11-第11讲 粘性流体管内流动阻力和能量损失

由（4-11）式，得到管壁处的切应力为
0

p 311.8 0.05 R 0.078 N / m2 2l 2 100
在半径 r 20mm 处的切应力为
p 311.8 0.02 r 0.0312 N / m2 2l 2 100
第4节 圆管中的紊流流动
1、 紊流流动的特征 紊流又叫湍流，日文里是乱流，是流体质点的一种无定向、无规则的混乱运动，主要体 现在紊流的脉动现象，即诸如速度、压强等物理量随时间的变化是一种无规则的随机变动。 在相同条件下做重复试验时， 所得到的瞬时值是各不相同的， 但多次重复试验结果的算术平 均值趋于稳定值，且具有规律性。图 4-9 表示为一个典型的紊流流动在空间一个固定点处测 得的速度 u 随时间的变化，其特点是相对某一固定值 u 上下随机的、无规则的脉动。图中， u 为瞬时速度， u 为时间平均速度， u ' 为脉动速度。
得到 Re < 2000，所以流动为层流流动。
（2）由（4-17）式，沿程损失系数为

64 64 0.1808 Re 354
再由达西公式，管长为 100m，得到水头损失及压强损失为
l V2 100 0.0637 2 0.1808 0.0374m d 2g 0.1 2 9.81 p gh f 311.8Pa hf
失的公式是
hf
A l V2 Re d 2 g
（4-9）
式中 A 是一个大于 64 的数。 对于紊流入口段， 由于紊流质点间互相掺混， 因而流体进入管道后较短距离就可以完成 其在断面上的紊流速度分布规律，通常紊流入口段比层流入口段要短些。 2、 速度分布与切应力分布 对于截面形状和大小沿流程不变的长直管道来说， 只有沿程损失而没有局部损失。 下面 推导在充分发展段内流体做层流流动所满足的基本方程。 在管道中取坐标 x 轴与圆管轴线重合，并取如图 4-6 所示的轴线为 x 轴、半径为 r、长 为 l 的小圆柱体为研究对象。
V
Q 4 d 4 p d 2 p 2 A d 128l 32l
（4-14）
根据（4-12）式，断面上的最大速度在 r = 0 处，大小为
umax
p R 2 d 2 p l 4 16l
（4-15）
对比（4-14）式，得到断面平均速度是断面最大速度的一半，即
1 V umax 2
（3）在管道中心处速度最大，为
umax
p 1 2 311.8 0.052 R 0.127m / s l 4 100 4 1.53 10 2
在半径 r 20mm 处的速度为
u
p 1 311.8 0.052 0.022 (R2 r 2 ) 0.107m / s l 4 100 4 1.53 10 2
p1 1V12 p2 2V22 hf g 2g g 2g
由于两截面均为层流，故 1 2 ；又截面积不变，由连续性方程，有 V1 V2 V ，则有
hf
p1 p2 p g g
这说明， 流体自截面 1 到截面 2 的能量损失， 损失的不是动能， 而是压能。 再由 （4-14） 式，可得
V2 hm 2g
式中， 称为局部阻力损失系数。
（4-4）
无论是沿程损失还是局部损失， 都是由于流体在运动过程中克服阻力做功而形成的， 并 各有特点，总的能量损失是这两部分损失之和。 第3节 圆管中的层流流动 1、 入口段与充分发展段 流体流入管道后，其速度分布有一个变化过程，如图 4-5 所示。经过一段距离后，速度 分布逐渐达到稳定状态， 这段距离称为入口段， 也叫起始段。 对于层流流动称为层流入口段， 对于紊流流动称为紊流入口段，在这段距离之后的管段称为充分发展段。
( p1 p2 )r 2 2rl 0
再由牛顿内摩擦定律，考虑到 式得到
du du 为负值，u 随着 r 的增大而减小，故 ，代入上 dr dr
du p p2 p r 1 r dr 2l l 2
式中 p p1 p2 。根据牛顿内摩擦定律得到剪切应力分布为
（4-10）
Байду номын сангаас
du p （4-11） r dr 2l p R ，与（4-11）式相比，得到切应力分布为 当 r R 时，壁面摩擦力为 0 2l

r 0 R
切应力分布如图 4-7 所示。这就是过流断面上切应力的 K 字形分布规律，既适用于层 流也适用于时均紊流，只不过二者的 0 不同，K 字的斜率不同而已。
u u u'
同样，瞬时压强、时均压强和脉动压强的关系为
（1） 试判断流态； （2） 试求沿程损失系数和 100m 管长的能量损失； （3） 试求管轴心及 r 20mm 处的速度和切应力。 解： （1）由于
V
Q 4 5 104 0.0637m / s A (0.1) 2 Vd 0.1 0.0637 Re 354 / 1.53 10 2 / 850
（4-16）
注意 1：式（4-16）是一个很有用的结论，但只适用于圆管的充分发展段的层流流动。 注意 2：从（4-13）流量计算公式发现，对于充分发展的层流流动，壁面粗糙对流动没 有影响， 也就是说， 如果压力梯度 p / l 、 流体粘度和管径相同时， 不管用什么材料的管道，
流量都是相同的。其原因是层流把壁面粗糙完全掩盖了，使其对流动没有任何影响。 4、 沿程损失系数 在管道的截面 1 和截面 2 列总流的伯努利方程，有
RH
A

（4-1）
对于半径为 r 充满流体的圆形管道来说，其过流断面上的水力半径为
RH
水力直径的定义如下
A


r 2 r 2r 2
4A
DH

（4-2）
对于直径为 d 充满流体的圆形管道来说，其过流断面上的水力值径为
d 2 DH d d
4A
由此可知，圆形管道的直径就是其水力直径。 2、 沿程损失（Frictional loss） 流体流动的过流断面的大小、形状和方位沿流程不变，这种流动称为缓变流。在缓变流 动中，流体所承受的阻力只有不变的切应力（摩擦阻力） ，称这类阻力为沿程阻力，由此引
Q u 2rdr
0
R
p 2 ( R 2 r 2 )rdr l 4 0
R
pR 4 d 4 p 8l 128l
（4-13）
这就是圆形管道内层流流动的流量计算公式。德国工程师哈根在 1839 年，法国科学家泊肃 叶在 1840 年对此结果进行了实验验证，故又称为哈根-泊肃叶公式，式中 p 为在长为 l 的 管路上的压力降。 根据断面平均流速的定义，有
u
u'
u
u
t
0 图 4-9 紊流速度脉动示意图 T
由于脉动的随机性， 一般采用时间平均值对紊流流动进行研究。 假设脉动的平均周期为 T，则定义速度的时间平均值（简称时均值）为
u
1 udt T 0
T
（4-19）
瞬时值与时均值之差就是脉动值，用“’“表示，于是，脉动速度为
u' u u
或写成

64 Re
（4-17）
上式表明圆管层流的沿程阻力系数仅与雷诺数有关， 且与雷诺数成反比， 而和壁面粗糙 无关。 密度为 850kg / m 、动力粘度 1.53 10 kg / m s 的油在管道直径为
3 2
例 4-2
d 100mm 的管道内流动，测得流量为 Q 0.5l / s 。
R p1 l τ r p2 u x u 1 图 4-6 2
圆管层流运动方程用图
在定常流动中，这个小圆柱体处于平衡状态，所以作用在小圆柱体上的合外力在 x 轴上 的投影为零。作用在小圆柱表面的力有两个，一个是两个端面的压力 ( p1 p2 )r ；另一个
2
是作用在圆柱面上的摩擦力 2rl 。合力为零，得到
起的能量损失称为沿程损失。 沿程损失沿管段长度方向均匀分布， 损失与管段的长度成正比。 沿程损失的计算公式为
hf
l V2 d 2g
（4-3）
式中， l ——管长 d ——管径 V ——过流断面平均流速 ——沿程阻力损失系数 式（4-3）称为达西（H.Darcy）公式，是法国工程师达西在 1852-1855 年根据实验得出 的结论。这个公式可采用量纲分析的方法得到。 3、 局部损失（Minor loss） 如果流体流动的过流断面的大小、 形状和方位沿流程发生急剧的变化， 其流速分布也产 生急剧的变化，这种流动称为急变流。各流段所形成的阻力是各种各样的，但都集中在很短 的管段内（如管径突然扩大、管径突然收缩、弯道和阀门等） ，这种阻力称为局部阻力。由 此引起的能量损失，称为局部损失。 局部损失的表达式为
第4章
粘性流体管内流动阻力和能量损失
本章的重点在于粘性流体流动过程中的能量损失及其计算。 粘性流体在流动过程中， 由 于质点之间的相对运动而产生切应力、流体与壁面间的摩擦以及壁面对流体流动的扰动等， 都要损失流体自身所具有的机械能。 本章重点要求掌握圆管中的层流计算及管路中的沿程阻力和局部阻力的计算与应用； 要 求对沿程损失、局部损失、层流、紊流的基本概念及有关公式有所了解。 第1节 沿程损失和局部损失 引起流动能量损失的因素主要有两点： 一是由于流体有粘性， 质点之间以及质点与壁面 之间产生摩擦应力，这要消耗能量；二是由于流体流动大小和方向的不断变化，使得质点间 以及质点与壁面之间的撞击加剧，并引起能量的损耗。所以，粘性虽是形成流体运动阻力的 主要因素， 但流体运动状态不同以及流体与固体壁面接触情况的不同， 也都影响着流动阻力 的大小，从而形成不同的能量损失。流体所受到的阻力与其所经过的过流断面密切相关，如 果过流断面是不变的， 则流体流过每一过流断面的阻力也是不变的； 如果过流断面是变化的 （包括过流面积的大小、 形状和方位的变化） ， 则流体流过每一过流断面的阻力也是变化的。 因此在流体工程设计计算中，根据过流断面的变化与否，把能量损失分为两类，一个是沿程 损失，另一个是局部能量损失，它们的计算方法和能量损失机理是不同的。 下面首先分析过流断面对流动的影响，然后讨论流体运动与流动阻力的两种形式。 1、 过流断面上影响流动阻力的主要因素——水力半径 过流断面上影响流动阻力的因素有两个， 一个是过流断面的面积 A， 另一个是过流断面 的湿周 χ（流体与固壁的交线长度） 。流动阻力与过流断面面积 A 的大小成反比，而与湿周 χ 的大小成正比，由此可建立水力半径的概念。水力半径的表达式如下：
u
τ
d
图 4-7
圆管层流速度分布与切应力分布
积分（4-10）式，得到速度分布为
u
p r p r 2 dr C l 2 l 4 p R 2 ，最后得到 l 4
（4-12）
当 r R 时，壁面处的流速为 0，则 C
u
p 1 (R2 r 2 ) l 4
这是一个抛物面方程，即速度分布是一个抛物面分布，如图 4-7 所示。 3、 流量、平均速度与最大速度 在任意一个过流断面上对（4-12）式积分，得到流量为
p
代入上式，得到沿程损失为
32l V d2
32lV 64 l V 2 64 l V 2 hf 2 d g Vd d 2 g Re d 2 g
上式也表明，对于层流来说，流动损失与速度的一次方成正比。对比达西公式
hf
得到圆管层流流动的沿程阻力系数为
l V2 d 2g
入口段 L 图 4-5
充分发展段 起始段与充分发展段
对于管中层流流动来说， 在入口段内过流断面上的速度分布沿流程逐渐向抛物面分布转 化。在起始段，壁面处的速度梯度较大，由牛顿内摩擦定律可知，这一段的壁面摩擦力也较 大；所以在入口段内流体的内摩擦力大于充分发展段的流体内摩擦力。 由试验得到层流入口段长度可表示为 L 0.02875d Re （4-8） 如果管路长度 l L ，则入口段的影响可以忽略；如果管路长度 l L ，则计算沿程水头损