北京市初三数学中考压轴题
北京市中考数学压轴题梳理
北京市2019年中考数学压轴题梳理
1.23题代数综合:
常考一元二次方程根的问题, 其中最常见的是已知含参数
方程有相同根、相反根、有理根或整数根等的情况下, 求参数的值以及该方程的根, 题目解题核心就是方程思想, 此
时要求同学们从相应的条件中提炼出可列方程的等量关系。
另一个常考的内容是二次函数与方程不等式的结合, 这里
考到的就是数形结合思想的应用, 其中西城区近年常考代
数式的整体代换, 西城的考生要特别注意。
2、24题几何综合:
考查初中阶段的三大几何变换-平移、旋转、轴对称。
平移: 多用于将零散的条件集中在一起, 可平移条件、平移结论、平移线段、平移图形, 平移线段既出平行四边形, 这里同学们需要注意平移后即可用平行四边形的各项性质。
旋转：旋转中模型较多, 而且较好辨别一道题是否属于旋转, 此类题需要同学们总结记忆, 会大大提高考场答题效率。
轴对称：条件给出已知角平分线时, 较容易用到轴对称, 目的是构造角平分线所在直线两侧的全等三角形, 继而转换
边角条件。
3.25题代几综合:
题目问法常见：求图形面积最大值、求线段长之和的最值、动点问题构造等腰三角形或直角三角形或平行四边形或与
已知三角形相似的三角形。
这类问题的解题核心在于先要根据题目问题找到所需图形;挖掘图形性质并根据性质列出方
程(比如构造等腰三角形, 等腰三角形的性质就是两腰相等, 故根据两腰相等列出方程便可解得满足这种情况的未知数
的值), 一般情况下根据线段关系列方程时需要注意, 表示
线段是关键, 这里的通法是设出点坐标, 再根据点坐标表
示出线段长, 接下来就可以列方程求解了。
北京中考数学几何压轴题
北京中考数学几何压轴题北京中考数学几何压轴题会根据具体年份的考试题目而有所不同。
但通常来说，几何压轴题会涉及三角形的面积、相似三角形、直角三角形等知识点。
下面是一个可能的压轴题示例：已知直角三角形ABC，其中∠B=90°，AB=3 cm，BC=4 cm。
点D在边AC上，且AD=2 cm。
连接BD，交AC于点E。
求证：△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。
解题思路如下：1. 证明△BDE和△ABC的对应角等于90°。
由题意知△ABC是直角三角形，所以∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+90°+∠C=180°，得∠A+∠C=90°。
而根据直角三角形内角和定理可知∠BDE=∠A，故∠BDE+∠C=90°，证明了△BDE和△ABC的对应角等于90°。
2. 证明△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。
首先，根据BD的定义可知△BDE是直角三角形，所以BD 为√（BE²+DE²）。
根据勾股定理可知AB²+BC²=AC²，即3²+4²=AC²，得AC=5 cm。
根据相似三角形的性质，当两个三角形的对应角相等时，它们的对应边的比例相等，所以AB/BE=BC/DE=AC/BD。
代入已知值可得3/BE=4/2=5/BD，解得BE=3/5 cm，BD=6/5 cm。
于是，BD/AB=(6/5)/3=2/5，即△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。
综上所述，△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。
2022北京中考数学二模分类《几何综合压轴题》含答案解析
2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。
北京市中考数学近三年压轴题汇编精品资料
北京市中考数学近三年压轴题汇编200622．（本小题满分4 分）请阅读下列材料：问题：现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x( x0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x25，解得x 5．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图 2 所示的分割线，拼出如图 3 所示的新正方形．图1图2图 3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图 5 的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．22．解：所画图形如图所示．图 4图 5七、解答题（本题满分 6 分）23．如图 1，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图 2，在△ABC中，ACB 是直角， B 60 ，AD，CE 分别是BAC ，BCA的平分线， AD ，CE相交于点 F ．请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图 3，在△ABC中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：画图：M BEO P F DN A C B图 1图 2E （1）FE与FD之间的数量关系为．D F23．解：图略．画图正确得 1 分．A图 3C（ 1）FE与FD之间的数量关系为FE FD．·················2 分（ 2）答：（ 1）中的结论FE FD仍然成立．证法一：如图4，在AC上截取AG AE，连结FG．··············3 分B因为1 2 ， AF 为公共边，可证△ AEF ≌△ AGF ．EDF所以AFE AFG ， FE FG．··········4 分１4， AD， CE 分别是BAC， BCA 的平分线，23由B60A G C图 4可得2 3 60．所以 AFE CFD AFG 60 ．所以 CFG60 ．···································5 分由 34及 FC 为公共边，可得 △CFG ≌△ CFD ．所以FGFD ．所以 FEFD ． ·········································6 分证法二：如图 5，过点 F 分别作 FG ⊥ AB 于点 G ， FH ⊥ BC 于点 H ． ··············3 分因为B60 ，且 AD ， CE 分别是 BAC ，BCA的平分线，23 60 ， F 是△ABC 的内心．B所以可得······4 分ＧD1，FG FH ．EH所以GEF60F１4 又因为 HDFB1 ，23AC图 5所以GEFHDF． ·······················5 分因此可证 △ EGF ≌△ DHF ．所以 FEFD ． ·········································6 分八、解答题（本题满分 8 分）24．已知抛物线yax 2bx c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于B(10)， ，C (5，0) 两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线yDC的解析式；54（3）若一个动点 P 自OA的中点 M 出发，先到达32 x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称1轴上某点 （设为点 F ），最后运动到点 A ．求使点3 2 11 23 4 5 6 7 x123P运动的总路径最短的点E ，点 F的坐标，并求出这个最短总路径的长．解： 24．解：（ 1）根据题意，c3，a b 3 0，所以25a 5b 3 0.a 3，5 b18 .解得5y3 x 2 18 x 3 所以抛物线解析式为5 5 ． ·························2 分（ 2）依题意可得 OA的三等分点分别为(0，1) ， (0，2) ．设直线CD的解析式为ykx b ．y1 x 1当点 D 的坐标为(0，1) 时，直线 CD 的解析式为5； ···········3 分y2 x 2当点 D 的坐标为(0，2)时，直线 CD 的解析式为5． ··········4 分M3y （ 3）如图，由题意，可得0，2 ．3 A0，3A点 M 关于 x 轴的对称点为MM2 ，FxO BE3C点 A 关于抛物线对称轴x3的对称点为A (6，3)．M连结AM．根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M 的长就是所求点 P 运动的最短总路径的长． ··················································5 分所以 AM与 x 轴的交点为所求 E 点，与直线 x3的交点为所求 F 点．y3 x 3 可求得直线A M的解析式为42 ．3可得 E 点坐标为(2，0)， F 点坐标为3，4．···················7 分A M152 ．由勾股定理可求出(ME EF FA ) 的长为15所以点 P 运动的最短总路径2．··············8 分九、解答题（本题满分8 分）25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．解： 25．解：（ 1）略．写对一种图形的名称给 1 分，最多给 2 分．（ 2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对 60 角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．·································3 分已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC BD，且 AOD 60．求证：BCAD≥ AC．证明：过点D作DF∥AC，在 DF 上截取 DE ，使DE AC．连结CE， BE ．·········································4分故EDO 60，四边形ACED是平行四边形．所以△BDE是等边三角形，D分CE AD． (6)A所以DEBE AC ．O①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），B EC F在△ BCE 中，有 BC CE BE ．图 1所以BCAD AC ．·························7分。
北京中考数学几何压轴题
1.在平行四边形ABCD中，若∠A = 110°，则∠B的度数为：
A.70°（答案）
B.80°
C.90°
D.100°
2.一个圆的半径为r，其内接正方形的边长为：
A.r
B.√2r（答案）
C.2r
D.πr
3.在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若AC = 3，BC = 4，则AB的长度为：
A.5（答案）
B. 6
C.7
D.8
4.已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为：
A.13
B.17（答案）
C.13或17
D.无法确定
5.圆的切线垂直于过切点的半径，这是：
A.公理
B.定理（答案）
C.推论
D.假设
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A = 120°，则∠D的度数为：
A.60°
B.120°
C.60°或120°（答案）
D.无法确定
7.正方形的对角线长度为d，则其边长为：
A.d/2
B.d/√2（答案）
C. d
D.√2d
8.在圆O中，弦AB的长度为8，圆心O到弦AB的距离为3，则圆O的半径为：
A. 4
B.5（答案）
C. 6
D.7
9.已知三角形的三边长为连续整数，且最长边为8，则这个三角形的最短边长为：
A. 4
B. 5
C.6（答案）
D.7
10.在平行四边形ABCD中，若AB = CD，且∠A = ∠C，则平行四边形ABCD是：
A.矩形
B.菱形（答案）
C.正方形
D.无法确定。
北京中考数学压轴题2023
从条件入手，思考条件的按暗示。
先来看看题目中的条件∵△ABC是等腰△D为BC中点，可知三线合一AD⊥BCF是EB中点还有等腰DF=FG特殊的角度∠DFG=2α, ∠B=∠A=α方法1(思路分析)等腰DF=FG以及特殊角∠DFG=2α=2∠B暗示构造∠DFG的角平分线交AE于点H.可知∠HFE= ∠B∴AB∥HF,注意到F是EB中点∴HF是△AEB的中位线∴H是AE中点。
∵△AED是直角△联结HD（斜边中线）联结HG（角平分线模型）易知HD=HE=HA(直角△斜边中线等于斜边的一半) HD=HG(易证△HDF≌△HGF(SAS))∴HD=HE=HA=HGA、E、D、G四点共圆H为圆心∠ADE=∠AGE=90°.方法2(思路分析)∠DFG=2α=2∠BF是EB中点暗示倍长EG构造中位线（这条辅助线在前几年的中考都出现过）延长ED至点H，使得EG=HG联结AH、HB易知GF是△EBH的中位线∴GF∥HB,易知∠ABH=α再+条件AB=AC，妥妥的暗示△ACE≌△ABH但现在全等差一个条件∵FG=FD没用过，我们试证HB=CE易知FG=1/2HB下证FD=1/2CE(有点难度)设FD=y, ED=x∵F是EB中点∴FB=EF=x+yDB=FB+DF=x+2y∵D是BC中点∴CD=x+2y∴CE=CD-ED=2y∴FD=1/2CE∴HB=CE∴△ACE≌△ABH（SAS）∴AE=AH∵G是EH中点(中位线)∴∠AGE=90°方法3（简单分析）等腰DF=FG暗示三线合一提示易知∠ADG=∠HFG=αAD/AC=DG/CE=sinα∴△ACE∽△ADG∴∠CAE=∠DAG∠CAD=∠EAG(公共角) AC/AD=AE/AG∴△ACD∽△AEG∴∠AGE=90°。
2023北京中考数学专题突破——填空压轴题(学生版)
2023北京中考数学专题突破——填空压轴题1．张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买瓶．商品价格组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元C：1支笔5元D：1个本4元E：一方砚台10元F：一瓶墨汁12元2．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）3．某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表小区需送快递数量需取快递数量A156B105C85D47E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案（写出小区编号）．4．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：12345678累计工作时长最多件数（时）种类（件）甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．5．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个；（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工套产品．6．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款．小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付元；若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是．7．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为．（写出一种即可）8．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．9．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）A15410B2338C3148D42511E5139F34512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案．（写出要购买的大礼包编号）10．现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）：B1B2B3 A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为元．11．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．12．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．13．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮总分小恩a a27小王a b c11小奕c b10 14．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．准备时间（分钟）加工时间（分钟）用时种类米饭330炒菜156炒菜258汤5615．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A260330300360240通过小客车数量（辆）在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．16．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．17．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为．工作一二三四五效益机器甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511 18．某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数，①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；②该小组人数的最小值为．19．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．20．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．21．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为；②一个花坛花盆数量的最小值为．22．某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：咖啡品种中杯（300ml）大杯（450ml）A30元/杯45元/杯B34元/杯55元/杯C45元/杯65元/杯咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．请根据上述信息，回答下列问题：（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的品种（填“A”，“B”或“C”）；（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免元（减免的钱数为整数）．23．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊个和钥匙扣个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）．小熊钥匙扣套装进价13316售价16418购买意向40%30%25%24．某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动，商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类只有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如表：种类A B C D E 单价（元/类）2036426590小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为元．25．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装0.25千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为包时，每日所获总售价最大，最大总售价为元．26．小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜．A套餐：一份盖饭加一杯饮料B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜（1）他们点了份A套餐（用含x或y的代数式表示）；（2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有种点餐方案．27．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．28．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为．29．某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡（个）21元薯条（份）9元汽水（杯）12元1个汉堡+1份薯条（A套餐）28元1个汉堡+1杯汽水（B套餐）30元1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐）38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要元．30．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元．第11页（共11页）。
北京市初三数学中考压轴题
2012年北京市初三数学中考压轴题2012海淀一统8.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A,另 一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示•若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧12.用两个全等的含（A）30 角的直角三角形制作如图）A 1所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1,且扇形所在圆的圆;心分别为长直角边的中点和 C 30 角的顶点，按先A 后的顺序交替摆放 A 、B 两种卡片得到图（2所示的图案•若摆放这个图案共用两种卡8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 _________________ ；若摆放这个图案 共用两种卡片（2n+1）张（n 为正整数B ），则这个图案中阴影部分的面积之和为 _________ .（结果保留）22.已知△ ABC 的面积为a , 0、D 分别是边 AC 、BC 的中点.（1） 画图：在图1中将点D 绕点0旋转180 得到点E,连接AE 、CE.填空：四边形ADCE 的面积为 ________________ ;（2） 在（1）的条件下，若 F 1是AB 的中点，F 2是AF 1的中点，F 3是AF ?的中点，…，F n 是AF n -1的中点（n 为大 于1的整数），则厶F 2CE 的面积为 _________________ ; △ F n CE 的面积为 ____________ .填空：四边形ADCE 的面积为 _____________ .（2）A F 2CE 的面积为 ______________ ; △ F n CE 的面积为 _______________解：（1）画图：图1面展开图为（ BA O O (A) A CO (A)图1备用图2 ..23.已知二次函数y=ax+bx+c 的图象与反比例函数 a 亠4y 的图象交于点 A （a, -3），与y 轴交于点x B.(1) (2) 试确定反比例函数的解析式 ； 若.ABO =135，试确定二次函数的解析式 (3) 在（2）的条件下，将二次函数y=ax 2 + bx + c 的图象先沿 图象交于点P (X o , 6).当x o < x w 3时, 的求平移后的二次函数 24.已知在 口ABCD 中，AE（1） 如图 （2） 如图 明理由； （3） 如图 1,2, BC 于 E ， 若 AE=AD ， ADC=60 若AE=AD ，你在（1）中得到的结论是否仍然成立 DF 平分 ADC 交线段 AE 于F.，请直接写出线段 CD 与AF+BE 之间所满足的等量关系； ,若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说 3, 若AE :AD =a :b ,试探究线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论 解：（1）线段CD 与AF+BE 之间所满足的等量关系为 图1 图2(2)（3）线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系为图325.如图，已知抛物线经过坐标原点0及A （-2. 3,0），其顶点为B （m,3）, C 是AB 中点，点E 是直线0C 上的一个动点(点E 与点0不重合)，点D 在y 轴上，且EO=ED .(1) 求此抛物线及直线 0C 的解析式；(2) 当点E 运动到抛物线上时,求BD 的长； (3)连接AD,当点E 运动到何处时，△ AED 的面积为 2012西城北区一统 8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中, 一个动点，线段 DA 与y 轴交于点E , A(2,0) , B(0,2) , O C 的圆心为点C(-1,0)O 面积的最大值是 2乎 匕厂f 1 2y x2 是m W x < n 时，函数值y 的取值范围恰好是 3m <y < 3n ，贝U m= 12.已知二次函数 x , (1)它的最大值为 y L0 1 A X;(2)若存在实数 m , n 使得当自变量x 的取值范围 ,n=20.已知函数y =x 2+bx +c (x >0),满足当x =1时，y =-1，且当x = 0与x =4时的函数值相等.(1)求函数y =x 2，bx c (x >0)的解析式并画出它的图象(不要求列表)三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数 k 的取值范围.22. 阅读下列材料：题目：已知实数 a , x 满足a >2且x >2,试判断ax 与a x 的大小关系，并加以说明. 思路：可用"求差法”比较两个数的大小，先列出 ax 与a - x 的差y = ax-(a x)，再说明y 的符号即可•现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成y=(a_1)x_a ，要判断y 的符号可借助函数 y=(a_1)x_a 的图象和性质解决 参考以上解题思路解决以下问题：已知 a , b , c 都是非负数，a v 5,且 a 2 -a -2b-2c = 0 , a *213-2—3=0 . (1 )分别用含a 的代数式表示4b , 4c ； (2) 说明a , b , c 之间的大小关系.23.已知抛物线 y =kx 2 •(k -2)x 「2 (其中 k 0 ). (1) 求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)；(2)若f(x)表示自变量x 相对应的函数值, -2x bx c(x _0), 且f(x)=-2 (xcO),又已知关于x 的方程f (x) = x • k 有(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m, n)，直接写出n的最小值；(3)将该抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移丄个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点2 k都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围)24 .已知：如图，正方形ABCD的边长为a, BM , DN分别平分正方形的两个外角，且满足M MAN =45，连结MC , NC , MN .(1 )填空：与△ ABM相似的三角形是△__________ ,BM DN(2)求.MCN的度数；(3)猜想线段BM , DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.25 .已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A , C两点的坐标分别为A(2,3), C(n,-3)(其中n> 0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C 的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为I, △ POC的面积为S, S与I的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形.(1) 结合以上信息及图2填空：图2中的m= ____________ ;(2) 求B, C两点的坐标及图2中OF的长；x (3) 在图1中，当动点P 恰为经过O , B 两点的抛物线 W 的顶点时, ① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线y = _1上方的抛物线 W 上，坐标平面内另有一点 形是菱形，求点 Q 的坐标.12012西城南区一统24 .已知：O O 是厶ABC 的外接圆，点 M 为O O 上一点.(1) 如图，若△ ABC 为等边三角形， BM=1 , CM=2，求AM 的长；(2 )若厶ABC 为等腰直角三角形，/ BAC=90 , BM 二a , CM =b (其中b a ),直接写出 AM 的长(用含 有a , b 的代数式表示).2012东城一统22c-2b 8.已知二次函数 y 二ax 2 bx c 的图象如图所示，那么一次函数 y 二bx • b 2 -4ac 与反比例函数 y在R ,A同一坐标系内的图象大致为x(a -1)x 2 -(a 1)x2=0有两个不相等的实数根;(2)当整数a 取何值时，方程(a-1)x 2-(a 7)x • 2 =0的根都是正整数.24 .已知△ ABC 和厶ADE 是等腰直角三角形，/ ACB=Z ADE=90°点F 为BE 中点，连结 DF 、CF.(1) 如图1,当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段 DF 、CF 的数量关系和位置关系 (不用证明); (2) 如图2,在(1)的条件下将△ ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立， 并证明你的判断；CB 于点 值为Rt △ ABC 中，/ ACB=90°,/ ABC=30°P 、Q , / MON 绕点O 任意旋转. 当 OB.( 用含n 的式子表示)，直角/ MON 的顶点O 在AB 上, =丄时，的值为2 OQOM 、ON 分别交 CA 、OB时，竺的OQ23. 已知：关于x 的方程(a -1)x 2 -(a 1)x 2 = 0 •(1 )当a 取何值时，方程12.如图，在 B接写出结果).(3) 如图3,在(1)的条件下将△ ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1 , AC=2. 2 ,求此时线段CF的长(直FDA C25•在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =mx2 * 3x 5 m与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C (0 , 4) , D为OC的中点.(1 )求m的值；（2） 抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ,在直线AD 上是否存在点F ,使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与.：ADE 相似？若存在，请求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由；5 _ （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 6,使厶GBC 中BC 边上的高为 、2 ?若存在，求出点 G 的坐标；若不2存在，请说明理由.1-O .iX2012朝阳一统8.如图，Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° AC = 3, BC = 4, P 是斜边 AB 上一动点（不与点 A 、B 重合），PQ 丄AB 交厶ABC 的直角边于点 Q ,设AP 为、△ APQ 的面积为y ,则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是12.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1, 这样的数称为正方形数”（如图②）.b 4 =16，…；y 1 = 2a 1 b 1 , y ^ = 2a 2 b 2 , y 3 =2a 3 b 3 ,y n = _____ （用含 C. D.3, 6, 10，… 这样的数称为 三角形数”(如图①)，而把1, 4, 9, 16,… 如果规定 a 1 =1 , a 2 = 3, a 3 = 6 , a 4 = 10 ,…；d = 1 , b 2 = 4 , b 3 = 9 , y 4 = 2a 4b 4,…,那么，按此规定， y 6二—, n 的式子表示，n 为正整数）./ ACB=90 ° , O 为BC 边上一点，以E ,连接 CD ，且 CD=CA , BD=6. 5 , tan / ADC=2 . 求23.如图，在△ 交于点D 、点(1) (2)ABC0图②圆心, OB 为半径作半圆与 AB 边和BC 边分别0 0 O o o O o o O OOO10 1624. 已知，在△ ABC中，/ BAC=90 ° AB=AC, BC= 2<2，点D、E在BC边上(均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧)，且/ DAE = 45°(1 )请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上_____________ , _____(2)设BE = m, CD = n,求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围;(3)如图②，当BE= CD时，求DE的长；(4)求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2图①图②备用图25. 已知抛物线y= ax2+ bx+ 6与x轴交于A、B两点(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C,1 1且0B= OC，tan/ ACO = —，顶点为D.2 6(1)求点A的坐标.(2)求直线CD与x轴的交点E的坐标.(3)在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点四边形ABMN 的面积S 最大？请求出此时S 的最大值和点 N 的坐标. (5)点P 为此抛物线对称轴上一动点，若以点 P 为圆心的圆与(4)中的直线AM 及x 轴同时相切，则此时点P 的坐标为 _______ .23. 如图 1，在△ ABC 中，/ ACB=90 ° 结A 'A 、B 'B ,设△ ACA 和△ BCB 的面积分别为 S ^ACA(1) ______________________________________________ 直接写出 S ^ ACA ' : S ^ BCB ' 的值 ,(2)如图2,当旋转角为二(0 °V rv 180°)时，S ^ ACA ' 与 S A BCB '的比值是否发生变化，若不变请证明; 若改变，写出变化后的比值(可用含二的代数式表示).y8 - 7 - 6 -543-2 ■ 1 -1Iii1111-^.-5 -4 -3 -2 -1q1 2 3 4 5 x ■>-2 —-3-4 ■ -5 ■-6■ y8 - 7 -65 L 4 L 3 1— 2W1 -iiii1 1 1 1-5 -4 -3 -2 -1q1 2 3 4 5x-2 <=■ -3■-4 - -5 --6-备用图① 备用图②2012石景山一统8.如图，动点P 从点A 出发，沿线段 段AP 长为半径的圆的面积AB 运动至点 P 的运动时间12.如图，O A 与x 轴交于则PD 的最小值是 __________B (2，0)、,AC=3 , BC=4，将△ ABC 绕顶点C 顺时针旋转 30°,得到△ A B C .联 '和S ^BCB ，. B .点P 在运动过程中速度大小不变.则以点A 为圆心，线图1 图224.已知函数y二mx2「3x - 2 (m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若一次函数y二x • 1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求的值及这个交点的坐标.25.如图，矩形A'BC'o'是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的. 其中点O',C在x轴负半轴上，线段OA在y 轴正半轴上，B点的坐标为-1,3 .Q - I(1)如果二次函数y =ax • bx • c a = 0的图象经过O、O两点且图象顶点M的纵坐标为-1 .求这个二次函数的解析式；(2)求边O'A'所在直线的解析式；(3)在(1)中求出的二次函数图象上是否存在点P,使得S.p oM二3S..COD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.2012丰台一统8 .如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm , AD=2cm ，动点M 自点A 出发沿A 〜B 的方向，以每秒1cm 的速度运动, 同时动点N 自点A 出发沿A T D T C 的方向以每秒2cm 的速度运动，当点 N 到达点C 时，两点同时停止运动， 设运动时间为x (秒),△AMN 的面积为y (cm 2),则下列图象中能反映 y 与x 之间的函数关系的是VA 2-3 2 1||32 1j32-01 2 3 x-O 1 2 3 x -O -- i -14.我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”已知：在 Rt △ ABC 中，/ C=90° AC=6, BC=3 .(1) 如图1,四边形CDEF 是厶ABC 的内接正方形, 则正方形 CDEF 的边长a 1是 _____________________ ;(2)如图2,四边形DGHI是(1)中厶EDA的内接正方形, 则第2个正方的边长a2= _______________继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长轴交于点C .(1) 求抛物线的解析式； (2) 求厶ABC 的面积；(3) 点P(t,O)是x 轴上的一个动点.过点 N 的上方时，直接写出 t 的取值范围.3 - 2 ■1n 1 i i 1 1 11 » T £ — -10-1 2 3)- - - i —--24. 在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC , CD 丄AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结 BE 交CD 于点F ，过 点E 作EG 丄BE 交AB 于点G , (1) 如图1,当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 _______________ ;CE 1 (2)如图2,当 ，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明；AE 2CE 1(3)如图3,当，线段EF 与EG 的数量关系是 _____________AE na n = .(n 为正整数)23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y2 _=mx +n x-2 与直线 y=x — 1 交于 A (- 1, a )、B (b ,0 )两点，与 yP 作x 轴的垂线交直线 AB 于点M ，交抛物线于点 N .当点M 位于点2 _25.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C i ： y i - -x 2x.（1 ）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移 1个单位，得到抛物线 C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及 它的解析式.（2）如果x 轴上有一动点 M ，那么在两条抛物线C 2上是否存在点 N ,使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.y* 3 2- AGcB A图3-2-1O 12345678 x2012大兴一统8.已知函数y = (x-a)(x「b)(其中a b )的图象如图所示，则函数y二ax • b的图象可能正确的是A B C D12.如图所示，长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向) ，木板上点A位置变化为A—；A—；A，由A翻滚到A时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边A2C与桌面成30 °角，则点A翻滚到A位置时所经过的路径总长度为cm.23.已知：在△ ABC中，AB二AC，点D为BC边的中点，点F在AB上，连结DF并延长到点E ,使BAE 二BDF，点M 在线段DF 上，且ABE 二DBM .(1)如图1,当• ABC =45°时，求证：AE = .2MD ；(2)如图2,当.ABC =60°时，则线段AE、MD 之间的数量关系为（3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MP =BM，连接CP，若AB =7, AE =2、.7，求tan. EAB的值.2 2 224.已知a、b均为整数，直线y = ax • b与三条抛物线y = x 3, x 6x 7和y = x 4x 5交点的个数分别是2,1,0,若bx2 ay2 =6x,求x2 y2的最大值.1 2 325.已知二次函数y x x .4 2（1 ）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M，与x轴、y轴的交点分别为A、B、C 三点，连结AC、BC,若/ ACB=90° .①求此时抛物线的解析式；②以AB为直径作圆，试判断直线CM与此圆的位置关系，并说明理由.2012怀柔一统8.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° / BAC=30 ° AB=2 , D 是AB 边上的一个动点(不与点 A 、B 重合)，过的垂线交射线CA 于点E .设AD=x , CE=y ，则下列图象中，能表示 y 与x 的函数关系的图象大致是(k23•如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数 ％ 的图象上一点，AB_x 轴的正半轴于B 点，C 是OBx的中点；一次函数 y^ ax b 的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点D 0, 2，若S ^AOD = 4.(1 )求反比例函数和一次函数的解析式;(2)观察图象，请指出在 y 轴的右侧，当 乳• y 2时x 的取值范围，当解:点D 作CD整数之和都相等，则第 99个格子中的数为3abc-1212 •如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填 ，2012个格子中的数为24.把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转：•角,旋转后的矩形记为矩形 EDCF •在旋转过程中，(1) _______________________________________________________ 如图①，当点 E 在射线CB 上时，E 点坐标为 __________________________________________________________________ ; (2) _______________________________________________________ 当:CBD 是等边三角形时，旋转角 :的度数是 ___________________________________________________________________ C-为锐角时)；(3) 如图②，设 EF 与BC 交于点G ,当EG=CG 时，求点 G 的坐标.25.如图，在平面直角坐标系中，顶点为( 4 , -1)的抛物线交y 轴于A 点，交x轴于B , C 两点(点B 在点C 的左侧).已知A 点坐标为(0, 3).(1 )求此抛物线的解析式；(2) 过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ,如果以点C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的⑷如图③，当■, -90时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上.图① 图②图③对称轴I与O C有怎样的位置关系，并给出证明；(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积•解:y(第25题)2012门头沟一统8.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0）, / AOC= 60°,垂直于x 轴的直 线I 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线 I 与菱形OABC 的两边分别交于点12.某商店将每件进价 8元的商品按每件10元出售，一天可以售出约 100件，该商店想通过降低售价增加销售 量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件，那么要想使销售利润最大，则需要将这种商品的售价降223. 已知抛物线y 1 =x 4x 1的图象向上平移 m 个单位（m ）得到的新抛物线过点（1，8）（1 ）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成y 2 =a （x-h ）2 • k 的形式；（2） 将平移后的抛物线在 x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个3新的图象•请写出这个图象对应的函数 y 的解析式，同时写出该函数在 -3：：：x <时对应的函数值y 的取值范2围； （3）设一次函数y 3二nx ■ 3（n = 0），问是否存在正整数 n 使得（2）中函数的函数值 y 二y 3时，对应的x 的值 为-1 ：：：x ：：：0,若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.「y5 4 - 3 - 2 1__ I __ | _ | __ | __ L | ||| | 字-5 -4 -3 -2 -1 0 __ 1 _ 23 4 5x-1 --2 -3 -4 -M ，N （点 M 在点N 的上方），若△ OMN的面积为S ，直线I 的运动时间为t 秒（A）-5 -24. 如图，四边形ABCD中，AD = CD，/ DAB =Z ACB = 90°过点D作DE丄AC，垂足为F, DE与AB相交于点E.(1) 求证：AB • AF = CB • CD ;(2) 已知AB = 15 cm , BC = 9 cm , P是射线DE上的动点.设DP= x cm ( x 0),四边形BCDP的面积为y cm2.①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△ PBC的周长最小，并求出此时y的值.25. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A (-3, 0)、B (1, 0),过顶点C作CH丄x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)在y轴上是否存在点 D ,使得△ ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ丄AC于点0,当厶PCQ与厶ACH相似时，求点P 的坐标.(备用图)2012平谷一统8•如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //对角线AC、BD相交于O,/ ABD=30 ,AC 丄BC, AB=8cm，则△CD,COD的面积为A. ^/3cm2 B . 4 2 cm33C. 3cm? D . 2 2 cm3313.如图，在直角三角形ABC中，/ ACB=90 ° CA=4，点P是半圆弧AC的中点，联结BP，线段BP把图形APCB (指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是23.如图，在△ ABC中，AB= AC,以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作EF丄AC于点E,交AB的延长线于点F.A(1) 求证：EF是O O的切线；(2) 当AB = 5, BC= 6 时，求DE 的长.324.如图，一次函数的图象与反比例函数y i= - - (xvO)的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C ( 2, 0).当X ：：：-1时，一次函数值大于反比例函数的值，当X • -1时，一次函数值小于反比例函数值•(1)求一次函数的解析式；a 3 a(2)设函数y2= - (x 0)的图象与屮=--(x<0)的图象关于y轴对称•在粹 X (x 0)的图象上取一点Px x x(P点的横坐标大于2)，过P作PQ丄x轴，垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2,求P点的坐标.y1 y2225. 已知关于x的二次函数y =ax bx c（a>0）的图象经过点C（0,1）,且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是（1，0）.（1 ）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记厶PCD的面积为§,△ PAB的面积为当0 ：：： a ：：： 1时，求S, -S2的值.1 2 8.如图，将抛物线y x21 2线y x相交于点C,2A .平移后经过原点O和点A(6,0)，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为21~2B.1227C. "2D. 152012顺义一统12.如图，在平面直角坐标系中，过格点 A , B , C 作一圆弧，点B 与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的 连线所对应的格点的坐标为 _____________________________ .123 .如图，AB 是O O 的直径，AC 是弦，/ ACD = / AOC , AD 丄CD 于点D .2(1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AB= 10, AD = 2,求 AC 的长.24.在Rt △ ABC 中，•-ACB = 90 , BC =30, AC = 40，点P 是AB 边上任意一点，直线 PE 丄AB ，与边 AC 或BC 相交于点E .点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，且PM=PN , tan ，EMP =3 . (1)如图①，当点 E 与点C 重合时，求MP 的长；(2)设AP 二X , △ ENB 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式，并求出当x 取何值时，y 有最大值，最大值是多备用图 备用图图①25.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2 3的等边△ ABC随着顶点A在抛物线申=£ _2、3x上运动而运动，且始终有BC // x轴.(1)当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？(2)△ ABC在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为 1 : 8(即S上部分:S下部分=1:8)时，求顶点A的坐标；B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标.(3)△ ABC在运动过程中，当顶点2012昌平一统8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点，过P作DP的垂线交射线AB于点E.设BP = x , AE = y ,则下列图象中，能表示 y与x 的函数关系的图象大致是12.如图,点A i , A 2A i , A 2A 3=3OA i , A 3 A 4=4OA i ，….（n 为正整数）.22.已知正方形纸片 ABCD .如图1，将正方形纸片折叠，使顶点合)，折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G . (1) 请你找到一个与 △ EDP 相似的三角形，并证明你的结论； (2)当AB=2,点P 位于CD 中点时，请借助图 2画出折叠后的示意图，并求 CG 的长.ADI 1 I I I I I II I IIIIIB -------------------------- C图224. 【初始问题】如图i ，已知两个同心圆，直线 AD 分别交大O O 于点A 、D ，交小O O 于点B 、C .AB 与CD 相等吗？请证明你的结论.【类比研究】如图 2，若两个等边三角形 ABC 和A i B i C i 的中心(点O )相同，且满足 AB // A i B i , BC / B i C i , AC // A i C i ，可知 AB 与A i B i , BC 与B i C i , AC 与A i C i 之间的距离相等.直线MQ 分别交三角形的边于点 M 、N 、P 、Q ,与AB 所成夹角为/ a (30 ° <Z aV 90°).(1) 求MN (用含/ a 的式子表示)；PQ(2) 求/ a 等于多少度时，MN = PQ .OA i =1, A i B i =20 A i , A 1 A 2=2O______ , A n B n = _____________ ,A 3 ,…，点B i , B 2 , B 3 ,…，分别在射线 OM , ON 上. A i B i // A 2B 2 // A 3B 3 // A 4B 4 //….则 A 2B 2=C2 . . _____________________________________________________25. 如图，抛物线y =ax +bx+c过点A (-1 , 0),且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C.(1)求点B、C的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3 )求抛物线的顶点M的坐标；(4)在直线y =x-3上是否存在点卩，使厶CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在, 说明理由.y A-1O2012延庆一统&如图，点A、B C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿线段OC-弧CD-线段DO的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，/ APB的度数为y度，则下列图象中表示y12.如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形) ，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长22. 如图1,若将△ AOB绕点O逆时针旋转180。
北京市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题综合练习
北京市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题综合练习一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE2．点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．直线1y x =+与2y x a =-+的交点在第一象限，则a 的取值可以是（ ）A ．1-B ．3C ．1D ．04．小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着云图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程，小明离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法错误的是（ ）A ．小明从家到食堂用了8minB ．小明家离食堂0.6km ，食堂离图书馆0.2km C ．小明吃早餐用了30min ，读报用了17min D ．小明从图书馆回家的平均速度为0.08km/min5．如图是一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象，则不等式kx b x a ++＜的解集是（ ）A ．3x ＜B ．3x ＞C ．x a b ＞－D ．x a b <-6．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数2y x =的图像与直线y kx b =+交于()1,2--A ．直线y kx b =+，还经过点()2,0-．则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．2x <-B ．20x -<<C ．21x -<<-D ．10x -<< 7．下列函数中y 随x 的增大而增大，且图象与x 轴交点在y 轴左侧的是（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．21y x =-- 8．函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＜2D ．x ＞29．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为( )A ．4B ．8C ．82D ．16 10．若点(2,1)P -在直线y x b =-+上，则b 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－311．如图，在矩形ABCD 中，一动点P 从点A 出发，沿着A→B→C→D 的方向匀速运动，最后到达点D ，则点P 在匀速运动过程中，△APD 的面积y 随时间x 变化的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，直线y=-x+2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若△OBC 和△OAD 的周长相等，则OD 的长是( )A ．2B ．2C ．522D ．413．如图是一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象，则不等式kx b x a ++＜的解集是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．3x >D ．3x <14．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B ；按3B 此规律作下去，则点n B 的坐标为( )A ．(2n ，2n-1)B ．(12n -，2n )C ．(2n+1，2n )D ．（2n ，12n +）15．如图，直线3y kx =+经过点(2,0)，则关于x 的不等式30kx +≥的解集是（ ）A ．2x ＞B ．2x ＜C ．2x ≥D ．2x ≤16．如图，函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过点B （2，0），与函数y =2x 的图象交于点A ，则不等式0＜kx +b ＜2x 的解集为（ ）A ．12x <<B ．2x >C ．0x >D ．01x <<17．已知正比例函数y =kx 的图象经过点P （-1，2），则k 的值是（ ）A ．2B ．12C ．2-D ．12- 18．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,1)B ，(2,2)C ，当直线3y kx =+与ABC ∆有交点时，k 的取值范围是（ ）A ．2132k -≤≤-B ．223k -≤≤-C ．223k -<<-D ．122k -≤≤- 19．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣6（k ＜0）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．20．已知正比例函数y=kx ，且y 随x 的增大而减少，则直线y=2x+k 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．D【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的y 随x 的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的．【详解】A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A 的距离是BA ，在点C 时的距离是BC ，BA ＜BC ，故选项A 错误；B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项B 错误；C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项C 错误；D 、由图1可知，若线段DE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A 的距离是DA ，在点C 时的距离是DC ，DA ＞DC ，故选项D 正确；故选D．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．2．B【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为(4，0)，∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x＜6），∴B符合．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x，y的取值范围．3．B【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．【详解】联立12y xy x a=+⎧⎨=-+⎩，解得：1323axay-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∵交点在第一象限，∴1323aa-⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得：1a>．只有3a=符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．4．C【分析】根据题意，分析图象，结合简单计算，可以得到答案.【详解】解：根据图象可知：A. 小明从家到食堂用了8min，故A选项说法正确;B. 小明家离食堂0.6km，食堂离图书馆0.8-0.6=0.2（km），故B选项说法正确；C. 小明吃早餐用了25-8=17（min），读报用了58-28=30（min），故C选项错误；D. 小明从图书馆回家的平均速度为0.8÷（68-58=）0.08（km/min），故D选项正确.故选C.【点睛】本题考核知识点：函数的图形.重点：分析函数图象，得到相关信息,并进行简单运算. 5．B【分析】利用函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．【详解】结合图象，当x＞3时，y1＜y2，即kx+b＜x+a，所以不等式kx-x＜a-b的解集为x＞3．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．6．C【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b 的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，即可得出答案．【详解】由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），∴不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，∴不等式2x＜kx+b＜0的解集是-2＜x＜-1，故选：C．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．7．B【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以判断哪个选项中的函数y随x的增大而增大，且图象与x轴交点在y轴左侧，本题得以解决．【详解】解：函数y=2x-1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项A不符题意；函数y=2x+1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项B 符题意；函数y=-2x+1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项C 不符题意；函数y=-2x-1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项D 不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8．C【详解】根据图象可知y=kx+b与x轴交于（2,0），图像在交点的左侧部分满足不等式kx+b＞0 ，故解集为x<2，故选C.9．D【解析】试题解析：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y=2x-6上，∵C（1，4），∴FD=CA=4，将y=4代入y=2x-6中得：x=5，即OD=5，∵A（1，0），即OA=1，∴AD=CF=OD-OA=5-1=4，则线段BC扫过的面积S=S平行四边形BCFE=CF•FD=16．故选D．10．B【分析】将点P（-2，1）的坐标代入直线y=-x+b即可解得b的值；【详解】解：∵直线y=-x+b经过点P（-2，1），∴1=-(-2)+b，∴b= -1．故选：B．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键是根据点的坐标利用待定系数法求出b 的值．11．D【分析】分点P在AB段运动、点P在BC段运动、点P在CD段运动三种情况，分别求函数表达式即可．【详解】当点P在AB段运动时，△APD的面积y随时间x的增大而增大；当点P在BC段运动时，△APD的面积y保持不变；故排除A、C选项；当点P在CD段运动时，△APD的面积y随时间x的增大而减小；故选：D．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．12．B【分析】根据直线解析式可得OA和OB长度，利用勾股定理可得AB长度，再根据线段垂直平分线的性质以及两个三角形周长线段，可得OD=AB．【详解】当x=0时，y=2∴点B（0,2）当y=0时，-x+2=0解之：x=2∴点A（2,0）∴OA=OB=2∵点C在线段OD的垂直平分线上∴OC=CD∵△OBC和△OAD的周长相等，∴OB+OC+BC=OA+OD+AD∴OB+BC+CD=OA+OD+ADOB+BD=OA+OD+AD 即OB+AB+AD=OB+OD+AD∴AB=OD在Rt △AOB 中=故选B【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点坐标特征、线段垂直平分线的性质、以及勾股定理． 13．C【分析】根据函数图象可以直接判断本题的答案．【详解】解：结合图象，当3x >时，函数1y kx b =+在函数2y x a =+的下方，即不等式kx b x a ++＜的解集是3x >；故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线=+y kx b 在另一条直线（或者x 轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查．14．B【分析】先根据题意求出点A 2的坐标，再根据点A 2的坐标求出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点n B 的坐标．【详解】∵1(1,0)A∴11OA =∵过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B∴()11,2B∵2(2,0)A∴22OA =∵过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B∴()12,4B∵点3A 与点O 关于直线22A B 对称∴()()334,0,4,8A B以此类推便可求得点A n 的坐标为()12,0n -，点B n 的坐标为()12,2n n -故答案为：B．【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．15．D【分析】写出函数图象在x轴上方及x轴上所对应的自变量的范围即可．【详解】解：当x≤2时，y≥0．所以关于x的不等式kx+3≥0的解集是x≤2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．16．A【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y=2x 都在直线y=kx+b的上方，当x＜2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．【详解】设A点坐标为（x，2），把A（x，2）代入y=2x，得2x=2，解得x=1，则A点坐标为（1，2），所以当x＞1时，2x＞kx+b，∵函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），∴x＜2时，kx+b＞0，∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．C【分析】把点P（-1，2）代入正比例函数y=kx，即可求出k的值．【详解】把点P(−1,2)代入正比例函数y=kx，得：2=−k，解得：k=−2.故选C.【点睛】此题考查待定系数法求正比例函数解析式，解题关键在于把已知点代入解析式. 18．B【分析】把A 点和B 点坐标分别代入y=kx+3中求出对应的的值，即可求得直线y=kx+3与△ABC 有交点时k 的临界值，然后再确定k 的取值范围．【详解】解：把A （1,1）代入y=kx+3得1=k+3，解得k=-2把B （3,1）代入y=kx+3得1=3k+3，解得：k=23- 所以当直线y=kx+3与△ABC 有交点时，k 的取值范围是223k -≤≤-． 故答案为B ．【点睛】 本题考查了一次函数与系数的关系,将A 、B 点坐标代入解析式确定k 的边界点是解答本题的关键．19．B【分析】一次函数y ＝kx +b 中，k 的符号决定了直线的方向，b 的符号决定了直线与y 轴的交点位置，据此判断即可．【详解】∵一次函数y ＝kx ﹣6中，k ＜0∴直线从左往右下降又∵常数项﹣6＜0∴直线与y 轴交于负半轴∴直线经过第二、三、四象限故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象问题，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．20．D【详解】∵正比例函数y kx =，且y 随x 的增大而减少，0k ．∴< 在直线2y x k =+中，200k ><，，∴函数图象经过一、三、四象限．故选D ．。
2023年北京中考数学重难题型专题02以三角形为载体的几何压轴问题(真题模考题共34题)练习版
2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC 上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD 于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC 重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证明你的判断．ME14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。
北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总
北京中考数学----二次函数综合题24、（2007•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．考点：二次函数综合题。
专题：代数综合题。
分析：（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可．（2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式．（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标．解答：解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为：．（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），依题意，可得C（，﹣1），且直线过原点，设直线的解析式为y=kx，则，解得，所以直线l的解析式为．（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点，反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：①OM1==×2=，所以点M1的坐标为（，0）．②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2），③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，﹣2），④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，M4N=，且ON=M4N，所以点M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：M1（，0）、M2（0，2）、M3（0，﹣2）、M4（，0）．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法24、（2008•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题。
北京市中考数学压轴题集
北京市中考数学压轴题集1.（北京市）如图，在平面直角坐标系xO y 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6，0)，B (6，0)，C (0，34)，延长AC 到点D ，使CD ＝21AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ．（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b=+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）2.（北京市）在□ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）．（1）在图1中画图探究：①当P 1为射线CD 上任意一点（P 1不与C 点重合）时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 1，判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2，将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 2，判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD ＝6，tan B ＝34，AE ＝1，在①的条件下，设CP 1＝x ，S △P 1FG 1＝y ，求y 与x 11A B yxO C ED之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．3.（北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知A （﹣1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．（1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围；（3）已知▱AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x的取值范围．AD B CE F图1A D B C EF 图2（备用）。
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34PP ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围． 3．在△ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB AC D E ==，分别是AB AC ，的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在△ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点．①若12t =，求△ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）．（1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围； （3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．6． A ，B 是⊙C 上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若∠APB 为直角，则称∠APB 为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在∠APB 边（含顶点）上时，称∠APB 为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，∠AMB 是AB 关于⊙C 的内直角，∠ANB 是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，A （0，﹣5），B （4，3）是⊙O 上两点．①已知P 1（1，0），P 2（0，3），P 3（﹣2，1），在∠AP 1B ，∠AP 2B ，∠AP 3B ，中，是AB 关于⊙O 的内直角的是 ；②若在直线y =2x +b 上存在一点P ，使得∠APB 是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以T （t ，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点M （1，0），N （0，n ），对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使∠DHE 是DE 关于⊙T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；(2)如图2，⊙O的半径为1，直线y b=+(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在PQR 使得2PQR SPQ =，则称PQR 为线段PQ的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”．（1）已知(3,0)A ．①在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是_____________；②若存在等腰OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；（2）已知点C 的坐标为(2,1)C -，点D 在直线3y x =-上，记图形M 为以点(1,0)T 为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”CDE △为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中,,,0,A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，M ，N 为该正方形外两点，1MN =．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点,M N ''分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（,,M N P '''分别为点M ，N ，P 的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122,M N M N ，则这两条线段的位置关系是_______；若12,P P 分别为1122,M N M N 的中点，在点12,P P 中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图，已知点1,02E ⎫+⎪⎪⎝⎭，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为(2)2，，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转90︒得到图形N ，图形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ．①若点A 的坐标为(0,2)，则点B 的坐标为_______；②若点B 的坐标为(2,1)，则点A 的坐标为_______．（2）(3,3),(2,3),(,0)E F G a --．线段EF 关于点G 的“垂直图形”记为E F ''，点E 的对应点为E '，点F 的对应点为F '．①求点E '的坐标（用含a 的式子表示）；②若O 的半径为2，E F ''上任意一点都在O 内部或圆上，直接写出满足条件的EE '的长度的最大值．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM QN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点．（1）如图1，已知点(0,3)A ，()2,3B ；①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ； ②在13,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2(1,4)P ，3(3,0)P -这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； （2）如图2，已知O 的半径为1，点D 的坐标为(5,0)．若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是O 的一对平衡点，求x 的取值范围；（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 的正半轴于点K ．点(,)C a b （其中0b ≥）是坐标平面内一个动点，且5OC =，C 是以点C 为圆心，半径为2的圆，若HK 上的任意两个点都是C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围．12．在△ABM 中，∠ABM ＝90°，以AB 为一边向△ABM 的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作⊙A ，我们称正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在⊙A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABM 的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD 是⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形”．（1）图2中，△ABM 中，BA ＝BM ，∠ABM ＝90°，在图中画出⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形ABCD ”．（2）若点A在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．13．在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称DE为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中DE是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0）．（1）当t＝2时，①在点C1（﹣3，2），C2（0，C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是；②若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧DE所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；（2）若△ABC的C﹣中线弧DE所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．14．在△ABC 中，点P 是∠BAC 的角平分线AD 上的一点，若以点P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与△ABC 的交点不．少于．．4个，点P 称为△ABC 关于∠BAC 的“劲度点”，线段 PA 的长度称为△ABC 关于∠BAC 的“劲度距离”． （1）如图，在∠BAC 平分线AD 上的四个点1P 、2P 、3P 、4P 中，连接点A 和点 的线段长度是△ABC 关于∠BAC 的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M （0，t ），N （4，0）．①当t =5时，求出△MON 关于∠MON 的“劲度距离”1d 的最大值．d ≤MON 关于∠MON 的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．15．对于平面内的图形G 1和图形G 2，记平面内一点P 到图形G 1上各点的最短距离为d 1，点P 到图形G 2上各点的最短距离为d 2，若d 1＝d 2，就称点P 是图形G 1和图形G 2的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B （0，（1）在C （4，0），D （2，0），E （1，3）三点中，点A 和点B 的等距点是 ；（2）已知直线 y =2．①若点A 和直线y =2的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ；②若直线y =b 上存在点A 和直线y ＝2的等距点，求实数b 的取值范围；（3）记直线AB 为直线l 1，直线l 2：y = ，以原点O 为圆心作半径为r 的⊙O ．若⊙O 上有m 个直线l 1和直线l 2的等距点，以及n 个直线l 1和y 轴的等距点（m ≠0，n ≠0），当 m ≠n 时，求r 的取值范围．16．对于平面内的点M ，如果点P ，点Q 与点M 所构成的MPQ 是边长为1的等边三角形，则称点P ，点Q 为点M 的一对“关联点”，进一步地，在MPQ 中，若顶点M ，P ，Q 按顺时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“顺关联点”；若顶点M ，P ，Q 按逆时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“逆关联点”．已知(1,0)A ，（1）在3(0,0),(0,1),(2,0),,2O B C D ⎛ ⎝⎭中，点A 的一对关联点是____，它们为点A 的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O 为圆心作半径为1的圆，已知直线:l y b =+．①若点P 在⊙O 上，点Q 在直线l 上，点P ，点Q 为点A 的一对关联点，求b 的值；②若在⊙O 上存在点R ，在直线l 上存在两点()11,T x y 和()22,S x y ，其中12x x >，且点T ，点S 为点R 的一对顺关联点，求b 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，若1212x x y y k -+-=（k 为常数且0k ≠），则称点M 为点N 的k 倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点(1,1)A①若点(2,3)B -是点A 的k 倍直角点，则k 的值是___________；②在点(2,3),(1,1),(0,2),(0,0)C D E O --中是点A 的2倍直角点的是_______；③若直线2y x b =-+上存在点A 的2倍直角点，求b 的取值范围；（2）T 的圆心T 的坐标为(1,0)，半径为r ，若T 上存在点O 的2倍直角点，直接写出r 的取值范围． 18．在平面直角坐标系O x y 中，任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义线段PQ 的“直角长度”为2121PQ d x x y y =-+-．（1）已知点(3,2)A ．① OA d =________；② 已知点(,0)B m ，若6AB d =，求m 的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点(3,3)M ．① 点(0,)(0)D d d ≠．如果OMD 为“和距三角形”，求d 的取值范围；② 在平面直角坐标系xOy 中，点C 为直线4y x =--上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足1CK =，当点C 在直线上运动时，点K 均满足使OMK △为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标C x 的取值范围．19．如图，直线l 和直线l 外一点P ，过点P 作PH l ⊥于点H 任取直线l 上点Q ，点H 关于直线PQ 的对称点为点H '，标点H '为点P 关于直线l 的垂对点．在平面直角坐标系xOy 中，（1）已知点(0,2)P ，则点(0,0),(2,2),(0,4)O A B 中是点P 关于x 轴的垂对点的是_______；（2）已知点(0,)M m ，且0m >，直线443y x =-+上存在点M 关于x 轴的垂对点，求m 的取值范围； （3）已知点(,2)N n ，若直线y x n =+上存在两个点N 关于x 轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，20．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形Q 和∠P ，给出如下定义：若图形Q 上的所有的点都在∠P 的内部或∠P 的边上，则∠P 的最小值称为点P 对图形Q 的可视度．如图1，∠AOB 的度数为点O 对线段AB 的可视度．（1）已知点N （2，0），在点1M ，2M ，3(2,3)M 中，对线段ON 的可视度为60º的点是______． （2）如图2，已知点A （-2，2），B （-2，-2），C （2，-2），D （2，2），E （0，4）．①直接写出点E 对四边形ABCD 的可视度为______°；②已知点F （a ，4），若点F 对四边形ABCD 的可视度为45°，求a 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且AOM α∠=，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30-相关线段”．（1）已知点A 的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A 的“30-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标；②若点A 的“α-相关线段”经过点，求α的值；（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO t =，直接写出t 的取值范围．参考答案1．（1）22B C ；（2）t =3）当min 1OA =时，此时BC =max 2OA =时，此时BC =． 【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可； （2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到； 故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴， ∴12B D DC ''==，∴OD =AD ==∴OA =∴t =当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =∴t =（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，则有当以B '为圆心，1为半径作圆，然后以点A 为圆心，2为半径作圆，即可得到点A 的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A 也在O 上时为最小，最小值为1，此时AC '为O 的直径，∴90AB C ''∠=︒，∴30AC B ''∠=︒，∴cos30BC B C AC '''==⋅︒=由以上情况可知当点,,A B O '三点共线时，OA 的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C '''，过点C '作C P OA '⊥于点P ，∴1,2OC AC OA ''===，设OP x =，则有2AP x =-，∴由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP '''=-=-，即()222221x x --=-， 解得：14x =，∴C P '= ∴34B P OB OP ''=-=，在Rt B PC ''中，B C ''==∴BC =综上所述：当min 1OA =时，此时BC max 2OA =时，此时BC =． 【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．2．（1）平行，P 3；（23）232d ≤≤【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线y =+CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴2sin 60OE ︒==由垂径定理得：OF ==∴1d OE OF =-=（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为52 AO==．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=12, A2∴MA=3,AA 2=∴2d 的取值范围为：232d ≤≤ 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）①P 的纵坐标1p y ≥或12P y ≤；②0t <≤【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，DE 的长即以DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，，①当12t =时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP ＜135°；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，∵∠A=90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，114,42sin 22∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ∴弧DE 122ππ=⨯=； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G ，①当12t =时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ， 设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m≥1， ∵OA=OC ，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，∵DE ∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m 或m≥1．②图4，设圆心P 在AC 上，∵P 在DE 中垂线上，∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM=32 3,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ∵DE ∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∴=AE ∵PD=PE ，∴∠AED=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤313，解得：2t002>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或04t -≤≤4t =+【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t 的取值范围．详解：（1）如下图所示：∵B （2-，2-），C （6，2-）∴D （0，2-）∴d （O ，ABC ）2OD ==（2）10k -≤<或01k <≤（3）4t =-或04t ≤≤-4t =+点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）C；（2）﹣1≤x k≤11≤x k3）m≤3﹣【分析】（1）由题意可知当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段AB的共圆点的是C；（2）根据题意由两点的距离公式可得，分别画以AP和BP为直径的圆交x轴于4个点：K1、K2、K3、K4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；x+3，当x=0和y=0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情况：M在A的左侧和右（3）由题意先根据直线y=12x+3相切时m的值，从而根据图形可得结论．侧，先计算圆E与直线y=12【详解】解：（1）如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，故答案为：C；（2）∵P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．∴AP＝BP，如图2，分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点K1、K2、K3、K4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣10），k2（10），k3﹣1，0），k4（0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1k≤11≤x k（3）分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH，∴OE＝6，Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，∴222a=+，1(6)解得：a，∴QG＝2OE＝2（6）＝﹣∴m≤3﹣x+3相切于点F，连②如图4，当M在点A的右侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12接EF，则EF⊥FH，同理得QG＝∴综上，m的取值范围是m≤3﹣【点睛】本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M为点P与线段AB的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.6．（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值为2；t1≤t＜5【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线y =2x +b 与弧AB 相切时为临界情况，证明△OAH ∽△BAD ，可求出此时b =5，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【详解】解：（1）如图1，1(1,0)P ，(0,5)A -，(4,3)B ， 224845AB ，2211526P A ，2213332P B ，1P ∴不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB ∠不是AB 关于O 的内直角， 2(0,3)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A，AB =24P B =， 22222P A P B AB ，290AP B ，2AP B 是AB 关于O 的内直角，同理可得，22233P B P AAB ， 3AP B 是AB 关于O 的内直角， 故答案为：2AP B ，3AP B ；（2）APB ∠是AB 关于O 的内直角，90APB ∴∠=︒，且点P 在O 的内部，∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到），过点B 作BD y ⊥轴于点D ，(0,5)A ，(4,3)B ，4BD ∴=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，∴当直线2y x b =+过直径AB 时，5b =-，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ，OA OB =，AH BH =，EH AB ∴⊥，EH EF ∴⊥，EF ∴是半圆H 的切线．OAH OAH ，90OHB BDA ，OAH BAD ∽， ∴4182OH BD AH AD ， 1122OH AH EH ，OH EO ，EOF AOH ，90FEO AHO ，()EOF HOA ASA ，5OF OA ，//EF AB ，直线AB 的解析式为25y x =-，∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b ∴的取值范围是55b ．（3）对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，∴点T 一定在DHE ∠的边上，4TD ，90DHT ∠=︒，线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2， ∴当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2．分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT ∠=︒，∴点H 在以DT 为直径的圆上，如图3，当G 与MN 相切时，GH MN ⊥，1OM =，2ON =， 225MN ON OM ，GMH OMN ，GHM NOM ，2ON GH ，()GHM NOM ASA ，5MNGM ， 51OG ， 51OT ，当T 与M 重合时，1t =，∴此时t 的取值范围是511t ，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM时，5t =， ∴此时t 的取值范围是15t ，综合以上可得，t 的取值范围是515t ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．7．（12CP ≤，②O ；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(0，∴OD=1，OE =∴OE tan EDO OD ∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•60CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b≥2（1-b ）， 解得13b ≥，∴b的取值范围为131b≤＜．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为121b-，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭，而11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立，∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为13b≥．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．（1）①24,P P ：②362⎛⎫ ⎪⎝⎭，或362⎛⎫ ⎪⎝⎭，-；（21D x <<或532D x << 【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA 2进行比较即可确定线段OA 的“等幂点”；②如图，由OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，可得2OAB S OA =．由点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，可得392OAB S h ==， 求出6h =．由OAB 是等腰三角形，点B 在线段OA 的垂直平分线上即可求点B 的坐标为（32，6）或（32，-6）； （2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，求出N (0，-3), H (3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，∠OHN =∠ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH部分运动，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=2QC=2ECD 为锐角三角形，点E在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 2h ≤h =2CD ，3D x <<第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，求出GU =GH ×cos45°=2h ≤≤，可求)22x ≤-≤1D x <<． 【详解】（1）①1OP A S =1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S =2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S =3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 4OP A S =421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==， P 4是线段OA 的“等幂点”． 是线段OA 的“等幂点”的是24,P P ，故答案为：24,P P ：②如图，∵OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，∴2OABS OA =． ∵点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ， 则有13922OABS OA h h =⨯⨯==． 解得6h =．∴点B 在直线6y =或6y =-上．∵OAB 是等腰三角形，∴点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =32,与直线6y =或6y =-的交点为B 1（32，6），B 2（32，-6）， 综上所述，点B 的坐标为（32，6）或（32，-6），（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y 轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，∵TC⊥NH，∠OHN =45°，∴△TCH为等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2QC=2又因为△ECD为锐角三角形，点E在QR上运动，点E到CD的距离h2h≤CD=CF÷cos45°，∵线段CD的“等幂三角形”，S△CDE=12h CD⋅=CD2，∴h =2CD (x -2)，)22x <-<解得52x << 点D 在H 右侧，x>3，∴3D x <<第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，又因为△ECD 为锐角三角形，GU=GH×cos45°=∴2h ≤≤，∵线段CD 的“等幂三角形”，S △CDE =12h CD ⋅=CD 2，∴h =2CD (2-x )，则)22x -≤1D x <<，D 的横坐标D x 1D x <<或3D x << 【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．9．（1）平行，P 1；（2）1d 3）212d ≤≤． 【分析】（1）根据图形，比较PP 1，PP 2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得∠P 1BE =45︒，过P 1作P 1Q ⊥BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．【详解】（1）解：由图可得MN ∥M 1N 1，MN ∥M 2N 2，∴M 1N 1∥M 2N 2，而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1；故答案为：平行，P 1；（2）∵B (0，C ，0)，四边形ABCD 为正方形，∴BC 1=，∠BCA =45︒，∵E 1，0)，∴CE 11+==BC ， ∴∠1=∠2，则∠1+∠2=∠BCA =45︒，∴∠1=∠2=22.5︒，在Rt △BMN 中，BP 1为斜边上的中线，则BP 1=12MN =12=NP 1， ∴∠P 1BN =∠P 1NB ，又MN ∥BE ，∴∠2=∠P 1NB ，∴∠2=∠P 1NB =45︒，∠P 1BE =∠2+∠P 1BN =45︒，过P 1作P 1Q ⊥BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，在Rt △P 1QB 中，P 1Q =P 1B sin 45︒=12=∴1d （3）解：根据题意，P 1、P 2分别是AB 、BC 的中点，则线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”最大为PP 1，最小为PP 2，。
【最新】北京市中考数学常考压轴题(含答案)
最新北京市中考数学常考压轴题（含答案）一．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2 ，S5＝，S6＝S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC 交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM ＝cosC＝，所以AO＝，从而可求出OM＝【解答】解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2 又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cosC＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC＝∠C∴∠AOM＝∠C在Rt△AOM中cos∠AOM＝cosC＝，∴∴AO＝AB＝+OB＝而AB＝AC＝∴＝∴OM＝∴⊙O的半径是【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．属于中考常考题型．三．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是MN⊥AB，MN＝AB ．（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ 2 ，对应的碟宽AB是 4 ．（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝6．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．【解答】解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，∴MN⊥AB，MN＝AB，故答案为：MN⊥AB，MN＝AB；（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），∴m＝m2，解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），当m＝2则，2＝x2，解得：x＝±2，则AB＝2+2＝4；故答案为：2，4；（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），得，9a﹣4a﹣＝0，解得：a＝，∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．属于中考常考题型．四．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60 °②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）如图2，求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP ＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【解答】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．故答案为60②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，而 CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE＝，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．【点评】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．属于中考常考题型．五．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为．把矩形OABC沿DE 翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y＝图象恰好过DE的中点F．则k ＝，线段EH的长为：．【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGF＝S△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值．【解答】解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四边形OABC是矩形，∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．在△BEQ和△ODQ中，．∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．∴EQ＝DQ．∴点Q是ED的中点．∵∠QNO＝∠BCO＝90°，∴QN∥BC．∴△ONQ∽△OCB．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△ONQ＝S△OCB．∵S矩形OABC＝8，∴S△OCB＝S△OAB＝4．∴S△ONQ＝．∵点F是ED的中点，∴点F与点Q重合．∴S△ONF＝．∵点F在反比例函数y＝上，∴＝．∵k＜0，∴k＝﹣2．∵S△OAB＝4，∴AB＝4AE．∴BE＝3AE．由轴对称的性质可得：OE＝BE．∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝．∴AE＝1．∴OA＝2×1＝2．∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，∴四边形OAEH是矩形．∴EH＝OA＝2．故答案分别为：﹣2、2．【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．属于中考常考题型．六．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD ＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA＝求解，（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M＝∠AFM＝60°，再求出∠MAC＝90°，在Rt△ACM中tan∠M＝，求出AC．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF＝＝＝，得出△AFM的周长为3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，∴OA＝＝＝5．（2）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△AFM为等边三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠FAC+∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF+∠FAC＝60°+30°＝90°，在Rt△ACM中∵tan∠M＝，∴tan60°＝，∴AC＝AM．（3）如图，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由（2）知△AFM为等边三角形，∴AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO∴BF•AO＝40，BF＝16，∴FO＝BF﹣BO＝16﹣12＝4AF＝＝＝，∴△AFM的周长为3．【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．属于中考常考题型．七．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1，B2，B3；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．八．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4）；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）先求出直线y＝x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y＝x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标；（2）根据四边形A1B1C1O是正方形得出C1的坐标，再由点A2在直线y＝x+1上可知A2（1，2），B2的坐标为（3，2），由抛物线L2的对称轴为直线x＝2可知抛物线L2的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L2的解析式；根据B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），抛物线L3的对称轴为直线x＝5，同理可得出直线L2的解析式；（3）①同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，求出x的值，由A1D1＝﹣D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出结论；②由①中的结论可知点D1、D2、…，D n是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D1D2的解析式，求出与直线y＝x+1的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵令x＝0，则y＝1，∴A1（0，1），∴OA1＝1．∵四边形A1B1C1O是正方形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1）．∵当x＝1时，y＝1+1＝2，∴B2（3，2）；同理可得，B3（7，4）．故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；（2）抛物线L2、L3的解析式分别为：y＝﹣（x﹣2）2+3；，y＝﹣（x﹣5）2+6；抛物线L2的解析式的求解过程：对于直线y＝x+1，设x＝0，可得y＝1，A1（0，1），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴C1（1，0），又∵点A2在直线y＝x+1上，∴点A2（1，2），又∵B2的坐标为（3，2），∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，∴抛物线L2的顶点为（2，3），设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，∵L2过点B2（3，2），∴当x＝3时，y＝2，∴2＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣1，∴抛物线L2的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；抛物线L3的解析式的求解过程：又∵B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，∴抛物线L3的顶点为（5，6），设抛物线L3的解析式为：y＝a（x﹣5）2+6，∵L3过点B3（7，4），∴当x＝7时，y＝﹣4，∴4＝a×（7﹣5）2+6，解得：a＝﹣，∴抛物线L3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；猜想抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（猜想过程：方法1：可由抛物线L1、L2、L3…的解析式：∵y＝﹣2（x﹣）2+，y＝﹣（x﹣2）2+3，y＝﹣（x﹣5）2+6…，归纳总结；方法2：可由正方形A n B n∁n C n﹣1顶点A n、B n的坐标规律A n（2n﹣1﹣1，2n﹣1）与B n（2n，2n﹣1），再利用对称性可得抛物线L n的对称轴为直线x＝，即x＝＝3×2n﹣2﹣1，又顶点在直线y＝x+1上，所以可得抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）．故答案为：（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①、k1与k1的数量关系为：k1＝k2，理由如下：同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3解得：x1＝2﹣，x2＝2+，∴x＝2﹣，∴A1D1＝2﹣＝（﹣1），∴D1B1＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴A1D1＝﹣D1B1，即k1＝；同理可求得A2D2＝4﹣2＝2（﹣1），D2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），A2D2＝﹣D2B2，即k2＝，∴k1＝k2；②∵由①知，k1＝k2，∴点D1、D2、…，D n在一条直线上；∵抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴当y＝1时，x＝2﹣，∴D1（2﹣，1）；同理，D2（5﹣2，2），∴设直线D1D2的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线D1D2的解析式为y＝（3+）x+﹣3，∴，解得，∴这条直线与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的四条边相等且四个角都是直角的知识是解答此题的关键．属于中考常考题型．。
北京市北京市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析
北京市北京市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析北京市北京市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020通州.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．（1）若m＝0，①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为多少；②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．~~第2题~~(2020北京.中考模拟) 如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．（1）连接，，求证四边形是菱形；（2）当的周长最小时，求的值；（3）连接交于点，当时，求的长．~~第3题~~(2020东城.中考模拟) 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CB上一点，连接AD，过D作DE⊥A D交射线AB于点E，以A为旋转中心，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AF，过点F作FG⊥AF交AC的延长线于点G，连接EG．（1）如图1，点D在CB上．①依题意补全图1；②猜想DE、EG、FG之间的数量关系并证明；（2）如图2，点D在CB的延长线上．请直接写出DE、EG、FG之间的数量关系为．~~第4题~~(2020丰台.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．~~第5题~~(2020北京.中考真卷) 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是________；在点中，连接点A与点________的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．~~第6题~~(2020朝阳.九上期中) 已知∠AOB＝60°，P为它的内部一点，M为射线OA上一点，连接PM，以P为中心，将线段PM顺时针旋转120°，得到线段PN，并且点N恰好落在射线OB上．（1）依题意补全图1；（2）证明：点P一定落在∠AOB的平分线上；（3）连接OP，如果OP＝2 ，判断OM+ON的值是否变化，若发生变化，请求出值的变化范围，若不变，请求出值．~~第7题~~(2020海淀.中考模拟) 若抛物线（是常数，）与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“一带一路”关系．此时，直线叫做抛物线的“带线”，抛物线叫做直线的“路线”．（1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求的值；（2）若某“路线” 的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线” 的解析式为，求此“路线” 的解析式；（3）当常数满足时，请直接写出抛物线：的“带线” 与轴，轴所围成的三角形面积S的取值范围．~~第8题~~(2020北京.中考模拟) 定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．~~第9题~~(2020北京.中考模拟) 已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正方形ABCD，给出如下定义：如果，则称点P为正方形ABCD的“关联点”.在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）.（1）在，，中，正方形ABCD的“关联点”有；（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围；（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线与x轴、y轴分别相交于M 、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围.~~第10题~~(2020北京.中考模拟) 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：（1）点的一次反射点为，二次反射点为；（2）当点在第一象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是；（3）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数．（4）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．北京市北京市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：~~第4题~~答案：解析：答案：解析：~~第6题~~答案：解析：~~第7题~~答案：解析：答案：解析：~~第9题~~答案：解析：~~第10题~~答案：解析：。
2023 北京中考数学几何压轴题
2023 北京中考数学几何压轴题
摘要：
一、引言
二、2023北京中考数学几何压轴题的难度分析
三、2023北京中考数学几何压轴题的解题思路与技巧
四、总结与展望
正文：
一、引言
2023年北京中考数学几何压轴题是一道备受关注的题目，因为它不仅能够检验学生对几何知识的掌握程度，还能够考察学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将针对2023年北京中考数学几何压轴题进行深度解析，帮助学生们更好地理解和掌握这道题目。
二、2023北京中考数学几何压轴题的难度分析
2023年北京中考数学几何压轴题的难度较高，主要体现在以下几个方面：
1.题目涉及的知识点较多，需要学生对几何知识有较为全面的掌握；
2.题目中的图形较为复杂，需要学生有较强的空间想象力和解析能力；
3.题目要求学生运用多种解题方法，需要学生具备灵活的思维和变通能力。
三、2023北京中考数学几何压轴题的解题思路与技巧
1.先通过读题，理解题意，画出图形，提取已知条件；
2.根据已知条件，结合几何知识，进行分析，寻找解题思路；
3.运用合适的解题方法，如综合法、分析法、几何法等，进行计算和推导；
4.最后，对计算结果进行检验，确保答案的正确性。
四、总结与展望
2023年北京中考数学几何压轴题是一道具有较高难度和挑战性的题目，需要学生具备较强的几何知识和解题能力。
通过对这道题目的解析，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握几何知识，提升解题能力，在中考中取得好成绩。
北京市人大附中九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
北京市人大附中九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式； （2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.2．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25个单位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．5．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标； （2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．6．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ； （2）求证：PA 是圆O 的切线；（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．7．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 8．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 6 (1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．11．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．12．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数； （2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证△NAQ ∽△APQ ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）13．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ． (1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由； (3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．14．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20ny n x=<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； (III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EGEF的值．16．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．18．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）． （1）证明：PD=PE ．（2）连接PC ，求PC 的最小值．（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．19．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标； （3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式； ②直接写出N 点的运动轨迹长度为 ．20．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ，AP 与EC 的数量关系是 ．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 93，求线段AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。
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2012年北京市初三数学中考压轴题2012海淀一统8. 已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 中点, 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A , 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA 剪开,则得到的圆锥侧面展开图为 ( )A B C D 12．用两个全等的含30︒角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30︒角的顶点, 按先A 后B 的顺序交替摆放A 、B 两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 ; 若摆放这个图案共用两种卡片(2n +1)张(n 为正整数),则这个图案中阴影部分的面积之和为 . (结果保留π )…… A 种 B 种图1 图 222. 已知△ABC 的面积为a ，O 、D 分别是边AC 、BC 的中点. （1）画图：在图1中将点D 绕点O 旋转180︒得到点E , 连接AE 、CE . 填空：四边形ADCE 的面积为 ； （2）在（1）的条件下，若F 1是AB 的中点，F 2是AF 1的中点, F 3是AF 2的中点,…, F n 是AF n -1的中点 (n 为大于1的整数), 则△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 . 解: （1）画图:图1填空：四边形ADCE 的面积为 .（2）△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .备用图OB (A )C O A B (A )C O A B (A )CC (A )B A O O A B(A )C O A B (A )C O A B (A )CC (A )B A O B A23. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与反比例函数xa y 4+=的图象交于点A (a , -3)，与y 轴交于点B . （1）试确定反比例函数的解析式;（2）若∠ABO =135︒, 试确定二次函数的解析式;（3）在（2）的条件下,将二次函数y =ax 2 + bx + c 的图象先沿x 轴翻折, 再向右平移到与反比例函数xa y 4+=的图象交于点P (x 0, 6) . 当x 0 ≤x ≤3时, 求平移后的二次函数y24. 已知在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，DF 平分∠ADC 交线段AE 于F .（1）如图1，若AE =AD ，∠ADC =60︒, 请直接写出线段CD 与AF +BE 之间所满足的等量关系;（2）如图2, 若AE =AD ，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；（3）如图3, 若AE : AD =a : b ，试探究线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.解: （1）线段CD 与AF +BE 之间所满足的等量关系为:.（2） 图1 图2（3）线段CD 、AF 、BE 之间所满足的等量关系为: .图3 25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一D A FC E B A B EC D F B E C DA F个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长；（3）连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为4332012西城北区一统8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．2+D ．2 12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等． （1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明.思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+，再说明y 的符号即可. 现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值；（3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．（1）填空：与△ABM 相似的三角形是△ ，BM DN ⋅= ；（用含a 的代数式表示） （2）求MCN ∠的度数；（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系x O y 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形． （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ， P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．2012西城南区一统24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2，求AM 的长；（2）若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).2012东城一统8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数2c by x-=在同一坐标系内的图象大致为Q PNMOCBA12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转．当12OA OB =时, OP OQ 的值为 ；当1OA OB n=时，OP OQ 的值为 .(用含n 的式子表示)23．已知：关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=.（1）当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； （2）当整数a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是正整数.24．已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE =90°，点F 为BE 中点，连结DF 、CF . （1）如图1, 当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF 、CF 的数量关系和位置关系（不用证明）； （2）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；图1FE DCBA图2ABCDE F图3ABCDEF（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°时，若AD =1，AC=求此时线段CF 的长(直接写出结果).25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BCG 的坐标；若不存在，请说明理由．2012朝阳一统8. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是A. B. C. D.12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，… 这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定11a =，23a =，36a =，410a =，…；11b =，24b =，39b =，416b =，…；1112y a b =+，2222y a b =+，3332y a b =+，4442y a b =+，…，那么，按此规定，=6y ，n y ＝ （用含n 的式子表示，n 为正整数）．23.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与AB 边和BC 边分别交于点D 、点E ，连接CD ，且CD =CA ，BD =56，tan ∠ADC =2． （1）求证：CD 是半圆O 的切线；（2）求半圆O 的直径； （3）求AD 的长.BCAy5O x y O 14916图② 图① 1063124. 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =22，点D 、E 在BC 边上（均不与点B 、C 重合，点D 始终在点E 左侧），且∠DAE ＝45°．（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上 ， ； （2）设BE ＝m ，CD ＝n ，求m 与n 的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围； （3）如图②，当BE ＝CD 时，求DE 的长；（4）求证：无论BE 与CD 是否相等，都有DE 2=BD 2+CE 2.图① 图② 备用图25.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OB=21OC ，tan ∠ACO =61，顶点为D ． （1）求点A 的坐标．（2）求直线CD 与x 轴的交点E 的坐标.（3）在此抛物线上是否存在一点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点M （2，y ）是此抛物线上一点，点N 是直线AM 上方的抛物线上一动点，当点N 运动到什么位置时，θA30︒A 'A四边形ABMN 的面积S 最大? 请求出此时S 的最大值和点N 的坐标．（5）点P 为此抛物线对称轴上一动点，若以点P 为圆心的圆与（4）中的直线AM 及x 轴同时相切，则此时点P 的坐标为 .备用图① 备用图②2012石景山一统8．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ．点P 在运动过程中速度大小不变．则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致是A B C D 12．如图，⊙A 与x 轴交于B （2，0）、C （4，0）两点，OA =3，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切⊙O 于点D 则PD 的最小值是 ．23．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转30°，得到△A ′B ′C ．联结A ′A 、B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′ 和S △BC B′． （1）直接写出S △ACA ′ ︰S △BC B′ 的值 ；（2）如图2，当旋转角为θ（0°＜θ＜180°）时，S △ACA ′ 与S △BC B′ 的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含θ的代数式表示）．第8题图1 图224．已知函数232+-=x mx y （m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； （2）若一次函数1+=x y 的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求m的值 及这个交点的坐标．25．如图，矩形'''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'O O 、两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式；（2）求边''A O 所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M PO S S ''3∆∆=,若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．NMABCD G IHFA BC D E F A BCDE 图1 图22012丰台一统8．如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿A →B 的方向，以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自点A 出发沿A →D →C 的方向以每秒2cm 的速度运动，当点N 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为x （秒），△AMN 的面积为y （cm 2），则下列图象中能反映y 与x 之间的函数关系的是A B C D14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”． 已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =3．（1） 如图1，四边形CDEF 是△ABC 的内接正方形， 则正方形CDEF 的边长a 1是 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中△EDA 的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长a 2= ；继续在图2中的△HGA 中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n 个内接正方形的边长a n = ．（n 为正整数）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx nx =+-与直线y =x －1交于A （－1，a ）、B （b ，０）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）点(t,0)P 是x 轴上的一个动点．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．当点M 位于点N 的上方时，直接写出t 的取值范围．24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AC =BC ，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结BE 交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥BE 交AB 于点G ，（1） 如图1，当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 ；（2） 如图2，当12CE AE =，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明； （3） 如图3，当nAE CE 1=，线段EF 与EG 的数量关系是 ．图1 图2 图325．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：212.y x x=-+（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2012大兴一统8．已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是12. 如图所示，长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为12A A A →→，由12A A 翻滚到时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边2A C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时所经过的路径总长度为 cm.23. 已知：在ABC △中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 在AB 上，连结DF 并延长到点E ,使BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，且ABE DBM ∠=∠．（1）如图1，当45ABC ∠=°时，求证：AE =；（2）如图2，当60ABC ∠=°时，则线段AE MD 、（3）在（2）的条件下，延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若7AB AE ==，tan EAB ∠的值．24.已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+25.已知二次函数21342y x x =-+. （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M ，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，连结AC 、BC,若∠ACB =90°. ①求此时抛物线的解析式；②以AB 为直径作圆，试判断直线CM 与此圆的位置关系，并说明理由.2012怀柔一统8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 ( )12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填 整数之和都相等，则第99个格子中的数为 ，2012个格子中的数为 .23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：x24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角， 旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛图① 图② 图③25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：2012门头沟一统8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）, 则能大致反映S与t 的函数关系的图象是（ ）12. 某商店将每件进价8元的商品按每件10元出售，一天可以售出约100件，该商店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件，那么要想使销售利润最大，则需要将这种商品的售价降 低 元.23.已知抛物线1421++=x x y 的图象向上平移m 个单位（0>m ）得到的新抛物线过点（1，8）. （1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成k h x a y +-=22)(的形式；（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象. 请写出这个图象对应的函数y 的解析式，同时写出该函数在x <-3≤23-时对应的函数值y 的取值范围；（3）设一次函数)0(33≠+=n nx y ，问是否存在正整数n 使得（2）中函数的函数值3y y =时，对应的x 的值为01<<-x ，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.24. 如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ； （2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．25. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.A CDF P·2012平谷一统8.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为A2B．243cmC2D．223cm13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，联结BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是________.23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．24. 如图，一次函数的图象与反比例函数y1= –3x(0)x<的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当1x<-时，一次函数值大于反比例函数的值，当1x>-时，一次函数值小于反比例函数值.（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=ax(0)x>的图象与y1= –3x(x<0)的图象关于y轴对称.在y2=ax(0)x>的图象上取一点P （P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.C25.已知关于x 的二次函数2y ax bx c =++(a >0)的图象经过点C (0,1)，且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）. （1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当01a <<时，求12S S -的值.P N M B B B A A A C C C (E )2012顺义一统8．如图，将抛物线221x y -=平移后经过原点O 和点)0,6(A ，平移后的抛物线的顶点为点B ，对称轴与抛物线221x y -=相交于点C ，则图中直线BC 与两条抛物线围成的阴影部分的面积为 A ．221 B ．12 C ．227 D ．1512．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为 ． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠ACD =21∠AOC ，AD ⊥CD 于点D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB=10，AD ＝2，求AC 的长．24．在Rt ABC △中，︒=∠90ACB ，30=BC ，40=AC ，点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或B C 相交于点E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，且PM=PN ，3tan =∠EMP ． （1）如图①，当点E 与点C 重合时，求MP 的长；（2）设x AP =，△ENB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求出当x 取何值时，y 有最大值，最大值是多少？图① 备用图 备用图DOCBA25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为32的等边ABC △随着顶点A 在抛物线x x y 322-=上运动而运动，且始终有BC ∥x 轴．（1）当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛物线上？（2）ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1∶8（即8:1:=下部分上部分S S ）时，求顶点A 的坐标；（3）ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写出顶点C 的坐标．2012昌平一统8．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是射线BC 上的一个动点，过P 作DP 的垂线交射线AB 于点E ．设BP = x ，AE = y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是12．如图，点A 1，A 2 ，A 3 ，…，点B 1，B 2 ，B 3 ，…，分别在射线OM ，ON 上．OA 1=1，A 1B 1=2O A 1， A 1 A 2=2O A 1，A 2A 3=3OA 1，A 3 A 4=4OA 1，…．A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥…．则A 2B 2= ，A n B n = （n 为正整数）．22.已知正方形纸片ABCD ．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ． （1）请你找到一个与EDP △相似的三角形，并证明你的结论；（2）当AB =2，点P 位于CD 中点时，请借助图2画出折叠后的示意图，并求CG 的长．24．【初始问题】如图1，已知两个同心圆，直线AD 分别交大⊙O 于点A 、D ，交小⊙O 于点B 、C ．AB 与CD 相等吗？请证明你的结论．【类比研究】如图2，若两个等边三角形ABC 和A 1 B 1 C 1的中心（点Ｏ）相同，且满足AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，AC ∥A 1C 1，可知AB 与A 1B 1，BC 与B 1C 1，AC 与A 1C 1之间的距离相等.直线MQ 分别交三角形的边于点M 、N 、P 、Q ，与AB 所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．（１）求PQMN （用含∠α的式子表示）；（２）求∠α等于多少度时，MN = PQ ．EP D C B A 4N MA 1A 2A 3A 43B 21PGQ F E D C B A A B C D 图2图1图1图225.如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （-1，0），且经过直线y =x -3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． （1）求点B 、C 的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）求抛物线的顶点M 的坐标；（4）在直线y =x -3上是否存在点P ，使△CMP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．2012延庆一统8．如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿线段OC-弧CD -线段DO 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒,∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 的函数关系最恰当的是12．如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P 是其中的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长___________________.22． 如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ，点E 为AC 中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B 、C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形； （3在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为锐角三角形．23.已知关于x 的一元二次方程02142=-+-k x x 有两个不等的实根， （1）求k 的取值范围；（2）若k 取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；（3）在（2）的条件下，二次函数k x x y 2142-+-=与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），D 点在此抛物线的对称轴上，若 ,求D 点的坐标。