2021届四川省巴中市高三零诊考试数学(理)试题(解析版)

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四川省巴中市2023-2024学年高三下学期一诊(一模)考试数学(理)含答案

巴中市普通高中2021级“一诊”考试数学（理科）（答案在最后）（满分150分120分钟完卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时请使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区城以外答题无效，在试题卷上答题无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.若复数z 满足()2i 2i z -=，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{1A xx =<∣，或{}23},680x B x x x >=-+<∣，则集合()R A B ⋂=ð（）A.{34}xx <<∣ B.{23}xx <<∣ C.{23}xx <∣ D.∅3.已知55a c =+=-,,a b c 三个数成等比数列，则b =（）A.5B.1C.-1D.-1，或14.已知,a b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量,a b 满足||1,|||||a b a b a b ==+=-，则cos ,a b a 〈-〉=（）A.13-B.13C.3-D.36.已知直线,m n 与平面,,αβγ，下列命题中正确的是（）A.若,m n αγβγ⋂=⋂=，则m ∥nB.若m ∥,m αβ⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m βαβγ⊥⊥，则m ∥γD.若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥7.ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin 2cos 2AC c ⋅=⋅.则A =（）A.5π6B.2π3C.π3D.π68.从0,1,2,3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（）A.23B.59C.12D.139.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线C 于,A B 两点，点Q 在直线AB 上且OQ AB ⊥（O 为坐标原点），则下列结论中不正确的是（）A.1FQ =B.4OA OB ⋅=-C.FA FB +的最小值为6D.OAB 的面积的最小值为10.在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面,ABC AB BC ⊥且2AB BC ==，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A.1372π81B.196π9C.28π3 D.7π311.若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（）A.{12}aa -<<∣B.9{|8a a =-，或12}a -<<C.{}12aa -∣ D.9{|8a a =-，或12}a - 12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，若()()π4π,63f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（）A.3B.5C.7D.9二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的相应位置上.13.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于__________.（用数字作答）14.已知实数,x y 满足约束条件20,2340;240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪--⎩则32x y -的最小值为__________.15.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f '-=.则()f x 的单调增区间为__________.16.已知双曲线221124x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在直线260x y -+=上.当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列()12n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AA AB AC M N ===分别是1,BC CC 的中点，1AB MN ⊥.（1）证明：MN ⊥平面1AB M ；（2）求MN 与平面1AB N 所成角的正弦值.19.（12分）下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y （单位：万吨）与年份t 的散点图.（1）根据散点图推断变量y 与t 是否线性相关，并用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.参考数据：()77721119.06,39.33,7 2.646.i i i i i i i y t y y y =====-=≈∑∑∑参考公式：121ˆˆˆ,ni ii nii t y nt ybay bt tnt ==-⋅==--∑∑；相关系数()()()()12211nii i n ni i i i tty y r t t y y ===--=--∑∑∑20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左顶点分别为,,A B G 为C 的上顶点，且ABG 的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0的动直线与C 交于,M N 两点.证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上.21.（12分）.已知函数()ln xe f x ax a x x=-+.（1）设()()g x xf x =，证明：当a e 时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos ,:22sin x C y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）和圆222:40C x y x +-=.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）设过点O 倾斜角为π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 分别与曲线1C 和圆2C 交于点,A B （异于原点O ），求2ABC 的面积的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()211f x x x =+--.（1）解不等式()21f x x >+；（2）若不等式()2f x x x m <-+恒成立，求m 的取值范围.巴中市普通高中2021级“一诊”考试数学参考答案（理科）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.6014.-715.()()1,0,0,1-16.55三､解答题：共70分17.（12分）解：（1）方法1由题意，得22n n a S =+1122n n a S ++∴=+两式相減得11122n n n n n a a S S a +++-=-=，化简得12n n a a +=取1n =得1122a a =+，解得12a ={}n a ∴是以2为首相，2为公比的等比数列2n n a ∴=.方法2由题意，得22n n a S =+取1n =得1122a a =+，解得12a =当2n 时，()122n n n S S S --=+，整理得122n n S S -=+()111222,224n n S S S a -∴+=++=+={}2n S ∴+是以4为首项，2为公比的等比数列112422n n n S -+∴+=⋅=222n n n S a +∴==.（2）由（1）得：22log log 2nn n b a n ===，故22n b n +=+()()111112222n n b b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭11111111111112324352112n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22111135122124128n n n n n n +⎛⎫=+--= ⎪++++⎝⎭故22354128n n nT n n +=++18.（12分）解：（1）证法1由AB AC =且.BM CM =得AM BC ⊥由直梭柱的性质知1BB ⊥平面ABC .又AM ⊂平面ABC1BB AM∴⊥11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂ 平面11BCC B AM ∴⊥平面11BCC B MN ⊂ 平面11BCC B AM MN∴⊥111,,,AB MN AM AB A AM AB ⊥⋂=⊂ 平面1AB M MN ∴⊥平面1AB M .证法2由AB AC =其BM CM =得AM BC ⊥出直棱柱的性质知，平面11BCC B ⊥平面ABC 又AM ⊂平面ABC ，垧11BCC B ⋂平面ABC BC=AM ∴⊥平面11BCC B MN ⊂ 平面11BCC B AM MN∴⊥111,,,AB MN AM AB A AM AB ⊥⋂=⊂ 平面1AB MMN ∴⊥平面1AB M .（2）方法1由（1）知MN ⊥平面1AB M ，又1B M ⊂平面1AB M1MN B M ∴⊥，故1B MB MNC∠∠=又11111tan ,tan ,2,1,2BB CM B MB MNC BB CN CC BM CM BM CN ∠∠======22BM ∴=.222248BC BM AB AC ∴===+故AB AC ⊥，从而1,,AB AC AA 两两垂直以A 为原点，1,,AB AC AA分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-出题意得，()()()()10,0,0,1,1,0,2,0,2,0,2,1A M B N 1(2,0,2),(0,2,1),(1,1,1)AB AN MN ∴===-设平面1AB N 的一个法向量为(),,u x y z =由10,0u AB u AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得220,20x z y z +=⎧⎨+=⎩取2z =-得()2,1,2u =- 设MN 与平面1AB N 所成角为θ，则|||21111(2)|3sin |cos ,|3||||33u MN u MN u MN θ⋅=〈〉===⋅⨯MN ∴与平面1AB N 所成角的正弦值为33.方法2由（1）知MN ⊥平面1AB M ，又1B M ⊂平面1AB M1MN B M ∴⊥，故1B MB MNC∠∠=又11111tan ,tan ,2,1,2BB CM B MB MNC BB CN CC BM CM BM CN ∠∠======22BM ∴=，故BM CM==22218,BC AB AC MN B M ∴==+====AB AC ∴⊥，故AM =1111132A B MN V AM MN B M -∴=⨯⨯⨯⨯=又1AB ==13AN B N ==22211111cos 22AB B N AN AB N AB B N ∠+-∴==⨯，故1sin 2AB N ∠=111111sin 33222AB N S AB B N AB N ∠∴=⨯=⨯⨯ 设点M 到平面1AB N 的距离为,d MN 与平面1AB N 所成角为θ则113313M AB N AB NV d S -=== 3sin 3d MN θ∴==，即MN 与平面1AB N 所成角的正弦值为33.19.（12分）解：（1）123456728477t ++++++===()7222222221(3)(2)(1)012328i i tt =-=-+-+-++++=∑()()7711739.3349.06 3.09iii ii i t t y y t y ty ==∴--=-=-⨯=∑∑3.090.972 2.6460.6r ∴≈≈⨯⨯由y 与t 的相关系数约为0.97表明：y 与t 的线性相关程度相当高∴可用线性同归模型拟合y 与t 的关系.（2）由9.06 1.297y =≈及（1）得()()()717213.09ˆ0.1128ii i i i tty y b t t ==--==≈-∑∑ ˆ 1.290.1140.85ay bt =-≈-⨯≈y ∴关于t 的回归方程为ˆ0.850.11y t=+代2024年对应的年份代码9t =入回归方程得：ˆ0.850.119 1.84y=+⨯=∴预测2024年该市生活垃圾无害化处理量将约为1.84万吨.20.（12分）解：（1）由题意得2232a b a -=，化简得2a b =又122ABG S AB OG ab =⨯== 2,1a b ∴==∴椭圆C 的方程为2214x y +=（2）方法1：由（1）得()()2,0,2,0A B -设()()1122,,,M x y N x y ，直线():2MA y m x =+，直线():2NB y n x =-由()222,440y m x x y ⎧=+⎨+-=⎩得()222214161640m x m x m +++-=山于212164214m x m --=+，战21122284,1414m mx y m m -==++①.由()222,440y n x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214161640n x n x n +-+-=由于222164214n x n -=+，故22222824,1414n nx y n n--==++②由题设知121244x x y y --=，代入①②化简得()()4130mn m n ++=省410mn +=，则14mn =-，此时22122224144m n m y y m m n m -===++故,M N 重合，即直线l 椭圆C 相切，不合题意3m n∴=-∴点(),P x y 满足()2y m x =+且()32y m x =--，联立解得1x =∴即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法2：由（1）可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y 山题意知，直线MN 的斜率不为0，设其方程为4x my =+，且m >由224,440x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2248120m y my +++=则()216120m =->，解得m >由根与系数的关系得121222812,44m y y y y m m -+==++直线MA 的方程为()1122y y x x =++，直线NB 的方程为()2222y y x x =--联立直线MA 与直线NB 的方程可得：()()()()()2121121211212121266622222y x y my my y y y y x x y x y my my y y ++++-+===--++11222112212836666444 3.12122244m m m y y m m m m m y y m m --⋅+⋅--+++===-⨯++++由232x x +=--可得1x =，故AM 与BN 的交点在定直线1x =上方法3：由（1）可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y 由题意知，直线MN 的斜率不为0，设其方程为4,x my =+且m >由224,440x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2248120m y my +++=则()216120m =->，解得m >由根与系数的关系得121222812,44m y y y y m m -+==++当线MA 的方程为()1122y y x x =++，自线NB 的方程为()2222y y x x =--联立得()()()()12212222y x x y x x -+=+-代入11224,4x my x my =+=+得：()()()()1211222262my y y x my y y x ++=+-()()222221216122262444m m m y x y x m m m -⎛⎫⎛⎫∴+-+=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即()()22222623244m m y x y x m m -⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得()232x x +=--解得1x =，故AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法4：设()()1112,,,M x y N x y ，由题可知MN 的斜率一定存在，设():4l y m x =-由()224,440y m x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214326440m x m x m +-+-=()()()()222232414644161120m m m m =--+-=->，解得66m -<<由根与系数的关系得2212122232644,1414m m x x x x m m -+==++又()()1212:2,:222y y MA y x NB y x x x =+=-+-联立解得：()12211212211222222x y x y y y x x y x y y y +-+=-++()()12211212211222222y x y x y y y x y x y y +-+--+++()()12121212410162258mx x m x x m m x x x x ⎡⎤=-++=-++⎣⎦()222222814644322258280141414m m m m m m m m ⎡⎤-+⎡⎤-⎢⎥=⨯-⨯+=+=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦1x ∴=，即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法5：设()()1112,,,M x y N x y ，由题意知MN 的斜率一定存在，设():4l y m x =-山()224,440y m x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214326440m x m x m +-+-=()()()()222232414644161120m m m m =--+-=->，解得66m -<<由根与系数的关系得2212122232644,1414m m x x x x m m -+==++()()121244,22MB NB m x m x k k x x --==-- ()()2222221212221212226441281641614143..6446424441414MB NB m m m m x x x x m m k k m m x x x x m m ⎛⎫--+ ⎪⎡⎤-++++⎣⎦⎝⎭===--++-+++①由221114x y +=得11111224y y x x ⋅=-+-，即14MA MB k k =-②由①②得3NB MAk k =-∴直线MA 的方程为()2MA y k x =+，直线NB 的方程为()32MA y k x =-+联立直线MA 与直线NB 的方程解得1x =AM ∴与BN 的交点在定直线1x =上.方法6：设MA 与NB 交于点(),P P P x y ，则()():2,:222P P P P y y MA y x NB y x x x =+=-+-代入2214x y +=，解得()()()()22222222842,2424P P P P M M P P P P x y x y x y x y x y +-+==++++()()()()22222282242,2424P P P P N N P P P P y x x y x y x y x y ----==-+-+由题设知()()()()()()()()22222222222242422424822228442424P P P P P P P P P P P P P P P Px y x y x y x y y x x y x y x y --+-+++=--+----+++即()()()()222222324212P P P P P P P Px y x y x y x y -+=-+-+-，化简得()()221440P P P x x y ---=根据题意知2p x <，故22440p p x y --<1p x ∴=，即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.注：本题第（2）问的解法1，解法4，解法6是参照2024年版《高考试题分析（数学）》P 225228对2023年高考新课标II 卷第21题的解题思路给出的.21.（12分）解：（1）证法1由题意，()()2ln ,2ln (0)x xg x e ax ax x g x e ax a a x x =-+=++>'-设过原点的直线与曲线()y g x =相切于点()(),t g t ，则2ln 2ln (0)t t e at at t e at a a t t t -+=-++>，变形化简得()()10t t e at --=设()x h x e ax =-，则()xh x e a '=-若0a ，则当0x >时恒有()0h x >，此时方程①有唯一解1t =∴过原点O 的有且仅有一条直线()y e a x =-与曲线()y g x =相切若0a e < ，则()0h x '<得0ln x a <<，由()0h x '>得ln x a>()()min ()ln 1ln 0h x h a a a ∴==- ，方程①有唯一解1t =∴过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切.综上，当a e 时，过点O 有且仅有一条直线()y e a x =-与曲线()y g x =相切.证法2由题意，()()2ln ,2ln (0)x xg x e ax ax x g x e ax a a x x =-+=++>'-设过原点的直线与曲线()y g x =相切于点()(),t g t ，则2ln 2ln (0)t t e at at t e at a a t t t -+=-++>变形化简得()10t e t a t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭①设()(0)te t a t t ϕ=->，则()()21t e t t t ϕ-=' 当01t <<时()()0,t t ϕϕ'<单调减；当1t >时()()0,t t ϕϕ'>单调增()min ()1t e aϕϕ∴==-由a e 知()min ()10t e a ϕϕ==- ，当H .仅当1t =取等号∴当a e 时，关于t 的方程①有唯一解1t =∴当a e 时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切.（2）方法1()()()()2211,0x xx e ax x e a f x a x x x x '---=-+=>内（1）知：当a e 时，0x e ax - 故当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x '>()min ()10f x f e a ∴==- ，此时()f x 至多一个零点，份题意当a e >则，设()xh x e ax =-由（1）中方法1知()min ()1ln 0h x a a =-<又()()()()010,10,2ln 2ln 0h h e a h a a a a =>=-<=->()h x ∴在()()0,1,1,∞+各有一个零点，设为()1212,x x x x <()f x ∴'有三个零点12,1,x x ，且1201x x <<<当10x x <<，或21x x <<时，()0f x '<；当11x x <<，线2x x >时，()0f x '>()f x ∴的极大值为()()10,f e a f x =-<的极小值为()1f x 和()2f x 且()()()()1210,10f x f f x f <<<<又当0x →，或x ∞→+时，都有()f x ∞→+()f x ∴恰在()10,x 和()2,x ∞+各有一个零点，符合题意a ∴的取值范围为(),e ∞+方法2由()ln x e f x ax a x x=-+变形得()()ln ln x x f x e a x x -=--令(),ln (0)t F t e at t x x x =-=->，则11t x'=-当01x <<时，0t '<：当1x >时，0t '>min 1ln11t ∴=-=，故1t X 当01x <<时，有ln ln t x x x =->-，此时t 的取值范围为()1,∞+当1x >时，由直线上升与对数增长的比较知，t 的取值范围为()1,∞+故对任意的01t >，关于x 的方程()00ln 1x x t t -=>恒有两个解()f x ∴有两个零点等价于()F t 在()1,∞+有且仅有一个零点由（1）知，当a e 时，()0F t 在[)1,∞+恒成立，当H .仪当,1a e t ==取等号∴当a e 则，()f x 至多一个零点，不合题意当a e >时，由()1知()()min ()ln 1ln 0F t F a a a ==-<又()10F e a =-<，且()()2ln 2ln 0h a a a a =->()F t ∴在()1,∞+有且仅有一个零点综上可知，a 的取值范围为(),e ∞+.方法3由()ln x e f x ax a x x =-+变形得()ln x xe ef x a x x=-令()ln ,(0)x e G t t a t t x x =-=>，则()21xx e t x -='当01x <<时，0t '<；当1x >时，0t '>min t e ∴=，故t e又当01x <<时，有1x e t x x=>，此时t 的取值范围为(),e ∞+当1x >时，由直线上升与指数爆炸的比较知，t 的取值范围为(),e ∞+故对任意的0t e >，关于x 的方程()00x e t t e x=>恒有两个解()f x ∴有两个零点等价于()0G t t =在(),e ∞+内有唯一零点又()()1a t a G t t e t t-=-='（i ）当a e 则，()()0,G t G t ' 在(),e ∞+足增函数，此则min ()0G t e a =- 当且仅当a t e ==取等号，故a e 时，()f x 至多一个零点，不合题意（ii ）当a e >时，若e t a <<，则()0G t '<；若t a >，则()0G t '>此时()()min ()1ln 0G t G a a a ==-<又()0G e e a =-<，且()()22ln 0G a a a a =->()G t ∴任(),e ∞+有且仅有一个零点综上可知，a 的取值范围为(),e ∞+.方法4令ln y x x =-，则11y x'=-当01x <<时，0y '<；当1x >时，0y '>min (ln )1ln11x x ∴-=-=，故1ln 0x x -- ，且2ln 0x x x ->由()0f x =得ln 0x e ax a x x -+=，变形得20ln xe a x x x-=-令()2ln xe H x a x x x=--，则()f x 有两个零点等价于()H x 有两个零点()()()221ln 0ln x e x x H x x x x --=-' ，当且仅当1x =时取等号∴当01x <<时()()0,H x H x '<单调递减：当1x >时()()0,H x H x '>单调递增()min ()1H x H e a∴==-由()H x 有零点知0e a -<，则a e>X 当01x <<时1x e >，故()21ln H x x x x >-取*1,n x n e =∈N ，则221ln n n n x x x e e -=+X ，头n ∞→+时，有0x →，且221ln 0n n n x x x e e-=+→∴当0x →时21ln x x x ∞→+-（如下图），故()H x ∞→+当1x >时，保()2x e H x x >，而当x ∞→+则，2xe x∞→+∴当x ∞→+是()H x ∞→+故当a e >时，()H x 在()0,1和()1,∞+各有一个零点，故()f x 有两个零点a ∴的取值范围为(),e ∞+（二）选考题：共10分.22.（10分）解：（1）由2cos ,22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩变形得2cos ,22sin x y ββ=⎧⎨-=⎩，消去参数β得2240x y y +-=代cos ,sin x y ρθρθ==入1C 和2C 的普通方程并化简得：12:4sin ,:4cos C C ρθρθ==∴直线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，圆2C 极坐标方程为4cos O ρ=.（2）方法1由题意，设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R 代()θαρ=∈R 入4sin ρθ=得()4sin ,A αα，故4sin OA α=代()θαρ=∈R 入4sin O ρ=得()4cos ,B αα，故4cos OB α=由π04α<<知cos sin αα>，印OB OA >由圆2C 的方程得22OC =()22221sin 2ABC BOC AOC S S S OC OB OA α∴=-=⨯- ()4cos sin sin 2sin22cos22ααααα=-=+-ππ222044αα⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当且仅当π8α=时取等号2ABC ∴ 的面积的最大值为2-.方法2由题意，设直线l 的极坐标方程为()O αρ=∈R 代()4sin θαρλρθ=∈=R 得()4sin ,A αα，故4sin OA α=代()θαρ=∈R 入4sin ρθ=得()4cos ,B αα，故4cos OB α=由π04α<<知，()4cos sin AB OB OA αα=-=-由圆2C 的方程得22OC =设2C 到直线l 的距离为d ，则2sin 2sin d OC αα==()214cos sin sin 2sin22cos222ABC S d AB ααααα∴=⨯⨯=-=+- ππ222044αα⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当且仅当π8α=时取等号2ABC ∴ 的面积的最大值为2-.方法3设直线l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）.代l 的方程入2240x y y +-=解得4sin A t α=，故4sin OA α=代l 的方程入2240x y x +-=解得4cos B t α=，故4cos OB α=由π04α<<知，()4cos sin AB OB OA αα=-=-下同方法1或2方法4设直线l 的方程为y kx =，由π04α<<知，()tan 0,1k α=∈由22,40y kx x y y =⎧⎨+-=⎩解得241A k x k =+；由22,40y kx x y x =⎧⎨+-=⎩解得241B x k =+B A AB x ∴=-=设2C 到直线l 的距离为d，则d =()2222411444211ABC k k k S d AB k k +-∴=⨯⨯==-+++ 令1k t +=，则()22414412,211(1)2k t t k t t t +<<==++-+-2t t+()1,2t =时取等号()24142212k k t t+∴=++-2ABC S ∴ ，即2ABC的面积的最大值为2-.23.（10分）解：（1）方法1不等式()21f x x >+可化为：①1,321,x x x <-⎧⎨-->+⎩解得43x <-②11,3121,x x x -⎧⎨+>+⎩解得01x < ③1,321,x x x >⎧⎨+>+⎩解得12x <<∴不等式()21f x x >+的解集为()4,0,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.方法2()3,1,21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=+-⎨⎪+>⎩由()21f x x =+解得43x =-，或0x =，或2x =如图，由不等式解集的几何意义得：()21f x x >+的解集为()4,0,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭（2）“不等式()2f x x x m -+ 恒成立”等价于“不等式()2m x x f x -++ 恒成立”记()()2g x x x f x =-++，则()max []m g x 当1x <-时，()()2314g x x g =--<-=-当11x - 时，()()2241(2)514g x x x x g =-++=--+= 当1x >时，()()2223(1)414g x x x x g =-++=--+<=()()max []14g x g ∴==。

2021年四川省巴中市高考数学零诊试卷(理科)(解析版)

2021年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．∅B．（﹣1，3）C．（1，3）D．（2，3）2．若复数z满足（2﹣i）z＝5，则|z|＝（）A．B．5C．D．23．设曲线y＝a（x﹣1）﹣lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝3x﹣3，则a＝（）A．1B．2C．3D．44．已知a，b，c满足2a＝3，bln2＝1，3c＝2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c5．在△ABC中，cos A＝，BC＝3，AC＝2，则cos C＝（）A．B．C．或D．6．已知函数f（x）＝sin2x+cos2x+1，若函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．已知P为圆（x+1）2+y2＝1上任一点，A，B为直线3x+4y﹣7＝0上的两个动点，且|AB|＝3，则△PAB面积的最大值为（）A．9B．C．3D．8．在直角△PAB中，∠P＝90°，AB＝4，点Q在平面PAB内，且PQ＝1，则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣49．已知＝2，则tanθ＝（）A．1B．2C．3D．10．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式．素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）A．B．C．D．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．12．函数f（x）＝xlnx﹣x+2a+2，若f（x）与f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣，0]C．[0，）D．[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若（x﹣）n的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x3的系数为．14．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值．15．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠A＝60°，，PA＝4，则三棱锥P﹣ABC 外接球的表面积为．16．已知函数f（x）＝xe x，g（x）＝，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

四川省巴中市高考数学零诊试卷(理科)解析版

设 f（x）= ，则 f′（x）= ，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比
较．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．【解答】
解：
，
，= ，
∵6π＞0，
∴a，b，c 的大小比较可以转化为
的大小比较．
设 f（x）= ，
则 f'（x）= ，
当 x=e 时，f'（x）=0，当 x＞e 时，f'（x）<0，当 0＜x＜e 时，f'（x）>0 ∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减， ∵e＜3＜π＜4，
10. 若双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线 y2=4x 的准线围成的三角形面积为 2．则双曲线的离心率为（）
A.
B.
C. 2
D.
11. 已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=2 ，BC=6，PA⊥面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
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A. -
B. -
C.
D.
6. 记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6．则{an}的通项公式为（）
A. an=（-2）n
B. an=-2n
C. an=（-3）n
D. an=-3n
7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
是（）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 144
2.【答案】B
【解析】解：z= =
=i（1+i）=-1+i，
则|z|=
=，
故选：B．
根据复数的运算性质求出 z，求出|z|即可．
本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．

四川省巴中市2021届高三零诊数学(理)试题 Word版含答案

四川省巴中市2021届高三零诊考试数理试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）留意事项：必需使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合M={x |1+x ＞0}，N={x |x -11＞0}，则M∩N=A.{x |-1≤x ＜1}B.{x |x ＞1}C.{x |-1＜x ＜1}D.{x |x ≥-1} 答案为：C2、假如a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是A.b a 11< B.b a <- C. a 2＜b 2 D. |a|＞|b|. 答案为：A3、某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不行能是（）答案为：D4、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．假如输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案为：B5、若|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 答案为：C6、要得到函数y ＝cos(2x +1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象（） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移21个单位D ．向右平移21个单位答案为：C7、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ,则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是A ．［23-，6］ B ．［23-，－1］C ．［－1,6］D ．［－6，23］答案为：A8、将2名老师，4名同学分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名同学组成，不同的支配方案共有（）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案为：A9、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为…( ) A ．32 B.52 C ．34 D.54 答案为：B10、设S ，T 是R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：（1）T ＝{f (x )|x ∈S }；（2）对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )． A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q 答案为：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题

四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题一、单选题 1．已知复数21iz =+，则||z =（）A B ．1C D ．2 2．设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合{}4,,141P x y y Q x x x ⎧⎫==∈=-≤≤⎨⎬+⎩⎭N ∣，则P Q =I （） A ．{1,2,4} B ．{0,1,3} C ．{03}x x ≤≤∣ D ．{14}xx -≤≤∣ 4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4812,40S S ==，则12S =（） A ．44B ．56C ．68D ．845．设函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩；若()23(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(1,)-∞-+∞U6．有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（） A ．34B ．23C ．13D ．147．已知函数1()31f x x x =++-的图象与直线(1)4y k x =-+有两个交点()()1122,,,x y x y ，则1212x x y y +++=（）A ．6B ．8C ．10D ．128．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B =u u u r u u u u r ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B C D ．23二、多选题9．设离散型随机变量X 的分布列如下表若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则（） A ．04m =. B ．()()2, 1.2E X D X == C ．()()3, 3.4E Y D Y ==D ．()()5, 4.8E Y D Y ==10．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（）A ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数B ．π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()f x 在[,]m m -上单调递增，则π03m <≤ D ．()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点 11．已知A ，B 为双曲线22:12y C x -=的左，右顶点，12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点．下列命题中正确的是（）A ．若R 为双曲线C 上一点，且14RF =，则26RF =B ．2F 到双曲线C C ．若P 为双曲线C 上非顶点的任意一点，则直线PA PB 、的斜率之积为2D ．双曲线C 上存在不同两点,M N 关于点()1,1Q 对称三、填空题12．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是．13．正四棱台高为2，上下底边长分别为积是．14．已知向量,a b r r 满足||2,|2|||6a a b b =++=rr r r ，则||a b +r r 的取值范围为．四、解答题15．已知数列{}n a 的首项112a =，且满足132n n n a a a +=+．(1)证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若123111150na a a a ++++<L ，求满足条件的最大整数n ． 16．在直三棱柱111ABC A B C -中，122,90,AA AB ABC D ==∠︒=在1BB 上，且12BD =．(1)证明：1AC AD ⊥； (2)当四棱锥1A BCC D -的体积为54时，求平面1AC D 与平面ABC 所成二面角的正弦值．17．已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B -=． (1)证明：2B C =； (2)若2a =，求cos 1C b c+的取值范围． 18．已知动圆Q 经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，记圆心Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设过点F 且斜率为正的直线l 交曲线C 于,A B 两点（点A 在点B 的上方），AB 的中点为M ， ①过,M B 作直线1x =-的垂线，垂足分别为11,M B ，试证明：11AM FB ∥； ②设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若FPM V 的面积为4，求直线l 的方程．19．设函数()2()ln 1f x x x a x =--．(1)若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； (2)当1x >时()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：()*2ln 21nk kn k =<∈-∑N ．。

四川省巴中市普通高中2021级“零诊”考试理科综合(化学+生物+物理)参考答案

巴中市普通高中2021级“零诊”考试化学参考答案7. A 8. B 9. B 10. C 11. D 12. C 13. D 26. （14分）【除标注外每空2分】（1）球形冷凝管（1分）平衡气压，便于浓盐酸顺利滴下（1分）（2）2KMnO 4+16HCl=2KCl+MnCl 2+5Cl 2↑+8H 2O （3）g→h→e→f（4）增大气体与液体的接触面积，使反应充分进行溶解2Cl 和乙烯，促进气体反应物间的接触（5）H 2O （其他合理答案也可）（6）7527. （15分）【除标注外每空2分】（1）+4（2）增大固体接触面积，提高碱浸速率适当加热（或搅拌或适当增大NaOH 溶液浓度等合理答案（1分）（3）Al 2O 3、SiO 2（2分）（4）成本增大（或其他合理答案）（5）3TiOSO 4+4H 3PO 4==Ti 3(PO 4)4↓+3H 2SO 4+3H 2O （6）平衡气压、防倒吸、稳定过滤速度等（7）�a1.0×10−15428. （14分）【每空2分】（1）① 123411ΔH ΔH ΔH ΔH 23++×+×② C (CH 3OH )·C (H 2O )C (CO 2)·C 3(H 2) 11. 1 （2） > 催化剂乙、反应温度200℃（3） H 2通入CO 2使容器体积增大，使平衡正向移动；CO 2与H 2反应，也使平衡向脱氢的方向移动35. （15分）【除标注外每空2分】（1）3d 9 （1分）（2）①N O C >> ②1∶2 ③b>a>c（3）AC （4）B C （5）CD （6）√26ππ36. （15分）【除标注外每空2分】（1）邻氯甲苯（或2-氯甲苯）（2分）（2）浓硝酸，浓硫酸、加热（2分）（3）+CH3OH∆→浓硫酸+H2O（2分）（4）还原反应（2分）（5）酯基、酰胺基（2分）（6）（2分）（7）3HNOΔ →浓浓硫酸2423N H H OFeCl⋅→（3分）1-6 BCDCD 巴中市普通高中2021级“零诊”生物学试题参考答案B29.（10分，除说明外每空1分）（1）叶绿体基质→类囊体薄膜叶绿体细胞质基质线粒体（2分）（2）14CO 2与C5结合生成2分子14C3（2分）（3）番茄的品种和光照强度无水乙醇 B 与正常光照相比，弱光条件下 B 的（叶绿素含量显著提高）CO2的吸收速率下降幅度较小，故更耐阴（2 分）30.（共8分，除说明外每空1分）（1）胰岛素受体自身免疫病（2）氧化分解（2分） (血糖) 感受器→传入神经→下丘脑血糖调节中枢→传出神经→胰岛A细胞 (或肾上腺) （2分）（3）少饮用含糖饮料、全脂牛奶，适当饮用无糖饮料、低脂牛奶（合理即可）（2分）31（共10分）（1）生态系统的组成成分、营养结构（食物链和食物网）（2分）直接（1分）（2）空间结构（垂直结构）（1分）防止长期种植同一种作物而导致因土壤缺乏作物所需的某些元素（土壤肥力下降）而减产（2分）（3）用于生长发育和繁殖的能量（2分）32.（11分）（1）基因通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制生物体的性状（2分）（2）黄色和紫色（2分） aaBB和aabb（2分）（3）遵循（1分）实验1中F2的性状分离比符合基因的自由组合定律9:3:3:1的变式（2分）（4）选择F2紫色玉米的花药进行离体培养，获得单倍体植株，经人工诱导使染色体数目加倍，选择种子为紫色的玉米留种（2分）37.（共15分，除说明外每空2分）（1）淀粉酶（1分）包埋法一系列（2）C2H5OH+O2→CH3COOH+H2O（或醋酸菌在有氧条件下将酒精转变为醋酸）具有的防变质的特性或抑制醋酸菌的繁殖（3）稀释涂布平板法 45 3.5×108巴中市高2021级零诊考试物理参考答案14.A 15.B 16.D 17.C 18.D 19.BD 20.AC 21.AD 22.（1）AB （2分）（2）0.221 （2分） 0.230 （2分） 23.（1）X1 （2分） 30 （2分）（2）（3分）（3）UI −r （2分）24.（1）B =mv 0qLT =2πL v 0（2）t =πL 2v 0+Lv 0（1）带电粒子在磁场中从A 到O 做匀速圆周运动由几何关系得有 r =L ………………………………………………… （1分）根据牛顿第二定律，有 qv 0B =m v 02r……………………………… （2分）联立解得 B =mv 0qL …………………………………………………………… （2分）运动周期 T =2πL v 0……………………………………………………………… （1分）（2）带电粒子在磁场中运动时间 t 1=14T =πL 2v 0………… （2分）带电粒子在电场中运动时间 t 2=L v 0 ……………………………… （2分）从A 运动到A 、总时间为t =πL 2v 0+L v 0……………………………… （2分）25.（1）v0=3m s⁄（2）L最小长度为0.75m（3）I=√I12+I22=2√109 N·S A对B的冲量I的方向斜向右上，与水平方向夹角为θ，tanθ=103（1）对B在台阶上全过程由能量守恒得m2v02……………………………………………………（2分）E P−um2gx=12解得v0=3m s⁄……………………………………………………………（2分）（2）B滑上A后，对B分析，有μ2m2g=m2a2………（1分）v B=v0−a2t1…………………………………………………………………（1分）x B=v0−1a2t12………………………………………………………………（1分）2对A分析，有μ2m2g−μ1(m1+m2)g=m1a1……………（1分）v A=a1t1…………………………………………………………………………（1分）x A=1a1t12………………………………………………………………………（1分）2当v A=v B时，得t1=0.5sx B−x A=L…………………………………………………………………………（1分）得L=0.75m由于μ1<μ2，共速后二者一起做匀减速运动，则木板A最小长度为0.75m ……………………………………………………………………………………（1分）（3）A、B共速后，有μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a3………（1分）v A=a3t2………………………………………………………………………………（1分）A对B摩擦力f=m2a3………………………………………………………（1分）全过程A对B摩擦力的冲量大小I1=μ2m2gt1+ft2………（1分）（也可用动量定理求全过程A对B摩擦力的冲量：−I1=0−m2v0）全过程A对B支持力的冲量大小I2=N(t1+t2)………………（1分）N=m2g…………………………………………………………………………………（1分）联立解得，A对B的冲量大小I=√I12+I22=2√109 N·S（1分）A对B的冲量I的方向斜向右上，与水平方向夹角为θ，tanθ=103………………………………………………………………………………（1分）33.（1）ADE （5分）（2）设初始状态气缸内封闭气体压强为P，体积为V；稳定时汽缸内封闭气体压强为P1，体积为V1，加入沙子质量为m.初始状态下汽缸内气体压强与大气压强相同，有P=P0添加沙子过程中，汽缸内气体经历等温变化，由玻意尔定律得PV=P1V1……………………………………………………（1分）V=SH……………………………………………………（1分）V1=23SH………………………………………………………（1分）联立解得P1=32P0…………………………………………………（1分）对活塞进行分析有P1S=PS+mg…………………（1分）解得m=P0S2g…………………………………………………（1分）（2）设活塞再次回到高H处时，环境温度为t2温度升高过程中，气缸内气体经历等压变化，由盖·吕萨克定律得V1 T1=VT2……………………………………………………………………（2分）T1=t1+273T2=t2+273联立解得t2=177℃………………………………………………（2分）34.（1）ACE （5分）解: (1)单色光在透明介质中的传播路线如图所示(2分)由几何关系可知，当单色光在AC 边上刚好发生全反射时，其临界角为60°由sin C 1= n 可得 n =1sin C 1………………………………………………（1分）代入数据可得n ＝233 ……………………………………………………… (1分)(2)由几何关系可得NE ＝12L ，∠NEC ＝120°，由正弦定理得NQ ＝3NE ＝32L ………………………………………………………………… （1分）AQ ＝3NQ ＝32L …………………………………………………………………… (1分）又因为QC ＝AC －AQ ＝12L ，所以QM ＝34L …………………………… (1分)单色光在该透明介质中的传播速度v ＝c n ＝32c ……………………… (1分)所以单色光在该透明介质中的传播时间t ＝NQ+QMv………………… (1分)代入数据可得：t ＝3L 2C……………………………………………………………… (1分)。

四川巴中2025届高三上学期“零诊”考试数学试题(解析版)

巴中市普通高中2022级“零诊”考试数学试题（满分150分 120分钟完卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置．2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效、在试题卷上答题无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1. 已知复数21iz=+，则||z=（）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算和模长的计算公式求解即可.【详解】()()()21i222i1i 1i1i1i2z−−====−++−，故||1iz=+=.故选：C2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“l m且l n”A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“l m且l n”，反之若“l m且l n”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“l m且l n”的充分不必要条件，选A．的3. 已知集合{}4,,141P x y y Q xx x ==∈=−≤≤ +N ∣，则P Q = （） A. {1,2,4} B. {0,1,3}C. {03}xx ≤≤∣ D. {14}x x −≤≤∣【答案】B 【解析】【分析】用列举法表示集合P ，结合交集的概念即可得解. 【详解】若4,N 1y y x ∈+，则1x +是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以{}4,0,1,31P x y y x ==∈= +N ，因为{}14Q xx =−≤≤∣，所以{0,1,3}P Q = . 故选：B.4. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4812,40S S ==，则12S =（） A. 44 B. 56C. 68D. 84【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和性质：n S ，2n n S S −，32n n S S −成等差数列可求12S . 【详解】由题意可得4S ，84S S −，128S S −成等差数列，所以()8441282S S S S S −=+−，因为412S =，840S =，则12561240S =+−，解得1284S = 故选：D.5. 设函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥ = −−< ；若()23(1)f a f a −>−，则实数a 的取值范围是（）A. (,1)(2,)−∞−∪+∞B. (,2)(1,)−∞−+∞C. (,1)(3,)−∞−∪+∞D. (,3)(1,)−∞−+∞【答案】A.【解析】【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥ =−−<的图象，如图：可知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥ = −−<在R 上为单调递增函数，故由()23(1)f a f a −>−可得231a a −>−，即220a a −−>，解得1a <−或2a >，即实数a 的取值范围是()(),12,∞∞−−∪+, 故选：A6. 有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（） A.34B.23C.13D.14【答案】B 【解析】【分析】选出1个志愿者参加两天的服务，再从剩下的3人中抽取2人参加服务，再结合古典概型计算概率即可.【详解】不妨设4名志愿者分别,,,,,a b c d 假设a 连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有23A 6=种方法，所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为：4624×=种.总的情况数为2244C C 36×=种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为242363=. 故选：B.7. 已知函数1()31f x x x =++−的图象与直线(1)4y k x =−+有两个交点()()1122,,,x y x y ，则1212x x y y +++=（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】由直线过定点和函数图像的对称性结合即可；【详解】由题意可得直线(1)4y k x =−+恒过点()1,4，且无论k 取何值，直线与函数都有两个交点，所以分析函数11()31411f x x x x x =++=−++−−的对称中心为()1,4，所以122x x +=，128y y +=，所以121210x x y y +++=，故选：C.8. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m −=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c −，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m −+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a +=，整理可得22b c m−=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF由椭圆定义可知：|BBFF 1|+|BBFF 2|=2aa 2a =，2b c m+=；即2c c −=+3c =，所以椭圆C 的离心率ce a==. 故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．9. 设离散型随机变量X 的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P0.10.2m0.20.1若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则（）A. 04m =.B.()()2, 1.2E X D X == C.()()3, 3.4E Y D Y ==D.()()5, 4.8E Y D Y == 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分布列性质可求出m 的值，判断A ；根据期望和方差公式计算判断B ；利用期望和方差性质可判断CD.【详解】由离散型随机变量X 的分布列性质可得10.10.20.20.10.4m =−−−−=，A 正确；()00.110.220.430.240.12E X =×+×+×+×+×=，()()()()()()22222020.1120.2220.4320.2420.1 1.2D X =−×+−×+−×+−×+−×=，B 正确；由于21Y X =+，故()()()()215,4 4.8EY E X D Y D X =+===，C 错误，D 正确；故选：ABD10. 已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（） A. π6f x−是奇函数B. π4f=C. 若()f x 在[,]m m −上单调递增，则π03m <≤ D. ()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点【答案】AC 【解析】【分析】先函数对称性求解a ，得到()f x 解析式.A 项，化简π2sin 6f x x−=可知为奇函数；B 项，代入解析式求值即可；C 项，利用整体角求()f x 的单调递增区间，由2ππ33m m −≤−<≤可得m 范围；D 项，利用导数可知直线恰为曲线在π,06−处的切线，进而可得公共点个数. 【详解】因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以2π(0)3f f =112−=，解得a = 的所以π()cos 2sin 6f x x x x=+=+ ，验证：当π3x =时，π23f =，()f x 取最大值，故()f x 的图象关于直线π3x =对称，满足题意； A 项，π2sin 6f x x−=，xx ∈RR ，由2sin()2sin x x −=−，则π6f x−是奇函数，故A 正确；B 项，由)πππcos 1444f=+=+B 错误；C 项，π()2sin 6f x x=+，由πππ2π2π,262k x k k −+≤+≤+∈Z ，解得2ππ2π2π,33k x k k −+≤≤+∈Z ，当0k =时，32π3π−≤≤x ，由()f x 在[,]m m −上单调递增，则2ππ33m m −≤−<≤，解得π03m <≤，故C 正确；D 项，π()2sin 6f x x=+的图象与直线π23y x =+均过点π,06−，由π()2cos 6f x x =+′，则π2cos 026f −==′，故直线π26y x=+即π23y x =+与曲线π()2sin 6f x x=+相切，如图可知()f x 的图象与直线π23y x =+有且仅有一个公共点，故D 错误. 故选：AC.11. 已知A ，B 为双曲线22:12y C x −=的左，右顶点，12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点．下列命题中正确的是（）A. 若R 为双曲线C 上一点，且14RF =，则26RF =B. 2F 到双曲线CC. 若P 为双曲线C 上非顶点的任意一点，则直线PA PB 、的斜率之积为2D. 双曲线C 上存在不同两点,M N 关于点()1,1Q 对称【答案】BC 【解析】【分析】根据双曲线的定义、渐近线、斜率、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于双曲线22:12y C x −=，1,a bc ==A 选项，根据双曲线的定义，由12242RF RF RF −=−=，解得22RF =或26RF =，所以A 选项错误.B 选项，双曲线的一条渐近线方程为y =0y −=，)F0y −==，所以B 选项正确. C 选项，设(),,1P s t s >，则22221,222t s s t =−−=，()()1,0,1,0A B −，所以22222221111PA PBt t t s k k s s s s −⋅=⋅===+−−−，C 选项正确.D 选项，设不同两点()()1122,,,M x y N x y 关于点()1,1Q 对称，则12122,2x x y y +=+=，则221122221212y x y x −=−= ，两式相减并化简得121212122y y y y x x x x +−⋅=+−，则12122y y x x −−=，即2MN k =，此时直线MN与双曲线的渐近线y =平行，这与MN 是双曲线上不同的两点矛盾，所以D 选项错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解双曲线定义有关问题，一定要注意双曲线定义中的“绝对值”.在双曲线中，有关弦和中点的问题，可以考虑利用“点差法”来解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 412x x −的展开式中2x 的系数是____________．【答案】32− 【解析】【分析】根据题意可求得展开式的通项为()4421412C rr r r r T x −−+=−⋅⋅，令422r −=，运算求解即可. 【详解】因为412x x − 的展开式通项为()()44421441C 212C ,0,1,2,3,4rr r rr r r r T x x r x −−−+ =−=−⋅⋅=，令422r −=，解得1r =，所以展开式中2x 的系数是()131412C 32−⋅=−. 故答案为：32−.13. 正四棱台高为2，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π 【解析】【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积.【详解】如图所示，AB AD BC CD ====GH HE EF FG ====，O 为外接球球心，设外接球半径为R ，2MN =，OAOE R ==由勾股定理得：2AM=，4NE =，设ON x =，则()22222OA x =++，2224OE x =+，故()2222224x x ++=+，解得：xx =2，故2222420R =+=，故球的表面积为24π80πR =.故答案为：80π14. 已知向量,a b满足||2,|2|||6a a b b =++=，则||a b +的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】不妨设()2,0a AO ==,(),b OB x y ==，利用向量的几何意义和坐标运算，确定点B 的轨迹为椭圆，然后利用椭圆的性质求解.【详解】设()2,0a AO ==,(),b OB x y ==，()24,0CO AO ==，则2,a b CO OB CB +=+=则||||6||4CB OB OC +=>= ,故点B 的轨迹是以,O C 为焦点，A 为中心，长轴长26a =的椭圆，故短半轴：b ，则a b AB +=∈ .故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知数列{}n a 的首项112a =，且满足132n n n a a a +=+．（1）证明：数列11n a−为等比数列；（2）若123111150na a a a ++++< ，求满足条件的最大整数n ．【答案】（1）证明见解析（2）47 【解析】【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得1na ，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案. 【小问1详解】由132n n n a a a +=+得121211333n n n n a a a a ++==⋅+，则1121113n n a a + −=−，所以数列11n a −是首项为1111a −，公比为23的等比数列. 【小问2详解】由（1）得1112121,133n n n n a a −−−==+，所以1123111122133n n n a a a a −++++=++++21223313323313nn nn n n −=+=+−=+− −，数列2333nn+−是单调递增数列，当47n =时，4722335035033n n +−−< ，当48n =时，48223350135033nn +−=+−>，所以满足条件的最大整数为47.16. 在直三棱柱111ABC A B C −中，122,90,AA AB ABC D ==∠°=在1BB 上，且12BD =．（1）证明：1A C AD ⊥；（2）当四棱锥1A BCC D −的体积为54时，求平面1AC D 与平面ABC 所成二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证垂直.（2）先根据已知四棱锥的体积求BC 的长，再利用空间向量求二面角的三角函数. 【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C −是直三棱柱，且90ABC ∠=°，所以1,,BA BC BB 两两垂直，故可以B 为原点，建立如图空间直角坐标系：设BC t =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，(),0,0C t ，10,0,2D，()10,1,2A . 所以()1,1,2A C t −− ，10,1,2AD=−. 因为()11,1,20,1,2A C AD t⋅−−⋅−0110=+−=, 所以1A C AD ⊥.故1A C AD ⊥. 【小问2详解】因为梯形1BCC D 的面积：()112S BD CC BC =×+×1152224t t=×+×=，113A BCC DV S AB −=⋅1551344t =××=，所以3t =. 所以()3,0,0C ，()13,0,2C ，所以()13,1,2AC =− .设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，则1n AC n AD ⊥ ⊥ ⇒()()(),,3,1,201,,0,1,02x y z x y z ⋅−=⋅−=⇒32002x y z z y −+= −+= ，取()1,1,2n =− .取平面ABC 的法向量为：()0,0,1m = ，设平面1AC D 与平面ABC 所成二面角为θ，则cos θn mn m⋅=⋅，所以sin θ17. 已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B −=．（1）证明：2B C =；（2）若2a =，求cos 1C b c+的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）33,42【解析】的【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得sin()sin B C C −=，进一步即可证明；（2）由题意首先求得cos C 的取值范围，进一步将目标式子cos 1C b c+转换为只含有cos C 的式子即可求解．【小问1详解】因为2cos a c c B −=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C C B −=，所以sin cos sin cos sin 2sin cos B C C B C C B +−=，所以()sin cos sin cos sin sin sin B C C BC B C C −=⇔−=，而0π,0C πB <<<<，则B C C −=或πB C C −+=，即2B C =或B π=（舍去），故2B C =．【小问2详解】因为ABC 是锐角三角形，所以π02π022π0π32C C C<<<<<−<，解得ππ64C <<，所以cos Ccos C <<由正弦定理可得：sin sin b B c C =，则sin sin 22cos sin sin B C b c c C c C C=⋅=⋅=⋅，所以cos 12C bc =，所以cos 132C b c c +=，因为2cos a c c B −=，所以22cos 2c c C −=，所以22cos 2c c C −=，所以22cos 21c C =+，所以()()234cos 132cos 21cos 13342442cos 21C C C b c c C −+++，因为cos C∈，所以24cos 1C −∈()1,2，所以()234cos 1cos 14C C b c−+=的取值范围是33,42 ． 18. 已知动圆Q 经过点(1,0)F 且与直线1x =−相切，记圆心Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为正的直线l 交曲线C 于,A B 两点（点A 在点B 的上方），AB 的中点为M ， ①过,M B 作直线1x =−的垂线，垂足分别为11,M B ，试证明：11AM FB ∥； ②设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若FPM 的面积为4，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）①证明见解析；②10x y −−=【解析】【分析】（1）由抛物线的定义知P 点轨迹是抛物线，方程为标准方程，求出焦参数可得；（2）①设直线AB 的方程为1(0)x my m =+>，112212(,),(,),()A x y B x y x x ≠，可求得1212(,)22x x y y M ++，进而可得121(1,)2y yM +−，12(1,)B y −，联立直线与抛物线方程可得124y y =−，进而可得11FB AM k k =，可证结论；②求得AB 的中点2(21,2)M m m +，进而可得线段AB 的垂直平分线方程为22(21)y m m x m −=−−−，进而可得2(23,2)P m m +，结合已知可得2(22)4m m +=，可求直线AB 的方程. 【小问1详解】依题意可得圆心Q 到定点(1,0)F 的距离等于到定直线1x =−的距离相等，所以Q 的轨迹是以为(1,0)F 焦点，1x =−为准线的抛物线，又(1,0)F 到直线1x =−的距离为2p =，所心抛物线的方程为24y x =；【小问2详解】①设直线AB 的方程为1(0)x my m =+>，112212(,),(,),()A x y B x y x x ≠，则AB 中点1212(,)22x x y y M ++，由（1）可知121(1,)2y yM +−，12(1,)B y −，联立方程组�xx =mmmm +1mm 2=4xx，消去x 可得2440y my −−=，所以124y y m +=，124y y =−，所以()11221121222211122421212421214AM y y y y y y y y y y k x x y y −+−−−−=====−++++，的又1220112FB y yk −==−−−，所以11FB AM k k =，所以11AM FB ∥；②由①可得1222y y m +=，代入1(0)x my m =+>，可得中点M 的横坐标为221m +，所以2(21,2)M m m +，又线段AB 的垂直平分线的斜率为m −，所以线段AB 的垂直平分线方程为22(21)y m m x m −=−−−，令0y =，可得223x m =+，所以2(23,2)P m m +，所以22|||231|22PF m m =+−=+，所以21|||2|(22)2FPMS PF m m m ==+ ，又FPM 的面积为4，所以2(22)4m m +=，所以2(1)(224)0m m m −++=，解得1m =，所以直线l 的主程为1x y =+，即10x y −−=. 19. 设函数()2()ln 1f x x x a x =−−．（1）若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为10x y +−=，求a 的值；（2）当1x >时()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*2ln 21nk k n k =<∈−∑N ．【答案】（1）1a =；（2）12a ≥；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）求出导函数()f x ′(1)x >，并设()()u x f x ′=(1)x >，求得1()2u x a x′=−，由于101x <<，因此根据20a ≤，21a ≥以及021a <<分类讨论()0(1)f x x <>是否恒成立，从而得参数范围；（3）由（2）不等式变形得22ln 11x xx −<，x 后变形及放缩得ln 1x x <<−−，然后令2,3,,x n = 后相加可证．【小问1详解】()ln 12f x x ax ′=+−，由题意曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为10x y +−=，则(1)121f a ′=−=−，解得1a =；【小问2详解】()2()ln 1f x x x a x =−−，1x >，()ln 12f x x ax ′=+−，令()ln 12u x x ax =+−（1x >），则1()2u x a x′=−，当20a ≤，即0a ≤时，()0u x ′>，()u x 即()f x ′是()1,+∞上的增函数，因此()(1)20f x f a ′′>=−>，()f x 是增函数，所以()(1)0f x f >=，不合题意，舍去；当21a ≥即12a ≥时，()0u x ′<，()u x 即()f x ′是()1,+∞上的减函数，所以()(1)120f x f a ′′<=−≤，所以()f x 是()1,+∞上的减函数，从而()(1)0f x f <=恒成立，当021a <<即102a <<时，112a >， 1(1,)2x a ∈时，()0u x ′>，()u x 在11,2a 递增，1(,)2x a ∈+∞时，()0u x ′<，()u x 在1,2a ∞+递减，又(1)120u a =−>，所以1(1,)2x a ∈时，()0u x >恒成立，即()0f x ′>恒成立，此时()f x 在1(1,)2a上递增，因此()(1)0f x f >=，与题意不合，舍去，综上12a ≥．【小问3详解】由（2）知1x >时，21ln (1)2x x x <−，即22ln 11x x x −<1<，所以ln 1x x <−<，所以ln 1xx <−，此不等式中分别令2,3,,x n = 得ln 21)1<，ln 32<−，，ln 1nn <−−，将这1n −个不等式相加得()*2ln 21nk kn k =<∈−∑N ．【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出ln 1xx <−−，然后分别令2,3,,x n = 后相加得证．。

四川省巴中市2021-2022学年高三上学期“零诊”数学(理科)试题(含答案解析)

9．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗､新冠病毒灭活疫苗､重组新型冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者仼选其中一种.若甲､乙､丙､丁人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为（）
所以圆锥的高，
所以该圆锥的体积 .
故答案为： .
15．
【分析】
根据，利用正弦定理化角为边结合余弦定理可得，从而求得，进而求得，再利用三角形得面积公式即可的解.
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
故，
又，所以，
所以 .
故答案为： .
16．
【分析】
设，，根据可得，，设出直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理可求出，进而可求出的面积.
由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，
恰有两人接种同一种疫苗，可先从人中任选两人并成一组，有种结果，
再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，
有种排法，一种排法对应一种接种方法，
故恰有两人接种同一种疫苗共有种不同结果，
由古典概型概率计算公式得： .
故选：A
10．D
【分析】
先由图象求出解析式，再结合三角函数的性质与图像变换逐一判断即可求解
而点在圆上，于是有，整理得，
因此，曲线是以点为圆心，2为半径的圆，而，
即曲线与圆内切于点，
所以曲线与圆内切.
故选：C
9．A
【分析】
首先利用分步乘法计数原理求出基本事件总数，再由排列、组合求出恰有两人接种同一种疫苗的哇基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

2024-2025学年四川省巴中市高三(上)零诊数学试卷(含答案)

2024-2025学年四川省巴中市高三（上）零诊数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=21+i ，则|−z|=( )A. 22B. 1C. 2D. 22.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知集合P={x|y=4x+1,y∈N}，Q={x|−1≤x≤4}，则P∩Q=( )A. {1,2,4}B. {0,1,3}C. {x|0≤x≤3}D. {x|−1≤x≤4}4.已知S n是等差数列{a n+1}的前n项和，若S4=12，S8=40，则S12=( )A. 44°B. 56C. 68D. 845.设函数f(x)={x(x+4),x≥0−x(x−4),x<0，若f(a2−3)>f(a−1)，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (−∞,−1)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)6.有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天.若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 147.已知函数f(x)=x+1x−1+3的图象与直线y=k(x−1)+4有两个交点(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2+y1 +y2=( )A. 6B. 8C. 10D. 128.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，A，B是椭圆C上的两点.若F1A=2F2B，且∠AF1F2=π4，则椭圆C的离心率为( )A. 13B. 23C. 33D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2021届四川省巴中市高三零诊考试数学三模试题(含答案解析)

2021届四川省巴中市高三零诊考试数学三模试题一、单选题1．10件产品中有2件次品，现任取n 件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则n 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．92．已知复数zz 是z 的共轭复数，则z ·z 等于（）A ．14B ．12 C ．1 D ．23．若tanα＝2，则2cos 2α+sin 2α＝（）A ．34B ．53 C ．76 D ．654．已知集合{{}|1,|20A y y B x x ==+=-≤，则A B =( )A ．[]1,2B ．[]0,2C ．(],1-∞D ．[)2,+∞5．已知集合{}1sin ,22x A y y x B x ⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭，则A B =（）A ．∅B ．[]1,0-C ．(],1-∞D ．()(],11,1-∞-⋃- 6．在下列结论中( )①函数sin()()y k x k Z π=-∈为奇函数②函数tan(2)6x π+的图象关于点(12π，0)对称③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-④若tan()2x π-=，则21sin 5x =A ．①②B ．①③C ．②③D ．①③④7．圆222210x y x y +--+=上的点到直线3480x y ++=的最大距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．在ABC 中，G 为ABC 的重心，AG =，4BC =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且,124ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率的取值范围是（） A．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．)+∞ C．2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D．2⎛ ⎝10．若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===，则下列式子正确的是（）A ．122a b c+= B ．221a b c += C ．112a b c += D ．212a b c += 11．已知函数()cos 2062f x x mx x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若曲线()y f x =上总存在一点P ，使得曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线21y x =在点()1,1处的切线垂直，则m 的取值范围为（） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,0-C ．15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12．函数()()ln 24x a a x f x x x e e --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为( )A ．ln2B ．ln21-C ．ln2-D ．ln21--二、填空题13．命题“0,21x x ∀>>”的否定____________． 14．若x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值是______.15．已知ABC ∆中，BC边长为6，则()sin B C +=______. 16．对于函数()311k f x x k ==+∑，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个.（1）这个函数的值域为R ；（2）这个函数在区间[0,)+∞上单调递减；（3）这个函数图象具有中心对称性；（4）这个函数至少存在两个零点.三、解答题17．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点)F ，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值.18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A 的估计值；（2）求续保人本年度平均保费的估计值.19．设函数()ln a x f x x x=+，其中a 为常数.（1）当1a =-时，求函数极值；（2）若对任意(]0,a m ∈时，()y f x =恒为定义域上的增函数，求m 的最大值.20．设函数()()210x f x x x +=>，数列{}n a 满足1111,n n a a f a -⎛⎫== ⎪⎝⎭()*,2n N n ∈≥且 ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()11223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围；⑶是否存在以1a 为首项，公比为()*05,q q q N <<∈的等比数列，*k N ∈，使得数列中每一项都是数列{}n a 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{}k n 的通项公式；若不存在，说明理由21．如图在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的等边三角形，,AD CD AB BC ⊥⊥，Q 为四边形ABCD 的外接圆的圆心，PQ ⊥平面ABCD ，M 在棱PA 上，且2AM MP =.（1）证明：//MQ 平面PBD .（2）若MQ 与平面ABCD 所成角为60°，求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =l 的倾斜角α的值．23．已知全集为R ，函数f （x ）＝lg （1﹣x ）的定义域为集合A ，集合B ＝{x |x 2﹣x ﹣6＞0}．（Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）若C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，C⊆（A∩（∁R B）），求实数m的取值范围．参考答案1．B 根据题意得2282100.4n n C C p C -=>，然后用组合数公式求解. 根据题意得2282100.4n n C C p C -=>，所以()()()8!10!0.42!10!!10!n n n n >---，所以()10910.41n n ⨯>⨯-，所以2360n n -->，所以n >，所以n 的最小值为7.故选：B本题主要考查古典概型的概率求法和组合数运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题2．A先求出复数z 的模，再由z ·z 2z =求解即可.解：∵z= ∴|z|===2412=， ∴z ·z 214z==，故选：A. 本题考查了复数模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.3．D利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.解：∵tanα＝2，∴2cos 2α+sin 2α22222cos sin cos sin cos ααααα+=+ 222222261215tan tan αα++⨯===++. 故选：D.本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题. 4．A先求出集合,A B ，根据交集的定义即可求得结果.{|1[1,)A y y ===+∞， {}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]AB =，故选A.该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目.5．C 计算得到{}{}11,1A y y B x x =-≤≤=<-，再计算A B 得到答案.{}{}{}1sin 11,212x A y y x y y B x x x ⎧⎫===-≤≤=<=<-⎨⎬⎩⎭，则{}1A B x x ⋃=≤. 故选：C .本题考查了集合的并集计算，意在考查学生的计算能力.6．B由正弦函数的奇偶性可判断①；由正切函数的对称中心可判断②；由余弦函数的对称性可判断③；由同角三角函数基本关系，可判断④①因为y sink πx sinx =-=±,所以是奇函数，故①正确； ②令π2x k Z 62k π+=∈（），得πx k Z 124k π=-+∈（），所以函数πtan 2x 6+（）的对称中心为π,0k Z 124k （）π⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,故②错误； ③令π2x k πk Z 3+=∈（）,得πk πx k Z 62=-+∈（），所以函数πy cos 2x 3=+（）的图象的对称轴为πk πx k Z 62=-+∈（），故③正确；。

2022年巴中市零诊考试题(理科数学)

理科数学答案第1页共11页巴中市普通高中2020级“零诊”考试数学阅卷参考答案（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解析】B ．先写出集合M ，然后逐项验证即可．由{1, 2, 3, 4, 5}U =且{1, 2}U M =ð得{3, 4, 5}M =，故选B ．备注：2022年全国乙卷理数第1题改编.2．【解析】D ．利用复数四则运算，先求出z ，再依照复数的概念求出复数z 的虚部．选D ．方法一：由题意有(34i)(i)34i 43i ii (i)z ---===--⋅-，故复数z 的虚部为3-．方法二：由i 34i i(3i 4)z ⋅=-=--，得43i z =--，故复数z 的虚部为3-．3．【解析】A ．121l l m ⇔=±∥，故“1m =”是“12l l ∥”的充分不必要条件．选A ．4．【解析】D ．不妨取双曲线的右焦点(, 0)c ，渐近线y bx =，由点到直线距离公式得24b =，然后利用离心率的变通公式c ==，进而求得离心率e0)F ，双曲线的渐近线为y bx =，即0bx y -=2b ==，即224b a =，所以离心率e ．选D ．5．【的判定与性质推理论证，需注意相应定理的条件的完备性．对于A 选项，n α⊂也可能；对于B 选项，由条件得不到m α⊥，故不能推断出αβ⊥；对于C 选项，则法线与法向量垂直则两个平面垂直知正确；对于D 选项，条件中缺少m α⊂，故得不到mβ⊥．6．【解析】A ．由任意角的三角函数定义，得tan 12a b θ==，故(2, 2)B a ，||2||OB OA =．由3cos25θ=-得：222222cos sin cos2cos sin cos s 5in 3θθθθθθθ-=-==-+，变形得：221tan 51t 3an θα-=-+，解得2tan 4θ=，所以||OB =．或者，设||OA r =，则221r a =+，1sin , cos ||2a OB r r r θθ===；由3cos25θ=-得222222113cos2cos sin 51a a r a θθθ--=-===-+，解得：24a =，故||2OB r ==．选A ．7．【解析】D ．借助判断函数的奇偶性、对称性和有界性，正弦型函数的符号变化规律，均值不等式等知识进行推断．由2sin()()[2, 2]x x x f x x e eπ-=∈-+知()f x 为奇函数，且在(0, 1)内恒正，故A 、B 选项不正确；又2sin()2x π≤，2x x e e -+≥且等号不同时成立，由不等式的性质知|()|1f x <，排除C 选项．选D ．8．【解析】A ．设公差为d ，则211(1)()22n n n d na d n a d n S -=+=+-，故1()22n S d d n a n =+-；又20232022120232022S S -=，12022a =-，故{}n Sn 是以2022-为首项，1为公差的等差数列，于是得20232022(20231)102023S =-+-⨯=，所以20230S =．选A ．本题也可用基本量法求解，借助等差数列前n 项和的性质运算更为简洁．9．【解析】D ．本题考查平面向量的线性运算、数量积及其几何意义，数量积的坐标表示，数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，运算求解能力．方法一：由点D 在BC 上，设BD xBC =, 01x ≤≤，则()AD AB BD AB xBC AB x AC AB =+=+=+-=(1)x AB xAC -+ ，从而得：()[(1())]x AB xAC AD BC AD AC AB AC AB -⋅=⋅-=⋅-+=22(1)134xAC x AB x +-=- ，由01x ≤≤得41349x --≤≤，故[4, 9]AD BC ⋅∈- ．方法二：以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为, x y 轴建立直角坐标系（如图），则(2, 0), (0, 3), (2, 3)AB AC BC ===- ，设(, )D x y ，则(, )AD x y = ，故23ADBC x y ⋅=-+Axy32BCD（*），由点D 在BC 上得：23260, 0 x x y +-=≤≤（可借助初中的一次函数知识或必修2第三章直线的方程获得, x y 满足的方程），用x 表示y 代入（*）式得：1320239, 2AD BC x x y x ⋅=-+=-≤≤，故[4, 9]AD BC ⋅∈-．方法三：设AD与与BC 的夹角为θ，则由题意得|cos AD BC AD θ⋅ ，故||cos AD θ 取最大值时AD BC ⋅ 最大，||cos AD θ取最小值时AD BC ⋅ 最小，结合上图，用运动变化的观点分析易知：D 在斜边BC 上移动时，当D 与C 重合时AD的模最大且与BC 的夹角最小（ACB ∠），故此时AD BC ⋅ 取得最大值，且max AD BC AC BC ⋅=⋅= ()9AC AC AB ⋅-= ；当D 与B 重合时AD的模最小且与BC 的夹角最大（ABC π-∠），故此时AD BC ⋅ 取得最小值，且min =()4AD BC AB BC AB AC AB ⋅⋅=⋅-=-．选D ．应注意，由向量夹角的定义知ABC ∠不是向量AB 与BC的夹角！！这是向量问题中的易错点！10．【解析】B ．将函数cos()3y x πω=+的图象向左平移3π个单位长度，得cos[()]33y x ππω=++的图象．而5cos[()]cos()sin[()]sin()333323336y x x x x ππωπππωππωππωωωω=++=++=++=++，故由题意知sin x ω=5sin()36x ωππω++，所以5236x k x ωππωπω++=+(k ∈Z )，解得562k ωπ=-(k ∈Z )，由0ω>知：当1k =时取最小值，故min 72ω=．选B ．或者，由cos()3y x πω=+知23x πωπ+=时1y =，由sin y xω=知当2x πω=时1y =，故由题意得5332πππωω-=，解得72ω=．11．【解析】B ．由(1)2()f x f x +=得：()2(1)f x f x =-．又当(0, 1]x ∈时，11()sin [, 0]44f x x π=-∈-，故当(1, 2]x ∈时，1()[2f x ∈-；类推得：当(2, 3]x ∈时，()4(2)sin [1, 0]f x f x x π=-=-∈-，且(2, 3]x πππ∈．如图．由sin x π-=得sin x π=，解得123x πππ=+或223x πππ=+，解得73x =或83x =．故若对任意(, ]x m ∈-∞，都有()f x ≥，则73m ≤．选B ．12．【解析】C ．要比较, , a b c 的大小，可先比较ln , ln , ln a b c 的大小．又ln 22ln 20a =，ln 21ln 21b =，ln 20ln 22c =．方法一：由22202121202242+=+=+=，令函数()(42)ln , 20f x x x x =-≥，则42()ln 1f x x x '=-+-在[20, )+∞上单调递减，所以11()(20)ln 2010f x f ''=-+≤；因为223920e <=<，所以ln 202>，ln 202-<-，所以11191()(20)ln 2010201010f x f '<-+=-'=-+<≤，由此知()f x 在[20, )+∞上单调递减，故(20)(21)(22)f f f >>，即ln ln ln a b c >>，故c b a <<．故选C ．方法二：先比较ln a 与ln c 的大小，易证：函数ln ()x g x x =在(, )e +∞上单调递减，故ln 20ln 222022>，所以ln 22ln 2020ln 22ln a c =>=，从而a c >；再比较比较ln a 与ln b 的大小，令ln (), 201x h x x x =+≥，则21ln ()(1)x xx h x x +-'=+，记1ln x y x x +=-，则2110y x x '=--<，故1ln x y x x +=-在(0, )+∞上是减函数，所以当20x ≥时，21ln 20020y -<≤，从而()0h x '<，由此知()h x 在[20, )+∞上单调递减，故(20)(21)h h >，即ln 20ln 212122>，变形得22ln 2021ln 21>，所以ln ln a b >，由此得a b >；同理可比较得到b c >；故a b c >>．故选C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解析】1-．利用二项展开式的通项公式及已知建立m 的方程求得m 的值．因为展开式中含3x 的项为353332C 2()40mx m x ⋅⋅-=-⋅，所以334040a m =-=，解得1m =-．注：本题原型为人教A 版选修2-3例2（1）题，主要考查二项式定理及其通项公式，及数学运算核心素养和运算求解能力．14．【解析】57．计算得1(2356)44x =+++=，1(28314148)374y =+++=，则样本中心点是(4, 37)，代入回归方程得 5375417a y x =-=-⨯=，所以回归方程是 517y x =+，将8x =代入得 57y =．15．【解析】．由题意有：BD ⊥平面ADC ，, AD DC ⊂平面ADC ，故, BD AD BD CD ⊥⊥；由2BD =AB =，BC =及勾股定理得：2, 4AD CD ==，又AC =222AD CD AC +=，所以AD DC ⊥，即BD ，AD ，CD 两两垂直，所以三棱A BCD -的外接球与以BD ，AD ，CD 分别为长、宽、高的长方体的外接相同（如右图，O 为球心），所以球半径R =343V R ==．16．【解析】3π，．以三角形边角关系的射影定理为背景，综合考查正弦、余弦定理、三角变换的基本公式与方法，三角函数的图象与性质等知识，求角A 时，既可用正弦定理边化角，也可用余弦定理角化边，还可直接用教材中习题的结论——射影定理简化；对于11tan tan BC+的范围问题，可切化弦后转化为求sin sin B C 的范围，利用23B C π+=且0, 2B C π<<转化只含一个角变量的函数的值域，此时可直接代入消元化简也可用对称设元简化；也可用三角形中三内角的正切关系tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++转化；还可以构造几何图形作几何法或坐标法求解．（1）求角A 的过程与方法．①由已知及正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A C B B C B C A =+=+=，又02A π<<，故1cos 2A =，所以3A π=．②由已知及射影定理得：2cos cos cos a A c B b C a =+=，故1cos 2A =，又02A π<<，所以3A π=．③由已知及余弦定理得：2222222cos 22a c b a b c a A a a +-+-+=，化简得1cos 2A =，又02A π<<，所以3A π=．（2）求11tan tan BC+范围的过程与方法．策略一：切化弦后转化借助正弦型函数的图象与性质．sin()11cos cos cos sin cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin B C B C B C C B A B C B C B C B C B C +++=+====由3A π=得23B C π+=，故23C B π=-，又B 为锐角，所以62B ππ<<．①211111sin sin sin sin()sin sin )2cos2sin(2)3244264B C B B B B B B B B ππ=-=+=-+=-+．因为52666B πππ<-<，故1sin(2)126B π<-≤，当且仅当3B π=取等号，所以13sin sin (, ]24B C ∈，故11tan tan B C +∈．②令, 33B xC xππ=-=+，由B 、C 均为锐角得66x ππ-<<，故sin sin sin()sin()33B C x x ππ=-+=22211313sin sin )cos sin sin 2244413(, ]24x x x x x x x -+=-=∈，下同．③由和、差角的余弦公式可得：12sin sin cos()cos()cos()2B C B C B C B C =--+=-+，由已知得, 62B C ππ<<，故33B C ππ-<-<，所以1cos()(2B C -∈，故32sin sin (1, ]2B C ∈，下同．策略二：用余弦定理转化．④在ABC △中，由正弦、余弦定理得：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=，代入3A π=得：223sin sin sin sin 4BC B C =+-，变形得23sin sin (sin sin )4B C B C =--，由已知得10|sin sin |2B C -<≤，故341sin sin 2B C <≤，仅当sin sin B C =时取等号；下同．策略三：用公式tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++转化．⑤由3A π=得：tan tan tan()tan 1tan tan B C B C A B C++=-=-tan 1)tan tan B C B C -=+，故11tan tantan tan tan tanB CB C B C++==；由,62B Cππ<<知：tan1)B C-tan tanB C=+≥，仅当tan tanB C=取等号，解得，故tan tan3B C≥，所以0，从而11tan tanB C+∈．策略四：几何法或坐标法⑥不妨设a=A作AD BC⊥于D，如右图．设, 0BD x x=<<则CD x=，tanADBx=tan C，所以11tan tanB C+=,62B Cππ<<得321AD<≤，故11tan tanB C+∈．⑦不防设ABC△的边a=则其外接圆半径为1．如右图建立直角坐标系，则ABC△的外接圆的方程为221(12x y+-=，设(,)A x y，由已知得x<132y<≤，1122tan tanx xB C y y+=+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）解：（1）方法一：由122n nS S+-=得：2122n nS S++-=·······································································1分∴12122n n n nS S S S+++-=-，变形得2112()n n n nS S S S+++-=-···································2分∴212n na a++=①···························································································3分又12a=且2112S S S-=+∴212a a=②·································································································4分由①②知：对任意*n∈N，恒有12n na a+=，且12a=∴数列{}n a是首项与公比均为2的等比数列·························································5分∴2nn a=·······································································································6分方法二：由122n nS S+-=变形得：122(2)n nS S++=+·····························································2分又12a=，故11224S a+=+=·············································································3分∴数列{2}n S+是以4首项，2为公比的等比数列∴112422n nn S-++=⨯=，故122nn S+=-······························································4分∴当2n≥时，1122(22)2n n nn n na S S+-=-=---=················································5分又12a=也适合上式∴2nn a=·······································································································6分方法三：（归纳猜想，然后用数学归纳法证明）由112a S==且2122S S-=得：32622S==-由3222S S-=得：431422S==-同理可得：543022S==-····················································································1分猜想：122nn S+=-·····························································································2分证明：当1n=时，211222S a==-=，结论正确假设当n k=时，有122kk S+=-成立那么，当1n k=+时，1(1)11222(22)222k kk kS S++++=+=-+=-··················3分故当1n k=+时，结论正确综上可知，122nn S+=-··············································································4分OD CB xA1A2Ay下同方法二（2）方法一：由（1）知，2n n n b na n ==⋅··················································································7分∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 2312 1222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ···················································8分两式相减得：23122222n n n T n +-=+++-⨯ ···························································9分112(12)2(1)2212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--··············································11分∴1(1)22n n T n +=-⨯+．··················································································12分方法二：由（1）知，2n n n b na n ==⋅··················································································7分裂项变形得：12(1)2(2)2n n n n b n n n +=⋅=-⨯--⨯······················································9分∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 34354122(222)(3222)[(1)2(2)2]n n n n +=++⨯-+⨯-⨯++-⨯--⨯ ···················10分12(2)2n n +=+-⨯即1(1)22n n T n +=-⨯+．·················································································12分18．（12分）解：（1）由题意得，总人数为20045岁以上（含45岁）的人数为32001205⨯=，45岁以下的人数为80···························1分一周内健步走少于5万步的人数为20060310⨯=人····················································2分由此得如下列联表：···························································································3分一周内健步走≥5万步一周内健步走<5万步总计45岁以上(含45岁)903012045岁以下503080总计14060200故22200(90305030)253 2.70614060801207K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯·······················································5分∴有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关································6分（2）由题意，抽取的8人中一周内健步走≥5万步有6人，少于5万步的有2人∴X 的所有可能取值为0，1，2，且X 服从超几何分布··········································7分由组合数公式及等可能事件的概率公式得：026228C C 1(0)28C P X ===···························································································8分116228C C 12(1)28C P X ===···························································································9分206228C C 15(2)28C P X=== (10)分∴X 的分布列为····························································································11分X 012P128122815281121530122828282EX =⨯+⨯+⨯=．··························································12分理科数学答案第6页共11页19．（12分）解：（1）证明方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB CD ∥······································································1分又AB ⊄平面DCF ，CD ⊂平面DCF∴AB ∥平面DCF ··························································································2分∵BE CF ∥，BE ⊄平面DCF ，CF ⊂平面DCF ∴BE ∥平面DCF······················································································································3分∵, , AB BE B AB BE =⊂ 平面ABE ∴平面ABE ∥平面DCF············································································································4分∵AE ⊂平面ABE∴AE ∥平面DCF ····························································································6分方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG 、DG ∵BE CF ∥∴四边形BEGC 是平行四边形···········································································1分故EG BC ∥，且EG BC =··················································································2分又, AD BC AD BC=∥∴, AD EG AD EG =∥·······················································································3分∴四边形ADGE 是平行四边形···········································································4分∴AE DG ∥·····································································································5分又AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF∴AE ∥平面DCF······················································································································6分方法三：∵平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE 平面ABCD =BCBE BC ⊥，BF ⊂平面BCFE∴BE ⊥平面ABCD ··························································································1分又BE CF∥∴CF ⊥平面ABCD ·························································································2分又CD BC ⊥，故CB CF CD ，，两两垂直以C 为原点，, , CD CB CF的方向分别为, , x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -由2AB BC CD DA BE =====，3CF =得：(0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (2, 2, 0), (0, 2, 2), (0, 0, 3)C D B A E F ·································3分∴(2, 0, 2)AE =-·····························································································4分∵(0, 2, 0)(2, 0, 2)0CB AE ⋅=⋅-=∴CB AE ⊥·····································································································5分又(0, 2, 0)CB =是平面CDF 的一个法向量，且AE ⊄平面CDF∴AE ∥平面DCF ····························································································6分或者，由2(2, 0, 2)3AE DC CF =-=+ 知：向量, , AE DC CF共面又AE ⊄平面CDF ，, DC CF ⊂平面CDF∴AE ∥平面DCF（2）在（1）中方法三的坐标系下，有：(2, 0, 2), (0, 2, 1)AE EF =-=- ，平面CEF 的一个法向量为(2, 0, 0)CD =····················8分设平面AEF 的一个法向量为(, , )m x y z =，则由0,0.m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：220,20.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩取1y =得：(2, 1, 2)m = ·········································10分∴2cos , 3||||m CDm CD m CD ⋅〈〉== ·····················································11分故由几何体的空间结构知：二面角A EF C --的余弦值为23．··································12分20．（12分）ABC D EFABC D E FG。

2023_2024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题(理科)(附答案)

2023_2024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题（理科）7π8πA．B．7．第31届世界大学生夏季运动会以中国的美好祝愿．某高校田径组拟从甲、乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示．根据两人训练成绩的平均值及方差，现有下列4种推荐意见．①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会．②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会．③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会．A．B．39．已知双曲线2222 :x yCa b-=的右支交于点，若线段C P1(1)证明：平面；EF ∥PBC (2)求二面角的余弦值．P CD F --20．已知椭圆2222:1(x y C a a b +=.1234MA MA ⋅=-(1)求椭圆的方程；C故表示三角形区域的不等式组为故选：B6．A则有圆锥的母线为22π1S=⨯⨯圆柱下底面圆面积因为O 为的中点，故12F F AO 则，而，则2AO PF ∥12AO F F ⊥因为直线的斜率为，故1PF 34||3PF t =||4,|F F t =定即可证明结论；方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，CDP CDF 利用空间角的向量求法即可求得答案；方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.P CD F --【详解】（1）证明：方法一：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如下图）AB M ,ME MF由分别为的中点及中位线定理得，,E F ,CD PA ,ME BC MF PB ∥∥平面平面，,BC PB ⊂ ,,PBC FM EM ⊄PBC 平面平面，ME ∴∥,PBC MF ∥PBC 又平面，,,ME MF M ME MF ⋂=⊂EFM 故平面平面，∥EFM PBC 平面，EF ⊂ EFM 平面；EF ∴∥PBC 方法二：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如下图）PD Q ,QE QF由分别为的中点及中位线定理得，,E F ,CD PA ,QF AD QE PC ∥∥平面平面，PC ⊂ ,PBC QE ⊄PBC 平面，QE ∴∥PBC ，，,AD BC QF AD ∥∥QF BC ∴∥平面平面,BC ⊂ ,PBC QF ⊄PBC 平面，QF ∴∥PBC 又平面，,,QE QF Q QE QF =⊂ EFQ 平面平面，∴EFQ ∥PBC 平面，EF ⊂ EFQ 平面.EF ∴∥PBC 方法三：综合法——直线与平面平行的判定连结延长交的延长线于，连结，AE BC N PN，即，又，AD BC AD CN ∥CE ED =，AE EN ∴=又，，=AF FP EF PN ∴∥平面平面，PN ⊂ ,PBC EF ⊄PBC 平面．EF ∴∥PBC 方法四：空间向量方法底面平面，PA ⊥ ,,ABCD AB AD ⊂ABCD ，,PA AB PA AD ∴⊥⊥又，AB AD ⊥故两两垂直，,,AB AD AP由知：4,2PA AD AB BC ====，2AB BC == 22AC AB BC ∴=+=当，即时，有两个零点，∴1101e a <<+e 1a >-()g x 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现。

四川省巴中市2021届高三上学期一诊考试数学(理科)试题 Word版含答案

巴中市普通高中2018级“一诊”考试数学(理科)(满分150分 120分钟完卷)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置.2．答选择题时请使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效. 3．考试结束后，考生将答题卡交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2{1,0,1,2},450A B xx x =-=--<∣，则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．若复数2i=1-iz ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为（） A ．()1,1-B ．()1,1-C ．()1,1D ．()1,1--3．已知向量(1,2),(2,3),(3,)OA OB OC t =-=-=，若,,A B C 三点共线，则实数t =（） A ．4-B ．5-C ．4D ．54．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员在8次射击训练中的训练成绩，根据图中数据，下列描述中不正确的是（）A ．乙的成绩的众数为80B ．甲的成绩的中位数为83C ．甲、乙的平均成绩相同D ．乙的成绩比甲的成绩更稳定5．设1202120212020,log 2020,sin 2021a b c ︒===，则有（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ． a b c <<D ．c a b <<6．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则//a b 的一个充分条件是（）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊂D ．,//,a b αβαβ⊂⊥7．若52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为150，则2a =（） A ．10B ．15C ．20D ．258．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．直线2y x =-与抛物线()20y ax a =>交于, A B 两点，O 为坐标原点，若||||OA OB OA OB +=-，则a =（） A ．12B ．1C ．32D ．210．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242a a =，设2n an b =，数列{}n b 的前n 项积为n T .给出以下四个结论：①n S 的最大值为5S ；②38S S =；③数列{}n b 是递增等比数列；④11 1.T =其中正确结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．据我国古代数学名著《九章算术》记载：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．在如图的“堑堵”111 ABC A B C -中，1, 1, 2AC BC BC AA ⊥==，D 为棱1CC 的中点，若直线11A B 与AD 所成角的余弦值为34，则该 “堑堵”的外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．16πD ．32π12．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()(2)f x f x =-，当1x ≤时，()1ln 2,0 1., 0,x x x e f x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-≤⎩（其中e为自然对数的底数），若存在实数(),,,a b c d a b c d <<<满足()()()()f a f b f c f d ===，则4()3a abcd be +++-得取值范围为（）A ．4344ln ,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2444,3ee ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2434ln ,3e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2434ln ,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若,x y 满足约束条件22010 0x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为．14．若数列{}n a 对任意*n N ∈满足：12323n a a a na n ++++=，则数列{}1na n +的前n 项和为．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(), 0F c ，过F 点垂直于C 的渐近线的直线恰与圆2220x y cx ++=相切，则双曲线C 的离心率为．16．意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》时曾思索女子脖子上的黑色项链的形状对应的曲线是什么？即著名的“悬链线问题”.170年后约翰·伯努利与莱布尼茨得到悬链线的解+析式为()coshx f x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，且cosh 2x x e ex -+=，相应地双曲正弦函数为sinh 2x xe e x --=.若直线x m =与双曲余弦曲线1C 和双曲正弦函数曲线2C 分别相交于点, A B ，曲线1C 在A 点处的切线与曲线2C 在B 点处的切线相交于点P ，给出如下结论：①函数sinh cosh y x x =为奇函数；②sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y -=-； ③BP 的最小值为2；④PAB ∆的面积随m 的增大而减小.其中所有正确结论的序号是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin sin ,3()b A a B b π=+=（1）求ABC ∆的外接圆直径；（2）求ABC ∆周长的取值范围.18．为让中学生融入社会，更好地体验生活，某中学在2020年暑假组织开展了丰富多彩的社会综合实践活动，有一个综合实践活动小组以“冷饮销量与温度的关系”为主题开展调查研究，定点调研记录了某冷饮销售点的销售情况，对收集的数据经初步整理得到了如下数据表，并得知销量y 与温度t 间有线性相关关系.该小组确定的研究方案是：用这5组数据中任意3组数据求出线性回归方程，用另外2组数据进行检验. （1）记选取的3组数据的序号相邻的个数为X (注：0X =表示3组数据的序号互不相邻)，求X 的分布列及期望；（2）根据第2,3,4三组数据，求出销量y 关于温度t 的线性回归方程y bt a =+.由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2杯，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：()() ()121ˆˆˆ,.ni iiniit t y yb a y btt t==--==--∑∑19．如图，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，2PA AB AC===，45ABC∠=︒，E是棱PC的中点，F是平面ABE与棱PD的交点.（1）证明：平面PBC⊥平面ABE；（2）求二面角C AF E--的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>左右焦点分别为12(-1,0),(1,0)F F，上顶点为B，直线1BF与椭圆C的另一个交点为D，且113BF F D=.（1）求椭圆C的方程；（2）设过2F的直线l与椭圆C交于,P Q两点，若BP BQ⊥，求三角形BPQ的面积.21．已知函数2()2()xf x e ax a=-∈R（1）讨论函数()f x的极值点个数；（2）当函数()f x有两个极值点时，设()f x的极大值为M，证明：2M e<<.(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．【选修44-：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212222xy t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，且0θπ≤≤). （1）设直线l 与曲线C 的交点为,M N ，求MN 的值；（2）记直线l 与x 轴，y 轴分别交于, A B 两点，点P 在曲线2C 上，求AB BP ⋅的取值范围. 23．【选修45:-不等式选讲】已知函数()|4||1|,f x x x x =-+-∈R （1）解不等式：()5f x ；（2）记()f x 的最小值为m ，若0,0a b ，且a b m +=，试证明：112.213a b +++ 巴中市普通高中2018级“一诊”考试文科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5：CBADB 6-10：BBCDB 11、12AD二、填空题13．6 14．1n n + 15．2 16．①②④三、解答题17．解：（1）方法1（利用正弦定理的化边为角变形）由sin sin 3b A a B π⎛⎫=+⎪⎝⎭及正弦定理，得：sin sin sin sin 3B A A B π⎛⎫=+⎪⎝⎭由(0,)A π∈知：sin 0A >sin sin coscos sin33B B B ππ∴=+化简得：1sin 2B B =tan B ∴=又(0,),B π∈故3B π=由正弦定理得，ABC ∆外接圆的直径：221sin sin 3bR B π===.方法2（利用正弦定理的化边为角变形）由sin sin 3b A a B π⎛⎫=+⎪⎝⎭及正弦定理，得：sin sin sin sin 3B A A B π⎛⎫=+⎪⎝⎭由(0,)A π∈知：sin 0A >sin sin coscos sin33B B B ππ∴=+化简得：1sin sin 023B B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 又(0,)B π∈，故3B π=由正弦定理得，ABC ∆外接圆的直径：221sin sin 3bR B π===.方法3（利用正弦定理的等积变形）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B = 代入sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得：sin cos 6a B a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭即sin cos cossin sin66B B B ππ=+化简得：1sin 22B B =tan B ∴=又(0,)B π∈，故3B π=由正弦定理得，ABC ∆外接圆的直径：221sin sin 3bR B π===.（2）方法1由（1）知，3B π=，故23A C π+=，且203A π<<由（1）及正弦定理，得：1sin sin sin a b cA B C===2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫∴+=+=+- ⎪⎝⎭1cos 226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭由203A π<<，知：5666A πππ<+<1sin 126A π⎛⎫∴<+ ⎪⎝⎭，故326A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭3a c <+ 33a b c++即ABC ∆的周长的取值范围2⎦.方法2 由（1）知3B π=，由余弦定理得：222b a c ac =+-222221()3()3()24a cb ac ac a c a c +⎛⎫∴=+-+-=+ ⎪⎝⎭当且仅当a c =时，取等号32b =2()3a c ∴+，即3a c+又2a c b +>=，故32a c <+33a b c++即ABC ∆的周长的取值范围为⎦.方法3由（1）知：3B π=，且ABC ∆的外接圆直径为1由正弦定理，得：1sin sin sin a b cA B C===sin sin sin sin sin a b c A B C A C ∴++=++=++由3B π=且,0,0A B C A B π++=>>可设：,,,3333A x C x x ππππ⎛⎫=+=-∈- ⎪⎝⎭则：sin sin sin sin 2sin cos 333A C x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭知：32x <，当0x =即3A C π==时取等号33a b c<+++=即ABC ∆的周长的取值范围为⎦18．解：（1）由题意知，0,2,3X =0X =表示选取3组数据序号恰有两组相邻，故选出的3组序号可为：用于检验的两组数据序号的所有可能结果如下：124;125;134;145;235;245------------总共6种故3566(2)10P X C === 3X =表示选取3组数据序号彼此相邻，故选出的3组序号可为： 123;234;345------共3种故3533(3)10P X C === X ∴的分布列为023********EX ∴=⨯+⨯+⨯=注：计算()2P X =也可用分布列的性质，即6(2)1(0)(3)10P X P X P X ==-=-==（2）由题意，11(313335)33,(344046)4033t y =⨯++==⨯++= ()()312(6)002624ii i tty y =--=-⨯-+⨯+⨯=∑()322221(2)028i i t t =-=-++=∑()()()1212438niii ni i t t y y b t t ==--∴===-∑∑ 4033359a y bt ∴=-=-⨯=-y ∴关于t 的线性回归方程为359y t =-当29t =时，3295928y =⨯-=，有|3028|2-= 当37t =时，3375952y =⨯-=，有|5152|12-=<∴回归方程为359y t =-是可靠的.19．解：（1）方法1,45AB AC ABC ︒=∠=AB AC ∴⊥PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD PA AB ∴⊥,ACPA A AC =⊂平面PAC ，PA ⊂平面PACAB ∴⊥平面PAC由PC ⊂平面PAC 得：AB PC ⊥连结AE ，由PA AC =且PE EC =知：AE PC ⊥ 又,,AEAB A AB AE =⊂平面ABEPC ∴⊥平面ABE PC ⊂平面PBC∴平面PAC ⊥平面PBC方法2,45AB AC ABC ︒=∠=AB AC ∴⊥PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABCD平面PAC 平面ABCD AC =AB ∴⊥平面PAC由PC ⊂面PAC 得：AB PC ⊥连结AE ，由PA AC =且PE EC =知：AE PC ⊥又,,AE AB A AB AE =⊂平面ABEPC ∴⊥平面ABEPC ⊂平面PBC∴平面PAC ⊥平面PBC（2）方法1过E 作EG AF ⊥，垂足为G ，连结CG由（1）知：PC ⊥平面ABEPC AF ∴⊥AF ∴⊥平面CEGAF CG ∴⊥CGE ∴∠为二面角C AF E --的平面角由四边形ABCD 是平面四边形得：//AB CD 又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD//AB ∴平面PCD平面ABE 平面PCD EF =//AB EF ∴ 1,12PF FD EF CD ∴=== 22211322AF PD CD CA PA ∴==++= 在Rt AEF ∆中，由等面积法得：2633AE EF EG AF ⨯=== 又2AE CE EP ===tan 3CE CGE EG∴∠==，故60CGE ︒∠= ∴二面角C AF E --的余弦值为12方法2由（1）知，,,AB AC AP 两两垂直以A 为原点，,AB AC AP ，的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系由已知，得：()()()()()2,0,0, 0,2,0, 2,0,0, 0,0,2, 0,1,1B C D P E - (0,2,0),(2,2,0),(0,2,2)AC AD CP ∴==-=-由（1）知：平面ABEF 的一个法向量为(0,2,2)CP =-由四边形ABCD 是平行四边形得： //AB CD又AB ⊄平面PCDCD ⊂，平面PCD . //AB ∴平面PCD平面ABE 平面PCD EF =//AB EF ∴PF FD ∴= 故()()11,1,12AF AD AP =+=- 设平面ACF 的一个法向量为(),,n x y z =由0,0,n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0,y x y z =⎧⎨-++=⎩取1z =得：()1,0,1n =1cos ,2||||28n CP n CP n CP ⋅∴〈〉===⋅ 由几何形的结构知，二面角C AF E --的余弦值为12.20．解：（1）方法1有题意，得上顶点为()0,B b ，设()()000,0D x y x ≠由113BF F D =及1(1,0) F -得：()0311x +=-，解得043x =- 故直线1BF 的方程为y bx b =+ 由00220022,1,y bx b x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 解得：20221a x a =-+ 222413a a ∴-=-+，解得22,a =故21b = ∴椭圆C 的方程为2212x y += 方法2由题意，得上顶点为(0,),B b 设()()000,0D x y x ≠由113BF F D =及1(1,0)F -得：()0311x +=-，且03y b =- 解得：043x =-，且0 3b y =- 由点D 在椭圆上得：222161,99b a b+=解得22a = 2211b a ∴=-=∴椭圆C 的方程为2212x y += 方法3由己知得：椭圆的上顶点为(0,),B b ，离心率为1e BF a a==，设()()000,0D x y x ≠，由113BF F D =及1(1,0)F -得： 13a DF =，且()0311x +=-，解得043x =- 由椭圆的焦半径公式，得：1043DF a ex a a =+=- 4,33a a a ∴-=化简得22a = 2211b a ∴=-=椭圆C 的方程为2212x y += （2）由（1）知及题意，直线l 不过点B 且与x 轴不重合设直线l 的方程为()()11221(1),1,,1,x my m P my y Q my y =+≠-++ 由BP BQ ⊥得： 0BP BQ ⋅=()()()()121211110my my y y ∴+++--=变形化简得： ()()()212121(1)20*m y y m y y ++-++= 由221,220,x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得：()222210m y my ++-= ()()222(2)42810m m m ∆=++=+>恒成立由韦达定理，得：12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入()*式得： 22212(1)2022m m m m m +---+=++ 化简得：2230m m --=由1m ≠-及上式解得3m =∴直线l 的方程为310x y --=方法1()28180m ∆=+=，由弦长公式及求根公式得：21||11PQ y =-==又点B 到直线l 的距离为d ==11||22BPQ S d PQ ∆∴=⨯⨯==. 方法2设直线l 与y 轴的交点为E ，则140,,33E BE ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由22310,220,x y x y --=+-=⎧⎨⎩消去y ，化简得：2114160x x --=解得：11x x ==21x x ∴-=21211223BPQ BPE BQE S S S BE x x x x ∆∆∆∴=+=-=-= 方法3由（1）得：2BF =由求根公式得：21y y -=设点,P Q 到直线2:10BF x y +-=分别为12,d d ，则：1221165112d d y y +==-)2212211BPQ BPF BQF S S S d d ∆∆∆∴=+=+= 21．解：（1）方法1 ()f x 的定义域为()(),2x f x e ax '=-R记()()2x g x e ax =-，则()()2x g x e a '=-①当0a =时，()()20x f x f x e '==>，故()f x 无极值点 ②当0a <时，()0,()g x g x '>在R 上是增函数又()10121210(0)2a g e e g a ⎛⎫⎛⎫=-<-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ∴在R 内有唯一零点01,0x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()()000f x g x '== 当0x x <时，()()0f x g x '=<；当0x x >时，()()0f x g x '=> ()f x ∴有唯一极值点③当0a >，由()0g x '=得ln x a =由于当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时()0g x '>()()min ()ln 21ln g x g a a a ∴==-)i 若1ln 0a -，即0a e <时，()()0f x g x '=()f x ∴在R 上是增函数，无极值点)ii 若1ln 0a -<，即a e >时，min ()0g x <又(0)20,(2ln )2(2ln )0g g a a a a =>=-> ()2ln ()a a a a e ϕ=->，则当a e >时22()110a a eϕ'=->-> ()a ϕ∴在(,)e +∞上是增函数()()220a e a e ϕϕ∴>>->->(2ln )0g a ∴>()g x ∴有两个零点12,x x ，且120ln x a x <<<当1x x <，或2x x >时，()()0g x f x '=>；当12;x x x <<时()()0g x f x '=> ∴函数()f x 有两个极值点综上所述，当0a <时，函数()f x 有唯一极值点；当0a e 时，函数()f x 无极值点；当a e >时，函数()f x 有两个极值点.方法2()f x 的定义域为(),()2x R f x e ax '=-由(0)2f '=知，0不是函数()f x '的零点于是由()0f x '=得00x e a x x -=≠ 设(),0,x e g x a x x =-≠则2(1)()xx e g x x-'= ∴当0x <，或01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '> ()g x ∴在(,0)-∞和(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数 ()(1)g x g e a ==-极小设()1xh x e x =--，则()1x h x e '=- 当0x <时，()()0h x h x '<，单减；当0x >时，()0,()h x h x '>单增 min ()(0)0h x h ∴==，故1x e x ≥+于是，当0x <时，111x e x x x x+<=+；当01x <<时，111x e x x x x+>=+ ∴当0x <时，()g x 的取值范围为(,)a -∞-当01x <<，()g x 的取值范围为(,)e a -+∞当1x ，()g x 的取值范围为(,)e a -+∞∴当0a ->即0a <时，函数()g x 仅在减区间(),0-∞有唯一零点当0a e a --即0a e 时，函数()g x 无零点当0e a -<即a e >，函数()g x 两个零点∴当0a <时，函数()f x 有唯一极值点；当0a e 时，函数()f x 无极值点；当a e >时，函数()f x 有两个极值点.方法3()f x 的定义域为(),()2x R f x e ax '=-由()0f x '=得：x e ax =于是()f x '零点个数转化为函数x y e =与直线y ax =的公共点个数由导数的几何意义可知：过原点O 仅有一条直线y ex =与曲线x y e =相切，切点为()1, e 此时()0f x '≥，函数()f x 无极值点如图：当0a <时，直线y ax =与曲线x y e =有且仅有一个交点00(,)x x e ，且00 x <此时，若0x x <，则()0f x '<；若0x x >，则()0f x '> 故0x 是函数()f x 的唯一极值点当0a e ≤<时，直线y ax =与曲线x y e =无公共点，函数()f x 无极值点当a e >时，直线y ax =与曲线x y e =有两个交点()()1212,,,x x x e x e此时，若1x x <，或2x x >，则()0f x '>；若2x x x <<，则()0f x '<故1x 是函数()f x 的唯一极大值点，2x 函数()f x 的唯一极小值点综上可知：当0a <时，函数()f x 有唯一极值点；当0a e ≤≤时，函数()f x 无极值点；当a e >时，函数()f x 有两个极值点.（2）方法1由（1）知：当a e >时，函数，()f x 有两个极值点，且1x 为极大值点，10ln .x a << 02()(0)202f x M f e a ∴=>=-⨯=极大又(0)20,(ln )(1)2()0f f a f e a '''=><=-<1(0,1)x ∴∈由()10f x '=得：11xax e = ()()1111111()22$1)x x x f x M f x e x e e x x ∴===-=-∈极大记()(2)(0,1)xh x e x x =-∈，则对(0,1)x ∀∈，恒有()(1)0x h x e x '=-> ∴函数()h x 在()0,1上是增函数()(1)h x h e ∴<=，即()f x M e =<极大综上可得：2M e <<方法2由（1）知：当a e >时，函数，()f x 有两个极值点，且1x 为极大值点，10ln .x a <<此时，121()2x f x M e ax ==-极大，且(0)2M f >=1,0ln a e x a ><<11221122x x M e ax e ex ∴=-<-又(0)20,(ln )(1)2()0f f a f e a '''=><=-<1(0,1)x ∴∈设2()2(0,1)x F x e ex x =-∈由（1）知，()F x 在()0,1上是增函数()()1F x F e ∴<=2.M e ∴<<(二)选考题22．【选修44-：坐标系与参与方程】解（1）方法1由1,2,2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t 得：直线l 的普通方程为10x y +-=由4πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：2cos 2sin ραα=+ 22cos 2sin ρραρα∴=+由互化公式得：1C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= 故曲线1C 为圆22(1)(1)2x y -+-=于是，圆心(1,1)到直线10x y +-=的距离2d ==||MN ∴==方法2由4πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：2cos 2sin ραα=+ 化为直角坐标方程得：22220x y x y +--=设点,M N 对应的参数分别12,t t 由参数的几何意义得：12||MN t t =-代1,22,2x y =--=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩入22220x y x y +--=消去,x y整理得：230t ++=于是21260∆=-=>由求根公式得：1,2t =12MN t t ∴=-=.（2）曲线2C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，且0θπ）. 由点P 在曲线2C 上，设(2cos ,2sin ),(0)P θθθπ 又由(1,0),(0,1)A B 得：(1,1),(2cos ,2sin 1)(0)AB BP θθθπ=-=-2cos 2sin 114AB BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-+-=-- ⎪⎝⎭ 由0θπ知：3,444πππθ-- 故sin 14πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭ [3,1]AB BP ∴⋅∈-23．【选修45-：不等式选讲】解：（1）25,1,()|4||1|3,14,25,4,x x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=⎨⎪->⎩于是由()5f x 得：255,1,x x -+⎧⎨<⎩或14x ，或255,4.x x -⎧⎨>⎩解得：01x <，或14x ，或45x <整合得：05x∴不等式的解集为{05}x x ∣（或表示为[]0,5）.（2）方法1()|4||1|(4)(1)3f x x x x x =-+--+-∣（当且仅当等号14x 成立） ()f x ∴的最小值3m =，即3a b +=由0,0a b 知：20,10a b +>+>11111[(2)(1)]21621a b a b a b ⎛⎫∴+=++++ ⎪++++⎝⎭112122262163b a a b ⎛++⎛⎫=+++= ⎪ ++⎝⎭⎝ 当且仅当1a =且2b =时，等号成立112213a b ∴+++. 方法2由（1）知：min ()3m f x ==，故3a b +=11111[(2)(1)]21621a b a b a b ⎛⎫∴+=++++ ⎪++++⎝⎭ 由0,0a b 知：20,10a b +>+>由柯西不等式得： 211[(2)(1)]2421a b a a b ⎛⎛⎫+++++⨯= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当21a b +=+且3a b +=，即1,2a b ==时，等号成立 112213a b ∴+++.。

2021届四川省巴中市高三考试理科数学试题(含解析)

2021届四川省巴中市高三零诊考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{|2}Bx x ，则A B =（） A ．∅B ．()1,3-C ．()1,3D ．()2,3 【答案】D【解析】化简集合A ，根据集合的交集运算可得结果.【详解】因为{}2230A x x x =--<{|13}x x =-<<，{|2}Bx x ，所以AB ={|23}x x <<. 故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．若复数z 满足()25i z +=，则z =（）A ．5B C D ．【答案】B【解析】把给出的等式两边同时乘以12i+，然后利用复数代数形式的除法运算化简，进一步求得z ；【详解】解：由(2)5i z +=，得：55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i --====-++-，∴z ==．故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的模，属于基础题． 3．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解【详解】因为1y a x '=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题4．已知a ，b ，c 满足23a =，ln21b =，32c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】A【解析】根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，最后根据对数函数的单调性判断即可；【详解】解：因为23a =，ln21b =，32c =，所以2log 3a =，21log ln 2b e ==，33log 2log 31c =<=，因为2log y x =在定义域上单调递增，所以222log 3log log 21e >>=所以1a b >>，1c <所以a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数与对数互化以及对数函数的性质的应用，属于基础题.5．在ABC 中，1cos 2A =，3BC =，2AC =，则cos C （）A ．BCD 【答案】A【解析】根据余弦定理求出1AB =3cos 6C =. 【详解】由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅，得2194222AB AB =+-⋅⋅⨯，即2250AB AB --=，解得1AB =+1AB =-，所以222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅⋅==. 故选：A【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题.6．已知函数()sin 2cos21f x x x =++，若函数()f x 的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心为（）A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：将函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，得到函数4()212144g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令242x k πππ+=+，k Z ∈，解得28k x ππ=+，k Z ∈，故函数的对称中心为18,2k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈可得()g x 的一个对称中心为,18π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．已知P 为圆()2211x y ++=上任一点，A ，B 为直线l ：3470x y +-=上的两个动点，且3AB =，则PAB ∆面积的最大值为（）A ．9B ．92C ．3D ．32【答案】B 【解析】计算出圆上点到直线的最远距离为3，利用面积公式即可得解.【详解】由题意知圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，则圆心到直线的距离为2237372534----==+，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PAB S ∆的最大值为193322⨯⨯=．故选：B .【点睛】本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题. 8．在直角PAB △中，90P ∠=︒，4AB =，点Q 在平面PAB 内，且1PQ =，则QA QB ⋅的最小值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4- 【答案】C【解析】以P 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为x 轴和y 轴，设(),0A a ，()0,B b ，得2216a b +=，设()cos ,sin Q θθ，将向量数量积的坐标运算和三角函数相结合即可得结果.【详解】由于90P ∠=︒，不妨以P 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为x 轴和y 轴，设(),0A a ，()0,B b ，由于4AB =，则2216a b +=，因为1PQ =，P 为原点，故可设()cos ,sin Q θθ，所以()cos ,sin QA a θθ=--，()cos ,sin QB b θθ=--，所以()()cos cos sin sin 1cos sin QA QB a b a b θθθθθθ⋅=----=--()()114sin θϕθϕ=+=-+（其中ϕ为辅助角）当()sin 1θϕ+=时，QA QB ⋅最小，最小值为3-，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，适当的方式建立坐标系是解题的关键，属于中档题.9．已知1cos2sin 221cos2sin 2θθθθ-+=++，则tan θ=（）A ．1B ．2C ．3D 【答案】B【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.【详解】因为1cos2sin 221cos2sin 2θθθθ-+=++，所以222sin 2sin cos 22cos 2sin cos θθθθθθ+⋅=+⋅，所以sin (sin cos )2cos (cos sin )θθθθθθ+=+，所以tan 2θ=.故选：B【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.10．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）A ．114B ．328C ．17D ．528【答案】C【解析】20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828n C ==个基本事件，利用列举法求出20以内的孪生素数包含4个基本事件，由此能求出从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率．【详解】解：依题意，20以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19共有8个，从中选两个共包含2828n C ==个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为41287p ==．故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（）A ．1312BCD 【答案】B【解析】先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a =±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bcFA b b a ==+，根据题意513AF BF =，则135b BF =，设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan b a α=，18185tan 25b AB b OA a aα===，由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan ab a b ααα==--，即221825b ab a a b=-，化简可得2249a b =，由双曲线离心率公式可知22131319c b e a a==+== 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.12．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()ff x 有相同的值域，则a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞ 【答案】B【解析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞， 0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．二、填空题 13．若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为32，则展开式中3x 的系数为_________. 【答案】10-【解析】根据二项式系数和求得n ，根据二项式展开式的通项公式求得3x 的系数.【详解】依题意2n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为32，所以232n =，即5n =. 二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()5152r r r C x x --⋅⋅-()5252r r r C x -=-⋅⋅. 令523,1r r -==，所以3x 的系数为()115210C -⋅=-. 故答案为：10-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于基础题.14．若x ，y 满足约束条件1,22,1.y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则z x y =-的最大值__________.【答案】3【解析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z x y =-得y x z =-，利用平移求出z 最大值即可．【详解】解：不等式对应的平面区域如图：由z x y =-得y x z =-，平移直线y x z =-，由平移可知当直线y x z =-，经过点C 时，直线y x z =-的截距最小，此时z 取得最大值，由110y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即()2,1C -代入z x y =-得()213z =--=，即z x y =-的最大值是3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，23BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________.【答案】32π【解析】设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，根据正弦定理求出r ，根据球的性质，得到12OO =，再根据勾股定理得到28R =，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图：设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，PA 的中点为E ，连接11,,,OE OA OO AO ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1PA AO ⊥，又1OO ⊥平面ABC ，所以1//OO PA ，因为E 为PA 的中点，所以OE PA ⊥，所以四边形1OEAO 为矩形，所以1122OO EA PA ===，在三角形ABC 中，由正弦定理得232324sin 603BC r A ====，所以2r ，在直角三角形1OO A 中，得2221R r OO =+22228=+=，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为2432R ππ=.故答案为：32π. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，考查了直线与平面垂直的性质定理，属于中档题.16．已知函数()x f x xe =，()x x g x e=，()ln h x x x =，现有以下四个命题： ①()()f x g x -是奇函数；②函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于原点中心对称；③对任意x ∈R ，恒有()()f x g x ≥；④函数()f x 与函数()h x 的最小值相同. 其中正确命题的序号是__________. 【答案】②③④【解析】对于①，举特值可知①不正确；对于②，通过证明函数()xf x xe =的图象上任意一点(,)P x y 关于原点对称的点(,)Q x y --都在函数()xxg x e =的图象上，且函数()xx g x e=的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数()xf x xe =的图象上，可知②正确；对于③，设()()xx x y f x g x xe e =-=-，利用导数求出最小值为0，可证不等式成立；对于④，利用导数求出两个函数的最小值，可知④正确. 【详解】对于①，设()()()x f x g x ϕ=-，因为11(1)(1)(1)(1)f g e e e eϕϕ-=---=-+≠-=-+所以()ϕx =()()f x g x -不为奇函数，故①不正确；对于②，设(,)P x y 为函数()xf x xe =的图象上任意一点，则xy xe =，所以xy xe -=-，即xxy e ---=，即点(,)Q x y --在函数()g x 的图像上，所以函数()xf x xe =的图象上任意一点(,)P x y 关于原点对称的点(,)Q x y --都在函数()x xg x e=的图象上，同理可知，函数()x x g x e=的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数()xf x xe=的图象上，所以函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于原点中心对称，故②正确；对于③，令()()xx x y f x g x xe e =-=-，则2()x x x x x e xe y e xe e -'=+-1x xxx e xe e -=+-1x xx x x e xe e e=-++，因为当0x >时，e 1x >，101x e <<，0xx x xe e+>，所以0y '>，当0x <时，01x e <<，11xe>，0xx x xe e +<，所以0y '<，所以xx x y xe e=-在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以0x =时，函数xx x y xe e=-取得最小值，最小值为0，即0y ≥，所以对任意x ∈R ，恒有()()f x g x ≥，故③正确；对于④，因为()(1)xxxf x e xe e x '=+=+，所以当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，所以当1x =-时，()f x 取得最小值，最小值为1e-，因为()ln h x x x =，所以1()ln 1ln h x x x x x'=+⋅=+，当10x e<<时，()0h x '<，当1x e >时，()0h x '>，所以()ln h x x x =在1(0,)e上递减，在1(,)e +∞上递增，所以当1=x e 时，()h x 取得最小值，最小值为1e-，所以函数()f x 与函数()h x 的最小值相同，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的对称性，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设2nn n a b =，证明：222121112nb b b ++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据1122n nn na a ++-=1，结合等差数列的定义可证结论；（2）由（1）知，1(1)1nb n n =+-⨯=，根据21111n b n n<--(2)n ≥放大后裂项求和，可证不等式成立. 【详解】（1）因为1122n n n n a a ++-=1122112222n n n n nn n n na a a a +++-=+-=，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知，1(1)1n b n n =+-⨯=，所以2211n b n =，当2n ≥时，2211111(1)1n b n n n n n =<=---，所以2221211111111111222231n b b b n n n++⋅⋅⋅+<+-+-++-=-<-. 【点睛】本题考查了用定义证明等差数列，考查了利用放缩法证明数列不等式，考查了裂项求和法，属于基础题.18．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）9.04千步（2）0.565（3）答案见解析，有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关. 【解析】（1）由260614010100146018202218260302400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯计算可得解；（2）根据频数分布表列式19.048()(60140100)400128P A -=++⨯-可求得结果；（3）根据题得22⨯列联表，计算2K ，根据临界值表可得答案. 【详解】（1）这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为260614010100146018202218260302400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9.04千步.（2）由频率约等于概率可得19.048()(60140100)0.565400128P A -=++⨯=-. （3）根据题意可得22⨯列联表如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(1501505050)200200200200⨯-⨯=⨯⨯⨯100=10.828>，所以有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关. 【点睛】本题考查了根据频数分布表求平均数，求频率，考查了独立性检验，属于中档题. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 分别为AC 和11B C 的中点.（1）证明：//DE 平面11ABB A ；（2）若AB BC ⊥，12AB BC AA ===，求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）55【解析】（1）本题首先可以作线段BC 中点F 并连接DF 、EF ，然后通过F 是线段BC中点、点D 为线段AC 的中点以及点E 为线段11B C 的中点证得//DF AB 、1//EF B B ，再然后根据面面平行的判定得出平面//DEF 平面11ABB A ，最后根据面面平行的性质得出//DE 平面11ABB A ；（2）本题首先可以构建空间直角坐标系，然后求出平面BAE 的法向量n 以及平面AED 的法向量m ，最后令二面角B AE D --为θ，根据cos θm n m n即可得出结果.【详解】（1）如图，作线段BC 中点F ，连接DF 、EF ，因为F 是线段BC 中点，点D 为线段AC 的中点，所以//DF AB ，因为F 是线段BC 中点，点E 为线段11B C 的中点，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1//EF B B ，因为DFEF F =，直线AB平面11ABB A ，直线1B B ⊂平面11ABB A ，所以平面//DEF 平面11ABB A ，因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ABB A .（2）如图，以B 为原点、BC 为x 轴、BA 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,0,2E ，()1,1,0D ，()0,2,0BA =，1,0,2BE，1,1,0AD ，0,1,2DE ，设()111,,n x y z =是平面BAE 的法向量，则00n BA n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111020y x z =⎧⎨+=⎩，令12x =，则()2,0,1n =-，5n =，设()222,,m x y z =是平面AED 的法向量，则00m AD m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令22x =，则()2,2,1m =，3m =令二面角B AE D --为θ，则35cos θ535m n m n，故结合图像易知，二面角B AE D --5.【点睛】本题考查线面平行的证明以及二面角的余弦值的求法，考查根据面面平行证明线面平行，考查根据空间向量求二面角的余弦值，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，一个焦点为().（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 的中点N 在直线1x =上.试问：线段PQ 的垂直平分线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）线段PQ 的垂直平分线l 过定点，定点为1(,0)2. 【解析】（1）根据离心率和焦点坐标求出2a =，22b =，可得椭圆C 的方程；（2）设0(1,)N y，则o y <<，当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ 0y kx y k =+-，代入22142x y +=，根据韦达定理和中点坐标公式求出012y k =-，进一步可求出直线l 的方程为11()2y x k =--，可知经过定点1(,0)2，当直线PQ 的斜率不存在时，直线l 也经过点1(,0)2. 【详解】（1）依题意可得c =c a =，所以2a =，222422b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设0(1,)N y，则22o y -<<，当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ 0(1)y y k x -=-，即0y kx y k =+-，由022142y kx y kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得22200(12)4()2()40k x k y k x y k ++-+--=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则01224()12k y k x x k -+=-+，因为线段PQ 的中点N 在直线1x =上，所以024()212k y k k--=+，显然0k ≠，所以012y k=-，所以1(1,)2N k-，所以直线:l 11()(1)2y x k k --=--，即11()2y x k =--，所以直线l 经过定点1(,0)2，当直线PQ 的斜率不存在时，直线:0l y =也经过点1(,0)2，所以线段PQ 的垂直平分线l 经过定点，定点为1(,0)2.【点睛】本题考查了求椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】（1）求出函数导数()12xf x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解. 【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212xx e x >++，即222122x x x x e x +->++=，要证不等式()()21ln 1xe x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+，只需证()2ln 12xx x+>+，设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增，又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，直线l的参数方程为,1.2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），其中0a >，直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点(),0P a 满足111PM PN+=，求a 的值. 【答案】（1）2y x =；（2）14a =【解析】（1）由极坐标与直角坐标转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）点(),0P a 在直线l 上，且恰好是直线所过的定点，则可由将直线的参数方程代入2y x =，整理得2014t a -=，由根与系数的关系，将114||||PM PN +=，转化为a 的方程，即可求出a 的值．【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，22sin cos ρθρθ∴=，所以曲线C 的直角坐标方程是2y x =；（2）点(),0P a 在直线l：,21.2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）上，且恰好是直线l 所过的定点，将,21.2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2y x =，整理得2014t a -=，∴12124t t t t a +==-，因为0a >，又114||||PM PN +=，令120,0t t <> 则有12114t t +=-，即21124t t t t -=-，又21t t -=4=，解得14a =或316a =-（舍去）．【点睛】本题考查极坐标与直角方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的线段长度的问题可以大大降低计算量，属于中档题． 23．已知()13f x x x =-++.第 21 页共 21 页（1）若存在0x 使得()206f x m m +≤+，求m 的取值范围；（2）记0m 是（1）中m 的最大值且330a b m +=，证明02a b <+≤.【答案】（1）12m -≤≤；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出()4f x ≥，再解不等式246m m +≤+即得解；（2）先证明0a b +>，再结合基本不等式证明2a b +≤即得证.【详解】（1）由题得()13|13|4f x x x x x =-++≥---=，所以2246,20,(2)(1)0m m m m m m +≤+∴--≤∴-+≤，所以12m -≤≤.（2）由题得332a b +=，所以222232=()()()[()]24b a b a ab b a b a b +-+=+-+，因为223()024ba b -+>，所以0.a b +> 222223312=()()()[()3]()[()()]()44a b a ab b a b a b ab a b a b a b a b +-+=++-≥++-+=+，(当且仅当a b =时取等)所以3()8,2a b a b +≤∴+≤.所以02a b <+≤得证.【点睛】本题主要考查利用三角绝对值不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，考查不等式的证明和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

四川省巴中市巴彦淖尔市中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

四川省巴中市巴彦淖尔市中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量．若为实数，，则（）A．B．C．D．参考答案：略2. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（）A．B． C. D．参考答案：A3. 将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（）（A）y=（B）y=（C）y=1+（D）y=参考答案：D 4. 函数的部分图象大致是（）参考答案：C略5. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B6. 若的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=( )A.4B.5C.6D.7参考答案：C【知识点】二项式定理的应用．J3令中x为1,可得各项系数和为,又展开式的各项二项式系数和为,∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,∴,解得n=6,故选：C．【思路点拨】本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为，最后通过比值关系为64即可求出n的值．7. 已知函数f(x)＝log a (a>0，且a≠1)在其定义域上是奇函数，则m＝()A．1 B．－1C. D．－参考答案：B8. 设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为参考答案：B略9. 已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为( )A. B. - C. D.参考答案：B略10. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=A. {x|-1＜x≤3}B. {x|2≤x﹤3}C. {x|x=3}D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为．参考答案：12.已知满足约束条件,则目标函数的最大值是_______.参考答案：13. 如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是___ ____个平方单位.略14. 函数(＞1)的值域是．参考答案：答案：15. 已知{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是____参考答案：(－9,－8) 【分析】根据已知可求得数列的通项，进而求得，再由数列的性质可得的取值范围。