力5.刚体的定轴转动(2015)

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§5.2 刚体的定轴转动定律
把刚体看作无限多质元构成的质点系。 z ω , F M d L (对 O 点) 外 i dt vi d Lz ri m M 外z (对 z 轴) Δ i dt
刚体
O×
定轴
ri
Lz Liz miv i ri
i
(
i 2 mi ri
质点系 J
连续体 J
m
2 mi ri
dm m
2 r
dm
r
转轴
J 由质量对轴的分布决定。 一. 常用的几种转动惯量表示式 O R m 细圆环：
JO mR2
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C
R
1 2 m 均匀圆盘： J C mR 2
均匀细杆： m
A
C
l 2
l 2
1 2 J C ml 12
1 2 J A ml 3
证明： 过质元作一平面与平行轴 x D R C 垂直，此面与轴的交点分 d 别为C和D。C在通过质心的轴上。 2 2 2 ri ri ri ri ' Rd ri ' Rd ri ' d 2ri 'Rd



JC md 2dmxC ' J C md 2
2 mi ri ' mi d 2d mi xi ' i i i 2
2
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[例3]求对薄圆盘的一条直径的转动惯 量， z 1 2 已知圆盘 J z mR 。 2 m 1 2 圆盘 J J J mR 解： x y z C 2 y R 1 2 x J J mR
▲ ▲
随基点O（可任选）的平动 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
5
O
· · · ·
O 或 O
例如：
两种分解，基点选取不同，
平动可以不同， 转动却相同， 转动与基点的选取无关。

O
动力学中，常选质心为基点。
三 . 刚体转动的描述（运动学问题） 1.定点转动（rotation about a fixed point） （1）角量的描述 为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢 和转向，引入角速度矢量 。
30
滑冰运动员的旋转
猫的下落（A）
31 猫的下落（ B）
例8：一根长l，质量为M的均匀直棒，其一端 挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。 今有一子弹，质量为m，以水平速度v0射入棒 的下端而不复出。求棒和子弹开始运动时的 角速度。
v0 思考：木棒和子弹系统总动量是否守恒？
32
例9：一根长为l，质量为m的均匀直棒静止在 一光滑水平面上。它的中点有一竖直光滑固定 轴，一个质量为m’的小球以水平速度v0垂直于 棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速 度v和棒的角速度。

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ω
v
P
d
d dt
刚体 × 基点O 瞬时轴

的方向沿瞬时轴，
与转向成右螺旋关系。 为反映刚体角速度的
变化情况，引入角加速度矢量 。
d （不一定沿着瞬时轴） dt
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（2）线量和角量的关系
ω
v r
P
r
刚体 × 基点O
瞬时轴
v r r dv d d r a r dt dt dt r v
第五章 刚体定轴转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
§5.1 刚体的运动
§5.2 刚体的定轴转动定律
§5.3 转动惯量的计算
§5.4 转动定律应用举例
§5.5 定轴转动中的功能关系
§5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律
§5.7 旋进
1
§5.1 刚体的运动
t
1
外z
2z
1z
刚体：
Lz J z
d t J z 2 J z1
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t2 M 外z t1
——刚体定轴转动的角动量定理
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M外z
大小不变 0 ，则 J z const. 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， .， J iz i const 此时角动量可在系统内部各刚体间传递， 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
·θ · l /4 C
轴O
l,m B
求： 杆下摆到 角时，
应用质心运动
Nl N
A
t ：mg cos N t maCt
aCl l 2 6 g sin 4 7
定理求轴力： l N mg maC t l ： mg sin Nl maCl
· a θC · N a
连接刚体内任意两点 1.平动（translation）： 的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。 刚体做平动时，可用质心或其上任何一 点的运动来代表整体的运动。
平动是刚体的基本运动形式之一。 2. 转动（ rotation ）： 转动也是刚体的基本运动形式之一， 它又可分为定轴转动和定点转动。
4
▲
定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动，
且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 刚体上各点的运动都平行于某一 3.平面运动：
▲
固定平面的运动。 刚体不受任何限制的的任意运动。 4.一般运动： 它可分解为以下两种刚体的基本运动：
·
·
2
gt (1)~(4)联立解得： J ( 1)mR2 2h 分析结果： ● 单位对； ● h、m 一定，J↑→ t↑， 合理； 1 2 gt ， 正确。 ● 若J = 0，得 h 2 代入数据： 9.8 32 2 J ( 1) 1 0.2 2 1.5
2
1.14kg m
一. 刚体（rigid body）的概念 由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间： F
t
A B C t + t 才 感受到力
固体中弹性波的速度 v k
（k—劲度）
此时物体有无限的刚性， 若 v ，则 k ，
它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。 我们把这种不能变形的物体称为刚体。
13 N l mg sin , 7 4 N t mg cos 7
mg 2 N 153sin 16 7 1 | N t | 1 4 tg tg ( ctg ) Nl 13
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§5.6 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： t2 dL 对点： M 外 ，t M 外 d t L2 L1 1 dt 对轴： t 2 M d t L L
守恒定律仍成立。
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例6：利用功能关系重解例4。求定滑轮的转动 惯量。 R
定轴 O
·
v0= 0
绳(不可 m h 伸长)
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[例7]已知：如图示， 均匀直杆质量为m，长为l， 初始水平静止。轴光滑，AO l / 4 。 角速度 ? 轴对杆作用力 N ? ω 只有重力作功，E守恒。 解： （杆+地球）系统， 1 l 2 J O mg si n 0 (1) 2 4 1 l 2 7 2 JO ml m( ) ml 2 (2) 12 4 48 6 g sin 26 (1)、(2)解得： 2 7l A
二.计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴J具有可叠加性
J Ji
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2.平行轴定理 JC J C× d
m
J JC md
JC Jmin
2
平行 3.对薄平板刚体的正交轴定理 z xi O ri Δ mi yi y
Jz
2 mi ri 2 mi xi

2 mi yi
( F cos r ) d
M d


x
力矩的功：
W
2 1
M d
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二. 定轴转动动能定理
W
2 M 1
d
2 J 1
d d dt

2 J 1
1 1 2 2 d J 2 J 1 2 2
1 2 （ Ek ） 令转动动能： E k J 2 （飞轮储能）
i
定轴
定轴情况下，可不写下标 z ，记作：
M J
与牛顿第二定律相比，有： M 相应F ， J 相应 m ， 相应 a 。
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例2：一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以 角速度绕其中心轴旋转，现将它放在一水平 板上，盘与板表面的摩擦系数为 。求经过 多长时间后，圆盘转动才能停止？
13
§5.3 转动惯量的计算
1 1 2 （ 可 证 ：J miv i2） 2 2 刚体定轴转 W E E k 2 k1 动动能定理：
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三. 刚体的重力势能 Δ mi
C×
E p mi ghi
hi
Ep= 0
hC
m i hi mg m
mghC
四. 应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能
x y
思考
下图中的 Jz 如何求？ z z
m a
C
4
a
m
l
D
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§5.4 转动定律应用举例
例4：已知：R = 0.2m，m =1kg， R vo= 0，h =1.5m， 定轴 绳轮间无相对滑动， O v0= 0 下落时间t =3s。 m 绳(不可 求：轮对 O 轴 J = ？ h t 伸长) 解： 动力学关系： 对轮： T R J (1) 对m： mg T ma (2) N ′ α T = –T 运动学关系： R m a (3) a R 2 1 19 (4) h at mg G T
2
显然，刚体是个理想化的模型，但是它有 实际的意义。
所以只要我们讨论的运动 通常v固体 103m/s，
过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。 刚体是特殊的质点系， 其上各质点间的相对 位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体，
而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一
般的质点系有所简化。
3
二 . 刚体的运动形式
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x
即
Jz J x J y
平行轴定理：
ri’ mi ri
JD=JC+md2
2 J D mi ri mi r ' m i ri ' Rd mi d 2 i i i i
2 2 i
O
Cl
l,m
B (3)
t
Ct θ
mg

(4) (5)

l l aCt 4 4
l 4 mg cos
JO
3 g cos 7
(6)
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Hale Waihona Puke Baidu
N
Nl β A l
由(3)(4)(5)(6)解得：
O θC
··
Nt
l,m
t B ω 13 4 N mg sin el mg cos et 7 7
2
20
此为一种用实验测转动惯量的方法。
例5：一根长l，质量为m的均匀细直棒，其一 端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平 面内转动，最初棒静止在水平位置，求它由此 下摆角时的角加速度和角速度？

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§5.5 定轴转动中的功能关系
一.力矩的功
F
力矩的空间积累效应：
z
轴
·
r
d

dW F cos (r d )
i
2 mi ri )
i
令
Jz
—转动惯量（对z轴） 11 （rotational inertia）
则
Lz J z
M 外z d Lz d Jz dt dt
z ω ,α Fi vi θi ri m Δ i
即 M外z J z —转动定律 刚体 ri O× 其中 M 外z Fi ri sin i
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例1：一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机， 滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加 速度a=0.4m/s2匀加速上升，求： 1）滑轮的角加速度。 2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。
3）在这5s内滑轮转过的圈数。
4）开始上升后，t1=1s末滑轮边缘上一点的加 速度（假设绳索和滑轮之间不打滑） 。
旋转加速度 向轴加速度
2.定轴转动（rotation about a fixed axis）
转轴固定， 和 退化为代数量 和 。
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z
,
v
θ
v r
dv d at r r dt dt
参 考 方 向
r P r
刚体 O× 定轴
an r
2
0 t 1 2 若 const. ( 0 ) 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )