李冠娜 鲁力( 华中科技大学电子科学与技术系0109班 武汉 430074 )摘要： 研究了二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚现象，根据玻色—爱因斯坦分布公式建立数学模型，用MATLAB模拟了一定温度下各能级粒子占有数，一定粒子数下基态占有率与温度的关系以及不同粒子数下基态占有率与温度的关系，验证了BEC现象的一些基本特性，用C程序模拟了有限粒子数大致的玻色凝聚过程。
关键词： 简谐势阱 玻色—爱因斯坦凝聚 逸度 临界温度 Abstract： The properties of Bose-Einstein condensation with finite number of particles in a two-dimensional harmonic oscillatorpotential are studied.Mathematical model is establishedaccording to the Bose-Einstein distribution equation.Theoccupation numbers of particles in every energy level and therelation between occupation rate at ground state andtemperature in the condition of certern particle number anddifferent particle number is simulated with MATLAB.Some basicproperties of BEC phenomenon is verified.The coarse process ofBose-Einstein condensation at limited particle number issimulated with C language.Keyword： Harmonic oscillator potential;Bose-Einstein condensation;fugacity;critical temperature1 引言1.1什么是玻色——爱因斯坦凝聚（BEC 以下皆以BEC代称）爱因斯坦将所有自旋为整数的微观粒子, 称为玻色子, 它们都遵循玻色-爱因斯坦统计,其特征是表现完全对称性。
爱因斯坦发现, 如果粒子数守恒,即使粒子之间完全没有相互作用,玻色子系统在足够低的温度下, 会发生相变,即系统中有的粒子会达到零动量态。
这就是所谓玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 。
发生凝聚时，能量趋近于零时, 系统状态的总数目变得极其小。
因为在温度下降时, 没有任何粒子消失, 系统中绝大多数粒子只能在其基态积累, 从而凝聚到最低能态。
在热力学极限下,即粒子数与系统体积都趋于无限大时, 就会经历这个相变[1,2]。
1.2 BEC的近期进展及其前景为了实现BEC，许多科学家做出了努力，取得了一系列成果[3]。
1995 年6 月5 日10 时54 分，美国在Boulder 的科罗拉多大学的维曼教授与美国NIST 的高级学者(开始为博士后) 科耐尔，在科罗拉多大学与NIST 的联合研究所中的联合天体实验室中，首次观察到约2000 个铷(87Rb) 原子的玻10−K.。
色-爱因斯坦凝聚，持续时间约15—20s，温度约117 ×7在1995 年9 月。
以凯特利(Wolfgang Ketterle) 、克勒普奈尔和普里恰德(W. Prichard) 等为中心的MIT 小组,利用激光和电磁装置冷却和约束纳原子气体(23Na) ,奇迹般地使数以10 万计的钠原子呈现玻色-爱因斯坦凝聚. 由于凝聚物中包含更多的原子, 更便于研究其物理性质。
BEC 态的出现, 开辟了研究宏观量子现象的新天地. 并且由于原子的波长远小于可见光的波长, 所以应用这种凝聚物所制成的原子激光, 将可在微电子线路的感光印刷术、精密测量、制造更小更高效的计算机芯片等方面找到新应用，相信随着实验技术的不断完善, 必将在应用领域产生巨大的变革, 而探讨势阱对产生BEC 的重要作用则是BEC 理论研究的一个中心内容.1.3 本文探讨内容与三维系统相比较，低维系统具有一些不同的性质，我们在这里研究的是二维情况下的BEC。
由文献[4]的结论，在给定粒子数N的情况下，完全自由的理想玻色气体不可能出现BEC。
而只有处于外势阱中的玻色气体，凝聚才可能发生。
又由文献[5]，低温条件下，发生BEC的气体处于高度有序的状态下，二维无限深势阱中不会发生BEC。
实验室中产生的BEC现象都是有限个粒子。
因此我们研究二维简谐势阱中有限粒子数玻色气体的一些性质。
2 原理与建模 将体系热函数2212V m r ω=代入薛定谔方程，可得二维谐振子的能级[5]，,11()()22x y j j x x y y E j j ωω=+++ （1） x ω,y ω分别为谐振子沿x 和y 方向两种振动模式的圆周率，x j 和y j 为相应的量子数/(2)h π= （2）h 是普朗克常数，为了方便讨论，我们考虑各向同性谐振子。
此时， x y ωωω==，谐振子的能级j j E ω= （＋1） （3）式中x y j=j +j 。
考虑处于各向同性简谐势阱中的理想玻色气体，根据玻色—爱因斯坦分布，若不考虑简并度，j ()/j=0j=01N=N 1j E kT e µ∞∞−=−∑∑ （4）若考虑简并度，简单分析可知, 第j 个能级的简并度1g j =+，则分布11exp[(1)/()]1j j N Z j kT ω−+=+− （5） 令/k θω= 为特征温度，[/()]Z exp kT µ=为逸度，其中µ为化学势，k 为玻尔兹曼常数。
代入（5）得11exp[(1)/]1j j N Z j T θ−+=+− （6） 所有粒子对应得量子数从0到∞，统计可得系统的总粒子数101exp[(1)/]1j j N Z j T θ∞−=+=+−∑ （7） 相应的，系统内能 21100(1)(1)exp[(1)/]1exp[(1)/]1j j j j E j k U Z j T Z j T θθθ∞∞−−==++==+−+−∑∑ （8） 在系统总粒子数N 给定的条件下, 根据式(7) 可确定不同温度下的逸度Z . 把Z 代入式（6）式（8）即可得出在某一定温度下T ，j N 的分布与T 的关系以及内能U ，热容U C T∂=∂与T 的关系，这些物理量可以反映二维简谐势阱中理想玻色气体的相关性质。
我们所做的工作就是基于这个模型通过数值计算方法，研究粒子的基态占有率0/N N ，j N 分布，N T −关系等问题，并由所得出的某些结论用较直观简明的方法模拟了二维简谐势阱中理想玻色气体的大致的凝聚过程。
3 计算机模拟计算机模拟的核心环节就是计算出不同温度下对应的逸度值。
首先构造函数101()exp[(1)/]1j j F Z N Z j T θ∞−=+=−+−∑ (9) 当N ，T ， ω的值一定时，使()0F Z =的Z 值有很多，例如当1000N =，26T θ=，1/ω= 时，编制程序做出()Z F Z −图像，如图1所示，由图可知Z 就有许多个值。
图1()F Z 随逸度Z 的变化如果Z 初始值选择不合适则可能得到虽然满足数学方程但不符合物理意义的解。
例如1000N =时由图1取0.96269Z =，编制程序作出j N j −的图像，如图2，图2 1000N =时各能级的粒子占有数（0.96269Z =） 图像结果符合实际情况，但是如果取 1.086873Z =，出现了处于某些态的粒子数为负值的情况，如图3，图31000N =时各能级的粒子占有数（ 1.086873Z =）因此在选择Z 的初值时要十分谨慎，必须根据不同的条件对Z 的范围进行物理分析, 确定合适的变化范围和初值, 否则就可能因为初值选择不当而导致面目全非的结果。
所有的统计物理教科书和参考书都指出玻色系统的逸度1Z ≤, 这是由于玻色系统的分布特性所决定的, 当1Z >时有可能导致某些能级的粒子数为负值的非物理结果. 但在这里要说明的是Z 的值可以大于1。
这是因为我们考虑了谐振子的零点能，当考虑零点能()ω 时, Z 值完全可以大于[6]1。
同时我们对数学模型进行了简化，式（7）中的求和是收敛的，不必要也不可能将求和项数取到无穷大.由图2可以看出当 200j →时，0j N →，即在200j >的能级上的平均粒子数趋进于零，因此它对系统的影响可以忽略，为提高计算精度我们仍取j 从0到2000，在这种情况下，基本上把所有的粒子都包括进去了，基于以上简化作出当1000N =和5000N =时j N j −的图像，分别如图2，图4所示图4 5000N =时各能级的粒子占有数Einstein 所研究的BEC是指热力学极限下, 系统降温到某一特定的温度(c T ) 时, 会出现宏观数量粒子突然开始在基态上凝聚,由解析结果[7]12[/(2)]c T N ζθ= （10） ()x ζ为黎曼函数，当1000N =时，24.66c T θ=，通过对若干点的计算，确定处于基态的粒子的个数，如表1所示，（0N 去除小数部分）/c T T0.6 0.83 0.860.890.920.950.98 1.0 1.01 1.04 1.07 1.1 1.20N 595 258 206 155 107 66 37 26 22 14 10 8 4表1.各温度下处于基态粒子数（1000N =）做出相关图像，如图5图5.基态占有率随温度变化的关系当100N =时7.8c T θ=，同样的做出表2。
表2.各温度下处于基态粒子数（100N =）为便于后面的讨论，将1000N =和100N =时0//N N T θ−的图像做于同一坐标中，如图6所示/T θ 4 5 67.8 9 10 15 20 0N 68 52 33 8 3 2 0.58940.2873图6.不同粒子数基态占有率随温度变化的关系基于上述计算结果，我们编制程序较简单的模拟了有限粒子数气体产BEC的大致过程，该程序反映了BEC的部分性质。
4 结果与讨论1） 由图5，我们验证了玻色－爱因斯坦凝聚的一个最基本的现象，即在热力学极限下, 系统降温到某一特定的温度(c T ) 时, 会出现宏观数量粒子突然开始在基态上凝聚。