北京市初三数学中考压轴题

2012年北京市初三数学中考压轴题

2012海淀一统

8. 已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 中点, 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A , 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA 剪开,则得到的圆锥侧

面展开图为 ( )

A B C D 12．用两个全等的含30︒角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30︒角的顶点, 按先A 后B 的顺序交替摆放A 、B 两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 ; 若摆放这个图案共用两种卡片(2n +1)张(

n 为正整数),

则这个图案中阴影部分的面积之和为 . (结果保留π )

…… A 种 B 种

图1 图 2

22. 已知△ABC 的面积为a ，O 、D 分别是边AC 、BC 的中点. （1）画图：在图1中将点D 绕点O 旋转180︒得到点E , 连接AE 、CE . 填空：四边形ADCE 的面积为 ； （2）在（1）的条件下，若F 1是AB 的中点，F 2是AF 1的中点, F 3是AF 2的中点,…, F n 是AF n -1的中点 (n 为大于1的整数), 则△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 . 解: （1）画图:

图1

填空：四边形ADCE 的面积为 .

（2）△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .

备用图

O

B (A )

C O A B (A )C O A B (A )C

C (A )B A O O A B

(A )C O A B (A )C O A B (A )

C

C (A )B A O B A

23. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与反比例函数x

a y 4

+=的图象交于点A (a , -3)，与y 轴交于点B . （1）试确定反比例函数的解析式;

（2）若∠ABO =135︒, 试确定二次函数的解析式;

（3）在（2）的条件下,将二次函数y =ax 2 + bx + c 的图象先沿x 轴翻折, 再向右平移到与反比例函数x

a y 4

+=的图象交于点P (x 0, 6) . 当x 0 ≤x ≤3时, 求平移后的二次函数y

24. 已知在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，DF 平分∠ADC 交线段AE 于F .

（1）如图1，若AE =AD ，∠ADC =60︒, 请直接写出线段CD 与AF +BE 之间所满足的等量关系;

（2）如图2, 若AE =AD ，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；

（3）如图3, 若AE : AD =a : b ，试探究线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.

解: （1）线段CD 与AF +BE 之间所满足的等量关系为:

.

（2） 图1 图2

（3）线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系为: .

图3 25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一

D A F

C E B A B E

C D F B E C D

A F

个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；

（2）当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长；

（3）连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为4

3

3

2012西城北区一统

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83

C ．2+

D ．2 12．已知二次函数21

2

y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围

是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．

20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等． （1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；

（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),

() 2 (0),

x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程()f x x k =+有

三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．

22．阅读下列材料：

题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明.

思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+，再说明y 的符号即可. 现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题：

已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．

23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．

（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值；