高中数学竞赛专题精讲17二项式定理与多项式(含答案)
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17二项式定理与多项式
1.二项工定理
∑=-∈=+n
k k
k n k n n
n b a C b a 0*)()(N
2.二项展开式的通项
)0(1n r b a C T r
r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项.
3.二项式系数
).0(n r C r
n ≤≤
4.二项式系数的性质
(1)).0(n k C C k
n n k n ≤≤=-
(2)).10(1
11-≤≤+=---n k C C C k n k n k n
(3)若n 是偶数,有n
n n n
n n
n
n C
C
C
C C >>><<<-1210 ,
即中间一项的二项式系数2n
n
C
最大.
若n 是奇数,有n
n
n n n n
n n
n
n
C C C
C
C C >>>=<<<-+-1212110 ,即中项二项的二项式系数21
2+n n
n
n
C
C 和相等且最大. (4).2210n
n n n n n C C C C =++++
(5).21
531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C
(6).1111----=
=k n k
n k n k n C k
n C nC kC 或 (7)).(n k m C C C C C C m
m k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- (8).1
121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C
以上组合恒等式(是指组合数m
n C 满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基
本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出. 5.证明组合恒等式的方法常用的有
(1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明.
(2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. (3)利用数学归纳法.
(4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.
例题讲解
1.求7)1
1(x
x ++的展开式中的常数项.
2.求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.
3.已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证:对于任何自然数n ,
n
n n n n n n n n n n n n n x
C a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式.
4.已知a ,b 均为正整数,且,
sin )(),2
0(2sin ,2222θπθθn b a A b
a a
b b a n n ⋅+=<<+=>其中求证:对一切*N ∈n ,A n 均为整数.
5.已知y x ,为整数,P 为素数,求证:)(m od )(P y x y x P P P +≡+
6.若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ,求证:.1)(=+ααm
7.数列}{n a 中,)2(3,311≥==-n a a a
n n ,求2001a 的末位数字是多少?
8.求N=1988-1的所有形如b a d b
a
,(,32⋅=为自然数)的因子d 之和.
9.设8219)22015()22015(+++=x ,求数x 的个位数字.
10.已知),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问:在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项?证明你的结论.
课后练习
1.已知实数βα,均不为0,多项ββαα++-=x x x x f 2
3
)(的三根为321,,x x x ,求 )111)((3
2
1
321x x x x x x ++++的值.
2.设
d cx bx ax x x f ++++=234)(,其中d
c b a ,,,为常数,如果
,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([4
1f f +的值.
3.定义在实数集上的函数)(x f 满足:).(,1)1()(x f x x xf x f 求+=-+
4.证明:当n=6m 时,.033325
531=-⋅+⋅+⋅- n n n n C C C C
5.设n x x )1(2++展开式为n n x a x a x a a 222210++++ ,求证:.31630-=+++n a a a
6.求最小的正整数n ,使得n y x xy )2173(-+-的展开式经同类项合并后至少有1996项.
7.设493)12()1()(+-+=x x x x f ,试求: (1))(x f 的展开式中所有项的系数和. (2))(x f 的展开式中奇次项的系数和.
8.证明:对任意的正整数n ,不等式n
n
n
n n n )12()2()12(-+≥+成立.