高中数学竞赛专题精讲17二项式定理与多项式(含答案)

17二项式定理与多项式

1．二项工定理

∑=-∈=+n

k k

k n k n n

n b a C b a 0*)()(N

2．二项展开式的通项

)0(1n r b a C T r

r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项.

3．二项式系数

).0(n r C r

n ≤≤

4．二项式系数的性质

（1）).0(n k C C k

n n k n ≤≤=-

（2）).10(1

11-≤≤+=---n k C C C k n k n k n

（3）若n 是偶数，有n

n n n

n n

n

n C

C

C

C C >>><<<-1210 ，

即中间一项的二项式系数2n

n

C

最大.

若n 是奇数，有n

n

n n n n

n n

n

n

C C C

C

C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数21

2+n n

n

n

C

C 和相等且最大. （4）.2210n

n n n n n C C C C =++++

（5）.21

531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C

（6）.1111----=

=k n k

n k n k n C k

n C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C m

m k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- （8）.1

121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C

以上组合恒等式（是指组合数m

n C 满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基

本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出. 5．证明组合恒等式的方法常用的有

（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.

（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. （3）利用数学归纳法.

（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.

例题讲解

1．求7)1

1(x

x ++的展开式中的常数项.

2．求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.

3．已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，

n

n n n n n n n n n n n n n x

C a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式.

4．已知a ，b 均为正整数，且,

sin )(),2

0(2sin ,2222θπθθn b a A b

a a

b b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，A n 均为整数.

5．已知y x ,为整数，P 为素数，求证：)(m od )(P y x y x P P P +≡+

6．若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ，求证：.1)(=+ααm

7．数列}{n a 中，)2(3,311≥==-n a a a

n n ，求2001a 的末位数字是多少？

8．求N=1988－1的所有形如b a d b

a

,(,32⋅=为自然数）的因子d 之和.

9．设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.

10．已知),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问：在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.

课后练习

1．已知实数βα,均不为0，多项ββαα++-=x x x x f 2

3

)(的三根为321,,x x x ，求 )111)((3

2

1

321x x x x x x ++++的值.

2．设

d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中d

c b a ,,,为常数，如果

,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([4

1f f +的值.

3．定义在实数集上的函数)(x f 满足：).(,1)1()(x f x x xf x f 求+=-+

4．证明：当n=6m 时，.033325

531=-⋅+⋅+⋅- n n n n C C C C

5．设n x x )1(2++展开式为n n x a x a x a a 222210++++ ，求证：.31630-=+++n a a a

6．求最小的正整数n ，使得n y x xy )2173(-+-的展开式经同类项合并后至少有1996项.

7．设493)12()1()(+-+=x x x x f ，试求： （1）)(x f 的展开式中所有项的系数和. （2）)(x f 的展开式中奇次项的系数和.

8．证明：对任意的正整数n ，不等式n

n

n

n n n )12()2()12(-+≥+成立.