22.1.2二次函数的图像和性质(课堂PPT)
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人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质课件
a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
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《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
22.1.2-二次函数y=ax2的图象和性质(公开课)
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
R· 九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线 一条直线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单 的二次函数y=ax2的图象.
x · · · -3 1 y x2 · · · 3 3 x · · · -3 -2 4 3 -1 1 3 0 0 0 1 1 3 2 4 3 3 3 3 · · · · · ·
y
y
1 2 x 3
O
x
-2 -1 4 1 1 y x2 · · · -3 3 3 3
1 2 1 4 0 3 3
· · ·
y 1 2 x 3
-3 · · ·
综合应用 5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0， b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ C ）
× × y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0 y=ax+b单调递增 a>0，
y=ax2开口向上
√
交点在y轴负半轴，故B、D错； y=ax+b单调递减 a<0， 故A错； y=ax2开口向下
2. ④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
3 2 x ；③y=15x2； 5
② ③ ⑤ （填序号）； （1）其中开口向上的是________ ① （填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______ ① ④ （填序号）. （3）有最高点的是_______
-1
R· 九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线 一条直线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单 的二次函数y=ax2的图象.
x · · · -3 1 y x2 · · · 3 3 x · · · -3 -2 4 3 -1 1 3 0 0 0 1 1 3 2 4 3 3 3 3 · · · · · ·
y
y
1 2 x 3
O
x
-2 -1 4 1 1 y x2 · · · -3 3 3 3
1 2 1 4 0 3 3
· · ·
y 1 2 x 3
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综合应用 5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0， b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ C ）
× × y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0 y=ax+b单调递增 a>0，
y=ax2开口向上
√
交点在y轴负半轴，故B、D错； y=ax+b单调递减 a<0， 故A错； y=ax2开口向下
2. ④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
3 2 x ；③y=15x2； 5
② ③ ⑤ （填序号）； （1）其中开口向上的是________ ① （填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______ ① ④ （填序号）. （3）有最高点的是_______
-1
课件_人教版数学九年级二次函数y=ax的图像和性质PPT课件_优秀版
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
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二次函数的图像和性质PPT课件
顶点形式
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数y=ax2 的图像和性质 课件
合作探究
探究一：二次函数y=ax2(a ＞ 0)的图象和性质 画二次函数y=x2的图象
①列表： x … -3 -2 -1 0 y… 9 4 1 0
12 14
②描点：
轴对称 图形
对称轴是 ③连线： y轴
10 y 89
y=x2
567
4
23
1
-5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x
3… 9…
这是一条 抛物线
这是抛物 线的顶点
合作探究
议一议： 1、请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
1.y＝x2是一条抛物线；
y
2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称；
4.顶点（ 0 ，0 ）； 5.图象有最低点．
O
y=x2 x
合作探究
议一议： 2、观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？
2
3
4 ···
y
1 x2 2
···
8
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8
4.5
2
0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
典例精析
描点、连线，如图所示：
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－8
y
x2
y 2x2
合作探究
相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对 称轴是 y 轴；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随 x的增大而减小． 不同点：a 要越小，抛物线的开口越小。 要点归纳： 对于抛物线 y = ax2 （a ＜ 0）
22.1 二次函数的图象和性质 公开课课件.ppt 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 公开课课件
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1 ． 由 解 析 式 画 函 数 图 象 的 步 骤 是 __列__表___ 、 __描__点____ 、 ___连__线_____．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一__条__直__线___． 3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛__物__线____，其对称轴为 ____y____轴，顶点坐标为___(_0_，__0_) ___． 4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____x__轴对称．抛物线y＝ax2， 当a＞0时，开口向________上，顶点是它的最________低点；当a＜0时， 开口向________，下顶点是它的最________点高，随着|a|的增大，开口 越来越________． 小
增大而减小；当x＝0时，函数y有___最__大____(填“最大”或“最小”)
值是___0_____．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y_＝__12_x_2____，当x ＝___0_____时，函数图象的最低点为__(_0_，__0_)__．
9．已知二次函数y＝mxm2－2. (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
10．二次函数y＝
1 5
x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向
上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0
时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一
22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1 ． 由 解 析 式 画 函 数 图 象 的 步 骤 是 __列__表___ 、 __描__点____ 、 ___连__线_____．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一__条__直__线___． 3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛__物__线____，其对称轴为 ____y____轴，顶点坐标为___(_0_，__0_) ___． 4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____x__轴对称．抛物线y＝ax2， 当a＞0时，开口向________上，顶点是它的最________低点；当a＜0时， 开口向________，下顶点是它的最________点高，随着|a|的增大，开口 越来越________． 小
增大而减小；当x＝0时，函数y有___最__大____(填“最大”或“最小”)
值是___0_____．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y_＝__12_x_2____，当x ＝___0_____时，函数图象的最低点为__(_0_，__0_)__．
9．已知二次函数y＝mxm2－2. (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
10．二次函数y＝
1 5
x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向
上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0
时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一
二次函数的图象和性质课件PPT
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第2课时）
课件说明
• 本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一 次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊 到一般地对二次函数的图象和性质进行探究，继续加 深对函数的一般性认识．
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
22 y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们的形状是怎样画出来的？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之 间有什么关系？
y 6x2
2．通过实例，归纳二次函数的定义
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比 赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
3．练习、巩固二次函数的定义
解：（1）由题意，得 2x 2y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 的取值范围是
9 2
＜x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
3．练习、巩固二次函数的定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
课件说明
• 学习目标： 1．会用描点法画出二次函数 y = ax2+k 的图象； 2．通过图象了解二次函数的图象特征和性质．
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实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
这条抛物线是轴对称
二次函数y = x 2 的图象图是形轴吗对？称如图果形是，，
对称轴是y轴
对称轴是什么？
10 y
9 8
y x2
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=－x2 … -４ -2.25
y=－
1 2
x2
… -2
-１.１２５
y=－2x2 … -８ -4. 5
- -0.25 ０ -0.25
-１０. ０ -０.１２５ -０.１２５
５
-２ -０. ０ -０.５ ５y 1
-
-2.25 -４ …
-5
y 2x2
9
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
y x2 y x2
在同一坐标系内,抛物线y ax2
与
抛物线 yax2
是关于x轴对称的.
2021/3/29
10
y 2x2
1、根据左边已画好的函数图象填空：
y 2 x2 3
１
-０.５ -１.１２５
-2
…
-２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线
-4
y x2
-5
2021/3/29
y 2x2
8
(图函中数蓝y线=图－形21 x)的2,y图=－象2相x比2的,有图什象么与共函同数点y=和－不x2同点?
2
在对称轴的左侧，
-5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
不同点: 开口大小不同;
|a|越大， 抛物线的开口越小。
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6
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象． 2
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7
解: (1) 列表
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
（2）抛物线
y
2 3
x
2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x 2的顶点
它是抛物线 y x2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
2021/3/29
4
例1.在同一直角坐标系中画出函数y=
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1
21x2和y=2x2的图象
0 1 23 4…
(2) 描点
(3)y=(2x-1)2-4x2.
2021/3/29
2
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描用点描 点 一法 般画步(函骤3)数? 连图线像的
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 … … 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-而增大。
在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
y 1 x2 2
y 1
-1 0 1 -1 -2
-3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2
|a| 越大，抛物线的开口越小．
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当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛202物1/3/线29 的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
对称轴是_y_轴_,顶点是 (0,0) ;
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x 0时，y<0.
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y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 象
开口方向
y Ox 向上
y
O
x
向下
顶点坐标
(0 ,0)
(0 ,0)
对称轴
y轴
y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
y=
1 2
x2
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 2x2 y
10
y x2
9
8
7
6
5
4
3 2
y 1 x2 2
1
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-5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x 5
函数y=21 x2,y=2x2的图象 与函数y=x2(图中虚线图形) 的图象相比,有什么共同点 和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y 1 x2
描点法
y
10
9
列表 描点
描点时687应以哪y些=数x2 值作为5点的坐标？
4
3
2
连线
1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x
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3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中
所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
22.1.2 二次函数y ax2 的图象和性质
2021/3/29
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二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
在下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x+5;
(2)y=(x+3)2-5x;
12
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是y轴 , 顶点是 (0,0); 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是 (_0_,0_) 3、函数y= 3x2的图象; 的开口 向上,对称轴 是 y轴 ,顶点是 (0,0);
4、函数y= －0.2x2的图象的开口 向下 ,