2011年浙江省高考数学理科21题解析几何 镇海中学张义斌

圆的 2 条切线 m,n,求证： m n .

引申试题
引申 3：过 x 轴上的动点 A( a ，0)向抛物线 y x2 1 引 2 条切线 AP,AQ,点 P,Q 分别为切点. （1） 若切线 AP,AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ，求 k1k2 为定值； （2） 求证：直线 PQ 过定点。
6t t k ， CD t 2 1 t2 4 t 6t 23 2 ，解得 t 2 . 建立方程 2 t 4 t 1 5
由解法二得 k AB x1 x2 即点 P 的坐标为 (
23 23 3 115 x 4。 , ) ，所以直线 l 的方程为 y 115 5 5
解法四： 不妨设 P (t,t 2 ) ， A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ， AP,BP 与圆 C2 的切点分别为 C ( x3 , y3 ) ， D ( x4 , y4 ) ，
由两点确定一条直线，得切点弦 CD 的方程为 tx (t 2 4)( y 4) 1 因为 MP CD, MP AB ,所以 AB / / CD ,由此可得 k AB kCD .
23 23 3 115 即点 P 的坐标为 ( x 4. , ) ，所以直线 l 的方程为 y
充分挖掘直线PM的几 何意义，从解方程角度 解法三：直线 PM 既是 APB 的平分线又满足与对边 AB出发引领解题思路。 垂直，所以 ABP 为等腰三 角形，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上，进而将问题转化为“中点与垂直”问题。
联立直线 y kx kt t 2 与 y x2 得 x kx kt t 0 ，由于 x t 是该方程的一根，
2 2
所以 x1 k1 t , x2 k2 t .因此 k AB
x12 x22 2t (t 2 4) x1 x2 k1 k2 2t 2 2t ， x1 x2 t 1
2
2 1
2
所以直线 AP 的方程为 y t 2 (t x1 )( x1 t ) 化简得 y (t x1 ) x tx1 . 因为 AP 与圆相切，所以 d
tx1 4 1 (t x1 ) 2
1 ，化简得 (t 2 1) x12 6tx1 15 0
即点 P 的坐标为 (
23 23 3 115 x 4。 , ) ，所以直线 l 的方程为 y 115 5 5
解题方法
所以切线 PC,PD 分别为 x3 x ( y3 4)( y 4) 1， x4 x ( y4 4)( y 4) 1.
2 tx3 (t 4)( y3 4) 1 因为 P 为它们的公共点,所以 ， 2 tx4 (t 4)( y4 4) 1
x12 x2 2 x x 1 设 P (t,t ) ， A ( x1, x ) ， B ( x2 , x2 ) ， 则 AB 中垂线的方程为 y (x 1 2 ) ， 2 x1 x2 2
2
解题方法
2 1
2
x12 x2 2 1 1 从而 y 也即是 MP 的方程。 x x1 x2 2
2 2
由对称性可得 (t 2 1) x22 6tx2 15 0 .所以 x1 , x2 是方程 (t 1) x 6tx 15 0 的两根.
6t 15 , x1 x2 2 . 所以 x1 x2 2 t 1 t 1
kMP
23 t2 4 2 ，由 MP AB ， k AB .kMP 1 ，解得 t . 5 t
题目背景
• 解析几何是高考重点题型之一，在浙江省高考 卷中所占比例一直相当稳定. • 给出的两个条件圆的切线和垂直都是解析几何 中的常见条件.主要考查直线与抛物线、直线 与圆的位置关系问题. • 解析几何的核心是用代数的方法研究平面几何 问题，体现了数形结合的数学思想． • 解析几何问题旨在考查解析几何的基本思想方 法、运算求解能力和推理思维能力，在以“能 力立意”为主要命题思想的新课程高考中占有 重要的地位.
点斜式设出直线，难点在于 整理出一个关于 k的一元二次 解法一：设 P (t,t 2 ) ，A ( x1, x12 ) ，B ( x2 , x22 ) ，由题意得 t 0, t 1, x1 x2 方程，然后寻找点A，B的坐 标与k的关系，然后进行有效 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y t 2 k ( x t ) ，即 y kx kt t 2 ， 的表达和运算。
而 k MP
23 t2 4 2 ，由 MP AB ， k AB .kMP 1 ，解得 t . 5 t
即点 P 的坐标为 (
23 23 3 115 x 4. , ) ，所以直线 l 的方程为 y 115 5 5
解题方法
用抛物线上的点坐标来表示 解法二：设 P (t,t ) ，A ( x1, x ) ，B ( x2 , x2 ) ，由题意得 t 0, t 1, x1 x2 ， 直线方程，并寻找到直线 AB 斜率与P点坐标的联系从而 由点差法可得 k AB x1 x2 , k AP t x1 , kBP t x2 ， 建立t的方程。
浙江省2011年高考数学理科解析几何
镇海中学 张义斌
原题 呈现
题目 背景
说 题
教学 启示
题后 反思
解题 方法 引申 试题
原题呈现
(2011 年浙江理 21)已知抛物线 C1 : x2 ＝ y ,圆 C2 : x2 ( y 4)2 1 的圆心为点 M. （Ⅰ）求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点） ，过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛物线 C1 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l 垂直于 AB，求直线 l 的方程.
教学启示 • 1、注重基础知识，加深数学知识理解。 • 2、注重基本计算，提高运算技能水平。 • 3、注重通性通法，培养解决问题能力。 • 4、注重数学思想，提升数学品质素养。
每一个高考题就如一个蘑菇，当 你四处看看，会发现它们成群生长!
谢 谢 指 导！
引申试题
引申 4：已知点 A（0，2）和抛物线 y 2 x 4 上的 B，C 使得 AB BC ,求点 C 的 纵坐标的取值范围. (2002 年全国高中数学联赛试题)
题后反思
反思一： 我们在教学中应多关注经过某一点的直线，并在直线位置 的变化中探究与曲线相交所产生的位置关系和数量关系．在解 决此类问题时，学生对直线方程的挖掘与探究较少．其实，解 析几何表达的精髓无非是坐标与方程，而方程的核心则是直线 方程．因为曲线方程往往是已知的，而直线方程则要根据位置 关系进行有效的表达．
引申试题
x2 y 2 C2 : 2 2 1 ， 引申 1： 已知 C1 : x 2 py ， 过位于 C1 上的一点 P （P 在椭圆外） a b
2
作 C2 的两条切线 PA,PB，分别设直线 AB 与 PO 的斜率为 k1 , k2 ，求证 k1k2 为定值。
引申试题
x2 y 2 1，过圆 O： x2 y 2 4 上任意点 P 引椭 引申 2：已知椭圆 C1 方程为 3
常见类型： 1、经过一个定点 2、已知直线的方向 3、经过 2 个点 我们可以利用直线方程点斜式、 斜截式和两点式来表示， 直线与曲线的关系只有通过方程才能展开运算，只有运算才 能对几何关系进行有效的表达.
题后反思
反思二： 1、参数引入,彰显技巧.本题中没有给出具体的参数，因此 在解题过程中引入参数就成为一个关键的问题，它决定了我们做 题的方向和计算的繁简程度.
则
解题方法
kt 4 t 2 1 k 2
1 ，即 (t 2 1)k 2 2t (4 t 2 )k (t 2 4)2 1 0 。
设 PA，PB 的斜率为 k1 , k2 (k1 k2 ) ，则 k1 , k2 是上述方程的两根。所以
2t (t 2 4) (t 2 4)2 1 k1 k2 , k1k2 . 2 2 t 1 t 1
2 2 x x 7 1 2 2 t 4 2 x 4 ，所以 t 2 4 因为 M（0,4，P (t,t ) ，所以 MP 的方程还可写成 y . 1 t t x x 1 2
从解方程的角度出发，还需寻找一个等量关系，需从直线与圆相切这个条件入手，
6t 23 t 2 4 t 2 1 2 就是解法二中得到的 x1 x2 2 ，建立方程 ，解得 t . t 1 5 t 6t
2、 设而不求,整体代换.这是解析几何中的一种重要方法， 利 用韦达定理整体代换是一种常见的技巧，这在每年的高考题中都 有体现，对学生抽象概括、推理论证能力要去较高.
3、基本运算,量质齐升.对数据处理能力的考察也是解析 几何的一个重要目标，这也是学生的薄弱点.为了有效地提高 学生的运算能力就必须加强练习， 一般可采用一题多变、 一题 多解、一法多用的方法。