统计学第二十七讲

式有区别：
U /(m 1) F ~ F (m 1, n m) Q /(n m)
四、可化为线性回归的曲线回归
几种常见的非线性模型： (一)指数函数 (二)幂函数 (三)双曲函数
(四)对数函数
(五)S形曲线
五、运用回归分析应注意的问题
(一)筛选影响因变量的主要自变量
(二)正确理解回归系数
1．回归方差分析
自变量对因变量有无解释力，一般可以运用方差分析 的方法(即F检验)对两个变量之间的线性关系进行检验。方
差分析以总离差平方和的分解为基础，以F分布表确定的临
界值为标准，检验两个变量是否相关的显著性。
离差平方和(或称总离差平方和)由剩余平方和、回归平
U bLxy 0.8122 140.925 114.4593 Q Lyy bLxy 114.6388 114.4593 0.1795
U /1 114.4593 F 3825.94 Q /(n 2) 0.1795 /(8 2)
将以上的计算结果列入方差分析表，见表8．12。
二、一元线性回归模型
一元线性回归模型也称简单线性回归模型，是分析两个 定距变量x与y之间相互关系的数学方程式，这里假定x为 自变量，y为因变量，y值除了受自变量x的影响以外，还 受其他因素的影响；在构建回归模型时，理应包括随机 误差e，其公式应为
y a bx
运用一元线性回归模型应注意以下问题：
现抽样误差，使人们对它的可靠性产生怀疑，所以有必要对 相关系数进行显著性检验。通过这一检验，来说明将要建立 的回归模型有无实际意义。
(二)相关系数的显著性检验
显著性检验，可以根据相关系数、自由度(n一m，其中，n 为样本容量，m为回归模型中待定参数的个数)和给定的显 著水平α 值(在社会经济现象中，给定的显著水平α 值一般 ra (n m) 为0．05)，从相关系数临界值表中查出临界值
四、一元线性回归模型的预测应用
(一)分析自变量解释力 (二)测算估计标准误
(三)运用模型预测
四、一元线性回归模型的预测应用
(一)分析自变量解释力
分析自变量对因变量的解释力可以从两个层次进行，即
有无解释力和有多大的解释力。分析的方法有许多种，这里 从两个层次仅介绍方差分析和决定系数两种方法，前者可用 于有无解释力的分析，后者可用于解释力强弱的判断。
如果有两个自变量x1和x2与一个因变量y呈线性相关， 则可建立二元线性回归模型：
ab x b x y 1 1 2 2
如果有三个自变量xl，x2和x3与一个因变量y呈线性相 关，则可建立三元线
ab x b x b x y 1 1 2 2 3 3
一般地，如果有n个自变量xl，x2，…，xn与一个因 变量y呈线性相关，则可建立n元线性回归模型：
r(在回归分析中简称为“相关系数”)测定的基础上，对自变
量和因变量的变动趋势拟合数学模型进行量的推算的一种统计 分析方法。
§3一元线性回归分析
进行回归分析，要以现象之间存在的相关关系为前提；
然后对自变量和因变量的变动拟合适宜的回归方程，确定其
定量关系式；再对拟合的回归方程进行显著性检验；最后利 用所求得的关系式进行推算和预测。
入的相关系数r＝0．999 2，则其决定系数r2=0．9984。
它说明在居民购买商品支出的总变差中，99．84%可 以用其货币收入的变化来解释；未被解释的0．16％ 是由于其他原因所致。
(二)测算估计标准误
估计标准误也称估计标准误差或剩余标准差，是回归 直线随机离差的均方根，反映以回归直线为中心的各 观察值与其估计值之间的平均离差程度。它是回归模
水平上居民购买商品支出与其货币收人之间确实存在线性相关关系。
(三)变量定位
但在回归分析中就不同，必须区分谁是自变量、谁是因变 量，因为它们之间是非对称关系。在现实的社会经济生活中， 有些现象容易区分，如上例的居民购买商品支出与其货币收 入，显然货币收入是自变量，购买商品支出是因变量。有些 现象难以区分，如购买商品支出和价格。当价格上涨时，购 买商品支出可能会减少，这时价格可以看做是自变量，购买 商品支出可以看做是因变量；当购买商品支出增多时，价格 下降，这时购买商品支出可以看做是自变量，价格看做是因 变量。究竟谁作自变量，谁作因变量，首先考虑研究目的， 其次考虑环境因素，尽量使这两者保持一致。
2．模型优劣判断
方差分析可以说明自变量对因变量有无解释力的问题， 如果说自变量对因变量有解释力，那么究竟有多大的 解释力呢，或者说因变量的变化有多少可以通过自变 量的变化得到解释呢?通常可以利用决定系数进行分 析。其计算公式为：
U r Lyy
2
Q 或 r 1 Lyy
2
在已经计算相关系数厂的条件下，很容易得到决定系 数户的值。如例1l某地居民购买商品支出与其货币收
(三)科学合理地内插外推 (四)充分发挥电子计算机的作用
§3一元线性回归分析
一、回归分析的特点
“回归”一词源于19世纪英国统计学家F．高尔顿的研究 成果。高尔顿比较了父母及其后代的身高后发现：成年子女的 身高与其父母的身高有密切关系。较高的父母其子女较高，较 矮的父母其子女较矮；但很高的父母往往会有比其自身较矮的
下的面积查对表，以一定的概率和精确度对总体回归
值做出区间估计。
§4多元回归与曲线回归分析
一、多元线性回归模型 多元回归分析是以多元回归模型研究多个自变量与一
个因变量的相互关系，从而推算或预测因变量的未知
值或未来值。多元回归分析有多元线性回归分析和多 元曲线回归分析，这里主要介绍多元线性回归分析。 它是一元线性回归分析的扩充，其基本原理与一元线 性回归分析相同，但具体操作过程要繁琐得多。
(1)变量之间是非对称关系。在两个变量中，首先要区 分自变量和因变量，因为因变量是倚自变量的变动而变 动的。究竟哪一个是自变量，哪一个是因变量，可以根 据现象之间的因果关系或研究目的而定。 (2)因变量是随机变量，自变量是确定性的量，可以事
先给定或控制自变量。
三、一元线性回归模型的建立
(一)回归模型的建立程序 首先，分析变量之间的相互关系，通常是在理论分析的 基础上采用相关表或相关图进行观察，再计算相关系数；
分。
例5
仍以例11表8．9中的资料为例，给定显著性水平
α ＝0．05，已知回归系数b＝0．812 2，n＝8，对某 地居民购买商品支出与其货币收入建立回归模型的方差 分析如下：
Lyy y 2 ( y )2 9782.09 (278.1)2 / 8 114.6388
Lxy xy ( x y ) / n 11751.6 (334 278.1) / 8 140.925
a b x b x ... b x y 1 1 2 2 n n
二、复相关系数及其显著性检验
如前所述，相关系数是说明现象之间线性相关方向和 相关程度的统计分析指标，无论是两变量的相关系数 还是多变量的相关系数，其基本公式为：
r
( y)2 y
( y y)
2
或 r 1
对于给定的显著性水平α ＝0．05，查F分布表得临 界值：
Fa (1, n 2) F0.05 (1, 6) 5.99
由于 F 3825.94 F0.05 (1, 6) 5.99 ，故可以认为两 变量之间的线性相关关系是显著的，有95％的把握程度 说明自变量工对因变量y有解释力。
，据此判断其线性关系是否成立。如果 | r | ra (n m) ，表明在显著水平α 条件下变量之间的线性关系是显著的， 因此将要建立的线性回归模型是有意义的；如果 | r | ra (n m) ，表明不宜建立线性回归模型，需要对其进一步分析，然后 再作处理。
(二)相关系数的显著性检验
例13 以例11中的统计资料为例，对居民购买商品支出与 货币收入的相关系数进行显著性检验。 相关系数 r＝0.9980 自由度 n-m=8-2=6(在一元线性回归模型中只有a，b两个 参数，因此m=2) 给定的显著水平 α =0．05 查相关系数检验表 r0.05 (6) 0.707 由于
r 0.9992 r0.05 (6) 0.707 ，因此在α＝0．05显著
显著性。
离差平方和(或称总离差平方和)由剩余平方和、回归平
方和所构成，用符号表示如下：
( y y)2 ( y )2 ( y)2 y y
即总离差平方和(Lxy)＝剩余平方和(Q)+回归平方和(U) 剩余平方和又称残差平方和，它反映自变量x对因变量 y的线性影响之外的一切因素(包括x对y的非线性影响和测 量误差等)对因变量y的作用。回归平方和反映在总离差平 方和之中，由于x与y的线性关系而引起因变量y变化的部
型的误差分析指标，从另一方面显示回归模型拟合的
优劣状况。其计算公式为：
Sy
( y )2 y nm
(三)运用模型预测
在社会经济活动中，一般都是用大样本来分析研究问 题(教材举例中用小样本仅是为了节省篇幅)，即样本
容量通常在30个以上。按照误差为正态分布的原理，
当样本容量n≥30时，我们可以做出以下假定：y的观 察值在对应的每个估计值夕周围都是正态分布，所有 的正态分布都具有相同的标准差。因此，由样本数据 求出估计标准误如以后，可以利用标准正态分布曲线
其次，通过检验相关系数的显著性，判断相关系数的客
观真实状况； 再次，根据研究目的确定自变量和因变量；
最后，根据搜集的统计资料估计模型参数，建立回归模
型。
(二)相关系数的显著性检验
相关系数是反映现象之间相关方向和相关程度的重要分 析指标。但是，相关系数也有其局限性。因为在大多数情况
下，相关系数是根据总体的样本资料计算出来的，这就会出
§3一元线性回归分析