高等数学第6章课件§4 基变换与坐标变换

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§4 基变换与坐标变换

§4 基变换与坐标变换

解:设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1

1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1

又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B,即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B

比较③ 、④两个等式,有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn

x1 a11 a12 L a1n 1 x1

x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn

称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式.
例1 在Pn中,求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式.
2、有关性质
1)过渡矩阵都是可逆矩阵;反过来,任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵.

基变换与坐标变换的关系与应用

基变换与坐标变换的关系与应用

基变换与坐标变换的关系与应用基变换和坐标变换是线性代数中的重要概念,它们之间存在一定的关系,并且在许多领域中有广泛的应用。

本文将探讨基变换和坐标变换的关系以及它们在实际应用中的应用案例。

1. 基变换与坐标变换的概念在线性代数中,基是向量空间中一组线性无关的向量。

基变换是将一个向量空间的基转换为另一个基的过程。

而坐标是描述向量在某个基下的表示方式。

坐标变换是从一个基的坐标系转换到另一个基的坐标系的过程。

可以说基变换是在向量空间中改变基的方向和大小,而坐标变换是在坐标系中改变坐标的表示。

2. 基变换与坐标变换的关系基变换和坐标变换之间存在紧密的联系。

考虑一个向量在一个基下的坐标表示,如果我们将该基进行变换,那么基相应的坐标系也会发生变化。

而坐标变换是基变换的结果,通过基变换,我们可以得到向量在新基下的坐标表示。

换句话说,基变换决定了坐标变换的方式。

3. 基变换与坐标变换的应用基变换和坐标变换在许多科学领域中有广泛的应用。

3.1 三维坐标变换在三维计算机图形学和计算机视觉中,我们经常需要对三维空间中的对象进行坐标变换。

通过基变换和坐标变换,我们可以将对象从世界坐标系转换到相机坐标系或者屏幕坐标系。

这样可以实现对象在三维空间中的旋转、缩放和平移等操作。

3.2 坐标系的正交化在机器学习领域中,正交化是一个常见的操作。

通过对数据进行基变换,可以将原始数据映射到一个正交基的坐标系中,从而方便进行数据分析和处理。

例如,在主成分分析(PCA)中,我们通过基变换将数据投影到一个新的基上,实现数据的降维和特征提取。

3.3 图像处理中的颜色空间转换在图像处理中,颜色空间的转换是一个重要的任务。

基于RGB颜色模型的图像可以通过基变换和坐标变换转换到其他颜色空间,如HSV、Lab等。

这样可以方便地实现图像的亮度、饱和度和色彩的调整。

3.4 机器人运动规划中的坐标变换在机器人运动规划中,坐标变换是一个关键的步骤。

通过基变换,可以将机器人末端执行器的位置和姿态从机器人局部坐标系转换到全局坐标系,从而方便进行运动轨迹的规划和控制。

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7

§4基变换与坐标变换.

§4基变换与坐标变换.
§4基变换与坐标变换
一线性空间的基变换,基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间,设 和 是两组基,且
将其写成矩阵形式

定义4.11我们称矩阵
为从 到 的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基 。T是K上一个n阶方阵。命
则有 是V/K的一组基,当且仅当T可逆。
证明:
若 是线性空间V/K的一组基,则 线性无关。
考察同构映射
构造方程
,其中 ,



于是 线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆;
反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程
,其中 ,
两边用 作用,得到


证毕。
二向量的坐标变换公式; 中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为 和 ,
又设 在 下的坐标为 ,即

在 下的坐标为 ,即

现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即

, ,
于是

于是,由坐标的唯一性,可以知道 ,这就是坐标变换公式。
2、 中两组基的过渡矩阵的求法
我们设 中两组基分别为


按定义,T的第i个列向量分别是 在基 下的坐标。
将 和 看作列向量分别排成矩阵


则有

将A和B拼成 分块矩阵 ,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:

基变换与坐标变换公式

基变换与坐标变换公式

文档内容模板如下:基变换与坐标变换公式一、基变换概述基变换在数学和物理学中具有重要意义,它是描述向量空间中向量变换的一种数学工具。

基本思想是通过一组新的基底来表示原有的向量,从而实现向量空间中的变换。

二、基变换的原理假设有一组基底向量{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn},它们之间通过一个矩阵M相互转换。

则向量v可以表示为:v = a1x1 + a2x2 + … + anxn = b1y1 + b2y2 + … + bnyn其中xi和yi是向量v在{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}基下的坐标。

三、坐标变换的概念坐标变换是指在不同基底下对同一个向量进行表示的变换过程。

假设有向量v在标准基底下的坐标为y,在基底{a1, a2, …, an}下的坐标为x。

则坐标变换关系为:x = My其中矩阵M由基底{a1, a2, …, an}确定。

四、基变换与坐标变换关系在基变换和坐标变换的过程中,两者之间有着密切的联系。

通过基变换矩阵M,可以实现向量之间在不同基底下的表示转换。

同时,坐标变换也可以通过基变换来实现。

假设有向量v,在基{a1, a2, …, an}和基{b1, b2, …, bn}下的坐标分别为x和y,则坐标变换公式为:y = Mx五、总结基变换和坐标变换是线性代数中重要的概念,它们为描述向量空间中的变换提供了有效的数学工具。

通过对基变换和坐标变换的学习,可以更好地理解向量在不同基底下的表示和转换过程。

以上是关于基变换与坐标变换公式的简要介绍,希望对你有所帮助。

6.4 基变换与坐标变换

6.4 基变换与坐标变换

第六章 线性空间学习单元4: 基变换与坐标变换_________________________________________________________● 导学 学习目标:了解线性空间的两个基之间的关系,掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算;掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。

学习建议:建议大家多看书,正确理解概念,自己动手,用具体例子对比定义理解概念,多看例题,多做习题。

重点难点:重点:会计算两个基之间的过渡矩阵。

难点:一个向量在两个基下的坐标的变换关系。

_________________________________________________________● 学习内容一、基变换及过渡矩阵命题 设V 为P 上n 维线性空间,1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基,则1,,n εεL 与''1,,n εεL 等价,即它们可以互相线性表示。

定义 设V 为P 上n 维线性空间,1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基,令'11112121'21212222'1122(1)n nn n nn n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L LL ,称矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L 为由基12,,,n εεεL 到基''1,,n εεL 的过渡矩阵。

记号 将11n n x x αεε=++L 写成11(,,)n n x x αεε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M , 于是(1)可写成''1(,,)n εε=L 1(,,)n A εεL 。

性质 设11,,;,,n n ααββL L 为V 中两个向量组,A,B 为两个n 阶方阵,则 (1)11((,,))(,,)()n n A B AB αααα=L L ;(2)111(,,)(,,)(,,)()n n n A B A B αααααα+=+L L L ; (3)11(,,)(,,)n n A A ααββ+L L 11(,,)n n A αβαβ=++L 。

常用坐标系介绍及变换PPT课件

常用坐标系介绍及变换PPT课件
常用坐标系介绍及变 换ppt课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心,x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴,用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化, 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点,可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛,可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化,包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点,可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛,需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作,以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法,通过将物体离散化为有限个单元,可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用,可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上,包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联,实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状, 只改变其方向。

基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式平面解析几何

基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式平面解析几何
(a1 a2 ,b1 b2 a1a2 ) (a3 ,b3 ) ((a1 a2 ) a3 , (b1 b2 a1a2 ) b3 (a1 a2 )a3 )
(a1 a2 a3 , b1 b2 b3 a1a2 a1a3 a2a3 ) ;
同理可得 (a1,b1) ((a2 ,b2 ) (a3,b3 )) 上式右端结果,故 2)成立. 3) 取 (0,0) V, 则 (0,0) (a,b) (0 a,0 b 0 0) (a,b) ,即 (0,0) 是 V 的零向量.
线性空间的维数与数域有关.
6.1.作业习题解疑:
P267. 习题3 (5):
分析: 题设之加法 ,数乘 易证是 V {(a,b) | a,b R} 上的代数运算, 关键在于验证 8 条算律成立.这里仅给出 2),3),4)的验证,其它算律略.
2) (a1,b1), (a2 ,b2 ), (a3,b3 ) V , ((a1,b1) (a2 ,b2 )) (a3 ,b3 )
基变换与坐标变换
一 基变换公式 二 坐标变换公式 三 过渡矩阵
* 问题的提出:
• dimV=n →
V
基1, 2 , , n
( x1, x2 , , xn )
基1/
,
/ 2
,
,
/ n
( x1/ , x2/ ,
, xn/ )
向量 ξ 在不同基下坐标有何换算关系?
•例: V2={α:始点为坐标原点的平面矢量}
记成 {1,2 , ,n} ;
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
定义 3 {1,2 , ,r }与{ 1, 2 , , s }等价 { 1,2 , ,r } { 1, 2 , , s }且{ 1, 2 , , s } { 1,2 , ,r }.

高等代数-6.4基变换与坐标变换

高等代数-6.4基变换与坐标变换

3)若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B,则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有,( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ,
§6.4 基变换与坐标变换
即,
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2

(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12

x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习:已知 P 22 的两组基:
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵,
过渡矩阵.其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.

高等数学第6章课件§3 维数·基与坐标

高等数学第6章课件§3  维数·基与坐标
(1)单个向量 α 线性相关
⇔ α = 0. 单个向量 α 线性无关 ⇔ α ≠ 0
α1 ,α 2 ,⋯,α r 向量组 线性相关
⇔ α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 中有一个向量可经其余向量线性表出.
§6.3 维数 基 坐标
α1 ,α 2 ,⋯,α r (2)若向量组 线性无关,且可被
α 在基 ε1, ε 2 ,⋯, ε n a1 , a2 ,⋯, an 则数组 ,就称为
下的坐标,记为 ( a1 , a2 ,⋯ , an ).
§6.3 维数 基 坐标
⎛ a1 ⎞ ⎜a ⎟ 2 有时也形式地记作 α = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an ⎠
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出,且表法是唯一的.
§6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量, 则称 V 是无限维线性空间 . 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 因为,对任意的正整数 n,都有 n 个线性无关的 向量 1,x,x2,…,xn-1
可经向量组 为等价的. (3) α1 ,α 2 ,⋯, α r ∈ V ,若存在不全为零的数
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出 ;
若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组
k1 , k2 ,⋯, kr ∈ P ,使得
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = 0
α1,α 2 ,⋯, α r 线性相关的; 则称向量组 为
§6.3 维数 基 坐标
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r不是线性相关的,即 (4)如果向量组

高等代数§6.4 基变换与坐标变换

高等代数§6.4 基变换与坐标变换




x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
( 1 , 2 , , n ) 与 a12 a1 n x 1 a 22 a 2 n x 2 ⑥ a n 2 a nn x n x1 x2 xn

即,
a11 a12 a 21 a 22 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) a n1 a n 2
a1n a2n a nn


则称矩阵
a11 a 21 A a n1
( a 1 , a 2 , , a n ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标就是
( a 1 , a 2 , , a n )
设 在基 1 , 2 , , n下的坐标为 ( x 1 , x 2 , , x n ) ,则
x1 x2 xn 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a1 a1 0 a 2 a 2 a1 0 a n a n a n1 1
若 1 , 2 , , n 线性无关,则
a1 a2 ( 1 , 2 , , n ) a n b1 b2 ( 1 , 2 , , n ) b n a 1 b1 a 2 b2 a b n n
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法

6.4 基变换与坐标变换

6.4  基变换与坐标变换

ε 2 = 0ε 1 + 1ε 2 + 0ε 3 ε 3 = 0ε 1 + 0ε 2 + 1ε 3 , ε = 1ε + 0ε + 0ε 1 2 3 1
0 0 1 A = 1 0 0 0 1 0
方法2 直接利用矩阵来计算. 方法2:直接利用矩阵来计算.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 基变换公式的矩阵形式是“形式的” 在这里把向量作为矩阵的元素,一般来说没有意义 在这里把向量作为矩阵的元素,一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下, 不过在这个特殊的情况下,这种约定的用法是不会 出毛病的. 出毛病的 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 εj′ 在第一组ε 1 , ε 2 , … , ε n下的 坐标. 坐标
(2)
证明: 证明: 因
线性无关, 由于 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性无关 故即有关系式 (2).
′ x1 x1 ′ x2 x2 ′ ′ ′ (ε1 , ε 2 , L, ε n ) = ξ = (ε1 , ε 2 , L, ε n ) M M x x′ n n ′ x1 x′ 2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x′ n
(α1 ,α 2 ,L ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) B ⇔ A = B .
二、基变换
V为数域 P上的 n 维线性空间, 为数域 上的 维线性空间, α1 ,α 2 ,L,α n 为V 中的一组线性无关向量,而 中的一组线性无关向量, 引理

坐标系中的坐标变换PPT课件

坐标系中的坐标变换PPT课件


的作用下,点P(x,y) 对应 p x, y 称 为平面直角
坐标系中的伸缩变换。
(1) 0, 0
(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变 换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一 直角坐标系下进行伸缩变换。
第9页,共16页。
例2.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的
y
y=sin2x
2 x
O
y=sinx 如保思发图持考,你:示纵认从:坐为平在标“面y正保不直持弦变角纵曲,坐坐线将标标y横y系不坐s中i变n标的x,上将x缩点任横为的取坐原对一标来应点x的关缩P系为(1x,原,出y此) 时来正的1弦/2曲”的线实y 质 s是in什x就么变?成曲线y sin 2x. 2
第3页,共16页。
论: 坐标压缩变换:
设P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点,保持
纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来的 1,得到点 2
P
'
(
x'
,
y
'
),即有
x
1 2
x
(1)
y y
此时,我们把(1)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
压缩变换。
第4页,共16页。
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x ?
∴c2=a2+b2=347,∴c= 237,
∴焦点坐标为(± 237,0).
第13页,共16页。
练习 2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′=12x, y′=3y,
则在这
一坐标变换下正弦曲线 y=sinx 的方程变为________.
解析:∵x′=12x, y′=3y,
x=2x′, ∴y=13y′.
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§6.4 基变换与坐标变换
1 P 例1 在Pn中,求由基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 到基η1 ,η 2 ,⋯ ,η n 的过渡矩阵及由基η1 ,η 2 ,⋯ ,η n 到基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 的 过渡矩阵.其中
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , ε n = (0,⋯ ,0,1) η1 = (1,1,⋯ ,1),η 2 = (0,1,⋯ ,1),⋯ ,η n = (0,⋯ ,0,1)
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
α1 ,α 2 ,⋯ ,α 1、V为数域 P上的 n 维线性空间, n 为
V 中的一组向量, ,若 β ∈V
β = x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n
则记作
⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ β = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) ⎜ ⎟ ⋮ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
β 1 , β 2 ,⋯ , β α1 ,α 2 ,⋯ ,α 即, n也可由 n 线性表出.
∴ α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n与 β 1 , β 2 ,⋯ , β n 等价.
β 1 , β 2 ,⋯ , β 故 n 线性无关,从而也为 V的一组基.
A . 并且A就是 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到β 1 , β 2 ,⋯ , β n 的过渡矩阵. A, 2)若由基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到基 β 1 , β 2 ,⋯ , β n 过渡矩阵为A,
1 2
n
1
2
n
又由基 β 1 , β 2 ,⋯ , β n到α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 也有一个过渡矩阵, B 设为B,即 (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) = ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) B 比较③ 、④两个等式,有
§6.4 基变换与坐标变换

( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) BA
任取V的一组基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ,
令 β j = ∑ aijα i , j = 1, 2,⋯ , n
i =1 n
于是有, ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
A 由A可逆,有
(α1 ,α 2 ,⋯,α n ) = ( β1 , β 2 ,⋯, β n ) A−1
并求向量 α = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 在基 η1 ,η 2 ,⋯ ,η下的坐标. n ⎧η 1 = ε 1 + ε 2 + ⋯ + ε n ⎪η2 = ε2 +⋯ + εn 解:∵ ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ η = εn ⎩ n
§6.4 基变换与坐标变换
⎛1 ⎜1 ∴ (η1 ,η 2 ,⋯ ,η n ) = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜⋯ ⎜1 ⎝ ⎛1 (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) = (η1 ,η 2 ,⋯ ,η n ) ⎜ 1 而, ⎜⋯ ⎜1 ⎝ ⎛ 1 ⎜ −1 = (η1 ,η 2 ,⋯ ,η n ) ⎜ 0 ⎜⋯ ⎜ 0 ⎝
若 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 线性无关,则
(α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) B ⇔ A = B .
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n V P 设V为数域P上n维线性空间, ;
′ ′ ′ ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 为V中的两组基,若
第六章 线性空间
§1 集合·映射 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §2 线性空间的定义 与简单性质 §7 子空间的直和 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
a12 a22 ⋯ an 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⋯⎟ ann ⎟ ⎠
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ′ ′ 为由基 n到基 n 的过渡矩阵 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ′ 过渡矩阵 过渡矩阵;
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ′ ′ ′ 称 ① 或 ② 为由基 n到基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n
(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A + (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) B
= (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n )( A + B ) ;
(α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A + ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) A
= (α1 + β 1 ,α 2 + β 2 ,⋯ , α n + β n ) A ;
′ ′ ′ ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε 设 V且ξ在基 n 与基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ξ∈
′ 2 ′ ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) ( x1 , x′ ,⋯ , xn 下的坐标分别为 与 ) ,
§6.4 基变换与坐标变换
即,
′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x′ ⎟ ′ ′ ′ ξ = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ ⎟ 与 ξ = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ 2 ⎟ ⋮ ⋮ ⎜x ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⋯ a1 n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ′ ⎜ x2 ⎟ ⎜ a21 a22 ⋯ a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ 则 =⎜ ⑥ ⎜ ⋮ ⎟ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ a a ⋯ a ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n1 n 2 nn ⎠ ⎝ n ⎠

⎛ a11 ′ , ε 2 ,⋯ , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ a21 ′ (ε 1 ′ ⎜⋯ ⎜a ⎝ n1 则称矩阵
a12 a22 ⋯ an 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯a1 n 来自 a2 n ⎟ ⋯⎟ ann ⎟ ⎠

⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⋯ ⎜a ⎝ n1
§6.4 基变换与坐标变换
2) α 1 ,α 2 ,⋯ , α n; 为V中的两组向量, 2) β 1 , β 2 ,⋯ , β n V
A ,则 矩阵 , B ∈ P
n×n
((α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A) B = (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n )( AB );
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (α1 ,α 2 ,⋯,α n ) ⎜ a2 ⎟ + (α1 ,α 2 ,⋯,α n ) ⎜ b2 ⎟ = (α1 ,α 2 ,⋯,α n ) ⎜ a2 + b2 ⎟ ⋮ ⋮ ⋮ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a + b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n n⎠
若α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 线性无关,则
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (α1 ,α 2 ,⋯ , α n ) ⎜ a2 ⎟ = (α1 , α 2 ,⋯, α n ) ⎜ b2 ⎟ ⇔ ⎜ a2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
基变换公式 的基变换公式 基变换公式.
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质 1)过渡矩阵都是可逆矩阵;反过来,任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵. 证明:若 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ; β 1 , β 2 ,⋯ , β n V的两组基, 为V 且由基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到 β 1 , β 2 ,⋯ , β n 的过渡矩阵为 A, ③ 即 ( β , β ,⋯ , β ) = (α ,α ,⋯ ,α ) A
则记作 ⎛ a11 ⎜a ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) ⎜ 21 ⋯ ⎜a ⎝ n1
§6.4 基变换与坐标变换
a12 a 22 ⋯ an 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1n ⎞ a 2n ⎟ ⋯⎟ ann ⎟ ⎠
注: 在形式书写法下有下列运算规律
1) α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ∈ V , a1 , a2 ,⋯ , an , b1 , b2 ,⋯ , bn ∈ P
引入
我们知道,在 n维线性空间 V 中,任意 n个线性 无关的向量都可取作线性空间 V 的一组基. V 中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的,但是在 不同基下的坐标一般是不同的.因此在处理一些问 题是时,如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题.为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系, 即随着基的改变,向量的坐标是如何变化的 .
β 1 , β 2 ,⋯ , β n到基α 1 ,α 2 ,⋯ A 则由基 ,α n 过渡矩阵为A-1.
§6.4 基变换与坐标变换
3)若由基α n 过渡矩阵为A, 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到基 β 1 , β 2 ,⋯ , β 由基 β 1 , β 2 ,⋯ , β n到基 γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n 过渡矩阵为B,则 AB. 由基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到基γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n 过渡矩阵为AB. 事实上,若 ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) = ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) B 则有, (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) = ((α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A )B = (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) AB
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