方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案

AB＝ 22 12 ＝ 5 ，
设 M 到 AB 的距离为 h，由三角形的面积，得
h＝ 1 ＝ 5 ． 55
点 M 到直线 AB 的距离的最大值是 5 ． 5
【点睛】 本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程 组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
（2）①由直线 y＝2x﹣1 与直线 y＝mx+2 互相垂直，得 2m＝﹣1，
即 m＝﹣ 1 ； 2
故答案为﹣ 1 ； 2
②AB 的解析式为 y 1 x 1 22
当 PA⊥AB 时，PA 的解析式为 y＝﹣2x﹣2，
联立
PA
与抛物线，得
y
1 2
x2
1 2
x
1
，
y 2x 2
x 1
x6
解得
据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形 的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值 【详解】 解：（1）将 A，B 点坐标代入，得
a a
b b
1 1
0(1) 1(2)
，
解得
a b
1 2
1 2
，
抛物线的解析式为 y＝ 1 x2 1 x 1； 22
【详解】
2x y 3①
x2
2xy
y2
1②
由②得： (x y)2 1，
∴ x y 1或 x y 1
把上式同①联立方程组得：
2x x y
y 1
3
，
2x x y
y3 1
解得：
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
4 3 1 3
，
x2
y2
2 3 5 3
∴原方程组的解为
x1 y1
4 3 1 3
2x y 2
11．解方程组：
x2
2xy
y2
1
【答案】
x1 y1
1 0
，
x2 y2
3 4
．
【解析】
【分析】
由方程②得出 x+y=1，或 x+y=﹣1，进而解答即可． 【详解】
2x y 2①
2x y 2①
x2
2xy
y2
1② ，由②可得：x+y=1，或
x+y=﹣1，所以可得方程组 x
（h）， 2 5 17 .∴Q 点的坐标为（105， 17 ）.设线段 PQ 的解析式为： y kx b ，
66
6
180 2k b
把（2，180）和（105，
17 6
）代入得：
{ 108
17
k
b
，解得
k
90，b
360 ，
6
∴线段 PQ 的解析式为 y 90x 360 .
（3） 67 h 或 77 30 30
【答案】（1）y＝﹣ 1 x2+ 1 x+1；（2）①- 1 ；②点 P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；
22
2
（3） 5 . 5
【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得 PA，PB 的解析式，根据解方程组，可得 P 点坐标； （3）根据垂直于 x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 MQ，根
【点睛】 本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程, 再降次转化为一元一次方程解之.
2x y 5
9．解方程组：
x2
y2
x
7
0
．
【答案】
x1 y1
1
，
3
x2 y2
6 7
【解析】
【分析】
用代入法即可解答，把①化为 y=-2x+5，代入②得 x2-（-2x+5）2+x+7=0 即可．
y
1③
或
2x y 2① x y 1④
，解得：
x1 y1
1 0
，
x2 y2
3 4
；
所以方程组的解为：
x1 y1
1 0
，
x2 y2
3 4
．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
x 2y 3 12．解方程组： 4x2 12xy 9y2 16 ．
（3）如图：
，
∵M（t，﹣ 1 t2+ 1 t+1），Q（t， 1 t+ 1 ），
22
22
∴MQ＝﹣ 1 t2+ 1 22
S△MAB＝ 1 MQ|xB﹣xA| 2
＝ 1 （﹣ 1 t2+ 1 ）×2 2 22
＝﹣ 1 t2+ 1 ， 22
当 t＝0 时，S 取最大值 1 ，即 M（0，1）． 2
由勾股定理，得
y
0
（舍），
y
14
，
即 P（6，﹣14）；
当 PB⊥AB 时，PB 的解析式为 y＝﹣2x+3，
联立
PB
与抛物线，得
y
1 2
x2
1 2
x
1
，
y 2x 3
解得
x y
1 1
（舍）
x4 y 5
，
即 P（4，﹣5），
综上所述：△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，点 P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；
，
x2 y2
2 3 5 3
．
yx 1
4．解方程组：
x
2
xy
2y2
．
0
【答案】
x
y
2 1
，
x y
1 2
1 2
．
【解析】
【分析】
先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0 或 x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解 出即可．
【详解】
y x 1①
解：
x2
x
2y2
0②
由②得：（x﹣2y）（x+y）=0 x﹣2y=0 或 x+y=0
原方程组可化为
yx x 2y
10，xy
x y
1 0
解得原方程组的解为
x
y
21， xy1212
∴原方程组的解是为
x
y
21， xy1212
．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次
的目的．
x2 2xy 3y2 3 5．解方程组：
x y 1
【答案】
x y
1.5 0.5
【解析】
【分析】
把方程组的第一个方程分解因式求出
x
3y
3
，再解方程组解
x x
y 1 3y 3
即可．
【详解】
由 x2 2xy 3y2 3 得： x yx 3y 3 ，
x y 1，
x 3y 3 ，
x y 1 x 1.5 解 x 3y 3得： y 0.5 ．
【详解】
由①得 y 2x 5 ．③
把③代入②，得 x2 (2x 5)2 x 7 0 ．
整理后，得 x2 7x 6 0 ．
解得 x1 1 ， x2 6 ．
由 x1 1 ，得 y1 2 5 3 ．
由 x2 6 ，得 y2 12 5 7 ．
所以，原方程组的解是
x1 y1
【详解】
xy2
x2
xy
2y2
0
(1)
，
(2)
由②得：（x＋y）（x−2y）＝0，
x＋y＝0 或 x−2y＝0，
x y 2 x y 2 原方程组可变形为： x y 0 或 x 2y 0 ，
解得：
yx1111， xy22
4 2
.
【点睛】
此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，
用到的知识点是消元法解方程组．
2．已知 A，B 两地公路长 300km，甲、乙两车同时从 A 地出发沿同一公路驶往 B 地，2 小 时后，甲车接到电话需返回这条公路上与 A 地相距 105km 的 C 处取回货物，于是甲车立即 原路返回 C 地，取了货物又立即赶往 B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到 达 B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发 x 小时后，甲、乙两车距离 A 地的路程分 别为 y1(km)和 y2(km)．它们的函数图象分别是折线 OPQR 和线段 OR． （1）求乙车从 A 地到 B 地所用的时问； （2）求图中线段 PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （3）在甲车返回到 C 地取货的过程中，当 x= ，两车相距 25 千米的路程.
（1）解：由图知，甲车 2 小时行驶了 180 千米，其速度为180 2 90（km/h）
甲车行驶的总路程为： 2180 105 300 450（km)
甲车从 A 地到 B 地所花时间为： 450 90 5（h）
又∵两车同时到达 B 地，
∴乙车从 A 地到 B 地所用用的时间为 5h.
（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 甲 返 回 的 路 程 为 180 105 75 （ km) ， 所 需 时 间 为 75 90 5 6
方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案
一、选择题
1．解方程组：
xy2
(1)
x2
xy
2y2
0
(2)
【答案】
x1 1 , y1 1
x2 y2
4 2
【解析】
【分析】
先由②得
x＋y＝0
或
x−2y＝0，再把原方程组可变形为：
x
x
y y
2 0
或
xy2 x 2y 0
，然后
解这两个方程组即可．
所以原方程组的解为：
，
．
故答案为：
，
．
【点睛】 本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
7．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+1 经过 A（﹣1，0），B（1，1）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝k1x+b1（k1，b1 为常数，且 k1≠0），直线 l2：y＝ k2x+b2（k2，b2 为常数，且 k2≠0），若 l1⊥l2，则 k1•k2＝﹣1． 解决问题： ①若直线 y＝2x﹣1 与直线 y＝mx+2 互相垂直，则 m 的值是____； ②抛物线上是否存在点 P，使得△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）M 是抛物线上一动点，且在直线 AB 的上方（不与 A，B 重合），求点 M 到直线 AB 的距离的最大值．
1 3
，
x2 y2
6 7
.
x2 y2 16
10．k 为何值时，方程组
只有唯一解？
x y k
【答案】k= 4 2 .
【解析】
【分析】
将方程组转化为一元二次方程，根据△=0 求解即可.
【详解】
x2 y2 16(1) x y k(2)
由（2）得， y=x-k（3）
将（3）代入（1）得， 2x2 2kx k 2 16 0 ，
要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即
(2k)2 4 2 (k 2 16) 0 ，
解得，k= 4 2 .
x2 y2 16
所以当 k= 4
2 时，方程组
x y k
只有唯一解.
【点睛】
本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为 0 时，
一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．
【答案】
x1 y1
1 ,
2
x2 y2
17 10
【解析】 【分析】 根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别 计算解答即可 【详解】
x 2y 3① 4x2 12xy 9y2 16②
由②得：（2x﹣3y）2＝16， 2x﹣3y＝±4，
即原方程组化为
【答案】（1）5h （2） y 90x 360 （3） 67 h 或 77 h 30 30
【解析】（1）由图可知，求甲车 2 小时行驶了 180 千米的速度，甲车行驶的总路程，再 求甲车从 A 地到 B 地所花时间；即可求出乙车从 A 地到 B 地所用的时间；（2）由题意可 知，求出线段 PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出 x 的值.
“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利 用数型结合的思想解答问题．
2x y 3
3．解方程组：
x2
2xy
y2
1
【答案】
x1 y1
4 3 1 3
，
x2 y2
2 3 5 3
【解析】
【分析】
由②得： (x y)2 1，即得 x y 1或 x y 1，再同①联立方程组求解即可.
x 2y 3 2x 3y 4
和
x 2y 3 2x 3y 4
，
解得：
x1 y1
1 2
,
x2 y2
17
，
10
即原方程组的解为：
x1 y1
1 2
,
x2 y2
17 10
．
【点睛】
本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组
8．
x x
2 -y2 y
-3，① 1 0，②
【答案】
x y
1 -2
【解析】
【分析】
根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
【详解】
解：由方程①得： x yx-y -3 ，③
由方程②得： x y -1，④
联解③④得 x-y=3，⑤
x 1 联解④⑤得 y -2
x 1 所以原方程组的解为 y -2
【点睛】 本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．
6．解方程组
【答案】原方程组的解为：
，
【解析】 【分析】 把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，解方程求出 x，把 x 代 入第一个方程，求出 y 即可. 【详解】
解：
把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4， x2+4x=0， 解得：x=-4 或 x=0， 当 x=-4 时，y=-3， 当 x=0 时，y=1，