高中数学竞赛专题精讲17二项式定理与多项式(含答案)
二项式定理(精讲)(原卷版)

8.2二项式定理(精讲)一.二项式定理1.二项式定理:(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b 1+…+C n k an -k b k +…+C n n b n(n ∈N *) ①项数为n +1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ,即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零;字母b 按升幂排列, 从第一项起,次数由零逐项增1直到n .2.通项公式:T k +1=C n k an -k b k =g (r )·x h (r )它表示第k +1项①h (r )=0∈T r +1是常数项; ②h (r )是非负整数∈T r +1是整式项; ③h (r )是负整数∈T r +1是分式项; ④h (r )是整数∈T r +1是有理项.3.二项式系数:二项展开式中各项的系数为C n 0,C n 1,…,C n n .二.二项式系数的性质一.形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k +1=C n k an -k b k ,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错); ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组),解出r ;③把k 代入通项公式中,即可求出T k +1,有时还需要先求n ,再求k ,才能求出T k +1或者其他量. 二.求形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a +b )m 与(c +d )n 分别展开,并写出其通项公式;②根据特定项的次数,分析特定项可由(a +b )m 与(c +d )n 的展开式中的哪些项相乘得到; ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数,那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大; 2,如果n 是奇数,那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求(a +bx )n (a ,b ∈R )的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A 1,A 2,…,A n +1,且第k 项系数最大,应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五.求三项展开式中特定项(系数)的方法方法一:通过变形把三项式化为二项式,再用二项式定理求解 方法二:两次利用二项展开式的通项求解方法三:利用排列组合的基本原理去求,把三项式看作几个因式之积,得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六.二项式定理应用1.用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了.2.利用二项式定理近似运算时,首先将幂的底数写成两项和或差的形式,然后确定展开式中的保留项,使其满足近似计算的精确度.考点一 二项式定理的展开式【例1】(2023广西柳州)化简2341632248x x x x -+-+=( ) A .4x B .()42x -C .()42x +D .()412x -【一隅三反】1.(2022·高二课时练习)设A =37+27C ·35+47C ·33+67C ·3,B =17C ·36+37C ·34+57C ·32+1,则A -B 的值为( ) A .128B .129C .47D .02.(2023·重庆九龙坡)1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A .2123n + B .()2413n- C .123n -⨯ D .()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】(2023·全国·高三专题练习)在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中,含x 的项的二项式系数为( )A .28B .56C .70D .112【例22】(2022·甘肃兰州·统考一模)6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( )A .40B .40C .20D .20【例23】(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为( )A .270B .240C .210D .180【例24】(2023·四川绵阳·统考二模)()32+nx 展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则n 的值为( )A .8B .7C .6D .5【一隅三反】1.(2023·北京·高三专题练习)在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中,含3x 项的二项式系数为( )A .5B .5-C .10D .10-2.(2023·河南驻马店·统考二模)51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是( )A .-112B .-48C .48D .1123.(2023·全国·高三对口高考)在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( )A .7-B .7C .358-D .358考点三 三项式指定项系数【例3】(2023·全国·高三专题练习)52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是( )A .252B .220C .220D .252【一隅三反】1.(2023·河北沧州·校考模拟预测)()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为( )A .10-B .10C .30-D .302.(2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测)6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 (用数字作答).3.(2023秋·福建三明·高三统考期末)512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .(答案用数字作答)4.(2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试)已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-,则=a .考点四 二项式系数性质【例4】(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)()612x +的展开式中二项式系数最大的项是( )A .160B .240C .3160xD .4240x【一隅三反】1.(2023·广东佛山·校考模拟预测)(多选)x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大,且常数项是252-,则下列说法正确的是( )A .10n =B .各项的二项式系数之和为1024C .1a =-D .各项的系数之和为10242.(2023·西藏日喀则·统考一模)已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等,则展开式中x 的系数为3.(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,则展开式中的常数项为 .考法五 系数最大项和系数和【例51】(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】.(2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测)(多选)已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+(i a ∈R ,0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅)的定义域为R ,则( )A .01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B .135364a a a ++=-C .123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D .()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1.(2023·全国·模拟预测)81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为( )A .70B .56C .3556x y 或5356x yD .4470x y2.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79,则展开式中系数最大的项为第( )A .7项B .8项C .9项D .10项 3.(2023春·山东青岛)(多选)已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++,则( )A .2144a =B .9012893a a a a a +++++=C .81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D .(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4.(2023·福建宁德·校考模拟预测)(多选)若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-,x ∈R ,则( )A .01a =B .1012103a a a +++=C .2180a =D .9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】(2023春·课时练习)设n 为奇数,那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是( )A .3-B .2C .10D .11【例62】(2023北京)今天是星期二,经过7天后还是星期二,那么经过20212天后是( ) A .星期三B .星期四C .星期五D .星期六【例63】(2023·全国·高三专题练习)6(1.05) . 【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)81.02≈ (小数点后保留三位小数). 2.(2023·辽宁丹东·统考一模)282除以7所得余数为 . 3.(2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习)12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ (精确到0.01)。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用,并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一:二项式定理设a , b 是任意实数,n 是任意给定的正整数,则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理,其中右边的多项式叫的二项式展开式,每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意:二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项,n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ,并且第一个字母a 依次降幂排列,第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二:二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意:该项为二项展开式的第1m +项,而不是第m 项. 知识点三:二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中,与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数,那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四:二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析:熟记二项式定理.解答:51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析:灵活运用通项公式. 解答:272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析:根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数,再利用通项公式计算.解答:由于7为奇数,所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析:二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理(精讲)高中数学新同步精讲讲练(选择性必修第三册)(教师版含解析)

6.3 二项式定理(精讲)思维导图考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求41(3x )x+的展开式为 . (2)(2020·江苏省太湖高级中学高二期中)已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=,则n 的值为【答案】(1)1x 2+12x+54+108x +81x 2【解析】(1)方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=(3x )4+C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3+C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4=81x 2+108x +54+12x +1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=1x 2(1+3x )4=1x 2·[1+C 14·3x +C 24(3x )2+C 34(3x )3+C 44(3x )4]=1x 2(1+12x +54x 2+108x 3+81x 4)=1x 2+12x+54+108x +81x 2.(2)由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得常见考法()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=,即()()672933n =-=-,解得6n =.【举一反三】1.(2021·全国课时练习)化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A .(2x+2)5 B .2x 5 C .(2x-1)5 D .32x 5【答案】D【解析】依题意可知,多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-,故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式,化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2.(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中)化简:2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n nn n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为:101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】(1)(2020·全国高二单元测试)在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是(2)(2020·广东佛山市·高二期末)二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______(用数字作答)(3)(2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考)3031x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的有理项共有 项【答案】(1)9410C (2)70(3)6【解析】(1)由T k +1=10kC x 10-k (-3)k ,令10-k =6,解得k =4,∴系数为(-3)4410C =9410C(2)二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==,令820r -=,得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯,故答案为:70(3)3031x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为:()5301036130301rrrrr r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,061051730300,,6,r T x r T x C C ====, 12180513********,,18,r T x r T x C C -====,243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====,所以有理项共有6项,故选:C 【举一反三】1.(2020·北京市鲁迅中学高二月考)二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.(用数字作答) 【答案】60【解析】有题意可得,二项式展开式的通项为:()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ,此时2456260T C ==.2.(2021·上海青浦区)在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中,常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭,当1230r -=时,4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603..(2020·青海西宁市)若83a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得:48883318883=rr r r r r r r r r r a T C x C a x C a x x ----+⎛⎫== ⎪⎝⎭, 令4843r -=,可得3r =,3388==7r r C a C a ,解得:12a =,故答案为:124.(2020·梁河县)已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项,则n =________.【答案】8【解析】根据题意,可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭,而常数项是第7项,则 3240n -=,故8n =.故答案为:8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】(1)(2020·福建三明市·高二期末)52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是( ) A .-252B .-220C .220D .252(2).(2021·四川成都市)若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-,则a =( )A .2B .1C .2-D .1-【答案】(1)A(2)C 【解析】(1)由2510211(2)()x x x x+-=-, 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-, 令1020r -=,解得=5r ,所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选:A.(2)5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为:55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-,显然,25r -为奇数, 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项,251r ∴-=-,解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于:23580C a ⋅=-2a ∴=-故选:C.【举一反三】1.(2020·全国高三专题练习)4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为( ).A .11B .11-C .8D .7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体,展开得到:41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为:4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时,4r = 系数为:40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时,1r = 系数为:11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2.(2020·全国高三专题练习)524131x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为( )A .30-B .30C .25-D .25【答案】C【解析】511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的通项为151(1)r r r r T C x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 5522411311x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 55141311x x x x ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,根据式子可知当4r = 或2r时有常数项,令4r =414551(1)T C x ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭ ; 令2323512(1)r T C x ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ,故选C.3.(2020·河南商丘市)()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A .6B .10C .15D .16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅,令4r =,则4615C =,所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选:D. 4.(2020·枣庄市第三中学高二月考)在1020201(1)x x++的展开式中,x 2项的系数为( ) A .30 B .45C .60D .90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中,通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ,k ≤r ,r 、k ∈N ,r ≤10.令r ﹣2021k =2,可得r =2+2021k ,故k =0,r =2,故x 2项的系数为210C •02C =45,故选:B .5.(2020·全国高二专题练习)若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30,则a 等于( ) A .13B .12C .1D .2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】(1)(多选)(2020·全国高二单元测试)111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A .第5项 B .第6项 C .第7项D .第8项(2)(2020·山东省桓台第一中学高二期中)(多选)二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( ).A .第五项B .第六项C .第七项D .第八项(3)(2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试)若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则展开式中含2x 项的系数是A .462-B .462C .792D .792-【答案】(1)BC(2)BC(3)D【解析】(1)因为n =11为奇数,所以展开式中第1112+项和第11112++项,即第6项和第7项的二项式系数相等,且最大.故选:BC(2)二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,每项的系数与二项式系数相等,共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选:BC(3)∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大,∴n 为偶数,展开式共有13项,则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-,令1222r -=,得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-,故选D . 【举一反三】1.(2020·辽宁沈阳市·高二期中)在()()1nx n N +-∈的二项展开式中,若只有第5项的二项式系数最大,则12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为( )A .960B .1120C .-560D .-960【答案】B【解析】在(x ﹣1)n(n ∈N +)的二项展开式中,若只有第5项的二项式系数最大,则n=8,则1(2)n x x -=812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•(﹣1)r •x 4﹣r , 令4﹣r=0,求得r=4,可得展开式中的常数项为48C •24•(﹣1)4=1120,故选B .2.(2021·湖南常德市)(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A .B .C .10D .20【答案】C【解析】由已知,当x =1时,(a +11)(2−1)5=2,即a =1,所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10,故选C . 3.(多选)(2020·三亚华侨学校高二开学考试)已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大,则n 的值可以为( ) A .7 B .8C .9D .10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n =8或n =9故选:ABC .4.(2020·全国高二课时练习)已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ,且2log n m =,求2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++,令1x =,得6612(31)42m =+==,所以2log 12n m ==,则122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中有13项,且中间一项(第7项)的二项式系数最大,该项为6666633712122()(2)59136T C x C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5.(2020·重庆市第七中学校高二月考)二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中,二项式系数最大的项是第4项,则其展开式中的常数项是_________. 【答案】-20【解析】由题意知,展开式中有7项,6n =.因为 ()661122rrr Tr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=,得3r =,所以常数项为()336120C -=-.考法五 二项式系数或系数和【例5】(2020·安徽省泗县)若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求:(1)017a a a ++⋯+; (2)1357a a a a +++; (3)0127a a a a ++++.【答案】(1)27;(2)14;(3)27.【解析】(1)令1x =,可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=,∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+.①(2)令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-,∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--.② 由①-②得13572()28a a a a +++=, ∴135714a a a a +++=.(3)由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==,∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=,∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+.【举一反三】1.(2020·北京朝阳区·高二期末)在5(21)x +的二项展开式中,二项式系数之和为___________;所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质,展开式的二项式系数之和为52232n ==, 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+,故答案为:32,2432.(2020·全国高二单元测试)若(2-x )10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10,则(a 0+a 2+…+a 10)2-(a 1+a 3+…+a 9)2= 【答案】1【解析】令1x =,得()10011021a a a +++=-,令1x =-,得()1001231021a a a a a -+-++=+,()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++()()101021211=+-=.故选:A.3.(2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中)已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ,则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导,得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++,令1x =-,则1210112101122a a a a -+-+=.4.(2020·宁县第二中学高二期中)设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大.(1)求n ;(2)求012n a a a a ++++; (3)求.312232222n n a a a a ++++. 【答案】(1)2018;(2)20183;(3)-1.【解析】(1)由二项式系数的对称性,1101020182n n +=∴= (2)201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= (3)令0x = ,得20180(10)1a =-=, 令12x =,得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=,故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】(1)(2020·上海市七宝中学高二期中)7271除以100的余数是________(2)(2020·全国高二单元测试)6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】(1)41(2)1.34【解析】(1)()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41.故答案为:41.(2)()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为:1.34【举一反三】1.(2020·四川棠湖中学高二月考)已知202074a +能够被15整除,则a =________.【答案】14【解析】由题可知,()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++,而75能被15整除,要使202074a +能够被15整除,只需1a +能被15整除即可, 所以115a +=,解得:14a =.故答案为:14.2.(2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中)83被5除所得的余数是_____________.【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-,所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数, 因为2565151=⨯+,所以83被5除所得的余数是1,故答案为:13.(2021·河北保定市)60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.(+)n展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式的常数项是()A.360B.180C.90D.45【答案】B【解析】因为在的二项式展开式中,只有第6项的二项式系数最大所以由此可得:,即所以即,所以的二项式展开式中常数项为180.【考点】二项式定理及二项式系数的应用.2.二项式的展开式中含的项的系数是.【答案】【解析】由于,因此的系数为【考点】二项展开式的通项公式.3.若n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2++anx n,则a1+a2++an的值为________.【答案】255【解析】由二项式定理可得通项公式:因含的项为第6项,故.令,令【考点】(1)二项式定理;(2)赋特殊值求二项式系数.4.设(是正整数),利用赋值法解决下列问题:(1)求;(2)为偶数时,求;(3)是3的倍数时,求。
【答案】(1);(2);(3)。
【解析】(1)为二项式展开式中每一项的二项式系数,令可求得,即的值,(2)为的展开式中偶数项的二项式系数,令可得的值,再与相加即可得,(3)利用复数次方的性质,构造方程,从而求得的值。
试题解析:令,(1),所以(2),所以(3)记,则。
当时,,当时,,记,,,,,则从上到下各式分别乘以,求得。
即【考点】(1)赋值法的应用;(2)复数性质的应用。
5.被除所得的余数是_____________.【答案】1【解析】因为,所以被除所得的余数是1.【考点】二项式定理应用6.设,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】令x=0,得=0,故选B.【考点】二项式定理.7.对于二项式n(n∈N*),四位同学作出了四种判断:①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是________.【答案】①④【解析】二项式n的展开式的通项为Tr+1=C n r n-r·(x3)r=C n r x r-n·x3r=C n r x4r-n.当展开式中有常数项时,有4r-n=0,即存在n、r使方程有解.当展开式中有x的一次项时,有4r-n=1,即存在n、r使方程有解.即分别存在n,使展开式有常数项和一次项.8.二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为,则x在[0,2π]内的值为________.【答案】或π【解析】二项式(1+sin x)n的展开式中,末尾两项的系数之和Cn n-1+Cnn=1+n=7,∴n=6,系数最大的项为第4项,T4=C63(sin x)3=,∴(sin x)3=,∴sin x=,又x∈[0,2π],∴x=或π.9.在6的展开式中x2的系数是________.【答案】240【解析】设展开式中第r+1项是x2项,则由Tr+1=C6r6-r·(-2x)r=(-2)r C6r x2r-6,得2r-6=2,解得r=4.∴x2项系数为(-2)4C64=16×15=240.10.如果2n的展开式中第4项与第6项的系数相等,求n及展开式中的常数项.【答案】70【解析】解:由已知可得C2n 3=C2n5,所以3+5=2n,即n=4.所以展开式中的通项为Tr+1=C8r x8-2r,若它为常数项,则r=4,所以T5=C84=70.11. (1)已知(1-2x)2008=a0+a1x+a2x2+…+a2008x2008(x∈R),求a+a1+a2+…+a2008的值;(2)已知(1-2x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14,求a1+a3+a5+…+a13的值.【答案】(1)1 (2)(27-67)【解析】解:(1)令x=1,则(1-2x)2008=a0+a1x+a2x2+…+a2008x2008变为(1-2)2008=a+a1+a2+…+a2008,∴a0+a1+a2+…+a2008=1.(2)分别令x=1及x=-1,可得两式相减,用上式减下式可得2(a1+a3+…+a13)=27-67,∴a1+a3+a5+…+a13= (27-67).12.若二项式的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式中的系数为.(用数字作答)【答案】9【解析】第4项与第7项的二项式系数相等,则,。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.在二项式的展开式中,含的项的系数是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为,则令得,所以含项的系数为,故选【考点】二项式定理.2.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8等于()A.180B.90C.-5D.5【答案】A【解析】(1+x)10=[2-(1-x)]10,其通项公式为Tr+1=210-r·(-1)r(1-x)r,a8是r=8时,第9项的系数.∴a8=22(-1)8=180.故选A.3.二项式(2-)6的展开式中所有有理项的系数和等于________.(用数字作答)【答案】365【解析】Tr+1=·(2)6-r·(-1)r·x-r=(-1)r·26-r,r=0,1,2,3,4,5,6,当r=0,2,4,6时,Tr+1=(-1)r26-r为有理项,则所有有理项的系数和为26+24+22+20=365.4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=________.【答案】1【解析】由Tr+1= (kx2)6-r=k6-r x2(6-r),得x8的系数为k4=15k4,由15k4<120得k4<8,因为k为正整数,所以k=1.5.的展开式中,的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为,所以令,解得,所以=15,解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式,求特定项的系数,题目难度不大,属于中低档. 6.的二项展开式中,的系数等于.【答案】15【解析】,时,,此时的系数等于.【考点】二项式系数7.二项式的展开式中系数最大的项是第项.【答案】9【解析】因为,而组合数中最大,所以展开式中系数最大的是,即第9项.【考点】组合数性质8.若(的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等,则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为()A.B.12C.D.36【答案】C【解析】展开式中第二项与第四项的二项式系数相等,所以,那么,与围成的封闭图形区域为,故选C.【考点】1.二项式系数;2.定积分.9.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=。
高中二项式定理专题(答案)

二项式定理1. 知识精讲:(1)二项式定理:()nn n r r n r n n n n n nb C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110(*∈N n )其通项是=+1r T r r n r n b a C - (r=0,1,2,……,n ),知4求1,如:555156b a C T T n n -+== 亦可写成:=+1r T r n r n aba C )(()()()n n n n rr n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- (*∈N n ) 特别地:()n n n r n r n n n n nx C x C x C x C x +++++=+- 101(*∈N n )其中,r n C ——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
例1.n nn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 ( ) A .n4 B 。
n43⋅ C 。
134-n D.314-n 解:设nnn n n n n C C C C S 1321393-++++= ,于是: n nn n n n n C C C C S 3333333221++++= =13333332210-+++++nn n n n n n C C C C C 故选D例2.(1)求7(12)x +的展开式的第四项的系数;(2)求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解:(1)7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==,∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-, ∴923r -=,3r =,∴3x 的系数339(1)84C -=-,3x 的二项式系数3984C =.(2)二项展开式系数的性质:①对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 ,,,,2211kn nkn n n n n n n nn n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。
(完整版)二项式定理(习题含答案)

(完整版)⼆项式定理(习题含答案)⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中,的幂指数是整数的共有() A .项 B .项 C .项 D .项【答案】C 【解析】,,若要是幂指数是整数,所以0,6,12,18,24,30,所以共6项,故选C .3、若展开式中的常数项为.(⽤数字作答)【答案】10【解】由题意得,令,可得展⽰式中各项的系数的和为32,所以,解得,所以展开式的通项为,当时,常数项为, 4、⼆项式的展开式中的常数项为.【答案】112【解析】由⼆项式通项可得,(r=0,1,,8),显然当时,,故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________.【答案】.【解析】因为中的展开式通项为,当第⼀项取时,,此时的展开式中常数为;当第⼀项取时,,此时的展开式中常数为;所以原式的展开式中常数项等于,故应填. 6、设,则的展开式中常数项是.【答案】 332,30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为,所以所求常数项为.⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是()A .B .C .D .【答案】A【解析】由通式,令,则展开式中项的系数是.8、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数是.【答案】15【解】的通项,令可得.则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是.【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成,所以的项的系数为. 10、已知,那么展开式中含项的系数为.【答案】135【解析】根据题意,,则中,由⼆项式定理的通项公式,可设含项的项是,可知,所以系数为.11、已知,则等于()A .-5B .5C .90D .180【答案】D 因为,所以等于选D.12、在⼆项式的展开式中,只有第5项的⼆项式系数最⼤,则________;展开式中的第4项=_______.6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?)(3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x )(3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x )(3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】,.【解析】由⼆项式定理展开通项公式,由题意得,当且仅当时,取最⼤值,∴,第4项为. 13、如果,那么的值等于()(A )-1 (B )-2 (C )0 (D )2 【答案】A【解析】令,代⼊⼆项式,得,令,代⼊⼆项式,得,所以,即,故选A .14、(﹣2)7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解:把x=1代⼊⼆项式,可得(﹣2)7 =﹣1, 15、(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解:在(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中,令x=1,即(1﹣2)(1﹣1)5=0,所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中,所有项的系数和为,则的系数等于.【答案】【解析】当时,,解得,那么含的项就是,所以系数是-270. 17、设,若,则.【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?,令得:,即再令得:,即所以18、设(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和为M ,⼆项式系数和为N ,若M ﹣N=240,则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解:由于(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关,故令x=1,即可得到展开式的各项系数和M=(5﹣1)n =4n .再由⼆项式系数和为N=2n ,且M ﹣N=240,可得 4n ﹣2n =240,即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16,或 2n =﹣15(舍去),∴n=4. (5x ﹣)n 的展开式的通项公式为 T r+1=(5x )4﹣r ?(﹣1)r ?=(﹣1)r ?54﹣r ?.令4﹣=1,解得 r=2,∴展开式中x 的系数为(﹣1)r54﹣r=1×6×25=150,19、设,则.【答案】【解析】,所以令,得到,所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项,则()A .B .C .D .【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为,第四项为常数,则必有,即,所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15,则()(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为,令,得,所以的系数为,解得;故选B . 22、(a +x)4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.【答案】2【解析】∵,∴当,即时,. 23、若的展开式中的系数为10,则实数() A1 B .或1 C .2或 D .【答案】B.【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14,其⼆项展开通项公式,∴或,故选B . 24、设,当时,等于()A .5B .6C .7D .8 【答案】C .【解析】令,则可得,故选C .四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析:先将幂利⽤⼆项式表⽰,使其底数⽤8的倍数表⽰,利⽤⼆项式定理展开得到余数.试题解析:解:∵20152015=2015=?20162015﹣?20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣,故20152015除以8的余数为﹣=﹣1,即20152015除以8的余数为7,)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.的展开式中的常数项为()A.﹣64B.﹣32C.32D.64【答案】B【解析】二项展开式的通项公式,当时,因此常数项为.【考点】二项展开式的应用.2.已知展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于()A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】展开式中各项系数和为x取时式子的值,所以各项系数和为,而二项式系数和为,因此,所以,答案选C.【考点】二项式定理及应用3.(+)5展开式的常数项为80,则a的值为()A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理4.若n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2++anx n,则a1+a2++an的值为________.【答案】255【解析】由二项式定理可得通项公式:因含的项为第6项,故.令,令【考点】(1)二项式定理;(2)赋特殊值求二项式系数.5.若展开式中各项的二项式系数之和为32,则该展开式中含项的系数为.【答案】80.【解析】由题意得,,;则的通项公式为,令,得的系数为.【考点】二项式定理.6.若,则;【答案】2014【解析】首先令可得;然后令得,即,代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.7.若.则( )A.20B.19C.D.【答案】C【解析】设t=x+2,则x=t-2,则多项式等价为则为左边展开式中的系数.由,左边展开式中的系数为1+=1-21=.故选:C.【考点】二项式定理的应用.二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.8.被除所得的余数是_____________.【答案】1【解析】因为,所以被除所得的余数是1.【考点】二项式定理应用9.若,则的值为____.【答案】-1【解析】令,由原式可得,令,由原式可得,可得.【考点】特殊值法.10.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求展开式中系数绝对值最大的项;(3)求的值.【答案】(1)有理项为和;(2)系数绝对值最大的项为;(3).【解析】(1)先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数,依题意得到,求解可得,进而化简该二项展开式的通项公式得到,由为整数可得出的值,进而得到所有的有理项;(2)先求出二项展开式中的系列,并设第项系数绝对值最大,列出不等式组,从中求解即可得出的值,进而可写出展开式中系数绝对值最大的项;(3)先根据二项开展式的特征将变形为,逆用二项式定理即可得结果.(1)由,解得 2分因为通项: 3分当为整数,可取0,6 4分于是有理项为和 6分(2)设第项系数绝对值最大,则(8分)注:等号不写扣(1分)解得,于是只能为7 10分所以系数绝对值最大的项为 11分(3)13分16分【考点】二项式定理及其应用.11.若6的二项展开式中x3的系数为,则a=________.【答案】2【解析】设第r+1项的系数为,则Tr+1=C6r(x2)6-r r=C6r x12-3r,令12-3r=3,得r=3,∴C63=,∴a3=8,a=2.12.设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则f(x)=________.【答案】32x5【解析】f(x)=C50(2x+1)5+C51(2x+1)4·(-1)+C52(2x+1)3·(-1)2+C53(2x+1)2·(-1)3+C54(2x+1)·(-1)4+C55(-1)5=(2x+1-1)5=32x5.13.若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大,则Cn 0-Cn1+Cn2-…+(-1)n··Cnn=________.【答案】【解析】由已知第5项的二项式系数最大,则n=8,又Cn 0-Cn1+Cn2-…+(-1)n Cnn=n=8=.14.的展开式中含的整数次幂的项的系数之和为(用数字作答)。
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17二项式定理与多项式1.二项工定理∑=-∈=+nk kk n k n nn b a C b a 0*)()(N2.二项展开式的通项)0(1n r b a C T rr n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项.3.二项式系数).0(n r C rn ≤≤4.二项式系数的性质(1)).0(n k C C kn n k n ≤≤=-(2)).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n(3)若n 是偶数,有nn n nn nnn CCCC C >>><<<-1210 ,即中间一项的二项式系数2nnC最大.若n 是奇数,有nnn n n nn nnnC C CCC C >>>=<<<-+-1212110 ,即中项二项的二项式系数212+n nnnCC 和相等且最大. (4).2210nn n n n n C C C C =++++(5).21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C(6).1111----==k n kn k n k n C kn C nC kC 或 (7)).(n k m C C C C C C mm k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- (8).1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C以上组合恒等式(是指组合数mn C 满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出. 5.证明组合恒等式的方法常用的有(1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明.(2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. (3)利用数学归纳法.(4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.例题讲解1.求7)11(xx ++的展开式中的常数项.2.求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.3.已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证:对于任何自然数n ,nn n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式.4.已知a ,b 均为正整数,且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证:对一切*N ∈n ,A n 均为整数.5.已知y x ,为整数,P 为素数,求证:)(m od )(P y x y x P P P +≡+6.若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ,求证:.1)(=+ααm7.数列}{n a 中,)2(3,311≥==-n a a an n ,求2001a 的末位数字是多少?8.求N=1988-1的所有形如b a d ba,(,32⋅=为自然数)的因子d 之和.9.设8219)22015()22015(+++=x ,求数x 的个位数字.10.已知),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问:在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项?证明你的结论.课后练习1.已知实数βα,均不为0,多项ββαα++-=x x x x f 23)(的三根为321,,x x x ,求 )111)((321321x x x x x x ++++的值.2.设d cx bx ax x x f ++++=234)(,其中dc b a ,,,为常数,如果,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([41f f +的值.3.定义在实数集上的函数)(x f 满足:).(,1)1()(x f x x xf x f 求+=-+4.证明:当n=6m 时,.033325531=-⋅+⋅+⋅- n n n n C C C C5.设n x x )1(2++展开式为n n x a x a x a a 222210++++ ,求证:.31630-=+++n a a a6.求最小的正整数n ,使得n y x xy )2173(-+-的展开式经同类项合并后至少有1996项.7.设493)12()1()(+-+=x x x x f ,试求: (1))(x f 的展开式中所有项的系数和. (2))(x f 的展开式中奇次项的系数和.8.证明:对任意的正整数n ,不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+成立.例题答案:1.解:由二项式定理得77)]1(1[)11(xx x x ++=++77772271707)1()1()1()1(xx C x x C x x C x x C C r r ++++++++++= ①其中第)70(1≤≤+r r 项为r rr xx C T )1(71+=+ ②在rxx )1(+的展开式中,设第k+1项为常数项,记为,1+k T则)0(,)1(2,1r k x C xx C T kr k r k k r k r k ≤≤==--+ ③由③得r -2k=0,即r=2k ,r 为偶数,再根据①、②知所求常数项为.39336672747172707=+++C C C C C C C评述:求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解:因为6662)1()31()321(x x x x -+=-+].1][)3()3()3(31[6665564463362261666633622616x C x C x C x C x C x C x C x C x C x C +-+-+-⋅++⋅+⋅+⋅+= 所以62)321(x x -+的展开式里x 5的系数为26363362624616563)(33)(1C C C C C C C ⋅+-+⋅+-.16813)(356516464-=⋅+-⋅+C C C评述:本题也可将62)321(x x --化为62)]32(1[x x -+用例1的作法可求得.3. 分析:由}{211n i i i a a a a 知=++-是等差数列,则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成d a 和0的表达式,再化简即可.解:因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 所以数列}{n a 为等差数列,设其公差为d 有),3,2,1(0 =+=i id a a i 从而nn n n n n n n n xC nd a x x C d a x x C d a x C a x P )()1()2()1()()1()(022*******+++-++-++-=-- ],)1(2)1(1[])1()1([222111100n n n n n n n n n n n n n n x nC x x C x x C d x C x x C x C a ++-+-⋅+++-+-=--- 由二项定理,知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n n n n n n n n n n x x x C x x C x x C x C又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx .])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当x x P d 为时)(,0≠的一次多项式,当为时)(,0x P d =零次多项式.4. 分析:由θn sin 联想到复数棣莫佛定理,复数需要θcos ,然后分析A n 与复数的关系.证明:因为.sin 1cos ,,20,2sin 2222222b a b a b a b a ab +-=-=><<+=θθπθθ所以且显然n i n )sin (cos sin θθθ+为的虚部,由于ni )sin (cos θθ+.)()(1)2()(1)2(2222222222222n n n n bi a b a abi b a b a i b a ab b a b a ++=+-+=+++-= 所以.)()sin (cos )(222n n bi a n i n b a +=++θθ从而n n n bi a n b a A 222)(sin )(++=为θ的虚部.因为a 、b 为整数,根据二项式定理,nbi a 2)(+的虚部当然也为整数,所以对一切*N ∈n ,A n 为整数.评述:把A n 为与复数ni )sin (cos θθ+联系在一起是本题的关键.5. 证明:P P p P P P P P P P y xy C y x C y x C x y x +++++=+----1122211)(由于)1,,2,1(!)1()1(-=+--=P r r r p p p C r P 为整数,可从分子中约去r !,又因为P 为素数,且p r <,所以分子中的P 不会红去,因此有).1,,2,1(|-=P r C P rP 所以 ).(m od )(P y x y x P P P +≡+评述:将P y x )(+展开就与PP y x +有联系,只要证明其余的数能被P 整除是本题的关键. 6. 分析:由已知1)()25(12=++=++αααm m r 和 猜想12)25(+-=r α,因此需要求出α,即只需要证明1212)25()25(++--+r r 为正整数即可.证明:首先证明,对固定为r ,满足条件的α,m 是惟一的.否则,设1112)25(α+=++m r],),1,0(,*,,[2121212122ααααα≠≠∈∈+=m m m m m N则)1,0()0,1(,,021212121⋃-∈-∈-≠-=-ααααZ m m m m 而矛盾.所以满足条件的m 和α是惟一的. 下面求α及m .因为12212212211212012121222)5(2)5()5()25()25(+-++++++++⋅+⋅+=--+r r r r r r r r r C C C ]22)5(2)5()5([12212212211212012+-++++-+⋅+⋅--r r r r r r r C C C*]252525[2]22)5(2)5([21212121231312112123223122112N ∈+++⋅⋅+⋅=++⋅+⋅=+--+-+++-++r r r r r r rr r r r r r CCCC C又因为)1,0()25(),1,0(2512∈-∈-+r 从而所以)2252525(21212121231312112+--+-+++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=r r r r r r r r r C C C m 12)25(+-=r α故.)25()(12+-=+r m αα .1)45()25(1212=-=+++r r 评述:猜想121212)25()25(,)25(+++-+-=r r r 与α进行运算是关键. 7. 分析:利用n 取1,2,3,…猜想n n a a 及的末位数字. 解:当n=1时,a 1=3,3642733321+⨯====a a 27)81(3)81(3)3(3336363643642732⨯=⋅=⋅====+⨯a a ,因此32,a a 的末位数字都是7,猜想,.*,34N ∈+=m m a n 现假设n=k 时,.*,34N ∈+=m m a k 当n=k+1时, 34341)14(33+++-===m m a k ka34034342412434124134034034)1(4)1(4)1(4)1(4++++++++++-⋅⋅+-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅=m m m m m m m m m m C C C C ,3)1(414+-=-=T T 从而*)(34N ∈+=m m a n 于是.27)81(33341⨯===++m m a n na 故2001a 的末位数字是7.评述:猜想34+=m a n 是关键.8. 分析:寻求N 中含2和3的最高幂次数,为此将19变为20-1和18+1,然后用二项式定理展开.解:因为N=1988-1=(20-1)88-1=(1-4×5)88-1=-888888888787878833388222881885454545454⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯C C C C C)552(22552565-=⨯+⨯-=M M 其中M 是整数.上式表明,N 的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88-18888888822288188929292⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯=C C C=32×2×88+34·P=32×(2×88+9P )其中P 为整数. 上式表明,N 的素因数中3的最高次幂是2.综上所述,可知Q N ⋅⋅=2532,其中Q 是正整数,不含因数2和3. 因此,N 中所有形如ba32⋅的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析:直接求x 的个位数字很困难,需将与x 相关数联系,转化成研究其相关数. 解:令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+,由二项式定理知,对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数,且个位数字为零.因此,x +y 是个位数字为零的整数.再对y 估值,因为2.0255220155220150=<+=-<, 且1988)22015()22015(-<-,所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.评述:转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题.10. 分析:先求出n a ,再将n a 表示成与15有关的表达式,便知是否有无穷多项能被15整除.证明:在数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项,下面证明之.数列}{n a 的特征方程为,0182=+-x x 它的两个根为154,15421-=+=x x ,所以n n n B A a )154()154(-++= (n=0,1,2,…) 由,1521,15211,010-====B A a a 得 则],)154()154[(1521n n n a --+=取),2,1,0(2 ==k k n ,由二项式定理得])15(42)15(421542[15211133311----⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=n n n n n n n n C C C a),(1542)1544(154154154415415441221223232121212232321212223311为整数其中T T k C C C C C C C C C k k k kk k k k k k k k k k k n n nn nn n+⋅=⋅⋅++⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=-----------由上式知当15|k ,即30|n 时,15|a n ,因此数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项. 评述:在二项式定理中,nnb a b a )()(-+与经常在一起结合使用.。