第1章《物理学基础教程》教学课件

Δv dv d 2 r a lim 2 Δt 0 Δt dt dt
加速度a是矢量，它既反映了速度大小的变化，又反映了 速度方向的变化。加速度a的大小是Δv/Δt的极限值，方向是 Δt→0时的Δv极限方向。质点做直线运动时，a与v同向（加速 运动）或反向（减速运动）；质点做曲线运动时，任一时刻质 点的加速度方向并不与速度方向相同，即不沿曲线的切线方向 ，而是指向曲线的凹侧。
a
Δv Δt
平均加速度为矢量，其方向沿速度增量Δv的方向。 平均加速度也可表示为：
Δv y Δv Δv x a i j Δt Δt Δt
在三维直角坐标系中，平均 Δv x a i j k Δt Δt Δt Δt
2．瞬时加速度
平均加速度与Δt的取值有关，它只能粗略地描述在Δt时间 内质点运动速度的平均变化率。为了精确地描述质点在某时刻 t的速度变化，应使Δt无限小，即Δt→0，此时，Δv也趋近于零 ，平均加速度Δv/Δt就趋近于某一极限值，此极限值称为质点 在t时刻的瞬时加速度a，简称加速度，即
t＝2s时，质点的速度为：
v （ 5 40 2 ）i （ 10 30 2 ）j 75i 50 j
速度的大小为：
2 2 v vx vy 752 502 90.14 （m/s）
速度v与x轴正向的夹角α为： vy 50 arctan arctan 33.7 （ ） vx 75
1.2.1 位矢
如下图所示，在直角坐标系中，运动质点某时刻t到达空 间P点，其位置可由坐标原点O指向P点的矢量r表示。r称为 质点P在该时刻的位置矢量，简称位矢，它是确定质点空间 位置的物理量。P点在直角坐标系中的位置坐标（x，y，z） 为该点位矢r沿各坐标轴的分量，即 r＝xi＋yj＋zk 位矢r的大小为：
由于A、B两点的位矢r1、r2可分别 表示为： r1＝x1i＋y1j，r2＝x2i＋y2j
于是，位移Δr可表示为： Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j ＝Δxi＋Δyj
若质点在三维空间内运动，则在直角坐标系Oxyz中，质 点的位移Δr为： Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k ＝Δxi＋Δyj＋Δzk 位移不同于位矢。在质点运动过程中，位矢表示某个时 刻质点的位置，是描述运动状态的物理量（状态量）；而位 移则表示某段时间内质点位置的变化，是描述运动过程的物 理量（过程量）。 位移也不同于路程。路程是指在某段时间内，质点在运 动轨道上所经过的路径的长度，它是一个标量，其大小不仅 与质点的初位置和末位置有关，还与质点在初、末位置之间 的运动路径有关。而位移是一个矢量，它只与质点的初、末 位置有关，而与质点在初、末位置之间的运动路径无关。
1.1.3 坐标系
选定参考系后，为了定量地描述物体的运动状态，还需 要在参考系中建立一个坐标系。最常用的坐标系有直角坐标 系、平面极坐标系和平面自然坐标系。
1．直角坐标系
如右图所示，在参考系中任选 一点O为坐标原点，并选定Ox、Oy 、Oz三个互相垂直的轴为坐标轴， 单位矢量i、j、k的方向分别沿坐标 轴Ox、Oy、Oz的正方向。质点的 位置由x、y、z三个坐标量唯一确 定。
加速度a也可表示为：
dv y dv x d2 x d2 y a i j 2 i 2 j ax i a y j dt dt dt dt
加速度a的大小和方向（用加速度a与x轴正方向的夹角α表 示）可由下式确定： ay 2 2 arctan a ax a y ax 在三维直角坐标系中，加速度a表示为：
Δs v Δt
平均速率是标量，恒为正值。
2．瞬时速度
为了精确地描述质点在某一时刻t的运动快慢，应使Δt无 限小，即Δt→0，此时，Δr也趋近于零，平均速度Δr/Δt就趋近 于某一极限值，此极限值称为质点在t时刻的瞬时速度v，简称 速度，即 Δr dr v lim Δt 0 Δt dt 速度v为矢量，其方向与dr相同，为沿质点运动轨道的切 线、并指向质点前进的方向。 同时，我们把Δt→0时平均速率的极限值称为质点在t时刻 的瞬时速率v，简称速率，即
v
Δt

Δt
平均速度是矢量，其方向与Δr相同。 平均速度也可表示为：
Δr Δx Δy v i j Δt Δt Δt
在三维直角坐标系中，平均速度可表示为：
Δr Δx Δy Δz v i j k Δt Δt Δt Δt
此外，我们将质点在Δt时间内通过的路程Δs与Δt的比值称 v 为质点在Δt内的平均速率 ，即
（2）由式（1–20）可知，质点的加速度为：
dv y dv x a i j 40i 30 j dt dt
第1篇 力学
第1章 质点运动学
本章学习要点


质点、参考系、坐标系和单位制
描述质点运动的物理量 运动方程 平面曲线运动 相对运动
本章小结
1.1 质点、参考系、坐标系和单位制
1.1.1 质点
当物体的大小和形状在所研究的问题中的作用可以忽略 不计时，可把物体的全部质量放在其重心上，将其当作一个 具有一定质量、而没有大小和形状的几何点来处理。这个几 何点称为质点，它是力学中非常重要的理想模型之一。 把物体当作质点是有条件的，一般来说，（1）平动的物 体可当作质点，因为平动时，物体上各点具有相同的运动轨 道和运动状态，只要研究其中一点的运动情况，就能代表整 个物体；（2）当物体运动的观察范围比物体的几何尺寸大得 多时，可把物体当作质点，因为此时物体的大小和形状均可 忽略不计。
2 x （l0 v0t） h2
上式即为小船的运动方程，它指出了小船的位置x随时间t 变化的规律。
小船的速度为：
（l0 v0 t）v0 （l0 v0 t）v0 v0 dx v 2 2 dt x cos （l0 v0 t） h
小船的加速度为：
2 2 2 2 2 v0 h v0 h v0 dv 3 a tan 2 2 3/ 2 3 dt h （ [ l0 v0t） h ] x
v ds dt
速度v的大小（速率）为：
2 2 v vx vy
速度v的方向（用速度v与x轴正方向的夹角α表示）为：
vy arctan vx
在三维直角坐标系中，速度v可表示为：
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
【例1-2】已知质点的运动方程为r＝（－5t＋20t2）i＋（ 10t－15t2）j。求：（1）t＝2s时，质点的速度；（2）任意时 刻质点的加速度。 【解】（1）由式（1–12）可知，质点的速度为：
v dr dx dy i j （ 5 40t）i （ 10 30t）j dt dt dt
2．平面极坐标系
如左图所示，在平面上取一点O为极点，从点O出发的一 根射线Ox为极轴。对于平面上任意一点A，线段OA的长度ρ 称为点A的极径或矢径；从Ox到OA的角度θ称为点A的极角； （ρ，θ）称为点A的极坐标。
3．平面自然坐标系
如右图所示，平面自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的 坐标系，在质点运动轨道上任取一点O作为坐标原点，质点在 任意时刻的位置都可以用它到点O的轨道长度s（即自然坐标） 来表示。
dv y dv x dv z d2 x d2 y d2 z a i j k 2 i 2 j 2 k ax i a y j az k dt dt dt dt dt dt
在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒（m/s2）。
1.3 运动方程
质点运动时，其位矢r是随时间变化的，因此，位矢r是时 间的函数，即 r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k 上式称为质点的运动方程。 运动方程在直角坐标系中的三个分量式为： x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t） 从上式中消去时间参数t，就可得到质点位置坐标x、y、z 之间的关系式，此关系式称为质点运动的轨道方程。 运动学的中心问题是求解运动方程，它主要包括两类计算 问题：（1）已知运动方程，求速度和加速度；（2）已知加速 度和初始条件（初始时刻质点的位置和速度），求运动方程。
在国际单位制中，速度和速率的单位都是米每秒（m/s）。
1.2.4 加速度
加速度是描述质点运动速度的大小和方向随时间变化快慢 的物理量。
1．平均加速度
如下图所示，质点在平面上做曲线运 动。在t时刻，质点位于A点，其速度为v1 ；在t＋Δt时刻，质点位于B点，其速度为v2 。则质点在Δt时间内的速度增量为Δv＝v2 －v1。Δv与对应时间Δt的比值称为质点在 Δt时间内的平均加速度 a，即
【例1-1】如下图所示，水中有一小船，岸边的人用绳子 通过离水面高h的滑轮拉船靠岸，设绳子的原长为l0，人以匀 速v0拉绳，求任意时刻小船的速度和加速度公式。
【解】建立如上图所示的坐标轴Ox。根据题意，t＝0时， 滑轮至小船的绳长为l0；经过时间t后，绳长减小至l＝l0－v0t。 此时，小船的位置坐标为：
r r x2 y2 z 2
位矢r的方向余弦为： x z y cos cos cos r r r 在国际单位制中，位矢的单位为米（m）。
1.2.2 位移
如下图所示，质点在平面上做曲线运动，t1时刻位于A点 ，t2时刻到达B点，质点相对于原点O的位矢由r1变为r2。显然 ，在时间间隔Δt＝t2－t1内，位矢的长度和方向都发生了变化 。我们将由质点的初位置A指向末位置B的有向线段 AB 称为质 点在Δt时间内的位移，用Δr表示，即Δr＝r2－r1，它是描述质 点空间位置变化的物理量。
1.1.4 单位制
基本单位和导出单位组成一套单位制。由于基本单位的选 取不同，组成的单位制也就不同。 1960年国际计量大会通过了国际单位制（SI）。由于国际 单位制具有先进、实用、简单、科学等优点，故已被世界各国 及国际组织广泛采用。下表所示为国际单位制的基本单位。