正多边形的定义
专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。
正多边形和圆及正多边形的有关计算
中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。
今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。
中考正多边形和圆知识点
正多边形和圆知识点学习要求：了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行正三角形、正方形、正六边形有关的计算.内容分析：1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2．正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。
注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。
想一想，在此基础上如何证明⊙O的圆心O点也是其内切圆的圆心呢？3. 正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
(2)边数相同的正多边形相似。
4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
正n边形的有关计算公式(1)(2)(3)注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比。
苏科版九年级上册2.6正多边形与圆
contents
目录
• 正多边形的定义与性质 • 正多边形与圆的关系 • 正多边形的面积与周长 • 圆的性质与正多边形的关系 • 练习与思考
01 正多边形的定义与性质
正多边形的定义
பைடு நூலகம்正多边形是指各边相 等，各内角也相等的 多边形。
正多边形的所有边都 相等，所有内角也都 相等。
计算公式
中心角大小 = (n-2) × 180° / n，其 中n是多边形的边数。
正多边形的半径
半径定义
正多边形的半径是指从中心到顶 点的距离。
计算公式
半径r = a / (2sin(180° / n))，其 中a是多边形的边长。
性质
正多边形的半径相等，且等于中心 到边的距离。
正多边形的边心距
01
正多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这 个圆叫做正多边形的 外接圆。
正多边形的性质
正多边形的所有外角和为360°。
正多边形的每个内角都相等，且等于（n-2）×180°/n，其中n是多边形 的边数。
正多边形的所有外接圆的半径都相等，且等于正多边形的一边长度的一 半。
正多边形的分类
等边三角形
等腰梯形
图案设计
在纺织品、平面设计等领域，经 常使用正多边形和圆形来创造复
杂的图案和花纹。
05 练习与思考
基础练习题
基础练习题1
已知正六边形的边长为6， 求其内角大小。
基础练习题2
已知正方形的对角线长为8， 求其边长。
基础练习题3
已知正十二边形的内角和 为1800°，求其边长。
提升练习题
01
提升练习题1
02
03
《正多边形和圆》重点、难点
《正多边形和圆》重点、难点
1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。
2.正多边形与圆的关系
（1）把圆分成n （n ≥3）等份，有如下结论：
其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。
其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n 边形的内切圆。
（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
3.有关的概念
（1）正多边形的中心
（2）正多边形的半径
（3）正多边形的边心距
（4）正多边形的中心角
4.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
这里我们设：正n 边形的中心角为α，半径为R ，边心距为r ，边长为a n ，周长为P n ，面积为S n ，则有
（）；（）；（）；（）；（）；（）；1360221803180414561212222α=︒=⋅︒=⋅︒=⋅=⋅=⋅⋅=⋅n
a R n r R n R r a P n a S n r a r P n n n n n n n sin cos
（）正多边形的每一个内角，内角和721802180=-⋅︒=-⋅︒()().n n n
5.每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
6.重点和难点：
（1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。
（2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。
正多边形的性质
正多边形的性质正多边形是一个具有特殊几何特征的多边形，它的边数相等且角度也相等。
在本文中，我们将讨论正多边形的性质和一些有趣的推论。
1. 定义和符号正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形。
用字母n表示正多边形的边数，如正三角形、正四边形、正五边形等。
2. 内角和外角正多边形的内角和外角具有特殊关系。
我们可以通过简单的计算来得到它们之间的关系。
对于正n边形来说，每个内角的度数是180° - 360°/n，而每个外角的度数是360°/n。
例如，正三角形的内角度数为60°，外角度数为120°；正四边形的内角度数为90°，外角度数为90°。
3. 中心角正多边形的中心角是指以多边形中心为顶点的角。
中心角的度数可以通过简单的计算得出，即360°/n，其中n为正多边形的边数。
4. 对角线正多边形的对角线是指连接多边形不相邻顶点的线段。
对角线可以将正多边形分割为不同的三角形。
正多边形的对角线个数可以通过公式n(n-3)/2计算，其中n为正多边形的边数。
5. 对称性正多边形具有多个对称轴。
对称轴是指将多边形分为两个对称部分的轴线。
正多边形的对称轴个数等于边数n。
6. 面积和周长正多边形的面积可以通过以下公式计算：A = (s^2 * n) / (4 *tan(π/n))，其中s为边长。
正多边形的周长可以通过公式P = n * s计算，其中n为边数，s为边长。
7. 唯一化和分类正多边形的性质使得它们可以被唯一地确定和分类。
每个边数n对应一个唯一的正多边形，例如正三角形、正四边形、正五边形等。
8. 推论正多边形具有许多有趣的推论，这些推论可以通过正多边形的性质来证明。
例如，正三角形的高和边长具有特殊关系，即高等于边长的一半。
正四边形的对角线相等且互相垂直。
正五边形的黄金比例在其中产生。
结论正多边形作为一种特殊的多边形，具有许多独特的性质和推论。
正多边形对角线与边数的关系。
正多边形对角线与边数的关系。
1. 引言1.1 正多边形定义正多边形是指所有边长度相等且所有内角也相等的多边形。
在正多边形中，每个内角的度数都是固定的，可以通过正多边形的边数来计算。
正多边形的定义可以追溯到古希腊数学家，如欧几里德和毕达哥拉斯。
正多边形是几何学中重要的概念，具有许多特殊性质和规律。
在几何学中，正多边形的每条对角线可以连接多边形中的任意两个非相邻顶点，将多边形分成两个三角形。
对角线的作用是连接多边形中的不同顶点，形成一种内部连接，可以帮助我们研究多边形的性质和结构。
正多边形的对角线数量与边数之间有着特定的关系，这种关系可以通过数学方法进行计算和证明。
通过对正多边形的定义和对角线的概念的理解，我们可以更深入地研究多边形的性质和特点，以及对角线与边数之间的关系。
在接下来的内容中，我们将进一步探讨正多边形对角线数的计算、对角线长度的公式、对角线与边数的关系、正三角形的特殊性质，以及对角线与内角的关系。
这些内容将帮助我们更好地理解正多边形的几何特性。
1.2 对角线的概念对角线是连接多边形两个不相邻顶点的线段，通常在正多边形中由内部的一个点延伸到另一个点。
对角线在正多边形中有重要的作用，它不仅能够帮助我们计算多边形的对角线数量和长度，还能揭示多边形内部各个角之间的关系。
在正多边形中，每个顶点都可以连接到除自身和相邻顶点外的其他顶点，形成一条对角线。
一个正多边形的对角线数量可以通过以下公式计算：n(n-3)/2，其中n为多边形的边数。
这个公式可以帮助我们快速准确地计算出正多边形的对角线数量，而无需一一连接每个顶点。
在正多边形中，对角线的长度可以通过一条边的长度和多边形的中心到顶点的距离来计算。
具体公式为：d=2r*cos(π/n)，其中d为对角线的长度，r为多边形的外接圆半径，n为多边形的边数。
这个公式可以帮助我们求解任意正多边形的对角线长度，从而更好地理解多边形的形状和结构。
2. 正文2.1 正多边形对角线数的计算正多边形是指所有边和所有角均相等的多边形。
正多边形的特征与分类
正多边形的特征与分类正多边形是几何学中一个重要的概念，指的是所有边长度相等、所有角度相等的多边形。
本文将围绕正多边形的特征和分类展开讨论。
一、正多边形的特征正多边形具有以下的特征：1. 边长相等：正多边形的所有边长都相等，可以用l来表示。
2. 内角相等：正多边形的所有内角度数都相等，假设为x度。
3. 外角相等：正多边形的所有外角度数也相等，假设为y度。
4. 对称性：正多边形具有旋转对称和镜像对称的性质。
二、正多边形的分类根据边的数量，正多边形可以分为不同的类型。
1. 正三边形（等边三角形）正三边形是最简单的正多边形，也就是我们常说的等边三角形。
它的特征是三条边相等，内角为60度，外角为120度。
常见的例子是交通标志中的警告标志。
2. 正四边形（正方形）正四边形是具有四个边长相等、四个角度相等的多边形。
它的特征是四条边相等，内角为90度，外角为90度。
正方形具有对称性，是最常见的一种正多边形。
3. 正五边形正五边形是具有五个边长相等、五个角度相等的多边形。
它的特征是五条边相等，内角为108度，外角为72度。
正五边形被广泛运用于艺术和建筑领域。
4. 正六边形正六边形是具有六个边长相等、六个角度相等的多边形。
它的特征是六条边相等，内角为120度，外角为60度。
蜂巢结构中的蜜蜂巢穴就是正六边形的典型例子。
5. 正多边形（七边形及以上）七边形及以上的正多边形统称为正多边形。
它们都具有边长相等和角度相等的特征，但对于较大的正多边形，除了特殊的情况外，边长和角度的计算会更加复杂。
三、结语正多边形作为几何学中的重要概念，具有独特的特征和分类方式。
通过研究正多边形，我们可以深入理解其内在的对称性和规律性。
在几何学和实际应用中，正多边形有着广泛的应用价值，对于建筑、设计和艺术等领域都具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者们对正多边形的特征和分类有更深入的了解。
正多边形的特点和性质
正多边形的特点和性质一、正多边形的定义正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。
二、正多边形的性质1.正多边形的所有边相等。
2.正多边形的所有角相等。
3.正多边形的对角线互相平分，且对角线将正多边形分成若干个全等的小三角形。
4.正多边形的中心角等于其所对的外角，且中心角和外角的和为180度。
5.正多边形的内角和为(n-2)×180度，其中n为正多边形的边数。
6.正多边形的对角线数量为n(n-3)/2，其中n为正多边形的边数。
三、正多边形的特点1.正多边形的边数必须是正整数。
2.正多边形的边数越多，其形状越接近圆。
3.正多边形的面积可以通过其边长和中心角来计算。
4.正多边形的外接圆半径等于其边长乘以根号2除以2。
5.正多边形的内切圆半径等于其面积除以边长。
四、正多边形与圆的关系1.正多边形的中心即为外接圆的圆心。
2.正多边形的边长等于外接圆的直径。
3.正多边形的内切圆半径等于其中心到边的距离。
五、正多边形的分类1.根据边数，正多边形可以分为正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等。
2.根据对称性，正多边形可以分为正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。
六、正多边形的应用1.在建筑中，正多边形的形状常用于设计美观和结构稳定。
2.在艺术中，正多边形的形状常用于图案设计和装饰。
3.在数学中，正多边形的研究可以帮助理解多边形的性质和几何学的基本概念。
七、正多边形的证明1.欧几里得证明了正多边形的中心角等于其所对的外角。
2.欧拉证明了正多边形的对角线互相平分。
3.哈密顿证明了正多边形的中心到边的距离等于内切圆半径。
八、正多边形的拓展1.正多边形可以扩展为正多面体，即所有面都是正多边形的三维图形。
2.正多边形的对称性可以扩展到正多面体的对称性。
3.正多边形的性质和应用也可以扩展到正多面体。
习题及方法：1.习题：一个正八边形的边长是8厘米，求它的面积。
答案：首先，正八边形的中心角是360°/8 = 45°。
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
正多边形和圆数学教案
正多边形和圆数学教案第一章：正多边形的定义和性质1.1 教学目标了解正多边形的定义和性质能够计算正多边形的边数和内角大小1.2 教学内容正多边形的定义：一个多边形，如果所有边都相等，所有角也都相等，这个多边形叫做正多边形。
正多边形的性质：正多边形的边数等于360除以每一个内角的度数；每一个内角的度数等于(180度乘以边数)除以边数。
1.3 教学活动引入正多边形的概念，让学生通过观察实物或图形来理解正多边形的特征。
引导学生通过数学公式计算正多边形的边数和内角大小。
提供练习题，让学生应用所学的知识计算不同边数的正多边形的边数和内角大小。
1.4 教学评价通过课堂讲解和练习题，评估学生对正多边形的定义和性质的理解程度。
第二章：圆的定义和性质2.1 教学目标了解圆的定义和性质能够计算圆的周长和面积2.2 教学内容圆的定义：一个平面上所有点与给定点（圆心）的距离都相等的点的集合。
圆的性质：圆的周长等于2π乘以半径；圆的面积等于π乘以半径的平方。
2.3 教学活动引入圆的概念，让学生通过观察实物或图形来理解圆的特征。
引导学生通过数学公式计算圆的周长和面积。
提供练习题，让学生应用所学的知识计算不同半径的圆的周长和面积。
2.4 教学评价通过课堂讲解和练习题，评估学生对圆的定义和性质的理解程度。
第三章：正多边形和圆的关系3.1 教学目标理解正多边形和圆的关系能够计算正多边形的对角线长度和圆的直径3.2 教学内容正多边形和圆的关系：正多边形的每一个顶点都可以看作是圆的圆心，而正多边形的边可以看作是圆的直径。
正多边形的对角线长度：正多边形的对角线长度等于边长乘以根号2。
圆的直径：圆的直径等于圆的半径的两倍。
3.3 教学活动引导学生通过实物或图形，观察正多边形和圆的关系。
引导学生通过数学公式计算正多边形的对角线长度和圆的直径。
提供练习题，让学生应用所学的知识计算不同边数的正多边形的对角线长度和圆的直径。
3.4 教学评价通过课堂讲解和练习题，评估学生对正多边形和圆的关系的理解程度。
第四讲 圆与正多边形
正多边形和圆【内容概述】正多边形的定义、正多边形的相关概念、正多边形的性质、正多边形的有关计算、正多边形与圆【知识透析】知识点1：正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．知识点2：正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心角；（2）正多边形的中心o；（3）正多边形的半径R；（4）正多边形的边心距r知识点3：正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形；（2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心．知识点4：正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒．例1．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个多边形是__________边形例2．一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是________知识点5：正多边形的画法（1）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆； （2）用尺规等分圆对于一些特殊的正n 边形，可以用圆规和直尺作图．例1：画一个边长为2cm 的正六边形。
如图1，2，以2cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于︒=︒606360的圆心角它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到6个等分点，顺次连接各等分点，即可得出正六边形。
图1 图2 知识点6：圆与正多边形（1）正多边形的外接圆以及相关要素； （2）正多边形的内切圆以及相关要素． 【典型例题】1．填写下列表中的空格错误！未指定书签。
正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长 面积3 234 1 6 2 n2．有一边长为4的正n 边形，它的一个内角是120°，则其外接圆的半径为_________ 3．正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是__________4．同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________ 5．正九边形的半径为R ，则它的边长是_____ 6．一个正n 边形的中心角是它的一个内角的15，则n ＝_________. 7．如图，已知⊙O 和⊙O 上一点A①用尺规作正六边形，使得⊙O是这个证六边形的外接圆，且点A是正六边形的一个顶点②若这个证六边形的边长为2cm，这个正六边形的面积是cm2AO8．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形9．正n边形的一个外角等于20°，则n ．10．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝°．11．已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长．12．已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的边长．13．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．O14．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．OEFA BCDM15．已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点， =CDBD ，AC 是四边形ABCD 的对角线。
正多边形的特点和实例
正多边形的特点和实例正多边形是指所有边长相等，所有角度相等的多边形。
本文将介绍正多边形的特点，并给出一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 特点正多边形具有以下几个特点：1.1 边长相等：正多边形的每条边长度相等，这使得它在外观上呈现出整齐、对称的形状。
1.2 角度相等：正多边形的所有内角均相等。
以n边形为例，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n。
例如，正三角形的内角为60°，正四边形的内角为90°。
1.3 对称性：正多边形具有多个对称轴。
以正六边形为例，它具有三个对称轴，每个对称轴都能将六边形分成两个完全相同的部分。
1.4 周长计算：对于正n边形，其周长等于n乘以边长。
例如，正五边形的周长等于5倍边长。
1.5 面积计算：对于正n边形，其面积可以通过公式A = (n × s^2) / (4 × tan(π/n))计算，其中s为边长。
例如，正六边形的面积等于(6 × s^2) / (4 × tan(π/6))。
2. 实例下面是几个正多边形的实例：2.1 正三角形：正三角形是最简单的正多边形，也被称为等边三角形。
它的特点是三条边和三个内角均相等。
著名的金字塔结构就是由许多正三角形组成的。
2.2 正四边形：正四边形也被称为正方形，它的特点是四条边和四个内角均相等。
正方形是最常见的正多边形之一，广泛应用于建筑、设计和几何学等领域。
2.3 正五边形：正五边形具有五条边和五个内角均相等的特点。
它在自然界中也有很多实例，例如某些植物的花瓣、一些海洋生物的外形等。
2.4 正六边形：正六边形具有六条边和六个内角均相等的特点。
蜜蜂的蜂巢就是正六边形的典型例子，它们通过精确的构造来最大限度地利用空间。
2.5 正多边形的应用：正多边形不仅仅存在于几何学中，还广泛应用于各个领域。
例如，在建筑和园艺设计中，正多边形常被用于规划几何元素；在计算机图形学中，多边形是构建复杂形状的基本元素之一。
正多边形的性质
思考: 过正五边形ABCDE的顶点A、B、C
作⊙O,连接OA、OB、OC、OD、OE，DE
两点在⊙O上吗？
D
证明：如图：∵OB=OC 又∵∠ABC=∠BCD
∴∠1=∠2 E
∴∠3=∠4
∵AB=DC ∴△OAB≌△ODC
∴OA=OD
A
即点D在⊙O上，同理可以证明
点E也在⊙O上.
4C
●
2
O1
3
B
定理：任何正多边形都有一个外接圆和
内角 (n 2) 180 n
正多边形的半径:
.半径R
F
O
中心角
边心距r
C
外接圆的半径
正多边形的中心角:
A
B
正多边形的边心距：
中心角 360
r R2（ a）2
n
2
正多边形的面积： S n(1 ar) 1 Lr
22
三、正多边形的有关计算
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外 切正n边形，反过来，是不是每个正多边形都有一 个外接圆与一个内切圆呢？ 我们仍以正五边形为例来进行研究。
则此多边形的边数是
.
• 4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
• 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
认识多边形与正多边形
认识多边形与正多边形多边形是几何学中的一个重要概念，它是由若干直线段组成的封闭图形。
而正多边形则是一种特殊类型的多边形，其边长相等且内角相等。
在本文中，我们将探讨多边形与正多边形的定义、性质以及应用。
一、多边形的定义多边形是由若干条线段构成的封闭图形，它的每条边都与相邻的两条边相交，而且不会交叉。
多边形的边数取决于其中线段的数量，根据边的数量，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形等。
二、多边形的性质1. 顶点：多边形的顶点是指相邻线段的交点，顶点的个数等于多边形的边数。
2. 边：多边形的边是指连接相邻顶点的线段，多边形的边数决定了其名称。
3. 内角：多边形的内角是指由相邻两条边所围成的角，多边形的内角和等于180°乘以(n-2)，其中n为多边形的边数。
4. 外角：多边形的外角是指从一条边的延长线上出发，到达相邻边的延长线时所成的角，多边形的外角和等于360°。
三、正多边形的定义与性质正多边形是一种特殊的多边形，其边长相等且内角相等。
正多边形也被称为等边等角多边形。
根据边的数量，可以分为正三角形、正四边形、正五边形等。
1. 边长相等：正多边形的每条边都具有相同的长度，这使得它的形状更加规整。
2. 内角相等：正多边形的内角都相等，这意味着所有角度的测量值相同。
3. 对称性：正多边形具有高度的对称性，通过某个点旋转正多边形的一个角度，可以得到与原来形状完全相同的图形。
4. 角度计算：正多边形的每个内角都可以计算出来，例如正三角形的内角为60°，正四边形的内角为90°。
四、多边形与正多边形的应用多边形与正多边形在生活中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：多边形与正多边形在建筑设计中起到重要作用，如正方形、长方形等可用于设计房屋平面图；多边形的对称性也常常被运用在对称的建筑设计中，给人以美感和和谐感。
2. 地理测量：地理测量中经常会使用多边形测量法以及正多边形的概念，通过测量不规则地形的多边形边长和角度，可以计算出其面积和周长。
正多边形的判定(公开课教案)
正多边形的判定(公开课教案)
简介
正多边形是一个常见的几何图形，判定一个图形是否为正多边形是一个基本的几何问题。
本节课将介绍判定正多边形的方法和要点，帮助学生正确理解和识别正多边形。
目标
通过本课程，学生应能：
1. 理解正多边形的定义和特征；
2. 掌握判定图形是否为正多边形的方法；
3. 能够正确识别和绘制正多边形。
内容
1. 正多边形的定义和特征
- 正多边形定义：具有相等边长和相等内角的多边形。
- 正多边形特征：所有内角相等，每个内角为180°除以边数。
2. 判定图形是否为正多边形的方法
判定图形是否为正多边形的方法有以下几种：
- 检查边长是否相等：正多边形的边长必须相等。
- 检查内角是否相等：正多边形的每个内角都相等。
- 角度测量：使用角度测量工具测量图形的内角，判断是否满足每个内角为180°除以边数。
- 边长测量：使用边长测量工具测量图形的边长，判断是否满足每条边的长度相等。
需要注意的是，以上方法可以分别或结合使用。
3. 识别和绘制正多边形
学生通过练和观察，能够逐渐识别和绘制正多边形。
教师可以提供一些实际的示例和练题，辅助学生加深对正多边形的理解和应用能力。
总结
本课程通过介绍正多边形的定义和特征，以及判定图形是否为正多边形的方法，帮助学生正确识别和理解正多边形。
通过实际练
习和观察，学生可以提高对正多边形的认识，并能够正确绘制正多边形。
正多边形内角和边数的关系
正多边形内角和边数的关系正多边形是一种具有相等边长和相等内角的几何形状，其内角和边数之间存在着一定的关系。
在深入探讨这一关系之前，首先我们需要明确正多边形的定义和性质。
一、正多边形的定义和性质正多边形是一种具有相等边长和相等内角的多边形。
其中，每个内角的大小为180°减去外角的大小，即每个内角的度数为(180°-外角的度数)。
另外，正多边形中的相邻内角之和为180°。
二、正多边形内角和边数的关系正多边形的内角和边数之间存在着一个简单的数学关系。
我们以一个具体的例子来说明。
我们先以三角形开始讨论。
三角形是最简单的正多边形，它只有3条边和3个内角。
根据正多边形的性质，每个内角的大小为180°减去外角的大小，而三角形的外角等于其对应的内角，故三角形的每个内角都是60°。
由于三角形有3个内角，所以三角形的内角和为180°的3倍，即为180°。
现在，我们继续探讨正方形。
正方形是一种具有4条边和4个内角的正多边形。
根据正多边形的性质，每个内角的度数为(180°-外角的度数)，而正方形的每个外角的度数为90°。
将90°代入公式，我们可以得到正方形的每个内角的度数为(180°-90°)=90°。
由于正方形有4个内角，其内角和为90°的4倍，即为360°。
接下来，我们研究正五边形。
正五边形是一种具有5条边和5个内角的正多边形。
根据之前的推理方法，我们可以得知正五边形的每个内角的度数为(180°-外角的度数)。
而正五边形的每个外角的度数为360°除以5，即72°。
将72°代入公式，我们可以得到正五边形的每个内角的度数为(180°-72°)=108°。
由于正五边形有5个内角，所以其内角和为108°的5倍，即为540°。
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正多边形的定义：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形和圆的关系：
把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。
与正多边形有关的概念：
（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。
圆的计算公式：
1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd
2.圆的面积S=πr2
3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）·r = n°πr/180°（n为圆心角）
4.扇形面积S=nπr2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
5.圆的直径d=2r
6.圆锥侧面积S=πrl（l为母线长）
7.圆锥底面半径r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;
9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;
10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；
11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。