1.1.1命题及其关系1
2020秋高中数学人教版2-1学案：1.1.1命题含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：1.1.1命题含解析第一章常用逻辑用语德国伟大的诗人歌德,有一次在魏玛公园散步．当他走在一条仅能容一个人通过的小路上时，迎面走来了一位曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺批评家．那位批评家站在歌德的对面，傲慢地说：“对一个傻子,我绝不让路．" “我却正好相反．"歌德边说边微笑着站到了一边．顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容．这里反映的就是常用逻辑用语在现实生活中的应用．日常生活中,我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．学习目标1．了解命题的概念，会判断命题的真假．2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．通过数学实例,了解逻辑联结词“且”“或"“非”的含义．4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定．5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．本章重点命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义;逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词的应用．本章难点必要条件的含义;含有一个量词的全称命题和特称命题的否定．1。
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1命题自主预习·探新知情景引入中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题:白马非马．对于一般人来说,“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？新知导学命题及相关的概念（1)定义：用__语言、符号或式子__表达的,可以__判断真假__的陈述句．（2）分类:①真命题：判断为__真__的语句；②假命题:判断为__假__的语句．(3)形式:命题的结构形式是“__若p,则q__”，其中__p__是命题的条件，__q__是命题的结论．预习自测1．下列语句中,命题的个数是（C）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③单位向量的模为1;④你是高二的学生吗?A．0B．1C．2D．3［解析］由命题的定义知，语句①③能判断真假,所以是命题，故选C．2．下列语句中是命题的是（D）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AMD．两个锐角的和大于直角［解析]两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C都不能判断真假．3．下列命题为假命题的是（C)A．log24＝2B．直线x＝0的倾斜角是错误!C．若｜a|＝｜b|,则a＝bD．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β,则α∥β［解析]由|a｜＝|b|得a与b的模相等,但方向不定,故a与b不一定相等，故选C．4．下列命题为真命题的是(A)A．若错误!＝错误!，则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y，则错误!＝错误!D．若x〈y，则x2〈y2［解析]B中,若x2＝1,则x＝±1;C中,若x＝y<0,则x与错误!无意义；D中，若x＝－2,y＝－1，满足x〈y，但x2〉y2,故选A．5．把命题“函数f(x)＝sin x是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是__若一个函数是f（x）＝sin x，则该函数是奇函数__。
2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第1章1.1.1 命题的概念和例子含解析
1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ； 当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集． [妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0； ③若p ＞0，则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝12时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。
湘教版 学案 1.1.1 命题的概念和例子
1．1.1命题的概念和例子1．1命题及其关系1．了解命题、真命题、假命题的概念．2．了解命题的特点，会判断一个语句是不是命题以及命题的真假性．1．在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答：判断一件事情的句子叫命题．如：有两边相等的三角形是等腰三角形．2．怎样判断命题的真假？答：看命题是否正确，要看它是否与客观事实相符合．1．可以判断成立或不成立的语句叫作命题，成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题．2．暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．要点一命题的判断例1下列语句是命题的是()A．x－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树答案 B解析A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪演练1判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x－2>0；(3)集合{a，b，c}有3个子集；(4)这盆花长得太好了！解(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题．(2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题．(3)“集合{a，b，c}有3个子集”是假的，所以它是命题．(4)“这盆花长得太好了！”是感叹句，它不是命题．要点二命题真假的判断例2判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(5)方程x2－2x＋5＝0无实数解．解(1)负数都是小于零的，因此“任何负数都大于零”是不正确的，所以它能构成命题，而且这个命题是个假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本题无法判定△ABC与△A1B1C1是否为全等三角形，所以它不是命题．(3)因为x是未知数，无法判断x2＋x是否大于零，所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．(4)6确实是所给方程的解，所以它是命题，是真命题．(5)由于给定方程x2－2x＋5＝0，我们就可以用其判别式来判断它是否有实数解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知，“方程x2－2x＋5＝0无实数解”是命题，且是真命题．规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在证明时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．跟踪演练2下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．1．下列语句不是命题的有()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案 C解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．3．语句“若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c”是()A．不是命题B．真命题C．假命题D．不能判断真假答案 B解析考查不等式的性质，不等式两边都加上同一个实数不等式仍然成立．4．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案 4解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．1．由命题的定义知，要判断一个语句是否为命题要抓住两点：一是陈述句；二是能判断真假．2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．。
苏教版数学选修2-1：1.1 命题及其关系1.1.1
1.下列语句：①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________．解析：①是命题，能判断真假．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．⑥不是命题，没有作出判断．答案：②④⑥2.(2011·高考山东卷改编)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<33.命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是________．解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”．答案：若b2≠9，则b≠34.命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析：原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．答案：45.给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．解析：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题．②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题．③原命题“若a>b>0，则3a>3b>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题．④原命题的逆命题为：“若方程mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝62－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题．答案：①②③[A 级 基础达标]1.下列语句：①平行四边形不是梯形；②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13；④这是一棵大树；⑤2012年7月27日是伦敦奥运会开幕的日子．其中命题的个数是________．解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．答案：42.设A 、B 为两个集合，下列四个命题：② A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；②A B ⇔A ∩B ＝∅；③A B ⇔A ⊉B ；④A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是____．(把符合要求的命题序号都填上)解析：A ⃘B 的情况有多种A 、B 之间的关系，A 中至少有一个元素不属于B .答案：④3.命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．解析：“若p 则q ”的逆否命题是“若非q 则非p ”．答案：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数4.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________．解析：∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b －1”的否定是“2a ≤2b －1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”．答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －15.命题“若A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的否命题“若A ≠60°，则△ABC 不是等边三角形”为________命题(填“真”或“假”)．解析：“若A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的逆命题为“若△ABC 是等边三角形，则A ＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．答案：真6.把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断真假．(1)奇函数的图象关于原点对称；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称，是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大，是假命题．7.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图象与x 轴有公共点． 解：(1)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(2)逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b 2－4ac <0；否命题：若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ≥0，则该函数图象与x 轴无公共点；逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点，则b 2－4ac ≥0.[B 级 能力提升]8.已知命题p ：x 2－x ≥6或x 2－x ≤－6，q ：x ∈Z ，且p 假q 真，则x 的值为________．解析：因为p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6x 2－x >－6x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6<0x 2－x ＋6>0x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3x ∈R x ∈Z . 故x 的取值为－1，0，1，2.答案：－1，0，1，29.若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]10.判断下列命题的真假：(1)对任意非正数c ，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .(2)若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0.解：(1)由题意知，其逆否命题为：对任意非正数c ，若有a >b 成立，则a >b ＋c . ∵c ≤0，∴b ＋c ≤b <a ，即a >b ＋c ，逆否命题正确，所以原命题为真命题．(2)由题意知，其逆否命题为：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1.∵x 2－3x ＋2＝0⇒x ＝1或x ＝2.易知，逆否命题错误，所以原命题为假命题．11.(创新题)已知命题p ：函数f (x )＝1－x 3，实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：实数m 使方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根．若命题p 、q 中有且只有一个真命题，求实数m 的范围．解：f (x )＝1－x 3， 又f (m )<2，∴1－m 3<2，∴－5<m ， ∴p ：m >－5.因为方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，2x >0，∴m <0，∴q ：m <0.若命题p 、q 中有且只有一个真命题，存在两种情况：(1)当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m >－5m ≥0，∴m ≥0， (2)当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎨⎧m ≤－5m <0， ∴m ≤－5.。
命题和四种命题
真命题
4）两个内角等于45°旳三角形是等腰三角形 真命题
“若p则q”形式旳命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具
有“若p则q”旳形式。 p
q
一般,我们把这种形式旳命题中旳p叫做命题旳条
件,q叫做命题旳结论。
“若p则q”形式旳命题是命题旳一种形式而不是 唯一旳形式,也可写成“假如p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。
例3.把下列命题改写成“若p则q”旳形 式,并判断真假
（1）垂直于同一种直线旳两条直线 假命题
平行
（2）负数旳平方是负数.
真命题
（3）对顶角相等
真命题
1.1.2 四种命题及其关系
• 下列命题中②，③，④与命题①有何关系？ • ①假如两个三角形全等，那么它们旳面积相等； • ②假如两个三角形旳面积相等，那么它们全等；
例如：若a=0,则ab=0否命题为：
若a≠0,则ab≠0.
观察命题①与命题④旳条件和结论之间分别 有什么关系？
•①假如两个三角形全等，那么它们旳面积相等； •④假如两个三角形旳面积不相等，那么它们不全等；
我们发觉 ④旳条件恰好是①旳 ④旳结论恰好是①旳
结论旳否定, 条件旳否定.
像这么旳两个命题叫做互为逆否命题，其中 一种叫原命题，另一种叫原命题旳逆否命题。
正面 词语 否定
等于 不小于 不等于 不不小于
不不小于
不不不小 于
是 都是 不是 不都是
正面 词语 否定
全 至少有一种 能 P或q P且q
不全 一种也没有 不能 非p且 非p或 非q 非q
例1.写出下列命题旳逆命题、否命题与逆否
命题并判断真假
1原命题：若x2 3x 2 0,则x 2
高中数学知识点精讲精析 命题及其关系
1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
高中数学选修1-1公式概念总结
选修1-1数学公式概念第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。
其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题 若q ⌝，则p ⌝原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假原命题逆命题否命题逆否命题互为 逆 否互为逆 否 互 逆 互否互否若p ⌝，则q ⌝ 若q ⌝，则p ⌝若p ，则q若q ，则p互逆1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
1.1.1《命题及其关系(一)四种命题》课件
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四种命题的形式
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┐p则┐q； 逆否命题：若┐q则┐p.
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例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、 否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
原命题：若a=0,则ab=0是真命题； 逆命题：若ab=0，则a=0是假命题； 否命题：若a0，则ab0”是假命题； 逆否命题：若ab0，则a0”是真命题；
(1)能被6整除的整数一定能被3整除;
(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形
是正方形;
(3)二次函数的图象是一条抛物线; (4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三 角形.
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3.设原命题：当c>0时，若a>b，则ac>bc； 写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分 别判断它们的真假.
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问题1:下面的语句的表述形式有什 么特点？你能判断它们的真假吗？ (1)若xy＝1，则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等； (3)2+4=5 ; (4)如果b≤－1，那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根； (5)若A∪B=B，则 A B (６)３不能被２整除. 我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为 ks5u精品课件 假的语句称为假命题．
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数学理论：否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，这样的两个命题就叫做互否 命题，若把其中一个命题叫做原命题， 则另一个就叫做原命题的否命题.
否命题⑶同位角不相等，两直线不平行； 逆否命题 ⑷两直线不平行，同位角不相等.
常用逻辑用语
表 1.1.4 pq 00 01 10 11
p →q 1 1 0 1
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【例1.1.7】 (1) p：天下雨了。
q：路面湿了。则 p→q：如果天下雨，则路面湿。 (2) r：三七二十一。则 p→r：如果天下雨，则三七二十一。
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注 (1)逻辑中，前件p为假时，无论后件q 是真是假，蕴含式p→q的真值均为1。这与日 常语言中的，特别是数学上常用的“真蕴含真” 不太一样。事实上并不矛盾，例如某人说： “如果张三能及格，那太阳从西边升起。”说 话者当然知道“张三能及格”与“太阳从西边 升起”风马牛不相及，而一般人此时并没有说 谎的必要，即这是真命题，它所要明确的是 “张三能及格”是假命题。
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从上面讨论可以看出，判断一个语句是否是命 题的关键是：
(1)语句必须是陈述句。 (2)陈述句必须具有唯一的真值。要注意两点： ①一个陈述句在客观上能判断真假，而不受人 的知识范围的限制。 ②一个陈述句暂时不能确定真值，但到了一定 时候就可以确定，与一个陈述句的真值不能唯一确定 是不同的。
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前面我们用p、q、r等符号表示确定的简单命题， 通常此时称它们为命题常元。而事实上，这些常元无 论具体是怎样的简单命题，它们的真值均只可能是 “1”或“0”。为了更广泛地应用命题演算，在研究 时，我们只考虑命题的“真”与“假”，而不考虑它 的具体涵义（即只重“外延”，不顾“内涵”）。譬
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以上所讨论的命题均是一些简单陈述句。在 语言学中称为简单句，其结构均具有“主语+谓 语”的形式，在数理逻辑中，我们将这种由简单 句构成的命题称为简单命题，或称为原子命题， 用p、q、r、pi、qi、ri等符号表示（亦可用其它 小写的英文字母表示）。如：
命题及其关系
命题及其关系知识点：1. 命题：1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：真命题 假命题 1.3 关系： 原命题逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题。
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若 p ，则 q ” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）规律：1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分必要条件： 2.1 概念：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝若p 是真命题，则p ⌝必是假命题若p 是假命题，则p ⌝必是真命题2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝． 全称命题的否定是特称命题．练习：1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)02. 设m ∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m ≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m ≤03. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4. 设x ∈R,则“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ． 存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ·n<0”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a ·b=|a|·|b|”是“a ∥b ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b ”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.6. 答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.7. 答案A∵a·b=|a|·|b|·cos<a,b>,∴a·b=|a|·|b|时,有cos<a,b>=1,即<a,b>=0,∴a∥b.而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.8. 答案D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
1.1命题及其关系(1.1.1-1.1.3)
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
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观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； p q 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； q p 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件，这两个 命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
(3)相等的角是对顶角 逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
原命题 (假) 否命题 (真) 逆命题 (真) 逆否命题 (假)
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(4)凡质数都是奇数. 逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
练习
P4 2. 3. 小结
这节课主要是学习了什么样的语句 是命题，以及把命题进行改写，以便容 易找到命题的条件和结论。
作业 P8 A 1
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命题及其关系
1.1.2 四种命题
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下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？
互否命题 原命题 (原命题的)否命题
原命题:若p,则q
否命题:若┐p,则┐q
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观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1.1命题课件 新人教A版选修2-1
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)下列两个语句是命题的是 ①0是自然数;②温度是向量吗? (2)命题“8>10”是 命题(填“真”或“假”). .
(3)若a与b是无理数,则ab是无理数,其中该命题的条件 是 ,结论是 .
【解析】(1)“0是自然数”可以判断真假,“温度是向量吗” 不是陈述句.故①是命题,②不是命题. 答案:① (2)8>10显然是错误的,故该命题是假命题. 答案:假 (3)“若p,则q”形式的命题,其中p是条件,q是结论,因此原命 题中“a与b是无理数”是条件,“ab是无理数”是结论. 答案:a与b是无理数 ab是无理数
【方法技巧】 1.将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
2.命题改写中的注意点 若命题不是以“若p,则q”这种形式给出时,首先要确定这个命 题的条件p和结论q,进而再写成“若p,则q”的形式.
【变式训练】将下列命题改写成“若p,则q”的形式. (1)当a>b时,ac>bc. (2)同弧所对的圆周角不相等. 【解题指南】解答此类问题时首先确定命题的条件p与结论q, 然后再写成“若p,则q”的形式. 【解析】(1)若a>b,则ac>bc. (2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.
【要点探究】 知识点 命题的概念及构成形式
1.对命题概念理解的两个关注点 (1)命题首先必须是陈述句,对于疑问句、祈使句、感叹句等都 不是命题.
(2)命题是对一个结论的判断,所谓判断,就是肯定一个事物是 什么或不是什么,不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件 下相应结论的一个判断,这个判断可能正确,也可能错误.所以 不能认为只有真命题才是命题,假命题不是命题.
即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.
1.1 命题及其关系
【导学号：46342009】 A．若 y≠kx，则 x 与 y 成正比例关系 B．若 y≠kx，则 x 与 y 成反比例关系 C．若 x 与 y 不成正比例关系，则 y≠kx D．若 y≠kx，则 x 与 y 不成正比例关系
D [条件的否定为 y≠kx，结论的否定为 x 与 y 不成比例关系，故选 D.]
提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
2．在证明“若 m2＋n2＝2，则 m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题 成立． 提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若 m＋n>2， 则 m2＋n2≠2”成立．
[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时， 直接判断命题的 真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题． 2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．
真
思考 1：(1)“x－1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判 断真假的才是命题．
2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若 p，则 q”．其中 p 叫做命题的条件 ，q 叫做命 题的 结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式． 思考 2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
பைடு நூலகம்
(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． 写出原命题的逆否命题 → 判断其真假
原命题与逆否命题同 判断原命 得到逆否命 → → 真同假即等价关系 题的真假 题的真假
[解析] (1)当 c＝0 时，ac2>bc2 不成立，故原命题是假命题，从而其逆否 命题也是假命题；原命题的逆命题为“若 ac2>bc2，则 a>b”是真命题，从而 否命题也是真命题，故选 C．
高考调研精讲精练人教数学选修2-1(B版)第1章
汈A1.11．1.1命题要点1命题：能判断真假的语句叫做命题．要点2真命题：判断为真的命题叫真命题．要点3假命题：判断为假的命题叫假命题．要点4命题的表示：一般用小写英文字母表示，如p，q，r，…1．如何判定一个语句是否是命题？答：①并非所有陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比喻，形容词等词义模糊不清的(即美丽”，“小红长得很．美”，就不不能判断真假)，都不是命题，如：“小红长得象天仙一样．．．．．是命题．②(在陈述句中)有一些科学猜想，如“哥德巴赫猜想”，虽然现在还不能确定其真假，但随着时间的推移，总能确定其真假，所以它们也是命题．③疑问句(如：明天会放假吗？)，祈使句(如：希望明天会放假)，感叹句(如：放假真好呀！)都不是命题.题型一命题的概念例1判断下列语句是不是命题．(1)x2－1＝0，(2)x2＋1＝0，(3)y＝x2(x∈R)是幂函数．(4)《高考调研》是最实用的参考书吗？(5)请给我买本《高考调研》！解析(1)陈述句，但不能判断真假，∴不是命题．(2)陈述句，对所有的实数x，x2＋1一定不为0，能判断真假，∴是命题(假命题)．(3)陈述句，能判断真假，是命题(真命题)．(4)疑问句，不是命题．(5)祈使句，不是命题．探究1判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句“π是有理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“π是无理数吗？”感叹句“向抗洪英雄学习！”就不是命题．思考题1判断下列语句是不是命题．(1)（－3）2＝－3.(2)平面内不相交的两直线平行．(3)x>0.(4)数学好学吗？(5)并非所有的学生都喜欢数学．解析(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)是题型二命题真假的判断例2下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①等边三角形难道不是等腰三角形吗？②垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？③一个实数不是正数就是负数．④大角所对的边大于小角所对的边．⑤若x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．解析①通过反意疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．②疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题．数0既不是正数也不是负数．④是假命题．没有前提条件在同一个三角形中．⑤是假命题．如x＝3，y＝－ 3.答案①③④⑤，①探究2命题真假性的判断：(1)从方法上判定一命题为真命题需要严格推证，判定一命题为假命题只需举出一个反例即可，解决这类题目的难点是相关知识点的掌握．(2)认真审题，找出被判断对象应满足的条件及满足此条件时会有的结论，为叙述的通顺，必要时可添加一些词语，但不可改变原命题．思考题2判断下列语句，哪些是命题？若是命题，指出是真命题，还是假命题？(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)三角函数是周期函数吗？(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0(4)灰太狼真坏呀！(5)3x≤5解析(1)是命题，是真命题．(2)疑问句，没有对三角函数是否是周期函数作出判断，故不是命题．(3)是命题，因为Δ＝16－28＝－12<0，所以是真命题．(4)感叹句，不是命题．(5)不能判断真假，不是命题．题型三命题的结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(条件：p，结论：q)(1)负数的平方是正数．(2)正方形的四条边相等．(3)质数是奇数．(4)矩形是两条对角线相等的四边形．解析(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”，p为：“一个数是负数”；q为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．p为：“一个四边形是正方形”；q为：“这个四边形的四条边相等”．(3)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．p为：“一个自然数是质数”；q为：“这个自然数是奇数”．(4)可表述为：“若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．”p为：“四边形的两条对角线相等”；q为：“这个四边形是矩形”．探究3一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．思考题3(1)将下列命题改写成“若p，则q”的形式．①奇函数的图像关于原点对称．②当p>0时，p2>p.解析 ①若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．②若p>0，则p 2>p.(2)将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．①当a>b 时，1a <1b.②在△ABC 中，当sinA ＝sinB 时，A ＝B.解析 ①若a>b ，则1a <1b，假命题．②在△ABC 中，若sinA ＝sinB ，则A ＝B 真命题．1．一般地，判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．1.下列语句是命题的是________．①矩形不是平行四边形②lg2是有理数③请坐④2010年7月1日是中国共产党90岁生日答案①②④2．下列语句中，不能成为命题的是()A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点答案 B3．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有真命题的序号为________．答案②③④课时作业(一)1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a|B ．0∈ZC ．集合与简易逻辑D ．灰太狼真坏呀！ 答案 B2．下列语句是命题的是( ) A ．偶函数的和是偶函数吗？ B ．sin45°＝ 3.C ．参加2010年南非世界杯的足球队员．D ．x 2－4x －3＝0. 答案 B3．下列语句：①空集是任何集合的真子集；②x>2；③△ABC 的面积；④高一年级的学生．其中不是命题的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 答案 D4．若M 、N 是两个集合，则下列命题中真命题是( ) A ．如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B ．如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D ．如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M 答案 A5．(2010·衡水市联考卷)已知直线m ，n 及平面α，β，则下列命题正确的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥β⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 答案 D解析 若m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，故选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．故选D.6．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ； 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 C解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.7．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a>1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④9．命题：“一个正整数不是合数就是素数”．条件p：________，结论q：________，是________命题．答案一个数是正整数它不是合数就是素数假解析该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是素数，所以是假命题．10．判断下列命题的真假．(1)在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.________(2)直线的倾斜角越大，则其斜率也越大．________答案(1)真命题(2)假命题11．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求集合A满足的条件．解析当a>1时，A⊆(1，＋∞)，当0<a<1时，A⊆(－∞，－3)12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等．(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．条件p：a>1结论q：函数y＝a x是增函数．1．1.2量词要点1全称命题：“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，P(x)．要点2存在性命题：“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．1．全称命题的特征是什么？答：特征是“全”：全部、所有、任意、每一个等．由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法．如命题：正方形都是矩形．也是全称命题，只不过省去了全称量词“所有”．2．存在性命题的特征是什么？答：特征是“存在”，即有，不是全部．常用的存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等．题型一全称命题与存在性命题的辨析例1判断下列命题是否是全称命题或存在性命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)有的向量方向不定．(4)自然数的平方是正数．解析因为(1)(3)含有存在量词，所以命题(1)(3)为存在性命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题．综上所述：(1)(3)为存在性命题，(2)(4)为全称命题．探究1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．思考题1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是存在性命题：(1)对顶角相等．(2)如果方程f(x)＝0有实根，那么函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．(3)负数没有对数．(4)存在a＝1且b＝2使a＋b＝3成立．答案(1)，(2)，(3)是全称命题；(4)是存在性命题题型二全称命题与存在性命题真假的判断例2试判断以下命题的真假：(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1；(5)∃x0∈Z，x03<1；(6)∃x0∈Q，x02＝3.解析(1)假命题，所有的正方形都是矩形．(2)真命题，所有的有理数都是实数．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(4)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(5)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x03<1.所以命题“∃x0∈Z，x03<1”是真命题．(6)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x 0∈Q ，x 02＝3”是假命题．探究2 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p(x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．思考题2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)p ：所有的单位向量都相等；(2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋3≤0；(4)p ：存在等差数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋2n －1.解析 (1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同时，虽然有|e 1|＝|e 2|，但e 1≠e 2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n ＝1，2，3，…)．(3)p 是存在性命题，是假命题．因为对于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0恒成立． (4)p 是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{a n }(首项a 1，公差d)，其前n 项和为：S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d2n 2＋(a 1－d2)n.因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式(含常数项)．1．全称命题与存在性命题的表述方法？同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活选择．1.给出下列几个命题：①末位数是0的整数，能被5整除；②梯形的对角线互相平分；③每个奇函数的图象都过原点；④有些二次函数的图象与x轴相交．其中全称命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．每个偶函数的图象都与y 轴相交 B ．∀x ∈R ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，x 02≤0D ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 答案 C3．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R ，2x >0 答案 C解析 选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋kπ(k ∈Z )；选项C ，x 3>0⇒x>0；选项D ，2x >0⇒x ∈R ，故选C.课时作业(二)1．下列全称命题中假命题的个数( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈Z ，2x 2＋1为奇数； ④任何直线都有斜率．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①②④是假命题．2．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．有大于等于3的实数 答案 D3．(2010·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R ，f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R ，f(x)≥f(x 0) 答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f(x)≥f(x 0)，因此∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)是错误的，选C.4．下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＝0 B ．∃x ∈R ，－x ＋1≥0 C ．∀x ∈N *，log 2x>0D ．∃x ∈R ，cosx<2x －x 2－3 答案 B解析 ∵x ＝－1时，－x ＋1＝0，故选B.5．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2>3B．对有些x∈R，使x2>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x∈R，使x2>3答案 C6．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是()①每一个二次函数的图象都开口向上②存在一条直线与两个相交平面垂直③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立A．0 B．1C．2 D．3答案 A7．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.8．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，使x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy答案 A9．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±2为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零________；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3________．答案(1)∀x∈N，x2>0；(2) ∃x，y∈Z，使2x＋4y＝311．用量词符号“∀”“∃”表示以下命题．(1)有一个向量a，a的方向不能确定．(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．解析(1)∃a∈{向量}，使a的方向不能确定．(2)∃f(x)∈{函数}，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∀a，b，c，∈R，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．12．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．解析∵(x－a)⊙(x＋a)<1∴(x －a)[1－(x ＋a)]<1 ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立．∴Δ<0即1－4(－a 2＋a ＋1)<0解得－12<a<32，∴ 实数a 的取值范围是(－12，32)．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)a>0且a ≠1，则对任意x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tanx 1<tanx 2； (3)∃T ∈R ，使得|sin(x ＋T)|＝|sinx|； (4)∃x 0∈R ，使得x 02＋1<0.答案 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． 解析 (1)∵a x >0(a>0且a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期． ∴命题(3)为真命题． (4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”要点1p且q：用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∧q.要点2p或q：用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∨q.要点3“且”“或”的真值表p∧qp∨q可简记为：一真即真，同假才假．1．“且”、“或”、分别对应集合中的哪些运算？答：交、并2．对于命题“x2－1＝0的解为x＝±1”，很多人理解为它是由命题p：“x2－1＝0的解是x＝1”与命题q：“x2－1＝0的解是x＝－1”用“或”连结成的新命题p∨q，这样理解正确吗？答：不正确，按此方法p和q都是假命题，∴p∨q是假命题，而原命题应是真命题，导致矛盾．故这样理解是错误的，其原因是原命题是一个整体，它只是一个简单命题，不是p∨q.本题中p∨q应为：“x2－1＝0的解是x＝1”或“x2－1＝0的解是x＝－1”．题型一含“且”、“或”命题的写法及真假的判定例1分别写出由下列各组命题的构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题，并判断真假．(1)p：2是无理数，q：2大于1(2)p：6<6，q：6＝6(3)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分(4)p：奥巴马是白人，q：奥巴马是联合国秘书长解析(1)p∧q：2是无理数且大于1，真命题p∨q：2是无理数或大于1，真命题(2)p∧q：6<6且6＝6，假命题p∨q：6≤6，真命题(3)p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分，假命题p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分，真命题(4)p∧p：奥巴马是白人且是联合国秘书长，假命题p∨q：奥巴马是白人或是联合国秘书长，假命题探究1利用“且”、“或”连结两个简单命题p、q，即可组成新命题“p∧q”或“p∨q”，其真假的判定依据真值表．思考题1分别指出下列命题构成的“p或q”“p且q”形式命题的真假．①p：x2≥0；q：3>5；②p：4是27的约数；q：1是x2－3x＋2＝0的根；③p：x2－x＋1≥0；q：|x|－b<0(b>0)的解集是{x|－b<x<b}．解析①因p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假．②因p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假．③因p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真．例2指出下列命题的形式及真假．(1)24是8和6的倍数；(2)2≤3；(3)1既不是质数也不是合数；(4)斜三角形的内角是锐角或是钝角．解析(1)“p∧q”形式．其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．真命题(2)是“p∨q”形式，其中p：2<3，q：2＝3.真命题(3)是“p∧q”形式，其中p：1不是质数，q：1不是合数．真命题(4)是“p∨q”形式，其中p：斜三角形的内角是锐角．q：斜三角形内角是钝角．假命题探究2判断含有“且”“或”的命题的真假的方法步骤为：(1)分析命题的结构，找出组成它的命题p和q；(2)利用数学知识，判断命题p和q的真假；(3)利用真值表判定该命题的真假．思考题2写出下面命题的形式并判断真假．(1)a2－a＋1≥0，(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解析(1)p∨q：p：a2－a＋1>0，q：a2－a＋1＝0，真命题．(2)p∨q：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集．因为命题q是真命题，所以命题p∨q是假命题．(3)p∨q：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等．因为命题p、q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．题型三利用命题的真假求参数范围例3命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．思路分析解答本题可先求p ，q 中的a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出适合条件的a 的范围．解析 设g(x)＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2. 函数f(x)＝－(5－2a)x 是减函数． 则有5－2a>1，即a<2. 所以命题q ：a<2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧－2<a<2a ≥2，此不等式组无解，(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a<2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a|a ≤－2}．探究3 (1)利用命题的真假求参数，实际就是已知命题p ∧q 真，p ∨q 真等不同的条件，求命题中涉及的参数的范围．(2)分清p ∧q ，p ∨q 的不同情况，p ∧q 为真，则p 真，q 也真；若p ∨q 为真，则p 、q 中至少有一个为真，若p ∧q 为假，则p 、q 中至少有一个为假．思考题3 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，命题q ：不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0对任意的实数x 恒成立．若“p ∨q ”为假，求实数m 的取值范围．解析 p ：∵x 2＋mx ＋1＝0有两不等根∴Δ>0即：m 2－4>0，∴m<－2或m>2 设A ＝{m|m<－2或m>2}q ：∵mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0恒成立．∴①若m ＝0，－2x ＋1<0不恒成立．②若m ≠0，则⎩⎨⎧m<0Δ<0⇒x<－1，综上m<－1.记B ＝{m|m<－1}．∵p ∨q 为假，∴p 假q 假∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2m ≥－1，∴－1≤m ≤2.1．真值表是根据简单命题的真假来判断p∧q，p∨q型命题真假的依据．2．利用真值表与电路联系，加强对真值表的理解．3．给出一个复合命题能说出构成它的简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”，能判断其真假，并能利用真值表判断复合命题的真假. 1.命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是________．答案p∧q解析△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b至少有一个不为0 D．a、b不都是0答案 A解析当a＝0时不合题意，b＝0也不合题意，∴a≠0且b≠0.3．设有2011个命题p1，p2，…，p2011，满足：若命题p i为真命题，则命题p i＋4为真命题；已知p1∧p4为假命题，p3∨p4为真命题，则p2011是________命题．答案真解析2011除以4余3，∴p2011与p3真假相同，由已知p1，p4均为假命题，再由p3∨p4为真命题，知p3为真命题．4．若p：∅{∅}，q：∅∈{∅}，写出由其构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．分析写出“p∨q”“p∧q”形式的新命题，就是把命题p、q用联结词“或”“且”联结起来；要判断“p∨q”“p∧q”的真假，关键是看p、q的真假，然后利用真值表判断“p∨q”“p∧q”的真假．解析p∨q：∅{∅}或∅∈{∅}；因为∅∈{∅}为真命题，所以“p∨q”为真．p∧q：∅{∅}且∅∈{∅}；因为p、q都为真命题，所以“p∧q”为真．课时作业(三)1．对命题p ：A ∩Ø＝Ø，命题q ：A ∪Ø＝A ，下列判断正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假C ．p 且q 为真；p 或q 为假D ．p 且q 为真；p 或q 为真 答案 D解析 由题意知，p 真，q 也真．故p 且q 为真，p 或q 为真． 2．下列为假命题的是( ) A ．3是7或9的约数B ．两向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．如果x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0 答案 C解析 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C ，其一为假必为假．A 、B 、D 皆真．3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”；其中假命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 命题①②③都正确．4．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q ”为假 B ．“p ∨q ”为真 C ．“p ∧q ”为真 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，故选B. 5．如果命题p ∨q 为真命题，“p ∧q ”为假命题，那么( ) A ．命题p ，q 都是真命题 B ．命题p ，q 都是假命题C ．命题p ，q 只有一个是真命题D ．命题p ，q 至少有一个是真命题 答案 C解析 “p ∨q ”为真，则至少p 、q 有一真，p ∧q 为假，则至少p 、q 有一假，∴p 、q 一真一假，故选C.6．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1 答案 A解析 ∵x 2－a ≥0在x ∈[1，2]上恒成立， ∴a ≤x min 2，∴p ：a ≤1；由Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，∴q ：a ≥1或a ≤－2.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，∴a ＝1或a ≤－2，故选A.7．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1) 答案 C解析 点p(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x2，可验证各选项中，只有C 成立．8．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．(1)x ∈(A ∪B)，则x ∈A________x ∈B ；(2)x ∈(A ∩B)，则x ∈A________x ∈B ； 答案 ∨；∧9．命题p ：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q ：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是________，假命题是________．答案 p ∨q ，p ∧q 解析 由题意知，p 真q 假．10．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“（x －1）2＋4≥2”是________的形式； (3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式 . 答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q11．若命题p ：a ∈{a ，b}，q ：{a}⊆{a ，b}，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________．答案 ①③解析 因为命题p ：a ∈{a ，b} 是真命题，命题q ：{a}⊆{a ，b}是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．12．已知命题p ：1∈{x|x 2<a}，q ：2∈{x|x 2<a} (1)当a 为何值时，“p 或q ”为真命题； (2)当a 为何值时，“p 且q ”为真命题 .解析 当a>1时，1∈{x|x 2<a}成立，命题p 为真； 当a ≤1时，p 为假；当a>4时，2∈{x|x 2<a}成立，q 为真； 当a ≤4时，q 为假． ∴(1)当a>1时，p 或q 为真；(2)当a>4时，p 且q 为真．13．命题p ：函数g(x)＝lg(x 2＋2ax ＋4)的值域为R . 命题q ：函数f(x)＝－(5－2a)x 是增函数． 若p 或q 为假，求实数a 的取值范围． 解析 ∵p 或q 为假，∴p 假q 假 p 为假，则4a 2－4×4<0，∴a 2<4 即－2<a<2；q 为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2<a<2. ∴实数a 的取值范围(－2，2)．1．2.2“非”(否定)要点1对一个命题p否定，就得到一个新命题綈p，读作“非p”或“p的否定”．要点2真值表：p与綈p真假性相反，一个为真，另一个必为假．要点3存在性命题的否定．存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)，即否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质，即存在性命题的否定是全称命题．要点4全称命题的否定．全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是綈q，∃x∈A，綈q(x)，即否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，即全称命题的否定是存在性命题．1．“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0或x≠1”吗？答：不是，应是“x≠0且x≠1”．2．“x，y全为0”的否定是“x，y全不为0”吗？答：不是，应是“x，y不全为0”．题型一命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)3是9的约数或18的约数；(2)菱形的对角线相等且互相垂直；(3)方程x2＋x－1＝0有两实根符号相同或绝对值相等；(4)a>0或b≤0.解析(1)命题的否定是：3不是9的约数，也不是18的约数；(2)命题的否定是：菱形的对角线不相等或不互相垂直；(3)方程x2＋x －1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等；(4)a≤0且b>0.探究1“p∨q”命题的否定为“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”命题的否定为“(綈p)∨(綈q)”．思考题1写出下列命题的否定．(1)a2＋b2<0或a2＋b2≥0；(2)集合中的元素是确定的且是无序的；(3)8是12的约数或9是质数；(4)∅＝{0}且∅⊆∅.解析(1)a2＋b2≥0且a2＋b2<0；(2)集合中的元素是不确定的或是有序的；(3)8不是12的约数且9不是质数；(4)∅≠{0}或∅⃘∅.题型二全称命题的否定例2(1)写出下列全称命题的否定．p：∀x>1，log2x>0.(2)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0(3)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≤1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1。
第一章 1.1.1命题及其关系
(5)是假命题，如： 3· (－ 3)是有理数，但 3和－ 3都是无理数.
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(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等 式成立，无法确定.
小结 判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件： “是陈述句”和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句 等都不是命题.
(4)并非所有的人都喜欢苹果. (5)若 xy 是有理数，则 x、y 都是有理数. (6)60x＋9>4. 解 (1)是祈使句，不是命题.
(2)因为 x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题， 且是真命题. (3)是疑问句，不是命题.
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(4)是真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果.
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解
(1)若一个整数的各位数数字之和能被 9 整除，则这个整数可
以被 9 整除； (2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
(3)若一个数能被 6 整除，则它既能被 3 整除也能被 2 整除； (4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数. 小结 找准命题的条件和结论是解决这类题目的关键，对于个别
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(5)请把门关上！ (6)2 是质数吗？ (7)若 x＝2，则 x2＝4； (8)3＋2＝6. 回答：①以上有几个命题？ ②命题必须具备什么特征？ 答案 ①5 个.其中(1)(2)(3)(7)(8)都是.
②是陈述句且能判断真假.
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(4)当 abc＝0 时，a＝0 或 b＝0 或 c＝0； (5)负数的立方是负数. 解 (1)若 ac>bc，则 a>b. (2)已知 x、y 为正整数，若 y＝x＋1，则 y＝3 且 x＝2. 1 (3)若 m> ，则 mx2－x＋1＝0 无实数根. 4 (4)若 abc＝0，则 a＝0 或 b＝0 或 c＝0.
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探究一 命题的判断 [典例 1] 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)一条直线 l，不是与平面 α 平行就是相交． (2)4 是集合{1,2,3,4}的元素． (3)作△ABC∽△A′B′C′. (4)2014 年冬季奥运会的举办城市是俄罗斯索契． (5)这是一棵大树．
1.1 命题及其关系 1.1.1 命 题
考纲定位
重难突破
1.了解命题的概念． 2.会判断命题的真假，能够把命题 重点：命题的概念，判断一个命题的真假．
难点：将一个命题改写成“若 p 则 q”的形式. 化为“若 p，则 q”的形式.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
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探究三 命题的结构形式 [典例 3] 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假． (1)6 是 12 和 18 的公约数； (2)当 a>－1 时，方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知 x，y 为非零自然数，当 y－x＝2 时，y＝4，x＝2.
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[解析] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x＝4 不满足 2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3 或 x＝7 能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项 a1<0，公比 q>1 时，该数列为递减数列．
高二数学选修1-1课件：1.1_命题及其关系1(新人教A版)
不是（疑问句）
不是（疑问句） 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句）
概念辨析
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还 是假命题？ 真 （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； 假 （3）对数函数是增函数吗？ 不是命题 （4）若空间中两条直线不相交，则这两条 假 直线平行. （5） (2)2 2 ； 假 （6）x2＋x－6＞0. 不是命题
常用逻辑用语
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师， 一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位 文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅 没有相让，反而卖弄聪明，一边高地往前走。 一边大声说道：“我从来不给傻子让路！” 而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可 掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道 “呵呵，我可恰恰相反，”结果故作聪明的 批评家，反倒自讨没趣。 你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
概念生成
(1)命题: 一般地，在数学中，我们把 用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)真命题、假命题:
判断为真的语句叫做真命题； 判断为假的命题叫做假命题.
看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？
2) 你是不是作业没交？ 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。
知识探究
探究1：对于下列命题，它们之间的相 互关系如何？ （1）若a＝0，则ab＝0； （2）若ab＝0，则a＝0； （3）若a≠0，则ab≠0； （4）若ab≠0，则a≠0.
知识探究
若 a ＝ 0 ，则 ab ＝ 0.
互
互逆 否 逆 逆 否
若ab＝0，则a＝0.
为 互否 互 为
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是正方形;
(3)二次函数的图象是一条抛物线; (4)两个内角等于 角形.
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的三角形是等腰直角三
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3.把下列命题改写成“若P, 则q” 的形
式,并判断它们的真假:
(1)等腰三角形的两腰的中线相等;
(2)偶函数的图象关于y轴对程;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.
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小结.
这节课我们学习了:
(1)命题的概念;
(2)判断命题的真假;
(3)把有些命题改写成“若P,则q”的形式.
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例3 将下列命题改写成“若P,则q”的形式.
并判断真假;
(1)面积相等的两个三角形全等;
(2)负数的立方是负数;
(3)对顶角相等.
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1.举出一些命题的例子,并判断它们的真假. 2.判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除;
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教学要求
1、使学生理解并初步掌握四种命题及其关系。
2、能正确叙述一个命题的其它三种命题。
3、熟知四种命题的真假关系，理解两个互为 逆否的命题是等价命题。 4、初步掌握反证法证明思想和证明步骤。
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例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直 且平分.
表面上不是“若P, 则q” 的形式,但可以改变 为“若P, 则q” 形式的命题.
思考 “垂直于同一条直线的两个平面平行”。
可以写成“若P, 则q” 的形式吗?
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思考:下面的语句的表述形式有什么特点？你 能判断它们的真假吗？ (1)若直线a∥b，则a和b无公共点. (2)２＋４＝７. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)若x2=1，则x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (６)３能被２整除. 我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为 3 假的语句称为假命题．
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例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。
(1) 空集是任何集合的子集.
(2)若整数a是素数,则a是奇数. (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平 (5)X 行 . 2+x>0. (6)91是素数. (7)指数函数是增函数吗? ( (9)若8) |x-y|=|a-b|,则x-y=a-b.
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( 2) 2 2
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例1中的命题(2)(4)(9),具有 “若P, 则q”
的形式
也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命 题的条件,q叫做结论. 记做:
pq
5
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