高等数学第6章课件§4 基变换与坐标变换

§6.4 基变换与坐标变换
1 P 例1 在Pn中，求由基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 到基η1 ,η 2 ,⋯ ,η n 的过渡矩阵及由基η1 ,η 2 ,⋯ ,η n 到基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 的 过渡矩阵．其中
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , ε n = (0,⋯ ,0,1) η1 = (1,1,⋯ ,1),η 2 = (0,1,⋯ ,1),⋯ ,η n = (0,⋯ ,0,1)
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
α1 ,α 2 ,⋯ ,α 1、V为数域 P上的 n 维线性空间， n 为
V 中的一组向量， ，若 β ∈V
β = x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n
则记作
⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ β = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) ⎜ ⎟ ⋮ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
β 1 , β 2 ,⋯ , β α1 ,α 2 ,⋯ ,α 即， n也可由 n 线性表出.
∴ α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n与 β 1 , β 2 ,⋯ , β n 等价.
β 1 , β 2 ,⋯ , β 故 n 线性无关，从而也为 V的一组基.
A . 并且A就是 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到β 1 , β 2 ,⋯ , β n 的过渡矩阵. A, 2）若由基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到基 β 1 , β 2 ,⋯ , β n 过渡矩阵为A,
1 2
n
1
2
n
又由基 β 1 , β 2 ,⋯ , β n到α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 也有一个过渡矩阵, B 设为B，即 (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) = ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) B 比较③ 、④两个等式，有
§6.4 基变换与坐标变换
④
( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) BA
任取V的一组基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ,
令 β j = ∑ aijα i , j = 1, 2,⋯ , n
i =1 n
于是有， ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
A 由A可逆，有
(α1 ,α 2 ,⋯,α n ) = ( β1 , β 2 ,⋯, β n ) A−1
并求向量 α = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 在基 η1 ,η 2 ,⋯ ,η下的坐标. n ⎧η 1 = ε 1 + ε 2 + ⋯ + ε n ⎪η2 = ε2 +⋯ + εn 解：∵ ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ η = εn ⎩ n
§6.4 基变换与坐标变换
⎛1 ⎜1 ∴ (η1 ,η 2 ,⋯ ,η n ) = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜⋯ ⎜1 ⎝ ⎛1 (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) = (η1 ,η 2 ,⋯ ,η n ) ⎜ 1 而， ⎜⋯ ⎜1 ⎝ ⎛ 1 ⎜ −1 = (η1 ,η 2 ,⋯ ,η n ) ⎜ 0 ⎜⋯ ⎜ 0 ⎝
若 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 线性无关，则
(α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) B ⇔ A = B .
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二、基变换
1、定义
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n V P 设V为数域P上n维线性空间， ；
′ ′ ′ ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 为V中的两组基，若
第六章 线性空间
§1 集合·映射 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §2 线性空间的定义 与简单性质 §7 子空间的直和 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
a12 a22 ⋯ an 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⋯⎟ ann ⎟ ⎠
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ′ ′ 为由基 n到基 n 的过渡矩阵 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ′ 过渡矩阵 过渡矩阵；
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε ′ ′ ′ 称 ① 或 ② 为由基 n到基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n
(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A + (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) B
= (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n )( A + B ) ；
(α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A + ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) A
= (α1 + β 1 ,α 2 + β 2 ,⋯ , α n + β n ) A ；
′ ′ ′ ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε 设 V且ξ在基 n 与基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ξ∈
′ 2 ′ ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) ( x1 , x′ ,⋯ , xn 下的坐标分别为 与 ) ，
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即，
′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x′ ⎟ ′ ′ ′ ξ = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ ⎟ 与 ξ = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ 2 ⎟ ⋮ ⋮ ⎜x ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⋯ a1 n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ′ ⎜ x2 ⎟ ⎜ a21 a22 ⋯ a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ 则 =⎜ ⑥ ⎜ ⋮ ⎟ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ a a ⋯ a ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n1 n 2 nn ⎠ ⎝ n ⎠
①
⎛ a11 ′ , ε 2 ,⋯ , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ a21 ′ (ε 1 ′ ⎜⋯ ⎜a ⎝ n1 则称矩阵
a12 a22 ⋯ an 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯a1 n 来自 a2 n ⎟ ⋯⎟ ann ⎟ ⎠
②
⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⋯ ⎜a ⎝ n1
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2) α 1 ,α 2 ,⋯ , α n； 为V中的两组向量， 2) β 1 , β 2 ,⋯ , β n V
A ，则 矩阵 , B ∈ P
n×n
((α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A) B = (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n )( AB )；
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (α1 ,α 2 ,⋯,α n ) ⎜ a2 ⎟ + (α1 ,α 2 ,⋯,α n ) ⎜ b2 ⎟ = (α1 ,α 2 ,⋯,α n ) ⎜ a2 + b2 ⎟ ⋮ ⋮ ⋮ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a + b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n n⎠
若α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 线性无关，则
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (α1 ,α 2 ,⋯ , α n ) ⎜ a2 ⎟ = (α1 , α 2 ,⋯, α n ) ⎜ b2 ⎟ ⇔ ⎜ a2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
基变换公式 的基变换公式 基变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 证明：若 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ; β 1 , β 2 ,⋯ , β n V的两组基, 为V 且由基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到 β 1 , β 2 ,⋯ , β n 的过渡矩阵为 A， ③ 即 ( β , β ,⋯ , β ) = (α ,α ,⋯ ,α ) A
则记作 ⎛ a11 ⎜a ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) ⎜ 21 ⋯ ⎜a ⎝ n1
§6.4 基变换与坐标变换
a12 a 22 ⋯ an 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1n ⎞ a 2n ⎟ ⋯⎟ ann ⎟ ⎠
注： 在形式书写法下有下列运算规律
1) α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ∈ V , a1 , a2 ,⋯ , an , b1 , b2 ,⋯ , bn ∈ P
引入
我们知道，在 n维线性空间 V 中，任意 n个线性 无关的向量都可取作线性空间 V 的一组基． V 中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的 .
β 1 , β 2 ,⋯ , β n到基α 1 ,α 2 ,⋯ A 则由基 ,α n 过渡矩阵为A-1.
§6.4 基变换与坐标变换
3）若由基α n 过渡矩阵为A, 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到基 β 1 , β 2 ,⋯ , β 由基 β 1 , β 2 ,⋯ , β n到基 γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n 过渡矩阵为B，则 AB. 由基 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n到基γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n 过渡矩阵为AB. 事实上,若 ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) = ( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) B 则有， (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) = ((α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A )B = (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) AB