第1章《物理学基础教程》教学课件

1.1.2 参考系
我们在观察一个物体的位置及位置变化时，总要选取其 他物体作为标准。这个被选作标准的物体称为参考系。 参考系的选择是任意的，选择不同的参考系，对同一物 体运动情况的描述是不同的，这称为运动描述的相对性。例 如，竖直落下的雨滴，站在地面上的观察者看到雨滴竖直落 下，而在行驶的车中，乘客却看到雨滴向后倾斜。 研究物体的运动时，一般要根据问题的性质和研究的方 便性来选择参考系。例如，研究地面上物体的运动时，通常 选取地面作为参考系；研究地球等行星绕太阳的运动时，一 般选取太阳为参考系。在本书中，讨论地面及其附近的物体 运动时，如无特别说明，都以地面为参考系。
v
Δt

Δt
平均速度是矢量，其方向与Δr相同。 平均速度也可表示为：
Δr Δx Δy v i j Δt Δt Δt
在三维直角坐标系中，平均速度可表示为：
Δr Δx Δy Δz v i j k Δt Δt Δt Δt
此外，我们将质点在Δt时间内通过的路程Δs与Δt的比值称 v 为质点在Δt内的平均速率 ，即
Δv dv d 2 r a lim 2 Δt 0 Δt dt dt
加速度a是矢量，它既反映了速度大小的变化，又反映了 速度方向的变化。加速度a的大小是Δv/Δt的极限值，方向是 Δt→0时的Δv极限方向。质点做直线运动时，a与v同向（加速 运动）或反向（减速运动）；质点做曲线运动时，任一时刻质 点的加速度方向并不与速度方向相同，即不沿曲线的切线方向 ，而是指向曲线的凹侧。
dv y dv x dv z d2 x d2 y d2 z a i j k 2 i 2 j 2 k ax i a y j az k dt dt dt dt dt dt
在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒（m/s2）。
1.3 运动方程
质点运动时，其位矢r是随时间变化的，因此，位矢r是时 间的函数，即 r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k 上式称为质点的运动方程。 运动方程在直角坐标系中的三个分量式为： x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t） 从上式中消去时间参数t，就可得到质点位置坐标x、y、z 之间的关系式，此关系式称为质点运动的轨道方程。 运动学的中心问题是求解运动方程，它主要包括两类计算 问题：（1）已知运动方程，求速度和加速度；（2）已知加速 度和初始条件（初始时刻质点的位置和速度），求运动方程。
在国际单位制中，速度和速率的单位都是米每秒（m/s）。
1.2.4 加速度
加速度是描述质点运动速度的大小和方向随时间变化快慢 的物理量。
1．平均加速度
如下图所示，质点在平面上做曲线运 动。在t时刻，质点位于A点，其速度为v1 ；在t＋Δt时刻，质点位于B点，其速度为v2 。则质点在Δt时间内的速度增量为Δv＝v2 －v1。Δv与对应时间Δt的比值称为质点在 Δt时间内的平均加速度 a，即
一般情况下，路程Δs与位移的大小|Δr|并不相等，只有当质 点做单方向直线运动时，才有|Δr|＝Δs。此外，当质点做曲线运 动且Δt→0时，有|dr|＝ds。 在国际单位制中，位移和路程的单位都是米（m）。
1.2.3 速度
速度是描述质点运动快慢和方向的物理量。
1．平均速度
如右图所示，质点在平面上做曲线运 动。在t时刻，质点位于A点，其位矢为r1 （t）；在t＋Δt时刻，质点位于B点，其位 矢为r2（t＋Δt）。则质点在时间间隔Δt内 的位移Δr与Δt的比值称为质点在Δt时间内 r2 r1 Δr 的平均速度 v ，即
v ds dt
速度v的大小（速率）为：
2 2 v vx vy
速度v的方向（用速度v与x轴正方向的夹角α表示）为：
vy arctan vx
在三维直角坐标系中，速度v可表示为：
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
由于A、B两点的位矢r1、r2可分别 表示为： r1＝x1i＋y1j，r2＝x2i＋y2j
于是，位移Δr可表示为： Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j ＝Δxi＋Δyj
若质点在三维空间内运动，则在直角坐标系Oxyz中，质 点的位移Δr为： Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k ＝Δxi＋Δyj＋Δzk 位移不同于位矢。在质点运动过程中，位矢表示某个时 刻质点的位置，是描述运动状态的物理量（状态量）；而位 移则表示某段时间内质点位置的变化，是描述运动过程的物 理量（过程量）。 位移也不同于路程。路程是指在某段时间内，质点在运 动轨道上所经过的路径的长度，它是一个标量，其大小不仅 与质点的初位置和末位置有关，还与质点在初、末位置之间 的运动路径有关。而位移是一个矢量，它只与质点的初、末 位置有关，而与质点在初、末位置之间的运动路径无关。
r r x2 y2 z 2
位矢r的方向余弦为： x z y cos cos cos r r r 在国际单位制中，位矢的单位为米（m）。
1.2.2 位移
如下图所示，质点在平面上做曲线运动，t1时刻位于A点 ，t2时刻到达B点，质点相对于原点O的位矢由r1变为r2。显然 ，在时间间隔Δt＝t2－t1内，位矢的长度和方向都发生了变化 。我们将由质点的初位置A指向末位置B的有向线段 AB 称为质 点在Δt时间内的位移，用Δr表示，即Δr＝r2－r1，它是描述质 点空间位置变化的物理量。
【例1-1】如下图所示，水中有一小船，岸边的人用绳子 通过离水面高h的滑轮拉船靠岸，设绳子的原长为l0，人以匀 速v0拉绳，求任意时刻小船的速度和加速度公式。
【解】建立如上图所示的坐标轴Ox。根据题意，t＝0时， 滑轮至小船的绳长为l0；经过时间t后，绳长减小至l＝l0－v0t。 此时，小船的位置坐标为：
【例1-2】已知质点的运动方程为r＝（－5t＋20t2）i＋（ 10t－15t2）j。求：（1）t＝2s时，质点的速度；（2）任意时 刻质点的加速度。 【解】（1）由式（1–12）可知，质点的速度为：
v dr dx dy i j （ 5 40t）i （ 10 30t）j dt dt dt
2 x （l0 v0t） h2
上式即为小船的运动方程，它指出了小船的位置x随时间t 变化的规律。
小船的速度为：
（l0 v0 t）v0 （l0 v0 t）v0 v0 dx v 2 2 dt x cos （l0 v0 t） h
小船的加速度为：
2 2 2 2 2 v0 h v0 h v0 dv 3 a tan 2 2 3/ 2 3 dt h （ [ l0 v0t） h ] x
a
Δv Δt
平均加速度为矢量，其方向沿速度增量Δv的方向。 平均加速度也可表示为：
Δv y Δv Δv x a i j Δt Δt Δt
在三维直角坐标系中，平均加速度表示为：
Δv y Δv z Δv Δv x a i j k Δt Δt Δt Δt
2．瞬时加速度
平均加速度与Δt的取值有关，它只能粗略地描述在Δt时间 内质点运动速度的平均变化率。为了精确地描述质点在某时刻 t的速度变化，应使Δt无限小，即Δt→0，此时，Δv也趋近于零 ，平均加速度Δv/Δt就趋近于某一极限值，此极限值称为质点 在t时刻的瞬时加速度a，简称加速度，即
t＝2s时，质点的速度为：
v （ 5 40 2 ）i （ 10 30 2 ）j 75i 50 j
速度的大小为：
2 2 v vx vy 752 502 90.14 （m/s）
速度v与x轴正向的夹角α为： vy 50 arctan arctan 33.7 （ ） vx 75
2．平面极坐标系
如左图所示，在平面上取一点O为极点，从点O出发的一 根射线Ox为极轴。对于平面上任意一点A，线段OA的长度ρ 称为点A的极径或矢径；从Ox到OA的角度θ称为点A的极角； （ρ，θ）称为点A的极坐标。
3．平面自然坐标系
如右图所示，平面自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的 坐标系，在质点运动轨道上任取一点O作为坐标原点，质点在 任意时刻的位置都可以用它到点O的轨道长度s（即自然坐标） 来表示。
1.1.4 单位制
基本单位和导出单位组成一套单位制。由于基本单位的选 取不同，组成的单位制也就不同。 1960年国际计量大会通过了国际单位制（SI）。由于国际 单位制具有先进、实用、简单、科学等优点，故已被世界各国 及国际组织广泛采用。下表所示为国际单位制的基本单位。
1.2 描述质点运动的物理量
1.1.3 坐标系
选定参考系后，为了定量地描述物体的运动状态，还需 要在参考系中建立一个坐标系。最常用的坐标系有直角坐标 系、平面极坐标系和平面自然坐标系。
1．直角坐标系
如右图所示，在参考系中任选 一点O为坐标原点，并选定Ox、Oy 、Oz三个互相垂直的轴为坐标轴， 单位矢量i、j、k的方向分别沿坐标 轴Ox、Oy、Oz的正方向。质点的 位置由x、y、z三个坐标量唯一确 定。
加速度a也可表示为：
dv y dv x d2 x d2 y a i j 2 i 2 j ax i a y j dt dt dt dt
加速度a的大小和方向（用加速度a与x轴正方向的夹角α表 示）可由下式确定： ay 2 2 arctan a ax a y ax 在三维直角坐标系中，加速度a表示为：
Δs v Δt
平均速率是标量，恒为正值。
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2．瞬时速度
为了精确地描述质点在某一时刻t的运动快慢，应使Δt无 限小，即Δt→0，此时，Δr也趋近于零，平均速度Δr/Δt就趋近 于某一极限值，此极限值称为质点在t时刻的瞬时速度v，简称 速度，即 Δr dr v lim Δt 0 Δt dt 速度v为矢量，其方向与dr相同，为沿质点运动轨道的切 线、并指向质点前进的方向。 同时，我们把Δt→0时平均速率的极限值称为质点在t时刻 的瞬时速率v，简称速率，即
1.2.1 位矢
如下图所示，在直角坐标系中，运动质点某时刻t到达空 间P点，其位置可由坐标原点O指向P点的矢量r表示。r称为 质点P在该时刻的位置矢量，简称位矢，它是确定质点空间 位置的物理量。P点在直角坐标系中的位置坐标（x，y，z） 为该点位矢r沿各坐标轴的分量，即 r＝xi＋yj＋zk 位矢r的大小为：
但应注意，同一物体在不同条件下，有时可视为质点 ，有时不能视为质点。例如，研究地球绕太阳公转时，由 于地球至太阳的平均距离远远大于地球半径，故此时可把 地球当作质点；但当研究地球自转时，就不能把地球当作 质点了。
在物理学中，把物体当作质点进行研究，可使所研究 的问题大大简化，这在理论和实践中都具有非常重要的意 义。而当所研究的运动物体不能当作质点时，可把整个物 体看作是由许多质点组成的。这样，以对质点运动的研究 为基础，就可以研究任意物体的运动了。
第1篇 力学
第1章 质点运动学
本章学习要点


质点、参考系、坐标系和单位制
描述质点运动的物理量 运动方程 平面曲线运动 相对运动
本章小结
1.1 质点、参考系、坐标系和单位制
1.1.1 质点
当物体的大小和形状在所研究的问题中的作用可以忽略 不计时，可把物体的全部质量放在其重心上，将其当作一个 具有一定质量、而没有大小和形状的几何点来处理。这个几 何点称为质点，它是力学中非常重要的理想模型之一。 把物体当作质点是有条件的，一般来说，（1）平动的物 体可当作质点，因为平动时，物体上各点具有相同的运动轨 道和运动状态，只要研究其中一点的运动情况，就能代表整 个物体；（2）当物体运动的观察范围比物体的几何尺寸大得 多时，可把物体当作质点，因为此时物体的大小和形状均可 忽略不计。
（2）由式（1–20）可知，质点的加速度为：
dv y dv x a i j 40i 30 j dt dt