13函数与方程练习

初三数学通用版函数与方程综合练习
（答题时间：50分钟）
1. 已知抛物线12--=x x y 与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式20102+-m m 的
值为（ ）
A. 2008
B. 2009
C. 2010
D. 2011
2. 已知抛物线c bx ax y ++=2（a>0）的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为
)0,(1x ，且101<<x ，下列结论：①039>+-c b a ；②a b <；③03>+c a ；其中正
确结论的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 已知二次函数222)1(2m m x m x y -+-+-=的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B ，C 构成的∆ABC 的面积是（ ）
A.
21 B. 1 C. 2
3
D. 2 4. 二次函数c bx ax y ++=2的图象永远在x 轴上方的条件是（ ）
A. 04,02>->ac b a
B. 04,02<->ac b a
C. 04,02>-<ac b a
D. 04,02<-<ac b a
*5. 设关于x 的方程09)2(2
=+++a x a ax 有两个不相等的实根1x ，2x ，且
211x x <<，那么a 的取值范围是 。

*6. 方程0)1(=--k x x 有三个不相等的实根，则k 的取值范围是 。

7. 已知点A （1，0）、B （2，0），若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 。

*8. m 和n 为何整数时，方程0222
=+-n mx x 的两根21,x x 满足
32,2121<≤<≤x x ？
*9. 为使方程b x x x +=
+-31
1322
有四个不同的实数根，求b 的取值范围。

*10. 设p 是实数，二次函数p px x y --=22
的图象与x 轴有两个不同的交点)0,(1x A 、)0,(2x B 。

（1）求证：0322
21>++p x px ；
（2）若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求p 的最大值。

**11. 对0>>>c b a ，有抛物线)()(2
ac bc ab x c b a x y +++++-=。

（1）若抛物线与x 轴有交点，求证：以c b a ,,为边不能构成一个三角形； （2）若抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为0x ，求证：a x c b <<+0； （3）当方程有实根6，9时，求正整数c b a ,,的值。

初三数学通用版函数与方程综合练习参考答案
1. D 解析：因为点)0,(m 是抛物线12--=x x y 上的点。

所以代入此函数关系式得
012=--m m ，即12=-m m ，所以201120102=+-m m 。

故应选择D 。

2. C 解析：因为12-=-a
b
，所以a b 2=。

因为0>a ，所以a b >，由已知条件可大致画出二次函数的图象，由图象可知当3-=x 时，0>y ，即039>+-c b a ，所以
0239>+⨯-c a a ，即03>+c a ，故①，③正确，②错误，故应选择C 。

3. B 解析：由此函数的图象关于y 轴对称，所以01=-m ，即1=m ，所以该二次函数
解析式为12+-=x y 。

令0=y ，则012=+-x ，即012
=-x ，所以1±=x 。

所以BC
＝1－（－1）＝2，即1122
1
=⨯⨯=
∆ABC S 。

故应选择B 。

4. B 解析：由二次函数c bx ax y ++=2的图象永远在x 轴的上方，则有0>a ，且
042<-ac b ，即函数图象开口向上，且不会与x 轴相交，故应选择B 。

5. 0112<<-a 解析：0≠a ，记9)2
1(2+++=x a
x y ，则它的图象是开口向上的抛物线，因为211x x <<，故当1=x 时，0<y ，即09)21(1<+++a ，解得011
2
<<-
a 。

6. 04
1
<<-k 解析：原方程变形为k x x =-)1(。

令⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-=.
0,,
0,)1(2
21x x x x x x x x y k y =2。

如图，其图象分别为C 1、C 2。

函数)0(2≥-=x x x y 的顶点坐标为)4
1
,21(-。

由图象
知，当04
1
<<-k 时，直线C 2与曲线C 1相交，有三个不同的交点。

7. 2
1
1-
<≤-a 或者323-=a 解析：分两种情况： （1）因为二次函数3)3(2
+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，且A （1，0）、
B （2，0），则[][]
032)3(231)3(12
2≤+⨯-+⨯+⨯-+a a ，解得2
11-≤≤-a 。

由031)3(12
=+⨯-+a ，得1-=a ，此时，3,121==x x 符合题意；
由032)3(22
=+⨯-+a ，得21-=a ，此时，2
3,221==x x ，不符合题意。

所以2
11-
<≤-a 。

（2）令03)3(2=+-+x a x ，由判别式0=∆，得323±=a 。

当323+=a 时，321-==x x ，不符合题意； 当323-=a 时，321==x x ，符合题意。

综上，a 的取值范围是2
1
1-
<≤-a 或者323-=a 。

8. 解：设n mx x y +-=222，二次函数n mx x y +-=222的两根21,x x 满足条件211<≤x ，322<≤x ，必须同时满足：
0842>-=∆n m ， ① 022)1(≥+-=n m f ，
②
048)2(≤+-=n m f ， ③ 0618)3(>+-=n m f ， ④
②－③，得026≥+-m ，所以3≥m ； ③－④，得0210<+-m ，所以5<m 。

所以53<≤m ，即3=m 或4。

把3=m 分别代入②③④，得4=n 。

把4=m 分别代入②③④，得7=n 或8。

再把各组n m ,值代入①。

当8,4==n m 时，0=∆,故舍去。

所以所求n m ,的值是⎩⎨
⎧==4
,3n m 或⎩⎨⎧==.7,
4n m 9. 解：方程b x x x +=+-3
11322
的实根就是函数1322+-=x x y 与b x y +=31的图象的交点横坐标。

现作函数1322+-=x x y 与b x y +=31的图象，
如图，这里b 取不同的值，直线l 也就不同，但这些直线是互相平行的。

从图中可以看出l 介于1l 和2l 之间时，这条直线才与函数1322
+-=x x y 的图象有4
个交点，即方程b x x x +=+-3
11322
有4个不同的实数根，1l 过点P ，可求出1l 的表
达式为3
6
33
1
32
331
--
=
--
=
x x y 。

2l 与)132(2+--=x x y 的图象只有一个交点。

要使方程b x x x +=+--3
1)132(2
有等根，必须有0=∆。

即2)323
1
()1(4-=+b ，解得1213=b 。

从而2l 的方程为1213
3
1+=x y 。

故b 的取值范围是1213
363<
<--b 。

10. 解：（1）判别式0442>+=∆p p ，0222
2=--p px x ，
所以p p px px p x px 3223221221+++=++0444)(22
21>+=++=p p p x x p 。

（2）21212124)(x x x x x x AB -+=
-=
32442-≤+=p p p ，
解得169≤
p 。

又当169=p 时满足题意，故p 的最大值是16
9。

11. 解：（1）由于方程0)(2
=+++++-ac bc ab x c b a x 的根的判别式
)(4)(2ac bc ab c b a ++-++=∆ ac bc ab c b a 222222---++=
＝)()()()(c b a a c b a c b c a b c b a a --<-+--+---。

因为0>>>c b a ，故0>--c b a 。

所以c b a +>，故命题得证。

（2）因为220∆
+++≤
≤∆-++c b a x c b a ， 其中)(4)(2
ac bc ab c b a ++-++=∆
22)(4)(c b a bc c b a --<---=，
由（1），知0>--c b a ，故∆>
--c b a 。

有a c
b a
c b a c b a x =--+++<∆+++≤
2
20， c b c b a c b a c b a x +=++-++>∆-++≥2
20
所以a x c b <<+0。

（3）由根与系数的关系，即
15=++c b a ， 54=++ac bc ab 。

所以)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++
211117108225<=-=。

由（2），知9>a ，所以2
22119<<a ，只有10=a 。

从而5=+c b ，4=bc 。

又c b >，所以4=b ，1=c 。

所以10=a ，4=b ，1=c 。