云南四川贵州西藏四省名校2021届高三数学第一次大联考试题理【含答案】

已知 F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点，点
P
是C
的上顶点，且直线 PF2 的斜率为－ 3 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 l1，l2。若 l1 与 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于 D，E 两点， 求|AB|＋|DE|的取值范围。
x t
在直角坐标系
xOy
中，曲线
D
的参数方程为
y
t
2
(t
为参数，t∈R)。点
A(－1，0)，
点 B(1，0)，曲线 E 上的任一点 P 满足
PA
1
。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
PB 3
立极坐标系。 (1)求曲线 D 的普通方程和曲线 E 的极坐标方程； (2)求点 P 到曲线 D 的距离的最大值。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|3x－1|＋|3x＋a|，g(x)＝x·f(x)，h(x)＝x2－5x－3。
(1)若 f(x)≥3 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a(其中 a>－1)，使得 x∈[－ a ， 1 ]，都有不等式 g(x)≥h(x)恒 33
成立?若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
量 y(百盒)的统计数据如下：
由相关系数 r 可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强； |r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。
(1)计算相关系数 r，并判断变量 x、y 相关性强弱；
(2)根据上表中的数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a 。为了使某组利巴韦林含片
产量达到 150 百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?
参考数据： 660 ≈25.69。
参考公式：相关系数 r＝
n
(xi x )( yi y)
i 1
，线性回归方程 y bx a 中，
n
n
(xi x )2 ( yi y)2
i 1
i 1
n
(xi x )( yi y)
5
bˆ i1 n
8－10 月，美国纽约首次爆发了 WNV 脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染
者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制 WNV 的
复制，抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提
高，该药企负责人收集了 5 组实验数据，得到利巴韦林的投入量 x(千克)和利巴韦林含片产
3.在长方形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，点 M 在边 CD 上运动，则 MA MB 的最小值为
A.－1 B.0 C.1 D. 3
4.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到 小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型， 在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率 π 的值。正三角形的边长为 4，若总豆子数 n＝1000，其中落在圆内的豆子数 m＝618，则估算圆周率 π 的值是(为方便
, aˆ y bˆx, (xi x )( yi y) 25 。
(xi x )2
i 1
i 1
19.(本小题满分 12 分)
1
如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，且 AB＝ AA1＝1，E 是棱 AA1
2 的中点，EC＝ 3 。
(1)求证：平面 D1EC⊥平面 EDC； (2)求二面角 D1－EC－B1 的大小。 20.(本小题满分 12 分)
3
为 3 ，则 a 的值为
A.12 B.8 C.2 2
D.2 3
7.设双曲线 C： x2 y2 1(a>0，b>0)的右焦点为 F，以 OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近 a2 b2
线于另一点 A(O 为坐标原点)，且|OA|＝2|AF|，则双曲线 C 的离心率 e 为
A. 5
5
B.
C. 2
D.2
10.众所周知，人类通常有 4 种血型：O、A、B、AB，又已知，4 种血型 O、A、B、AB 的人数
所占比分别为 41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有
严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就。这些规则可以归结为 4 条： ①X－X；②O－X；③X－AB；④不满足上述 3 条法则的任何关系式都是错误的(X 代表 O、A、B、AB 任一种血型)。按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受 血者正确输血的概率为 A.0.5625 B.0.4375 C.0.4127 D.0.5873 11.已知实数 x，y 满足 log2x＋e－y<log2y＋e－x，则下列结论一定正确的是 A.x>y B.ln|x－y|<0 C.ln|x－y＋1|>0 D.ln|y－x＋1|>0 12.已知点 A 是抛物线 C：x2＝2py(p>0)的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，过 A
2
8.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为
边长为 2 的正方形，则其表面积为
A.8＋4 2
B.12 C.16＋8 2
D.12＋2 2
2
9.已知 a＝log52，b＝ln2，c＝ ，则 a，b，c 的大小关系正确的是
3
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
。
16.已知函数 f(x)＝sinxcos2x，关于函数 y＝f(x)有下列命题：
①f(
)＝
3
；
3
4
②f(x)的图象关于点( ，0)对称；
2
③f(x)是周期为 π 的奇函数；
④f(x)的图象关于直线 x＝ 对称。
2
其中正确的有
。(填写所有你认为正确命题的序号)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2x y 2 0
13.若 x，y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z＝x－2y 的最大值为
。
y 0
14.
x 2
1 6 x 的展开式的中间一项为
。
பைடு நூலகம்
15.在等腰△ABC 中，AB＝AC＝2，顶角为 120°，以底边 BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几
何体内装有一球，则球的最大体积为
17.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，且 a1＝2，a2 是 a1，a4 的等比中项。
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)当
d>0
时，求数列
an
(n
1)
的前
n
项和
Tn。
18.(本小题满分 12 分)
西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。1999 年
第I卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.设集合 A＝{x|x2－x－2<0，x∈N*}，集合 B＝{x|y＝ log2x }，则集合 A∩B 等于
A.1 B.[1，2) C.{1} D.{x|x≥1} 2.已知复数 z 满足 z(1－i)＝2i，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
云南、四川、贵州、西藏四省名校 2021 届高三数学第一次大联考试
题理
本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
21.(本小题满分 12 分)
1
已知函数 f(x)＝2x－ ＋klnx。
x
(1)当 k＝－3 时，求 f(x)的极值；
k
(2)若存在 x∈[1，e]，使得 3x－f(x)<－ 成立，求实数 k 的取值范围。
x
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程。
计算 3 取 1.70，π 的值精确到 0.01)
A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16
7
5.已知 α∈(0，π)且满足 cos(α－ )cos(α＋ )＝－ ，则 sinα＝
4
4 18
22
2
2
1
A.
B.
C.－
D.
3
3
3
3
2
6.已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝ ，b＝2，且△ABC 的面积
作抛物线的一条切线，切点为 P，且满足|PA|＝ 2 ，则抛物线 C 的方程为
A.x2＝8y
B.x2＝4y
C.x2＝2y
D.x2＝y
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。