高中数学恒成立问题常见类型与解法
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4 函 数 y loga x 的 图 象 总 在 函 数
y sin 2x 的图象的上方.
0 a 1。
作直线
x
=百度文库
4
，与
y loga
x
和
y sin 2x 的图象分别交于 A、B 两
点，为保证 y loga x 在区间
（0， ］上的图象在 y sin 2x 图象的上方，不难从图中得到其条件 4
典例导悟
（2010·天津高考理科·Ｔ16）设函数
f
(x)
x2
1 ，对任意
x
2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(
x)
f (x 1) 4 f
(m) 恒成立，则实数 m
的取值范围是
。
【解析】依据题意得
x2 m2
1 4m2 (x2
1)
(x
1)2
1
4(m2
1)
在
x [3 , ) 2
上恒定成立，
即
1 m2
2
2
二、二次函数型
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于（或小于）
0
恒成立，则有
a 0 0
（或
ìïïíïïî
a< D<
0 0
），若是二次函数在指定区间上的
恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例导悟
关于 x 的方程 9x+(4+ a )3x+4=0 恒有解，求 a 的取值范围。
【解析】方法 1（利用韦达定理） 设 3x=t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
Δ
x1
x1
0 x2 (4 gx2 4 0
a)
0
，即
(4 a)2 a 4
16
0
，
aa
0或a 4
8 ，解得
a
-8.
方法 2（利用根与系数的分布知识）
即要求 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例导悟
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
4
]
都成立，求
a
的取值范围.
【解析】作出函数 y sin 2x 的图 象，由题意知 在 x ∈(0, ］上，
是点 A 在点 B 的上方。
当
x
=
4
时，
loga 4
sin(2 4 ) 1 loga a
,
又 0 a 1 ， 得
< a <1。 4
六、采用逆向思维，考虑使用反证法
【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑
问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果，所 谓“正难则反”就是这个道理。
∵f(0)=4>0,故只需对称轴 4 a 0 ，即 a <－4. 2
∴ a <－8.
综上可得 a －8.
三、变量分离型
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
典例导悟
设 y f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 ， 对 任 意 实 数 x1、x2 都 有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ，且存在实数 a ，使 f (a) 0 。求证：对任意实数 x ， f (x) 0 恒成立。
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
－f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对 一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后 互相重合，则函数解析式相等。
典例导悟
（2010·福建高考文科·Ｔ１0）将函数 f (x) sin(x ) 的图像向左平移
2
个单位。若所得图象与原图象重合，则
则根据函数的图象（线段）可得
①
k
f
0 (m)
0
或②
k
f
0 (n)
0
，也可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
，
同理，若在 [m,
n] 内恒有
f
(x)
0 ，则有
f f
(m) 0 .
(n) 0
y
y
x om n
om
x n
典例导悟
若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2,2 都成立，求实数 x 的取值范围。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。 下面分别举例示之。
一、一次函数型
【理论阐释】
给定一次函数 y f (x) kx b ( k ≠0),若 y f (x) 在[m,n]内恒有 f (x) >0，
高中数学恒成立问题常见类型 及解法
在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问 题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基 本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法 等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问 题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。
的值不．可．能．等于（
）
A.4
B.6
C.8
D.12
【解析】选 B，把图象向左平移 个单位得 2
y
sin
x
2
s
in
x
2
，
又该函数图像与原函数图像重合，所以
s
in
x
2
sin
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
y
设 f(t)= t2+(4+ a )t+4.
当 =0 时，即（4+ a ）2-16=0,
4
∴ a =0 或 a =-8.
x
当 a =0 时，f(t)=(t+2)2=0,
o
得 t=－2<0，不合题意；
当 a =－8 时，f(t)=(t-2)2=0,
得 t=2>0,符合题意。∴ a =-8。
当 >0，即 a <-8 或 a >0 时，
4m2
3 x2
2 x
1在
x [ 3 2
, )
上恒成立。
当
x
3 2
时函数
y
3 x2
2 x
1取得最小值
5 3
，
所以
1 m2
4m2
5 ，即 (3m2 3
1)(4m2
3)
0，
解得 m
3 或m
3
。
2
2
四、利用函数的性质解决恒成立问题
【理论阐释】 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=
y sin 2x 的图象的上方.
0 a 1。
作直线
x
=百度文库
4
，与
y loga
x
和
y sin 2x 的图象分别交于 A、B 两
点，为保证 y loga x 在区间
（0， ］上的图象在 y sin 2x 图象的上方，不难从图中得到其条件 4
典例导悟
（2010·天津高考理科·Ｔ16）设函数
f
(x)
x2
1 ，对任意
x
2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(
x)
f (x 1) 4 f
(m) 恒成立，则实数 m
的取值范围是
。
【解析】依据题意得
x2 m2
1 4m2 (x2
1)
(x
1)2
1
4(m2
1)
在
x [3 , ) 2
上恒定成立，
即
1 m2
2
2
二、二次函数型
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于（或小于）
0
恒成立，则有
a 0 0
（或
ìïïíïïî
a< D<
0 0
），若是二次函数在指定区间上的
恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例导悟
关于 x 的方程 9x+(4+ a )3x+4=0 恒有解，求 a 的取值范围。
【解析】方法 1（利用韦达定理） 设 3x=t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
Δ
x1
x1
0 x2 (4 gx2 4 0
a)
0
，即
(4 a)2 a 4
16
0
，
aa
0或a 4
8 ，解得
a
-8.
方法 2（利用根与系数的分布知识）
即要求 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例导悟
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
4
]
都成立，求
a
的取值范围.
【解析】作出函数 y sin 2x 的图 象，由题意知 在 x ∈(0, ］上，
是点 A 在点 B 的上方。
当
x
=
4
时，
loga 4
sin(2 4 ) 1 loga a
,
又 0 a 1 ， 得
< a <1。 4
六、采用逆向思维，考虑使用反证法
【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑
问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果，所 谓“正难则反”就是这个道理。
∵f(0)=4>0,故只需对称轴 4 a 0 ，即 a <－4. 2
∴ a <－8.
综上可得 a －8.
三、变量分离型
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
典例导悟
设 y f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 ， 对 任 意 实 数 x1、x2 都 有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ，且存在实数 a ，使 f (a) 0 。求证：对任意实数 x ， f (x) 0 恒成立。
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
－f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对 一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后 互相重合，则函数解析式相等。
典例导悟
（2010·福建高考文科·Ｔ１0）将函数 f (x) sin(x ) 的图像向左平移
2
个单位。若所得图象与原图象重合，则
则根据函数的图象（线段）可得
①
k
f
0 (m)
0
或②
k
f
0 (n)
0
，也可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
，
同理，若在 [m,
n] 内恒有
f
(x)
0 ，则有
f f
(m) 0 .
(n) 0
y
y
x om n
om
x n
典例导悟
若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2,2 都成立，求实数 x 的取值范围。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。 下面分别举例示之。
一、一次函数型
【理论阐释】
给定一次函数 y f (x) kx b ( k ≠0),若 y f (x) 在[m,n]内恒有 f (x) >0，
高中数学恒成立问题常见类型 及解法
在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问 题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基 本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法 等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问 题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。
的值不．可．能．等于（
）
A.4
B.6
C.8
D.12
【解析】选 B，把图象向左平移 个单位得 2
y
sin
x
2
s
in
x
2
，
又该函数图像与原函数图像重合，所以
s
in
x
2
sin
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
y
设 f(t)= t2+(4+ a )t+4.
当 =0 时，即（4+ a ）2-16=0,
4
∴ a =0 或 a =-8.
x
当 a =0 时，f(t)=(t+2)2=0,
o
得 t=－2<0，不合题意；
当 a =－8 时，f(t)=(t-2)2=0,
得 t=2>0,符合题意。∴ a =-8。
当 >0，即 a <-8 或 a >0 时，
4m2
3 x2
2 x
1在
x [ 3 2
, )
上恒成立。
当
x
3 2
时函数
y
3 x2
2 x
1取得最小值
5 3
，
所以
1 m2
4m2
5 ，即 (3m2 3
1)(4m2
3)
0，
解得 m
3 或m
3
。
2
2
四、利用函数的性质解决恒成立问题
【理论阐释】 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=