马尔科夫链模型简介
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫链
P (x n 1 k | x 0 i )P (x n j | x n 1 k ) rij (n 1)Pkj
k 1 k 1 m
m
n 步转移概率矩阵： rij (n ) 看成一个二维矩阵第 i 行第 j 列的元素。 讨论 n 时： 例 1 中，每一个 rij (n ) 都收敛于一个极限值，不依赖于初始状态 i。
Wj Wk pkj
k 1 m
1 Wk
k 1
m
3、另外有
Wj 0 ，对于所有的非常返状态 j Wj 0 ，对于所有的常返状态 j
1 Wm ] [0 0 1] ，可用 MATLAB 解决。 pm1 pmm 1 1
P(x 0 i0 , x1 i1, , x n in ) P(x 0 i0 )Pi i Pi i Pi
01 12 n 1 n
i
图形上，一个状态序列能表示为在转移概率图中的一个转移弧线序列。在给定初始状态下， 该路径的概率等于每个弧线上转移概率的乘积。 n 步转移概率 定义： rij (n ) P (x n i | x 0 i ) 计算在当前状态条件下，未来某个时期状态的概率分布。 当前状态 i，n 个时间段后的状态将是 j 的计算公式：C-K 方程
1 0 0 0 0.3 0.4 0.3 0 0 0.3 0.4 0.3 0 0 1 0
转移概率图
例 3：一个教授抽取测试卷子。卷子的难度分成 3 种：困难、中等和容易。如果本次抽到的 困难的卷子，则下次分别有 0.5 的概率抽中中等和容易的卷子。如果本次抽到的是中等的卷 子，则下次仍旧 0.5 的概率为中等难度，另外有 0.25 的概率抽中困难或容易的卷子。如果本 次抽到的是容易的卷子， 则下次仍旧 0.5 的概率为容易难度， 另外有 0.25 的概率抽中困难或 中等的卷子。 转移概率矩阵
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以分为周期为k的状态和非周期状态。
周期为k的状态在经过k步后才能返回原状态，非周期状态的周期为1。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链是不可约的。
5. 非周期马尔可夫链的收敛性：如果一个马尔可夫链是非周期的且不可约的，那么它具有收敛性，即在经过足够多的步骤后，状态分布会趋于稳定。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于语言模型的建立，通过分析文本中的词语之间的转移概率，可以预测下一个词语的出现概率，从而实现自动文本生成、机器翻译等任务。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列数据的建模和预测，如音频信号处理、图像处理等。
通过分析序列数据中的状态转移概率，可以预测下一个状态的出现概率，从而实现序列数据的预测和分类。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于分析金融市场的波动性和趋势。
通过分析股票价格的状态转移概率，可以预测未来股票价格的走势，从而指导投资决策。
四、马尔可夫链的改进和扩展马尔可夫链的基本概念可以通过改进和扩展来适应更复杂的问题。
马尔科夫链模型
所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不 断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所 研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离 散数值如日、月、季、年，其状况是有限的只有可到个 状态
马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，
由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其
3
特点是“无后效应性”
犏 犏 P 11 P 11 P 11 (k ) (0) 犏 S = S 犏 犏 犏 P 犏 11 P 11 P 11 臌
此式即为马尔可夫预测模型。
2、市场占有率预测
例 设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品， 共同供应1000家用户，各用户在各企业间自 由选购，但不超出这三家企业，也无新用户。 假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三 家企业拥有的客户分别是250户，300户， 450户，而11月份用户可能的流动情况如下：
从 甲 到 甲 230 乙 10 丙 10 ∑ 250
乙
丙 ∑
20
30 280
250
10 270
30
410 450
300
450 1000
问题： 假定该产品用户的流动按上述方向继 续变化下去（转移矩阵不变），预测12月 份三家企业市场用户各自的拥有量，并计 算经过一段时间后，三家企业在稳定状态 下该种产品的市场占有率。
2
12月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲： 1000? 0.306 306 户 乙： 1000? 0.246 246 户 丙： 1000? 0.448 448 户
现在假定该产品用户的流动情况按上述 方向继续变化下去，我们来求三个企业的该 种产品市场占有的稳定状态概率。 易证 P 为正规矩阵，设t = ( x, y,1- x - y) 令 tP = t ，则
马尔可夫链模型
用 Matlab 计算如下： s0=[1/4 1/2 1/4]; P=[1/4 3/4 0;1/3 1/3 1/3;0 1/4 3/4]; S2=s0*P.^2=(0.0712 0.2118 0.1962) 稳态分布 T=(t1,t2,t3),TP=T,变换后 (P’-E)T’=0 T=(0.16 0.36 0.48) 附程序： liyiw.m
3 (1) (k ) ( n)
(
)
u j ≥ 0, j = 1, 2,L , n
∑u
i =1
n
i
ห้องสมุดไป่ตู้=1
定义 3：若方阵 P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。 可以证明，如果矩阵 A 和 B 皆为概率矩阵，则 AB, Ak , B k 也都是概率矩阵(k 为正整数) 由所有一步转移概率组成的矩阵称为一步转移概率矩阵表示为：
2
马尔可夫链是参数离散、状态离散的最简单的马尔可夫过程。在马尔可夫链 X ( t ) , t ∈ T 中，一般取 参数空间 T = {0,1, 2, L} 。马尔可夫链的状态空间 E 的一般形式是 E = {0,1, 2,L} 。 1、马尔柯夫链定义： 一个随机序列 {X(t), t=1,2,3,…}取值于正整数空间 E={0,1,2,……},或者为 E 的子集， 如果有： P X ( tn ) = xn | X ( t1 ) = x1 , L X ( tn −1 ) = xn −1
( 0)
就可以用上式计算任意时段的状态概率 S
(k )
。
2、 吸收链 在马尔可夫链中，称 pij = 1 的状态 i,j 为吸收状态。如果一个马尔可夫链中至少包含一个吸收状态，并 且从每一个非吸收状态出发，都可以到达某个吸收状态，那么这个马尔可夫链称为吸收链。 含有 m 个吸收状态和(n-m)个非吸收状态的吸收链，其转移矩阵的标准形式为
马尔科夫链模型简介
马 氏 链 模 型 简 介1、随机过程的概念。
定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。
其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。
（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。
其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。
（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。
随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。
当T 为时间时，该随机序列就是一个时间序列。
如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。
（2）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。
（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。
马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。
2、（离散时间）马尔可夫链——马氏链。
定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。
若对于任意正整数m 、n 。
如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ 成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。
（时间、状态均为离散的随机转移过程） 从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。
则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。
（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。
（3）条件概率)(i j P n m n ==+ξξ是指，第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 发生的条件下，第m n +步时的随机变量m n +ξ所处的状态j ，发生的条件概率。
马尔科夫链模型简介
马尔科夫链模型简介马尔科夫链模型是一种描述随机过程的数学模型，它使用状态转移概率矩阵来表示状态之间的转移。
该模型有着广泛的应用，在自然语言处理、金融学、生态学、物理学和化学等多个领域中有着重要的地位。
状态与状态转移马尔科夫链模型中的状态可以是任何状态，例如一个人的身体状态、一个系统的状况、一个物品的状态等。
设状态集合为$S=\\{s_1,s_2,...,s_n\\}$，则任何一个时刻系统都处于其中的一个状态。
接着，我们定义状态之间的转移概率矩阵$P=(p_{ij})_{n\\times n}$，其中p ij表示在状态s i下，系统转移到s j的概率。
因此，对于所有的$i,j\\in\\{1,2,...,n\\}$，有$0\\leq p_{ij}\\leq1$且$\\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$。
由此可以看出，状态转移矩阵P具有无后效性：状态s i到s i+k的转移只和当前状态s i有关，和之前的所有状态都无关。
马尔科夫性质马尔科夫链模型有一个很重要的性质，即马尔科夫性质。
它指的是，一个某时刻的状态和当前状态之前的所有状态无关，只和当前状态有关。
更正式地，对于所有$i\\in\\{1,2,...,n\\}$，$j\\in\\{1,2,...,n\\}$和k>0，有：$$ \\begin{aligned} P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i,X_{t-1}=s_{i-1},...,X_0=s_0)&=P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i)\\\\ &=p_{ij}^k \\end{aligned} $$其中X t表示在时刻t系统所处的状态。
这个性质使得我们可以用状态转移概率矩阵来描述系统随时间的演化。
平稳分布在马尔科夫链中，平稳分布是一个与时间无关的状态分布。
它满足以下条件：若$\\pi$是一个向量，其中第i个元素表示系统处于状态s i的稳态概率，则有$\\pi P=\\pi$。
马尔可夫链模型
马尔可夫链在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。
例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。
随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。
在贝努利过程(){},1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。
在维纳过程(){},0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。
在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。
易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进入商店的顾客无关。
一、马尔可夫过程定义：给定随机过程(){},X t t T ∈。
如果对任意正整数3n ≥，任意的12,,1,,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11,,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤==()()11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){},X t t T ∈为马尔可夫过程。
在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,,n t t -是“过去”。
马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,,n n X t x X t x --==无关。
马尔可夫链模型
马尔可夫链模型(重定向自马尔可夫链)马尔可夫链模型（Markov Chain Model）[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中Pij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
对于任意i∈s，有。
3）是系统的初始概率分布，qi是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。
[编辑]马尔可夫链模型的性质马尔可夫链是由一个条件分布来表示的P(Xn + 1 | X n)这被称为是随机过程中的“转移概率”。
数据分析中的马尔可夫链介绍
数据分析中的马尔可夫链介绍数据分析是当今社会中一项非常重要的技术，它可以帮助我们从大量的数据中提取有价值的信息和洞察。
而马尔可夫链则是数据分析中的一种重要工具，它能够帮助我们理解和预测数据的变化趋势。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念、原理和应用。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，它描述了一系列事件之间的转移关系。
在马尔可夫链中，每个事件的发生只与其前一个事件有关，与其他事件的发生无关。
这种特性被称为“无记忆性”，即未来的状态只与当前的状态有关。
马尔可夫链可以用状态和转移概率矩阵来表示。
状态是指系统可能处于的各种情况，转移概率矩阵则描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
通过不断迭代转移概率矩阵，我们可以得到系统在不同时间点的状态分布。
二、马尔可夫链的原理马尔可夫链的原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一只只能在两个房间之间移动的小猫，每个时间点它只能在一个房间中。
假设初始时刻小猫在房间A 中，那么下一个时间点它有50%的概率留在房间A，50%的概率进入房间B。
同样地，下下个时间点它也有50%的概率留在当前房间，50%的概率回到另一个房间。
通过观察这个例子，我们可以发现小猫的位置在不同时间点上呈现出一种随机性，但是它的位置分布却是有规律的。
通过计算转移概率矩阵，我们可以得到小猫在不同时间点上的位置分布情况。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在数据分析中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用领域是自然语言处理。
在自然语言处理中，我们常常需要预测一个词语在句子中的位置。
通过构建一个马尔可夫链模型，我们可以根据前一个词语的位置来预测下一个词语的位置，从而提高句子的流畅度和连贯性。
另一个应用领域是金融市场分析。
金融市场的价格变动常常呈现出一种随机性，但却受到一系列因素的影响。
通过构建一个马尔可夫链模型，我们可以根据过去的价格变动来预测未来的价格走势，从而指导投资决策。
此外，马尔可夫链还可以应用于网络分析、天气预测、生物信息学等领域。
随机过程中的马尔可夫链模型
随机过程中的马尔可夫链模型马尔可夫链是一种描述随机过程的数学模型，它具有“无记忆性”的特点，即未来状态仅受当前状态的影响，与过去状态无关。
在这篇文章中，我们将探讨随机过程中的马尔可夫链模型及其应用。
一、什么是马尔可夫链模型马尔可夫链是一种随机过程，指的是一系列的随机事件，其中每个事件的发生仅依赖于前一个事件的状态。
这种“无记忆性”使得马尔可夫链具有简洁的数学描述和计算特性。
马尔可夫链由五个基本要素组成：状态空间、状态转移概率、初始概率分布、时间步长和转移矩阵。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间表示系统可能处于的所有状态的集合。
例如，掷骰子的状态空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 状态转移概率：状态转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通常用转移矩阵表示，其中每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
3. 初始概率分布：初始概率分布表示系统在初始时刻处于各个状态的概率分布。
通常用向量形式表示，其中每个元素表示系统处于对应状态的概率。
4. 时间步长：时间步长表示系统从一个状态转移到下一个状态所经过的时间。
5. 转移矩阵：转移矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
转移矩阵的每一行之和为1。
二、马尔可夫链模型的应用马尔可夫链模型在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、金融市场分析、生物信息学、网络传播模型等。
1. 自然语言处理：在自然语言处理中，马尔可夫链模型被用于文本生成、机器翻译和语音识别等任务。
通过建立一个马尔可夫链模型，可以根据已知的文本数据生成具有相似特征的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链模型被广泛应用于金融市场的分析和预测。
通过分析历史数据，建立一个马尔可夫链模型，可以预测未来的市场变化趋势，帮助投资者做出决策。
3. 生物信息学：在生物信息学中，马尔可夫链模型被用于基因序列分析、蛋白质结构预测等任务。
通过构建一个马尔可夫链模型，可以识别基因序列中的编码区域和非编码区域，进而对基因功能进行推断。
马尔可夫链模型简介
修保养厂。初步确定在汽车比较多的一处设置维修保养场。根据统计
资料。顾客在上述三处还车的概率如下表所示，试确定在何处设汽车
维修保养场。
表 还车的概率
还车处 甲
租车处
乙
丙
甲
0.8
0.2
0
乙
0.2
0
0.8
丙
0.2
0.2
0.6
解:由题意可知,该问题的转移概率矩阵 P 为:
所以
0.8 0.2 0 P 0.2 0 0.8
况如下表所示：
到
甲
乙
从
甲
230
10
乙
20
250
丙
20
10
（11 月）
280
270
丙
（10 月）
10
250
30
300
410
450
450
1000
假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不
变），预测 12 月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一
段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场夫链：
（1）无后效性，即系统的第 n 次实验结果出现的状态，只与第 n 1次
有关，而与它以前所处的状态无关；
（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义 2 向量 u (u1,u2 ,,un ) 成为概率向量，如果 u 满足：
0.2 0.2 0.6
成立，上式展开，得：
0.8x 0.2y 0.2(1 x y) x
0.2x 0.2y 0.2(1 x y) y
0.2x 0.8y 0.6(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.5， y 0.167 故 (x , y ,1 x y) ( 0.5 , 0.167 , 0.333 )
马尔可夫链法
马尔可夫链法1. 简介马尔可夫链法（Markov Chain）是一种基于概率的数学模型，用于描述具有随机性质的离散事件序列。
它是根据马尔可夫性质而命名的，该性质指的是未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
马尔可夫链法被广泛应用于各个领域，如自然语言处理、金融市场预测、信号处理等。
它的核心思想是通过建立状态转移矩阵来描述事件之间的转移关系，并利用概率计算不同状态出现的概率。
2. 历史背景马尔可夫链法最早由俄国数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出。
他在研究随机过程时发现了一种特殊的概率性质，即未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
这一发现为后来的马尔可夫链方法奠定了基础。
20世纪50年代以后，随着计算机技术的快速发展和数学理论的深入研究，马尔可夫链方法得到了广泛应用。
尤其是在自然语言处理领域，马尔可夫链法被用于模拟文本生成、语音识别等任务，取得了显著的成果。
3. 基本概念3.1 状态空间马尔可夫链方法中，事件被抽象为若干个状态。
这些状态构成了一个状态空间，记作S。
每个状态表示系统在某一时刻的特定情况或状态。
3.2 状态转移概率马尔可夫链的核心是描述不同状态之间的转移关系。
假设当前时刻系统处于状态i，下一个时刻系统可能转移到另一个状态j。
这个转移的概率可以用条件概率P(j|i)表示，其中i和j都属于状态空间S。
3.3 转移矩阵将所有可能的状态转移概率按照一定规则组织起来形成一个矩阵，称为转移矩阵。
转移矩阵通常记作P，其元素P(i,j)表示从状态i到状态j的转移概率。
3.4 马尔可夫性质马尔可夫性质指的是未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
具体而言，在马尔可夫链中，给定当前状态，过去状态对未来状态的影响可以通过当前状态来表示。
4. 马尔可夫链模型4.1 离散时间马尔可夫链离散时间马尔可夫链是指系统在离散时间点上的状态转移。
假设在每个时间点t，系统处于某个状态Si，那么在下一个时间点t+1，系统将以一定概率转移到另一个状态Sj。
马尔可夫链模型及其应用
马尔可夫链模型及其应用作者：邹乐强来源：《科技创新导报》2020年第11期摘要：马尔可夫链（Markov Chain， MC）是概率论和数理统计中具有马尔可夫性质（Markov property）且存在于离散的指数集（index set）和状态空间（state space）内的随机过程（stochastic process）。
马尔可夫链模型，是以概率论为基础，对平稳随机现象用自回归过程方法进行定量预测的模型.本文首先对马尔可夫链及其相关原理进行介绍，然后对其进行实际应用，得到满意的结果，最后对马尔可夫链模型进行评价和推广。
关键词：马尔可夫链转移矩阵吸收状态1 马尔可夫链模型的概述马尔可夫链模型是以概率论为基础，对平稳随机现象用自回归过程方法进行定量预测的模型。
它以事物未来状况出现的概率不是恒定的，而是随时间或状态遵循某一概率变化，而后一阶段的客观状况的概率仅由它相邻前一阶段的概率所决定，与其他阶段的概率无关为建模基础。
事物历史监测数据、状态划分和状态转移概率是马尔可夫链模型预测的必备条件。
2 马尔可夫链模型的基本原理2.1 随机过程的概念一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
2.2 马尔可夫链现实世界中有很多这样的现象：某一系统在已知现在的情况下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系。
比如，研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任意时刻累计销售额无关。
描述这类随机现象的数学模型称为马尔可夫链模型，其相关原理如下所述。
定义（马尔可夫链）设是一个随机序列，状態空间E为有限集或可列集，对于任意的正整数m，n，若有则称该随机过程为一个马尔可夫链（简称马氏链），（1）式称为马尔可夫性。
数量金融学中的马尔可夫链模型
数量金融学中的马尔可夫链模型马尔可夫链是数量金融学中一种重要的概率模型，它在分析随机过程和金融市场中的状态转移以及未来状态预测方面具有广泛的应用。
本文将介绍马尔可夫链模型的基本概念、特点以及在数量金融学中的重要应用。
一、马尔可夫链模型的基本概念马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程，具体而言，给定当前状态，未来状态的概率分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。
马尔可夫链由状态空间、初始概率分布以及状态转移概率矩阵组成。
1.1 状态空间状态空间是指系统中所有可能的状态组成的集合，通常用S表示。
在金融市场中，状态可以是价格、收益率、交易量等。
1.2 初始概率分布初始概率分布是指在时间t=0时，系统处于各个状态的概率分布。
在金融市场中，初始概率分布可以是过去某个时点的观测值或者经验分布。
1.3 状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
其中，第i行第j列的元素表示在当前状态为i时，下一个状态为j的概率。
状态转移概率矩阵通常用P表示。
二、马尔可夫链模型的特点马尔可夫链模型具有以下特点：2.1 无记忆性马尔可夫链具有无记忆性，即在给定当前状态的条件下，未来状态的概率分布与过去状态无关。
这种无记忆性的特点使得马尔可夫链模型非常适用于描述具有短期相关性的金融市场。
2.2 时间齐次性马尔可夫链模型假设状态转移概率矩阵在时间上是不变的，即状态之间的转移概率与时间无关。
这种时间齐次性的特点使得马尔可夫链具有较强的稳定性，便于分析和预测系统的长期行为。
2.3 可数性马尔可夫链模型要求状态空间是可数的，即状态的个数是有限或可列的。
这种可数性的特点使得马尔可夫链在实际应用中更易于处理和计算。
三、马尔可夫链模型在数量金融学中的应用马尔可夫链模型在数量金融学中有着广泛的应用，例如在金融市场中的状态转移分析、未来状态预测以及风险管理等方面。
3.1 状态转移分析马尔可夫链模型可以用于分析金融市场中的状态转移规律。
马尔科夫链模型简介
a(2) a(1) P ( p 2 ,2 pq, q 2 ) p a b, q b c a 2b c 1 a(0)任意，稳态分布 wP ( p 2 ,2 pq, q 2 ) w
自然界中通常p=q=1/2 稳态分布D:H:R=1/4:1/2:1/4
随机过程可以描述为：
xt, t T
，则该过程为
，则该过程为
其中 xt 为在同一状态空间中取值的随机变量， 为参数集。 T
若T 为可数参数集，如 离散参数的随机过程。 若 T 为不可数参数集，如 连续参数的随机过程。
（二）状态与状态转移
• 状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就 说系统处于一个状态。 • 状态转移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个 特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
（四）马尔可夫预测法
• 定义：对马尔可夫过程的演变趋势和状态加以 分析，用于预测事物未来状态的研究，称为马 尔可夫预测法。 • 特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测； 2. 局限性：只适合于马尔可夫过程； 3. 简便性：无需大量的统计资料。
• 适用领域：企业规模、市场占有率、选择服务 点、设备更新等的预测。
2. 平稳分布
定义：设 n 为有限s个状态的均匀马尔可夫链,若初 始概率 Pj P(E j ), j 1,2,, s 满足全概率公式：
Pj Pi Pij , j 1,2,, s
s
则称 n 为平稳的, Pj ( j 1,2,, s) 称为 n 的一个平稳分布 Pj ( k ) 表示第k次转移到状态 E j 的绝对概率； 可以证明: Pj Pj (1) Pj (2) 结论: 当马尔可夫链是平稳时,初始概率等于绝对概率； 平稳均匀马尔可夫链在任一时刻处于状态 E j 的概 率 Pj (n) 都相等,说明平稳。
马尔可夫链 遍历定理 证明
马尔可夫链遍历定理证明
摘要：
一、马尔可夫链简介
1.马尔可夫链的概念
2.马尔可夫链的性质
二、遍历定理
1.遍历定理的定义
2.遍历定理的意义
三、马尔可夫链遍历定理的证明
1.准备工作
2.证明过程
四、遍历定理在马尔可夫链中的应用
1.稳定性分析
2.预测和优化
正文：
马尔可夫链是一种随机模型，它由一个状态序列组成，每个状态都有一定概率从一个状态转移到另一个状态。
马尔可夫链的性质包括马尔可夫性、可逆性和稳定性等。
遍历定理是马尔可夫链理论中的一个重要定理，它指出在一定条件下，马尔可夫链的每个状态最终都会遍历到。
这个定理的意义在于，它告诉我们无论初始状态如何，随着时间的推移，系统总会达到一个稳定状态，而且在这个状
态下停留的概率是1。
马尔可夫链遍历定理的证明是一个复杂的过程，需要利用概率论和数学工具。
证明的主要思路是通过构造一个生成函数，然后利用生成函数的性质推导出遍历定理。
具体证明过程涉及到一些高级数学概念，需要专业的数学知识才能理解。
遍历定理在马尔可夫链的应用中起着关键作用。
比如在稳定性分析中，遍历定理告诉我们，只要系统初始化到一个稳定的状态，那么系统就会一直保持在这个状态。
在预测和优化中，遍历定理为我们提供了一个理论基础，使我们能够预测系统的未来状态，并根据这些预测进行优化。
马尔可夫链简介
马尔可夫链马尔可夫链，因安德烈•马尔可夫（A.A.Markov，185 6－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
原理简介马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。
如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则P(X_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n) = P(X_{n+1}=x|X_n).这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
理论发展马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
物理马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算术编码（著名的LZMA数据压缩算法就使用了马尔可夫链与类似于算术编码的区间编码）。
马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。
隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。
马尔可夫链最近的应用是在地理统计学（geostatistics）中。
其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。
这一应用类似于“克里金”地理统计学（Kriging geostatistics），被称为是“马尔可夫链地理统计学”。
这一马尔可夫链地理统计学方法仍在发展过程中。
详细说明马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理： 对于吸收链P的标准形式，I—Q可逆，
记元素全部为1的列向量为 则： 的第i个分量是从第i个非吸收状态出发，被 某个吸收状态吸收的平均转移次数。
近亲繁殖
1 0 I 1 / 4 P 0 R 1 / 16 0 0 1 0 0 0 0Q1 0 1 / 16 1 / 4 1 / 8 1 / 4 1 / 4 1/ 4 0 0 1 / 4 1 / 2 0 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 4 0
第n+1年的状态Xn+1只取决于第n年的状态Xn和转移概 率Pij，而与以前的状态Xn-1,Xn-2,…无关。第n+1年的状态概率 可以由全概率公式给出：
这样一个状态随着时间的进展随机变化的链式过程就是 马尔科夫链。 马尔科夫链是随机过程的一种。
（一）随机过程
系统的特征可以用一组随时间变化的变量来加以描述。 如果系统在任何时点上的特性或状态是随机性的，则系 统的变化过程就对应一组随机变量构成的过程来描述，这个系 统随机变化的过程的描述，就是随机过程。
2. 平稳分布
定义：设 n 为有限s个状态的均匀马尔可夫链,若初 始概率 Pj P(E j ), j 1,2,, s 满足全概率公式：
Pj Pi Pij , j 1,2,, s
s
则称 n 为平稳的, Pj ( j 1,2,, s) 称为 n 的一个平稳分布 Pj ( k ) 表示第k次转移到状态 E j 的绝对概率； 可以证明: Pj Pj (1) Pj (2) 结论: 当马尔可夫链是平稳时,初始概率等于绝对概率； 平稳均匀马尔可夫链在任一时刻处于状态 E j 的概 率 Pj (n) 都相等,说明平稳。
（五）马尔可夫链
定义：设随机过程 (t )只能取可列个值 r1 , r2 ,rn ,, 把 (t ) rn 称为在时刻 t 系统处于状态 En (n 1,2,) 若在已知时刻 t ，系统处于E n 状态的条件下,在时刻 ( t ) 系统所处的状态情况与t时刻以前所处状态 无关,则称 (t ) 为时间连续,状态离散的马尔可夫 过程。而状态的转移只能在 t t n (n 1,2,) 发生的马 尔可夫过程称为马尔可夫链。 从定义中可知,马尔可夫链是状态离散,时间连 续的马尔可夫过程。
（四）马尔可夫预测法
• 定义：对马尔可夫过程的演变趋势和状态加以 分析，用于预测事物未来状态的研究，称为马 尔可夫预测法。 • 特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测； 2. 局限性：只适合于马尔可夫过程； 3. 简便性：无需大量的统计资料。
• 适用领域：企业规模、市场占有率、选择服务 点、设备更新等的预测。
称 PT (0) ( p1 , p2 ,) 概率向量。
为马尔可夫链
为马尔可夫链的初始
（七）马尔可夫图
（七）马尔可夫图
马尔可夫矩阵一般式
均匀马尔可夫链
若 P( k ) P ij ij
k 1,2,
则称该马尔可夫链为均匀马尔可夫链。 用下式表示：
P P(E j / Ei ) P A / A ij
0 0 1/ 2
0 0 1 0 1/ 4 1/ 8 1/ 4 1/ 4 0 0 1 / 4 1 / 2 0 0 0 0 0 0 0 1/ 4 0
定义： 转移概率Pii=1的状态称为吸收状态。
如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且 从每一个非吸收态出发，能以正常的概率经过 有限次转移到达某个吸收状态，那么这个马氏 链称为吸收链。 此时转移矩阵P表示为：
由 Pij 构成的矩阵称为系统状态转移矩阵。
其中：P(n) Pn ;
定义：
称 p j (n) P{X n j}, ( j I ) 尔可夫链的绝对概率； 称 PT (n) { p1 (n), p2 (n),}, n 0 的绝对概率向量。 为n时刻马
为n时刻
定理
设{Xn,n∈T}为马尔可夫链，则对任意j∈I和 n≥1，绝对概率pj(n)具有下列性质：
( n) 1. p j (n) pi pij iI
2. p j (n) pi
iI
( n 1)
pij
3. PT (n) PT (0)P(n) 4. PT (n) PT (n 1)P
定义：
称 p j (0) P{X 0 j}, ( j I ) 的初始概率；简记为 p j
p22 P( X n1 2(后代为dr ) X n （父为dr） 2 ) 1/ 2 p 1/ 2 q 1/ 2
转移概率矩阵
p P p/2 0 q 1/ 2 p 0 q / 2 q
随机繁殖
马氏链模型 a(n 1) a(n) P, n 0,1,
和劣势隐形基因r 两种。
• 生物的外部表征由内部相应的基因决定。
• 基因分优势显性基因d
• 每种外部表征由两个基因决定，每个基因可以是 d, r 中的任一个。形成3种基因类型：dd ~ 优种D, dr ~ 混种H, rr ~ 劣种R。 • 基因类型为优种和混种, 外部表征呈优势；基因类 型为劣种, 外部表征呈劣势。 •生物繁殖时后代随机地（等概率地）继承父、母的 各一个基因，形成它的两个基因。父母的基因类型 决定后代基因类型的概率
随机过程可以描述为：
xt, t T
，则该过程为
，则该过程为
其中 xt 为在同一状态空间中取值的随机变量， 为参数集。 T
若T 为可数参数集，如 离散参数的随机过程。 若 T 为不可数参数集，如 连续参数的随机过程。
（二）状态与状态转移
• 状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就 说系统处于一个状态。 • 状态转移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个 特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
1. 马尔可夫链遍历性
设 n 为均匀马氏链（与第n次转移无 关）,对一切状态i及j（或称 Ei , E j ）, 存在不 依赖于i的常数,使得
lim n
Pij (n) j
则称均匀马氏链有遍历性 遍历意义: 遍历性说明不论系统自那一个 状态出发,当转移次数n充分大时,转移到 E j 状态的概率近似于某个常数 j 。
i 1
例3
问：应在何处设置修船站最合适？
解答：
• 建立转移矩阵
• 根据马尔可夫链平稳性，前次各租、还船点占 有船只的概率等于本次的占有率。
S甲
S乙
：甲处的占有率； ：乙处的占有率；
：丙处的占有率。
S丙
• 根据上述的矩阵，可列出以下方程式。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 结论：应该在甲处建修船站。
12.3
基因遗传（P422）
第六小组成员： 秦堉朗 石国平
什么是马尔科夫链？
例子： 用随机变量Xn表示第n年某个人的健康状况， Xn=1表示 健康， Xn=2表示疾病，n=0,1….用ai(n)表示第n年处于状态i的 概率，i=1,2，即ai(n)=P(Xn=i).用Pij表示今年处于状态i，明年 处于状态j的概率，i,j=1,2，即Pij=P(Xn+1=j|Xn=i). ai(n)称为状 态概率，Pij称为状态转移概率。
（三）马尔可夫过程
• 有一类事物在某种因素作用下，它们的状态概 率在转移过程中，第n次结果的概率规律仅取 决于第(n-1)次试验的结果，第(n-1)次试验结 果仅取决于第(n-2)次结果等，而与更早的结 果无关。 • 定义：设随机过程ξ (t),如果在已知时间t系 统处于状态x的条件下,在时刻T(T>t)系统所处 状态和时刻t以前所处的状态无关,则称ξ (t) 为马尔可夫过程。 • 从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t 时刻以前无关。 这种性质叫做：无后效性
随机繁殖
假设
讨论基因类型的演变情况
• 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类型的分布 相同（记作D:H:R）
• 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配，其后 代随机地继承它们的各一个基因 • 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
p a(0) (a,2b, c) P p/2 2 2 a(1) a(0) P ( p ,2 pq, q ) 0
解释“豆科植物的茎，绿色:黄色=3:1” 基因类型为D和H, 显性表征——绿色，
(D+H):R=3:1
基因类型为R, 隐形表征——黄色。
近亲 繁殖
在一对父母的大量后代中, 雄雌随机配对繁殖， 讨论一系列后代的基因类型的演变过程。 状态定义为配对的基因类型组合
马氏链模型
Xn=1,2,3,4,5,6~配对基因组合为 DD,RR,DH,DR,HH,HR 0 1 状态转移概率 0 1 p11 P ( X n 1 ' DD ' 1 / 4 0 X n ' DD ' ) 1 P 0 p31 P ( X n 1 ' DD ' 0 1 / 16 1 / 16 X n ' DH ' ) 1/ 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 4
(k ) j
( k 1) i
预测模型
• 前提：必须是均匀马尔可夫链。
：初始状态； ( k 1) ：经（K+1）次转移后的状态； S P ：转移概率。
S
(0)
例1
求：预测以后第3个月顾客的购买情况。
解答：
第一步：建立转移矩阵
第二步 应用马尔可夫预测模型
第三步 结论解析