211二次根式第2课时
二次根式第2课时二次根式的运算课件北师大版八年级数学上册
1. 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2. 合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根
式才能进行合并.
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8 + 18 = 2 2 + 3 2 =（2 + 3 ） 2 = 5 2
∴ a = 5.
∴ 4a 2x 20 2x .
xa
x5
∴ 20 - 2x≥0，x - 5＞0.
∴ 5＜x≤10.
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b， 5则，这c 几3个2非. 负式
练一练
1. 下列二次根式中，能与 3合并的是（ D ）
A. 2
B. 5
C. 8
D. 12
2. 8 与最简二次根式 m 1 能合并，则 m =__1__.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
归纳总结 二次根式的加减法法则
是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
1. 计算：
1 5 9 ; 2 12 6 ; 3 3 1 2 3 ；
20
3
2
4 2 3 1 ;
5
27
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计八年级下册《二次根式》第2课时教案设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的性质。
2．内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，， .师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.；；； .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）. 【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2 计算（1）；（2） .师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用. 2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，， .师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.= ， = ， = ， = .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3 计算（1）；（2） .师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用. 3．归纳代数式的概念问题7 回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.4．综合运用（1）算一算：；；； .【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.（3）谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.五、目标检测设计1．；； .【设计意图】考查对二次根式性质的理解．2．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．3．若，则的取值范围是．【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．4．计算: ．【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．。
九年级数学上册21.1二次根式(第2课时)教案华东师大版
21。
1 二次根式第二课时教学内容 (a）2=a(a≥0)，2a＝a（a≥0）教学目标理解（a)2=a（a≥0）与2a=a（a≥0），并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a(a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：（a）2=a（a≥0）与2a＝a（a≥0）及其运用．2．难点：探究结论．3．关键:讲清a≥0时，2a＝a才成立．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探――解疑合探自探1.做一做：根据算术平方根的意义填空:（4）2=_______；（2）2=_______；(9）2=______；（3)2=_______；（13）2=______;（72）2=_______；（0）2=_______．老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有(4)2=4．同理可得：（2)2=2，(9）2=9，（3)2=3,（13）2=13，(72）2=72，（0）2=0,所以（a）2=a（a≥0）自探2（一)计算1．（1x+)2（x≥0） 2．（2a）2 3．（221a a++)2 4．（24129x x-+）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2)a2≥0;（3）a2+2a+1=（a+1）2≥0;（4）4x 2-12x+9=（2x ）2—2·2x ·3+32=(2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0)的重要结论解题． （二）在实数范围内分解下列因式： （1）x 2-3 （2）x 4-4 （3) 2x 2—3分析:(略）自探3(学生活动)填空：22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________;20=________；23()7=_______． 归纳，一般地:2a =a(a ≥0）自探4 化简(1）9 （2）2(4)- (3）25 (4)2(3)-分析：因为（1）9=-32，(2）(-4）2=42,（3）25=52，（4）（—3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．二、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下！三、应用拓展1. 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a 〈0时,2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1)2a ，则a 可以是什么数？（2)2a ，则a 可以是什么数？（3）2a a ，则a 可以是什么数?分析2a （a ≥0）,∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形,使“( ）2”中的数是正数，因为，当a ≤02a 2()a -a ≥0．（1）根据结论求条件；(2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3)根据(1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a,只有什么时候才能保证呢？a 〈0． 2。
《二次根式(第2课时)》PPT课件 北师大版八年级数学
探究新知 素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
例1 计算:
（1）3 2 2 3
（2） 12 3 - 5
（4） 13 3
13 - 3
（5）
12 -
1 3
3
（3）
2
5 1
（6） 8 18
2
解：(1)原式= 3 2 2 3 6 6
(2)原式= 12 3-5 36 - 5 =6-5=1
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二 次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘 （ a b k a b k（a 0,b 0,k 0) ）
巩固练习
变式训练
1.计算
12
1 2
的结果是 ( C )
A. 10 B.4
C. 6 D.2
2.下面计算结果正确的是( B )
33 5
=___5___
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
探究新知
素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算
例1 计算:
（1） 3 5 ;
（2） 1 27 .
3
解: (1) 3 5 15 ;
(2) 1 27 1 27 9 3 .
3
3
探究新知
想一想 下边的式子如何运算？
2 3 5
九年级数学上册 211 二次根式教案 新人教版 教案
活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.
二次可简称)，也可读 根式是按形式定
作 65 的算术平方根. 义的，并理解二
活动 4、思考下列问题：
可由学生思考后进行 次根式存在的条
① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ 讨论，然后教师订正， 件和运算结果的
②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无 最后师生共同归纳得 非负性.
培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.
1. a 有意义的条件. 2. a ≥0 时 a ≥0 的应用. 3. a 2 和 a2 的运算、化
简
教 学 难 点 a <0 时 a2 的化简.
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
点题，板书课题.
让学生了解本章 的学习内容和本 课的学习目标.
21.1 二次根式
教学时间 教学媒体
课题
多媒体
课 型 新授
知识 教 技能
学
1. 经历观察、比较、概括二次根式的定义.
过 程 2. 通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标 2.
目 方 法 3. 通过探究 a 2 和 a2 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质.
标 情感 态度
教学重点
一、复习引入
学生独立完成后，教师
导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单 订正；并引导学生观察 算术平方根的意
的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 得出：四个式子表示的
义是得出二次根
本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.
都是非负数的算术平 式 的 性 质 的 基
二次根式第2课时课件人教版八年级数学下册2
三、概念剖析
一般地，根据算术平方根的意义，有：
a2 a£a 0
四、典型例题
例1.计算下列式子：
2
2
2
（1）
3 2
； （2）3 5 2 ； （3）
5 6
；
（4）
7 2
解:(1)
2
3 2
=
3 2
(2) 3 5 2 =32× 5 2 =9×5=45
2
非负数.因此有 a a .
因此，得出：
2
a a£a 0
三、概念剖析
想一想： a2 等于什么？
分析：取a的一些值，如2，-2，3，-3，…分别计算出对应的 a2 的值， 看看有什么规律.
当a=2时， a2 22 4 2
当a=-2时， a2 22 4 2
当a=3时， a2 32 9 3
一般地，我们把形如 a a 0 的式子叫做二次根式.“
为二次根号.
”称
三、概念剖析
根据算术平方根的意义填空：
2 6= 6 ；
2
1 5
=
1 5
；
2 9= 9
；
2 0= 0
；
从上面的式子中， 你得出什么规律？
三、概念剖析
a 是a的算术平方根，根据算术平方根的意义， a 是一个平方等于a的
第十六章 二次根式 16.1 二次根式 第2课时
一、学习目标
1.类比算术平方根的意义,掌握二次根式的平方运算 2.类比算术平方根的意义,掌握二次根式的开方运算
二、新课导入
复习回顾 1.算数平方根的概念： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫 做a的算术平方根.
二次根式第二课时教案
二次根式第二课时教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解二次根式的性质，掌握二次根式的化简方法。
2. 学会运用二次根式解决实际问题。
过程与方法：2. 运用分组讨论、合作交流的方式，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度。
2. 培养学生团队协作精神，增强自信心。
二、教学重点与难点：重点：1. 二次根式的性质。
2. 二次根式的化简方法。
难点：1. 二次根式在实际问题中的应用。
三、教学准备：教师准备：1. 相关教学素材。
2. PPT课件。
学生准备：1. 预习教材。
2. 准备好笔记本、文具。
四、教学过程：环节一：复习导入（5分钟）1. 复习上节课的内容，提问学生二次根式的定义及特点。
2. 引导学生回顾二次根式的基本性质。
环节二：知识讲解（15分钟）1. 讲解二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、可加性、可乘性等。
2. 教授二次根式的化简方法，如：提取公因数、应用平方差公式等。
环节三：实例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用二次根式进行解决。
环节四：课堂练习（10分钟）1. 布置几道有关二次根式的练习题，让学生独立完成。
2. 挑选部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。
2. 布置课后作业，要求学生巩固所学知识。
五、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次根式的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的困惑和问题，及时给予解答和指导。
六、教学评价：教学评价是教学过程中的重要环节，通过对学生的学习情况进行评估，可以了解学生对二次根式知识的掌握程度。
评价方式包括课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等。
对于表现优秀的学生，要及时给予表扬和鼓励，增强其自信心；对于学习有困难的学生，要个别辅导，帮助他们解决问题，提高他们的学习兴趣和成绩。
七、教学拓展：为了提高学生的学习兴趣和拓展知识面，可以结合二次根式的教学，介绍一些相关的数学历史和背景知识，如二次根式的起源、发展以及它在科学技术领域的应用等。
二次根式第2课时 二次根式的运算PPT课件(北师大版)
10．计算： (1)(4＋ 6)( 6－4)；
解：－10
(2)( 3－ 2)2·(5＋2 6)． 解：1
知识点四：二次根式的加减法
11．下列根式中，不能与 3合并的是(C )
11
2
A. 3 B. 3 C. 3 D. 12
12．(2016·吉林)计算： 8－ 2＝__2___．
13．计算： 5＋ 45－
八年级数学上册（北师版）
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
1．二次根式的乘法： a· b＝___a_b__ (_____a_≥__0_，__b_≥_0______________)
练习 1：计算： 2× 3＝__6____； 12× 6＝___3__． 2．二次根式的除法：
ba＝___ba____ (___a_≥_0_，__b_＞__0______)
16．计算：3÷ 3× 13＝__1__．
17．若一个三角形的三边长分别为 8 cm， 12 cm， 18 cm，则三 角形的周长是_(_5__2_＋__2___3_) ___ cm. 18．观察下列各式：
1＋13＝2 13； 2＋14＝3 14； 3＋15＝4 15；…，请你将发现 的 规 律 用 含 自 然 数 n(n ≥ 1) 的 等 式 表 现 出 来 ________n_＋__n_＋_1_2_＝__(_n_＋__1_)____n_＋1__2_(_n_≥__1_的__自__然__数__)_____________．
－－135＝
（－3）×5 －3
＝
－3· －3
5＝
5，你认为他的化简有无道理？请说明理由．
解：该同学的化简过程是错误的．因为负数没有平方根，在公式中对于 被开方数有明确的条件a≥0，b>0，因而在使用时应注意
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计
八年级下册《二次根式》第2时教案设计一、内容和内容解析．内容二次根式的性质。
2．内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力本节的教学难点为：二次根式性质的灵活运用四、教学过程设计．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，，师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据；；；师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力例2计算（1）；（2）师生活动：学生独立完成，集体订正【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，，师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根问题根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据=，=，=，=师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力例3计算（1）；（2）师生活动：学生独立完成，集体订正【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用3．归纳代数式的概念问题7回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力4．综合运用（1）算一算：；；；【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维（3）谈一谈你对与的认识【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题161第2，4题五、目标检测设计．；；【设计意图】考查对二次根式性质的理解．2．下列运算正确的是（）ABD【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．3．若，则的取值范围是．【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．4．计算:．【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．。
《二次根式》PPT课件(第2课时)
《二次根式》PPT课件(第2课时)人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件(第2课时)，共39页。
学习目标1. 经历探索性质(√a)² = a（a≥0）和(√a²) = a（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.3. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.探究新知(√a)² （a≥0) 性质（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.a的平方根是±√a（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.用√a (a≥0)表示.(√a²) （a≥0) 的性质即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.代数式的定义（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．... ... ...关键词：二次根式PPT课件免费下载，.PPTX格式；。
数学人教版九年级上211二次根式(教案)
课题：21.1二次根式一、教学目标1.复习平方根的概念.2.经历从实际问题列二次根式的过程，知道什么是二次根式，会求二次根式有意义的条件.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的概念.2.a.三、教学过程〔一〕复习旧知，导入新课师：从本节课开始，我们要学习新的一章——第二十一章二次根式〔板书：第二十一章二次根式〕.师：什么是二次根式？这得从平方根说起.师：初二的时候我们学过平方根，那么什么是平方根？〔稍停〕师：〔板书：x2=5，并指准〕x2=5，5是x的什么？〔稍停〕5是x的平方；反过来，x是5的什么？〔稍停〕x是5的平方根.师：〔指准x2=5〕x2=5，5是x的平方，x是5的平方根.大家按照老师的说法，自己说几遍.〔生自己说〕师：哪位同学来说一说？生：……〔让一两名同学说〕师：〔指准x2=5〕x2=5，x是5的平方根，那么5的平方根x等于什么呢？〔板书：5的平方根x=〕生：……〔让一两名学生答复〕师：x=55师：〔指准555，另一个是555的算术平方根.±12的平方根是什么？师：〔指准板书〕5的平方根是5生：〔齐答〕12师：其中12是12的什么？生：12是12的算术平方根.师：上面我们复习的是正数的平方根，下面我们来看0的平方根.师：〔板书：x2=0，并指准〕x2=0，x等于什么？生：〔齐答〕x=0.〔师板书：x=0〕师：〔指准板书〕从x2=0得出x=0，这说明什么？〔稍停〕这说明0的平方根为0〔板书：0的平方根为0〕.师：我们还规定0的算术平方根为0.师：下面我们再来看负数有没有平方根.师：〔板书：x2=-5，并指准〕一个数的平方等于-5，这样的数有没有？〔稍停〕任何一个数的平方，或者大于0，或者等于0，不可能小于0，所以这样的数没有〔板书：不存在〕.这说明什么？〔稍停〕这说明-5没有平方根〔板书：-5没有平方根〕.师：〔指板书〕从上面的讨论，我们可以得出一个结论，什么结论？〔稍停〕正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.〔二〕试探练习，回授调节1.填空：(1)9的平方根是，9的算术平方根是；(2)6的平方根是，6的算术平方根是；(3)0的平方根是，0的算术平方根是 .2.用带根号的式子填空：(1)一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和3，那么斜边的长为；(2)面积为S的正方形的边长为；(3)跳水运发动从跳台跳下，他在空中的时间t〔单位：秒〕与跳台高度h〔单位：米〕满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t= .〔三〕尝试指导，讲授新课〔生报第213S h 5师：13S h 5式子有什么共同的特点？生：……〔问题的答案不是唯一的，鼓励学生发表自己的看法〕师：〔指准式子〕这三个式子有什么共同特点？它们都是一个数的算术平方根，13是13的算术平方根，S是S的算术平方根，h5是h5的算术平方根.另一方面，从式子的样子来看，它们都是形如a的式子〔板书：形如a的式子〕.师：13a等于13S a等于S h5a等于什么？生：〔齐答〕等于hS.13S h5a a的式子叫做二次根式〔板书：叫做二次根式〕.师：大家把二次根式的概念读两遍.〔生读〕师：下面我们来看一道例题.〔师出例如题〕例当x x-2师：大家看一看这个题目，想一想怎么做这个题目.〔生读题思考〕师：x-2x-2x-2必须大于等于0.为什么被开方数x-2必须大于等于0？〔稍停〕x-2x-2的算术平方根，而负数没有平方根，所以被开方数x-2必须大于等于0.〔以下师边讲解边板书，解题过程如下〕解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2x-2.〔四〕试探练习，回授调节3.填空：(1)当a 时，a-1有意义；(2)当x 时，2x+3有意义.4.选做题：当x 时，2x有意义；当x 时，()2x 有意义.〔五〕归纳小结，布置作业师：本节课我们首先复习了平方根的概念，然后学习了什么是二次根式.〔指准板书〕形如a的式子叫做二次根式，这里的a必须大于等于0〔板书：其中a≥0〕.〔作业：P5习题1，P3练习2〕四、板书设计第二十一章二次根式x2=5，5的平方根x=5±13，S，h5例x2=0，x=0,0的平方根为0 形如…叫做二次根式x2=-5，x不存在，-5没有平方根其中a≥0.课题：21.1二次根式〔第2课时〕一、教学目标1.经历探究过程，知道并会简单运用二次根式的根本性质.2.培养探究能力和归纳表达能力.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的根本性质.2.难点：二次根式根本性质的探究.三、教学过程〔一〕创设情境，导入新课师：上节课我们学习了二次根式的概念，什么样的式子是二次根式？〔师出示下面的板书〕a〔a≥0〕的式子叫做二次根式.师：a的式子叫做二次根式，这里的被开方数a必须大于等于0.譬如，〔板书：5〕5是二次根式，〔板书：0〕0也是二次根式，〔板书：-5〕-5不是二次根式.师：明确了二次根式的概念，本节课我们要学习什么？本节课我们要学习二次根式的性质〔板书：二次根式的性质〕.〔二〕尝试指导，讲授新课师：二次根式有什么性质？二次根式有三个性质，我们先来看第一个性质.〔师出示下面的板书〕性质1：a〔a≥0〕是一个非负数.师：〔指准板书〕性质1告诉我们，二次根式a是一个非负数.譬如，5＞0，所以5是一个非负数；0=0，所以0也是一个非负数.实际上，二次根式a表示a的算术平方根，而a的算术平方根总是大于等于0，可见，a是一个非负数.师：下面我们来看二次根式的第二个性质.师：〔板书：3〕3是一个二次根式，我们把3平方〔边讲边板书〕，()23等于什么？生：等于3.〔直到有学生猜出这个答案，师板书：=3〕师：〔指式子〕()23=3，为什么？〔稍停〕〔师出示下列图〕面积＝3师：〔指准图〕这是一个正方形，这个正方形的面积为3，那么它的边长等于什么？生：边长等于3.〔多让几名同学答复，然后师在图上板书：边长3〕师：3 3.3的平方等于什么？生：……〔多让几名同学答复〕师：〔指准图〕边长3的平方就等于面积3，可见，()23=3.师：〔板书：()28=〕利用同样的方法，我们可以得到()28等于什么？生：〔齐答〕等于8.〔生答师板书：8〕 师：〔板书：()2a =〕利用同样的方法，我们可以得到()2a 等于什么？生：〔齐答〕等于a.〔生答师板书：a 〕 师：〔指式子〕()2a =a ，这就是二次根式的第二个性质〔板书：性质2〕.师：〔指准式子〕这里的a 是被开方数，所以a 必须大于等于0〔板书：(a ≥0)〕. 师：下面我们利用性质2来做几个题目. 〔师出例如1〕 例1 计算： (1)()21.5； (2)()225.〔师边讲边解板书，解题过程如课本第4页所示〕 〔三〕试探练习，回授调节 1.计算： (1)()24= (2)213⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=(3)()20= (4)()2-0.6=(5)()232=〔四〕尝试指导，讲授新课师：前面我们学习了二次根式的性质1和性质2，下面我们学习性质3.师：22.1〕22.1生：等于2.1.〔直到有学生猜出这个答案，师板书：2.1〕师：22.1=2.1，为什么？〔稍停〕〔师出示下列图〕面积＝2.12师：〔指准图〕这是一个正方形，这个正方形的面积为2.12，那么它的边长等于什么？生：边长等于2.1.〔多让几名同学答复，然后师在图上板书：边长=2.1〕师：〔指准图〕我们知道，正方形面积的算术平方根等于边长，所以有22.1=2.1.师：〔板书：26=〕利用同样的方法，我们可以得到26等于什么？生：〔齐答〕等于6.〔生答师板书：6〕师：〔板书：2a=〕利用同样的方法，我们可以得到2a等于什么？生：〔齐答〕等于a.〔生答师板书：a〕师：〔指式子〕2a=a，这就是二次根式的第三个性质〔板书：性质3〕师：〔指准右边的a〕这里的a是a2的算术平方根，所以a≥0〔边讲边板书：〔a≥0〕〕.师：学习了二次根式的性质2和性质3，有的同学觉得性质2和性质3好似是一样的.性质2和性质3是一样的吗？〔稍停〕师：〔指准板书〕性质2和性质3这两个等式的右边是一样的，而且a都必须大于等于0，但性质2和性质3的左边是不一样的，大家仔细看一看，性质2的左边是什么，性质3的左边又是什么.〔让生观察一会儿〕师：〔指准式子〕谁来说说这两个等式的左边有什么不同？生：……〔多让几名同学说，要鼓励学生用自己的语言来表述〕师：〔指准2a〕这个式子表示什么？表示a的算术平方根的平方，2a这个式子表示什么？表示a2的算术平方根.a的算术平方根的平方和a2的算术平方根的意思是不一样的.师：下面我们利用性质来做几个题目.〔师出例如2〕例2 化简：(1)16； (2)()2-5.〔师边讲解边板书，解题过程如课本第5页所示〕 〔五〕试探练习，回授调节 2.化简：(1)20.3=(2)0.36=(3)21-7⎛⎫ ⎪⎝⎭= (4)-2(-π)= 3.直接写出结果： (1)()25= (2)25=(3)2(-5)= (4)()2-5=〔六〕归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？〔稍停〕我们学习了二次根式的三个性质.大家把这三个性质再看一遍.〔生默读〕〔作业：P 5习题2.4.〕 四、板书设计形如…叫做二次根式 例1 例25，0，-5二次根式的性质性质1：a 〔a ≥0〕是一个非负数. 性质2：()2a =a(a ≥0). ()23=3，()28=8 图一性质3：2a =a(a ≥0). ()22.1=2.1，26=6 图二课题：21.1二次根式〔第3课时〕一、教学目标1.通过根本训练，复习稳固二次根式的概念和性质.2.了解代数式的概念，会用代数式表示实际问题中的某一个量. 二、教学重点和难点1.重点：用代数式表示实际问题中的某一个量.2.难点：用代数式表示实际问题中的某一个量. 三、教学过程〔一〕根本训练，稳固旧知 1.填空：(1)形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式. (2)二次根式的三个性质是：性质1：a 〔a ≥0〕是一个 数； 性质2：()2a = (a ≥0)；性质3：2a = (a ≥0).2.直接写出结果：(1)36= (2)()26=(3)()2-6= (4)2(-6)=3.判断正误：对的画“√〞，错的画“×〞. (1)()27=7； 〔 〕(2)27=7； 〔 〕(3)()2-7=-7； 〔 〕 (4)()2-7=7； 〔 〕 (5)()2-7=7； 〔 〕(6)2-7=-7； 〔 〕(7)2(-7)=-7； 〔 〕(8)2(-7)=7. 〔〕〔二〕尝试指导，讲授新课师：到现在我们已经学习了好几种式子，我们学习了整式〔板书：整式〕、分式〔板书：分式〕、二次根式〔板书：二次根式〕.师：什么样的式子是整式？〔边讲边板书：3，2a，3+2a〕3是一个整式，2a是一个整式，3+2a也是一个整式.师：什么样的式子是分式？〔边讲边板书：32a，2a3+2a〕32a是一个分式，2a3+2a也是一个分式.师：什么样的式子是二次根式？〔边讲边板书：3，32a〕3是一个二次根式，32a也是一个二次根式.师：整式、分式、二次根式都可以叫做代数式〔连线并板书：代数式，如板书设计所示〕.师：除了整式、分式、二次根式是代数式，由整式、分式、二次根式混合组成的式子也是代数式〔连线并板书：混合式，如板书设计所示〕.师：〔板书：2a+3，并指准〕譬如2a+3，2a是一个整式，3是一个二次根式，把这两个式子加起来，得到2a+3，2a+3也是代数式.师：〔板书：3a2a，并指准〕又譬如3a2a，32a是一个分式，a是一个二次根式，把这两个式子乘起来，得到3a2a，3a2a也是代数式.师：〔指准板书〕到现在为止，我们学过的代数式包括整式、分式、二次根式，以及由这三种式子混合组成的式子.师：下面我们来看一个列代数式的例子.〔师出例如题〕例一个矩形的面积为S，长宽之比为3:2，用代数式表示这个矩形的长和宽.〔先让生读题，然后师边讲解边板书，解题过程如下〕解：设这个矩形的长为3x，宽为2x.根据题意列方程得 3x·2x=S，整理得 x2=S6，∴∴这个矩形的长为〔三〕试探练习，回授调节4.用代数式表示：面积为S的圆的半径为 .5.一个矩形的面积为60，长宽之比为5:2，求这个矩形的长和宽.〔四〕归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了代数式的概念.〔指准板书〕到目前为止，我们学过的代数式包括整式、分式、二次根式，以及由这三种式子混合组成的式子.〔作业：P6习题5.6.〕四、板书设计。
211二次根式课件.ppt
C．式子 1 一定是二次根式; x2
D．二次根式的值必定是无理数
2. 当______时，代数式 x 1 有意义． x2
3. 计算：
（5 7）2 =＿＿＿＿（ ， 2 x）2 =＿＿＿＿．
2 3
2
= ＿＿＿＿ ,
9a4 =＿＿＿＿＿
4. 若 3 m 为二次根式,则m的取值为 （ ）
21.1.1二次根式
完成第2页思考，并阅读课本第2、3页内容，回答： 1.二次根式的概念是什么？ 2.为什么规定a≥0？ -1有算术平方根吗？ 0的算术平方根是多少？当a<0时， 有意义吗？
1.下列各式中是二次根式的有哪些？
2 33 1
x
x (x 0) 0
2.二次x根式y有意(x义的条0件,是y＿＿＿0)＿＿＿＿4 2
二次根式的值的范围是什么？ (3)二次根式的性质：
2 a a(a 0)
a2 a(a 0)
A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3
5. 当x_______时， 3 4x 在实数范围内有意义．
6．若 a2 2 b 4 0,则a= ＿＿＿ , b=＿＿＿ .
7.当x>2时，化简 (x 2)2 = ＿＿＿＿＿＿ .
(1)本节课你学到了哪一类新的式子？ (2)二次根式有意义的条件是什么？
1
xy - 2
3.若
是二次根式，则x的取值范围是
2 - x ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（一）当a≥0 时， a 是一个什么数？ 当a=0时，a 是一个什么数？ 当a<0时，a 有意义吗？
总结一： a (a 0)是一个＿＿＿＿＿
（二）
a
2
(a
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根据算术平方根的意义，
a2 a（a≥0）
a2 a
a是一切实数
例题讲解
化简：
(1) 16 解：原式＝ 42
＝4
(2) (5)2
5 解：原式＝ 2 5
书本P5 练习2
练习 计算：
2
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
归纳
求xyz的 值 。
(-5)×2×(-2)=20
３.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
４.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
3.要使下列式子有意义，x需要满足什么 条件？
(3) ( x 1)2 (4) (x 1)2
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解：原式 10 (3)2 ( 3)2
10 27 17
练习： 12 (3 2)2
作业： 书本P5 复习巩固 第2题
第4题
1、当 x 1 y 3 0时，
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知x 5 6 3 y z 22 0
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
(1) 3 x (2) x 3 8 x(3) 12来自 5(4) x 2 2 x
(5) x2 2x 1
例题讲解 计算：
(1)( 1.5 )2 (2)(2 5 )2
解：原式＝1.5 解：原式＝ 22 ( 5)2 45 20
书本 P5 练习1
探究
22 2
0.12 0.1
2 2
2
3 3
02 0
(2)2 2 (0.1)2 0.1 (5)2 5
思考：以上的运算结果与被开方数有什么关系？
第二课时
探究
4 2 4
2
9
9
16 2 16
思考：以上的运算结果与被开方数有什么关系？
2 2 2
1 3
2
1 3
相等
2
0 0
2是2的 算 术 平 方 根 ， 根 据 算术 平 方 根 的 意 义 ，
2是一个平方等于2的非负数，因此有（2）2 2
一般地， ( a )2 a（a≥0）
小结
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
a2 a（a≥0）
1.若 a2 ( a)2,则a的取值范围是（A）
Ａ．a≥0 Ｃ．a≤0
Ｂ．a≠0 Ｄ．a为任意数
2、下列正确的是（ B ）
A、 4 2 2
B、82 8
C、 22 2
D、 3 2 9
3、计算：(1)( 3)2 (2) (3)2