2020届全国各地最新模拟试题(理)分类汇编19 不等式选讲
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2x 1, x 2
f
(x)
g
(x)
，
2x 1
x
1
x
4
或
3 x 2 x
4 1
或
2x 2
x
2
x
4
，
1 x 3 或 1 x 1， 1 x 3 ， 不等式的解集为{x | 1 x 3} ．
（2）由（1）知， g(x)min 3 ． 不等式 f (x) g(x) 解集中包含 (2,1) ，
（1）解不等式 f (x) x 2 ；
（2）若函数 g(x) | x 2019 | | x 2021 a | ，若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得
f (x1) g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
解：（1）当 x 1时，不等式 f (x) 4 可化为： 3x x 2 ，解得： x 1 （舍去）； 2
第 6 页 共 14 页
（1）若 a 1 ，求不等式 f (x) g(x) 的解集； （2）若不等式 f (x) g(x) 解集中包含 (2,1) ，求 a 的取值范围．
2x 1, x 1 解：（1）当 a 1 时， f (x) x 4 ， g(x) | x 2 | | x 1| 3, 2 x1 ．
2
2
若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，
则|a2| 3 ， 2
解得： 1 a 7 ． 22
故实数 a 的取值范围为 [1 ， 7 ] ． 22
3．（2020•内蒙古模拟）已知函数 f (x) ax 4(a R) ， g(x) | x 2 | | x 1| ．
7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) | 2x a | （其中 a 0) ． （1）解不等式： f (x) 3 ； （2）若 a 1 ，解不等式 f (x) | x 1 | 2 ．
a
8．（2020•长治一模）设函数 f (x) | 2x 2 | | 2x | 的最大值 m ．
（1）求 m 的值．
当 1 x 1 时，不等式 f (x) 4 可化为 x 2 x 2 ，解得： x 0 ，即 0 x 1 ；
2
2
当 x 1 时，不等式 f (x) 4 可化为 3x x 2 ，解得： x 1 ，即 1 x 1 ．
2
2
综上可得：不等式 f (x) x 2 的解集为 [0 ，1] ；
f (x) 的最大值为 12．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) | x 1| | x 2a | ．
（1）若 a 1 ，解不等式 f (x) 4 ；
第 7 页 共 14 页
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 2m 4 f (x) ，求实数 a 的取值范围．
3a
1, a
1 2
解：（1）由 f （1） 2 ，得 | a | |1 2a | 2 ，又 | a | |1 2a | a 1, 0 a 1 ，
2
3a 1, a 0
3a 1
a
1 2
2
或
a 0
1 a
1 2
2
或
3a a 0
1
2
，
1 a 1或 0 a 1 或 1 a 0 ， 1 a 1 ，
12, x 2 解：（1）当 a 2 时， f (x) | 2x 4 | | 2x 8 | 4x 4, 4 x 2 ．
12, x 4
f
(x)
2
，
x
2
或
4x 4
4 x 2
2
，
x 2 或 3 x 2 ， x 3 ，
2
2
不等式的解集为{x | x 3} ． 2
（2） f (x) | ax 4 | | ax 8 | | (ax 4) (ax 8) | 12 ，
又 m2 2m 4 (m 1)2 3 3 ，| 2a 1| 3 ，
2 a 1 ，
实数 a 的取值范围为 [2 ，1] ．
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) | x a 1| | x 2a | ．
（1）若 f （1） 2 ，求实数 a 的取值范围；
（2）若 a 1， x R ，求证： f (x) 4 ．
（2） g(x) | x 2019 | | x 2021 a | ，
则 g(x) | x 2019 | | x 2021 a | | x 2019 x 2021 a || a 2 | ，
3x, x 1
f
(x)
x
2, 1
x
1 2
，
3x,
x
1 2
图象如图：
则当 x 1 时，函数 f (x) 取最小值 3 ，
（2）
f
(x)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(m (m
2) x 2) x
2, 2,
x 1 x 1
，
令
f
(x)
0
，则
x
2 m
2
( x 1)
或
x
2 2m
(x
1)
，显然需要
m
2
0
m
2
，即 2
m
2
，
如图，
则 A(
2
, 0), B(
2
, 0),C(1, m) ， AC (1
2
, m), BC (1
2
,m) ，
m2
2m
m2
2m
依题意， ACBC (1 2 )(1 2 ) m2 0 ，解得 m 3 ． m2 2m
当 m 3 时，点 C 在 x 轴上方，不合题意，当 m 3 时，满足题意．
故m 3．
2．（2020•眉山模拟）已知函数 f (x) | x 1| | 2x 1| ．
第 5 页 共 14 页
2x 1, x 2 解：（1）当 a 1 时， f (x) | x 1| | x 2 | 3, 1 x 2 ．
2x 1, x 1
f
(x)
4
，
x 2
2 x 1
4
或
1 x
3
4
2
或
x 1 2x 1
4
，
2 x 5 或 1 x 2 或 3 x 1， 3 x 5 ，
3．（2020•内蒙古模拟）已知函数 f (x) ax 4(a R) ， g(x) | x 2 | | x 1| ． （1）若 a 1 ，求不等式 f (x) g(x) 的解集； （2）若不等式 f (x) g(x) 解集中包含 (2,1) ，求 a 的取值范围．
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) | ax 4 | | ax 8 | ． （1）当 a 2 时，解不等式 f (x) 2 ； （2）求 f (x) 的最大值．
2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 19 不等式选讲
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) 2 | x 1| mx ， m R ． （1）当 m 3 时，求不等式 f (x) 4 0 的解集； （2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
解：（1）当
m
3 时，
f
(x)
2|
x
1|
3x
2
x 5
2, x 1 x, x 1
，
当 x 1 时， f (x) 4 0 即 x 2 4 0 ，解得 x 2 ； 当 x 1 时， f (x) 4 0 即 2 5x 4 0 ，解得 x 6 ，此时无解．
5 综上，不等式的解集为 (2, ) ；
13．（2020•福州一模）已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 a b c 2 ． （1）求 a2 b c 的取值范围； （2）求证： 1 4 9 18 ．
abc
第 3 页 共 14 页
14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知
a
，
b
，
c
都是正实数，证明：
b a
b
a
（1）解不等式： f (x) 3 ；
（2）若 a 1 ，解不等式 f (x) | x 1 | 2 ． a
解：（1）| 2x a | 3(a 0) ，2x a 3 或 2x a 3 ，
2
2
2
2
不等式的解集为{x | 3 x 5} ．
2
2
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 2m 4 f (x) ，
m2 2m 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集． f (x) | x 1| | x 2a | | 2a 1| ， f (x) 的值域为 [| 2a 1| ， ) ，
（2）若正实数
a
，
b
满足
a
b
m
，求
a2 b 1
b2 a 1
的最小值．
9．（2020•吉林二模）已知函数 f (x) 16 | 2x 1| ． （1）解不等式 f (x) | x 2 | ； （2）若函数 y f (x) a 存在零点，求 a 的求值范围．
第 2 页 共 14 页
10．（2020•河北模拟）已知函数 f (x) | x 2 | | 2x 1| ． （1）求不等式 f (x) 3 的解集； （2）记函数 f (x) 的最小值为 m ，若 a ，b ，c 均为正实数，且 1 a b c m ，求 a2 b2 c2
g(x)min 3 ax 4 对任意的 x (2,1) 恒成立， 即 ax 1 对任意的 x (2,1) 恒成立， 1 a 1 ，
2 a 的取值范围为 [1, 1] ．
2 4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) | ax 4 | | ax 8 | ． （1）当 a 2 时，解不等式 f (x) 2 ； （2）求 f (x) 的最大值．
2．（2020•眉山模拟）已知函数 f (x) | x 1| | 2x 1| ． （1）解不等式 f (x) x 2 ； （2）若函数 g(x) | x 2019 | | x 2021 a | ，若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
2 的最小值．
11．（2020•吉林二模）已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc 8 ，证明： （1） (4 a)(4 b)(4 c) 216 ； （2） (a b)2 (b c)2 (c a)2 48 ．
12．（2020•桂林一模）设 a ， b ， c R ，且 a b c 3 ． （1）求证： a2 (b 1)2 (c 1)2 3 ； （2）若 t 1 ，求证： (a 1)2 (b t)2 (c 2t)2 3 ．
第 1 页 共 14 页
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) | x 1| | x 2a | ． （1）若 a 1 ，解不等式 f (x) 4 ； （2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 2m 4 f (x) ，求实数 a 的取值范围．
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) | x a 1| | x 2a | ． （1）若 f （1） 2 ，求实数 a 的取值范围； （2）若 a 1， x R ，求证： f (x) 4 ．
2
23
3
不等式的解集为 a | 1 a 1 ．
3
（2）a 1 ， f (x) | x a 1| | x 2a | | a 1 2a || 3a 1| 1 3a 4 ，
f (x) 4 ．
第 8 页 共 14 页
7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) | 2x a | （其中 a 0) ．
c
c b
2
；
a2 b2 c2 4
（2）已知
a
，b
，c
，x
，y
，z
都是正实数，且满足不等式组： x 2 ax
y2 by
z2 cz
9 6
，求
a x
b y
c z
的值．
15．（2020•九江一模）已知函数 f (x) x2 x 1 ，且 m ， n R ． （Ⅰ）若 m 2n 2 ，求 f (m) 2 f (n) 的最小值，并求此时 m ， n 的值； （Ⅱ）若 | m n | 1 ，求证： | f (m) f (n) | 2(| m | 1) ．
16．（2020•开封一模）已知 a ， b ， c 为一个三角形的三边长．证明： （1） b c a 3 ；
abc （2） ( a b c) 2 2 ．
abc
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2020 届全国各地最新模拟试题（文）分类汇编
19 不等式选讲
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) 2 | x 1| mx ， m R ． （1）当 m 3 时，求不等式 f (x) 4 0 的解集； （2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
f
(x)
g
(x)
，
2x 1
x
1
x
4
或
3 x 2 x
4 1
或
2x 2
x
2
x
4
，
1 x 3 或 1 x 1， 1 x 3 ， 不等式的解集为{x | 1 x 3} ．
（2）由（1）知， g(x)min 3 ． 不等式 f (x) g(x) 解集中包含 (2,1) ，
（1）解不等式 f (x) x 2 ；
（2）若函数 g(x) | x 2019 | | x 2021 a | ，若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得
f (x1) g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
解：（1）当 x 1时，不等式 f (x) 4 可化为： 3x x 2 ，解得： x 1 （舍去）； 2
第 6 页 共 14 页
（1）若 a 1 ，求不等式 f (x) g(x) 的解集； （2）若不等式 f (x) g(x) 解集中包含 (2,1) ，求 a 的取值范围．
2x 1, x 1 解：（1）当 a 1 时， f (x) x 4 ， g(x) | x 2 | | x 1| 3, 2 x1 ．
2
2
若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，
则|a2| 3 ， 2
解得： 1 a 7 ． 22
故实数 a 的取值范围为 [1 ， 7 ] ． 22
3．（2020•内蒙古模拟）已知函数 f (x) ax 4(a R) ， g(x) | x 2 | | x 1| ．
7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) | 2x a | （其中 a 0) ． （1）解不等式： f (x) 3 ； （2）若 a 1 ，解不等式 f (x) | x 1 | 2 ．
a
8．（2020•长治一模）设函数 f (x) | 2x 2 | | 2x | 的最大值 m ．
（1）求 m 的值．
当 1 x 1 时，不等式 f (x) 4 可化为 x 2 x 2 ，解得： x 0 ，即 0 x 1 ；
2
2
当 x 1 时，不等式 f (x) 4 可化为 3x x 2 ，解得： x 1 ，即 1 x 1 ．
2
2
综上可得：不等式 f (x) x 2 的解集为 [0 ，1] ；
f (x) 的最大值为 12．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) | x 1| | x 2a | ．
（1）若 a 1 ，解不等式 f (x) 4 ；
第 7 页 共 14 页
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 2m 4 f (x) ，求实数 a 的取值范围．
3a
1, a
1 2
解：（1）由 f （1） 2 ，得 | a | |1 2a | 2 ，又 | a | |1 2a | a 1, 0 a 1 ，
2
3a 1, a 0
3a 1
a
1 2
2
或
a 0
1 a
1 2
2
或
3a a 0
1
2
，
1 a 1或 0 a 1 或 1 a 0 ， 1 a 1 ，
12, x 2 解：（1）当 a 2 时， f (x) | 2x 4 | | 2x 8 | 4x 4, 4 x 2 ．
12, x 4
f
(x)
2
，
x
2
或
4x 4
4 x 2
2
，
x 2 或 3 x 2 ， x 3 ，
2
2
不等式的解集为{x | x 3} ． 2
（2） f (x) | ax 4 | | ax 8 | | (ax 4) (ax 8) | 12 ，
又 m2 2m 4 (m 1)2 3 3 ，| 2a 1| 3 ，
2 a 1 ，
实数 a 的取值范围为 [2 ，1] ．
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) | x a 1| | x 2a | ．
（1）若 f （1） 2 ，求实数 a 的取值范围；
（2）若 a 1， x R ，求证： f (x) 4 ．
（2） g(x) | x 2019 | | x 2021 a | ，
则 g(x) | x 2019 | | x 2021 a | | x 2019 x 2021 a || a 2 | ，
3x, x 1
f
(x)
x
2, 1
x
1 2
，
3x,
x
1 2
图象如图：
则当 x 1 时，函数 f (x) 取最小值 3 ，
（2）
f
(x)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(m (m
2) x 2) x
2, 2,
x 1 x 1
，
令
f
(x)
0
，则
x
2 m
2
( x 1)
或
x
2 2m
(x
1)
，显然需要
m
2
0
m
2
，即 2
m
2
，
如图，
则 A(
2
, 0), B(
2
, 0),C(1, m) ， AC (1
2
, m), BC (1
2
,m) ，
m2
2m
m2
2m
依题意， ACBC (1 2 )(1 2 ) m2 0 ，解得 m 3 ． m2 2m
当 m 3 时，点 C 在 x 轴上方，不合题意，当 m 3 时，满足题意．
故m 3．
2．（2020•眉山模拟）已知函数 f (x) | x 1| | 2x 1| ．
第 5 页 共 14 页
2x 1, x 2 解：（1）当 a 1 时， f (x) | x 1| | x 2 | 3, 1 x 2 ．
2x 1, x 1
f
(x)
4
，
x 2
2 x 1
4
或
1 x
3
4
2
或
x 1 2x 1
4
，
2 x 5 或 1 x 2 或 3 x 1， 3 x 5 ，
3．（2020•内蒙古模拟）已知函数 f (x) ax 4(a R) ， g(x) | x 2 | | x 1| ． （1）若 a 1 ，求不等式 f (x) g(x) 的解集； （2）若不等式 f (x) g(x) 解集中包含 (2,1) ，求 a 的取值范围．
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) | ax 4 | | ax 8 | ． （1）当 a 2 时，解不等式 f (x) 2 ； （2）求 f (x) 的最大值．
2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 19 不等式选讲
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) 2 | x 1| mx ， m R ． （1）当 m 3 时，求不等式 f (x) 4 0 的解集； （2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
解：（1）当
m
3 时，
f
(x)
2|
x
1|
3x
2
x 5
2, x 1 x, x 1
，
当 x 1 时， f (x) 4 0 即 x 2 4 0 ，解得 x 2 ； 当 x 1 时， f (x) 4 0 即 2 5x 4 0 ，解得 x 6 ，此时无解．
5 综上，不等式的解集为 (2, ) ；
13．（2020•福州一模）已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 a b c 2 ． （1）求 a2 b c 的取值范围； （2）求证： 1 4 9 18 ．
abc
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14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知
a
，
b
，
c
都是正实数，证明：
b a
b
a
（1）解不等式： f (x) 3 ；
（2）若 a 1 ，解不等式 f (x) | x 1 | 2 ． a
解：（1）| 2x a | 3(a 0) ，2x a 3 或 2x a 3 ，
2
2
2
2
不等式的解集为{x | 3 x 5} ．
2
2
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 2m 4 f (x) ，
m2 2m 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集． f (x) | x 1| | x 2a | | 2a 1| ， f (x) 的值域为 [| 2a 1| ， ) ，
（2）若正实数
a
，
b
满足
a
b
m
，求
a2 b 1
b2 a 1
的最小值．
9．（2020•吉林二模）已知函数 f (x) 16 | 2x 1| ． （1）解不等式 f (x) | x 2 | ； （2）若函数 y f (x) a 存在零点，求 a 的求值范围．
第 2 页 共 14 页
10．（2020•河北模拟）已知函数 f (x) | x 2 | | 2x 1| ． （1）求不等式 f (x) 3 的解集； （2）记函数 f (x) 的最小值为 m ，若 a ，b ，c 均为正实数，且 1 a b c m ，求 a2 b2 c2
g(x)min 3 ax 4 对任意的 x (2,1) 恒成立， 即 ax 1 对任意的 x (2,1) 恒成立， 1 a 1 ，
2 a 的取值范围为 [1, 1] ．
2 4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) | ax 4 | | ax 8 | ． （1）当 a 2 时，解不等式 f (x) 2 ； （2）求 f (x) 的最大值．
2．（2020•眉山模拟）已知函数 f (x) | x 1| | 2x 1| ． （1）解不等式 f (x) x 2 ； （2）若函数 g(x) | x 2019 | | x 2021 a | ，若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
2 的最小值．
11．（2020•吉林二模）已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc 8 ，证明： （1） (4 a)(4 b)(4 c) 216 ； （2） (a b)2 (b c)2 (c a)2 48 ．
12．（2020•桂林一模）设 a ， b ， c R ，且 a b c 3 ． （1）求证： a2 (b 1)2 (c 1)2 3 ； （2）若 t 1 ，求证： (a 1)2 (b t)2 (c 2t)2 3 ．
第 1 页 共 14 页
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) | x 1| | x 2a | ． （1）若 a 1 ，解不等式 f (x) 4 ； （2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 2m 4 f (x) ，求实数 a 的取值范围．
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) | x a 1| | x 2a | ． （1）若 f （1） 2 ，求实数 a 的取值范围； （2）若 a 1， x R ，求证： f (x) 4 ．
2
23
3
不等式的解集为 a | 1 a 1 ．
3
（2）a 1 ， f (x) | x a 1| | x 2a | | a 1 2a || 3a 1| 1 3a 4 ，
f (x) 4 ．
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7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) | 2x a | （其中 a 0) ．
c
c b
2
；
a2 b2 c2 4
（2）已知
a
，b
，c
，x
，y
，z
都是正实数，且满足不等式组： x 2 ax
y2 by
z2 cz
9 6
，求
a x
b y
c z
的值．
15．（2020•九江一模）已知函数 f (x) x2 x 1 ，且 m ， n R ． （Ⅰ）若 m 2n 2 ，求 f (m) 2 f (n) 的最小值，并求此时 m ， n 的值； （Ⅱ）若 | m n | 1 ，求证： | f (m) f (n) | 2(| m | 1) ．
16．（2020•开封一模）已知 a ， b ， c 为一个三角形的三边长．证明： （1） b c a 3 ；
abc （2） ( a b c) 2 2 ．
abc
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2020 届全国各地最新模拟试题（文）分类汇编
19 不等式选讲
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) 2 | x 1| mx ， m R ． （1）当 m 3 时，求不等式 f (x) 4 0 的解集； （2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．