13函数与方程练习

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2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点十三函数的零点与方程的解、二分法

线 y＝－x，之后上下移动直线 y＝－x.可以发现直线与函数图象有两个或一个交
点．
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6
三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 7．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则 a 的取值范围为 ________．
观察图象可知，若方程 f(x)－a＝0 有三个不同的实数根，则函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝a 有 3 个不同的交点，此时需满足 0＜a＜1.
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6
【加练备选】
x3，x≤a，
已知函数 f(x)＝
若存在实数 b，使函数 g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则 a
A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0
C．f(－4)＜f(6)
D．f(0)＜f(－6)
【解析】选 AC.因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，又 f(－3)·f(6)＜0，所以 f(3)·f(6)＜0.又 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且 f(3)＜0，f(6)＞0，所以函数 f(x) 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是 f(0)的值没有确定，所以函数 f(x)可能有三个零点，故 A 正确；又 f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以 f(－4)的符号不确定，故 B 不正确；C 项显然正确；由于 f(0)的值没有确定，所以 f(0)与 f(－6)的大小关系不确定，所以 D 不正确．
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6
2．函数 f(x)＝2x
＋ln

函数与方程练习题

函数与方程练习题函数与方程练习题在数学学习中，函数与方程是非常重要的概念和工具。

通过函数与方程的学习，我们可以解决各种实际问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。

下面，我将为大家提供一些函数与方程的练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。

一、函数练习题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)的值。

解析：将x = 5代入函数f(x)中，得到f(5) = 2(5) + 3 = 13。

2. 已知函数g(x) = x^2 + 2x + 1，求g(-3)的值。

解析：将x = -3代入函数g(x)中，得到g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) + 1 = 4。

3. 已知函数h(x) = 3x^2 - 2x + 5，求h(2)的值。

解析：将x = 2代入函数h(x)中，得到h(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 5 = 17。

4. 已知函数k(x) = |x - 3|，求k(4)的值。

解析：将x = 4代入函数k(x)中，得到k(4) = |4 - 3| = 1。

二、方程练习题1. 解方程2x + 3 = 7。

解析：将方程两边减去3，得到2x = 4，再将方程两边除以2，得到x = 2。

2. 解方程x^2 - 4x + 3 = 0。

解析：将方程进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) = 0，因此x = 1或x = 3。

3. 解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

解析：可以使用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，代入a = 2，b = 5，c = -3，计算得到x ≈ -1.5或x ≈ 0.5。

4. 解方程|x - 2| = 3。

解析：可以将方程拆分为两个方程，即x - 2 = 3或x - 2 = -3，解得x = 5或x = -1。

通过以上的练习题，我们可以发现函数与方程在数学学习中的重要性。

函数可以描述两个变量之间的关系，通过函数，我们可以计算出给定变量的值对应的函数值。

高一数学竞赛：函数与方程

高一数学竞赛：函数与方程模块一：易错试题精选【例1】若,a b c <<则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间()A (),a b 和(),b c 内()B (),a -∞和(),a b 内()C (),b c 和(),c +∞内()D (),a -∞和(),c +∞内【例2】若函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x x x f ，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数是___________.【例3】已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当()+∞∈,0x 时，()x x f x2017log 2017+=，则函数()x f 的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于()A.14B.10C.7D.3【例5】设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【例7】设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（）A.()22-B.322⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()2,-+∞【例8】已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的解a b c d ,,,,且a b c d <<<,则的()21a b c c d++取值范围为()A.(]1,1- B.[)1,1- C.(1,)-+∞ D.(,1)-∞【例9】已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑()（注111221()()()()mim m i x y xy x y x y =+=++++++∑L ）A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m模块二：培优试题精选【例1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()log 1,12,1a x x x g x x ⎧->=⎨≤⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．（2，4）B ．（2，5）C ．（1，5）D ．（1，4）【例2】关于x 的方程()242200x m x m ++++=有两个正根()1212,x x x x <，下列结论错误的是（）A ．102x <⎪⎩，若函数()y f x a =+在R 上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．[)1,0-D ．4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【例4】已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m【例5】已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()211,0212,22x x f x f x x ⎧--<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为（）A ．8B ．32C ．0D ．18【例7】已知函数23e ,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()()2g x f x kx x =--有两个零点，则k 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例8】设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【例9】已知函数()()211x xf x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（）A ．αββα=+B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．1αβ->-【例10】设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【例11】设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.【例12】已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()221f x x x =-++，若关于x 的方程()()230f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是_____.【例13】已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有(4)4()f x f x +=，(]0,4x ∈时2()22x f x -=-；若函数2()()()g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为________.【例14】已知函数212,2()2ln(1),2x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数1()()4g x f f x m ⎛⎫=+- ⎝⎭有6个不同的零点，求m 的取值范围___________.【例15】已知函数2|2|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()0f x k -=有4个不相等的实数根a ，b ，c ，d ，则+++a b c d 的取值范围是___________，abcd 的取值范围是___________.【例16】已知函数()1ln ,1121,1x f x x x x ⎧⎛⎫-<-⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-⎩，则函数()f x 的零点是__________；若函数()()()g x f f x a =-，且函数()g x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【例17】已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．【例18】已知函数()()2ln ,068,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的各个零点之和为______；若方程1f x mx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭恰有四个实根，则实数m 的取值范围为______．模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（全国竞赛题）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

函数与方程试题及解答

函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。

所以f(2)的值为-1。

（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。

解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。

解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。

再将方程两边除以3，得到x = 5。

所以满足g(x) = 10的x的值为5。

2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。

解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。

再将方程两边除以3，得到x = 1。

所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。

（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。

解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。

将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。

计算得到-11 = 2x。

再将方程两边除以2，得到x = -5.5。

所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。

3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。

求这个数列的第10项。

解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。

所以这个数列的第10项为34。

4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。

已知该产品售价为20元时，销量为20000件。

问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。

根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。

将方程简化，得到20 - x = 40。

将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。

人教版高中数学第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》训练题 (13)(含解析)

A．0B．1C．2D．3
三、填空题
18．如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.
19．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______________.
20．不等式的解集为，则实数的取值范围为________
21．函数的定义域是，则的取值范围是_________．
22．不等式的解集是______．
23．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是___________.
24．不等式的解是________
25．“ ”是“ ”的________条件．
第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》训练题 (13)
一、单选题
1．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集不可能是（）
A． B．RC． D．
2．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
（3）求不等式的解集.
【答案与解析】
1．B
【解析】
根据题中不等式，讨论，，，，，分别求解不等式，即可求出结果.
四、解答题
3
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）当时，求不等式的解集.
32．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

函数与方程练习题练习题(基础、经典、好用)

函数与方程练习题一、选择题1．(2013·东莞模拟)方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．(2013·深圳调研)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 3，x ≤0，（13）x －log 2x ，x ＞0，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0＜t ＜x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于05．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．与m 有关二、填空题6．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．8．(2013·肇庆模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．三、解答题9．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围．并求出该零点．10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及(0，12)内各有一个零点，求实数a 的范围．11．(2013·深圳调研)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．详细答案一、选择题1．【解析】设f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝0＋1－3＝－2＜0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，∴f (2)·f (3)＜0，故方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2，3)．【答案】 C2．【解析】法一令f (x )＝0，得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎨⎧x ＞0，ln x ＝2，所以x ＝－3或x ＝e 2，应选B.法二画出函数f (x )的图象可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有2个零点．【答案】 B3．【解析】 sgn(ln x )＝⎩⎨⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，0＜x ＜1，故函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点分别为e ，1，1e .【答案】 C4．【解析】当x ＞0时，由f (x )＝(13)x －log 2x ＝0得(13)x ＝log 2x ，在同一坐标系中分别作出y＝(13)x，y＝log2x的图象，由图象可知，当0＜t＜x0时，(13)t＞log2t，所以此时f(t)恒大于0，选B.【答案】 B5．【解析】函数y＝ln|x－2|的图象关于直线x＝2对称，从而x1＋x2＝4.【答案】 A二、填空题6．【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.【答案】(1，＋∞)7．【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝log a2＋2－b＜0；当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，∴f(x)的零点x0在区间(2，3)内，∴n＝2.【答案】 28．【解析】函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】8三、解答题9．【解】∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，∴方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(舍去)．∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知当m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.10．【解】 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意：f (x )＝1即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0，∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0恒成立，∴x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及(0，12)内各有一个零点只须⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f （12）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解之得12＜a ＜34.11．【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)．∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2的最大值为1.∴据此作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1，1)．。

第13课时函数与方程(含答案)

考点：函数与方程复习目标：1、理解函数零点的概念及函数零点的判定，理解二分法的求方程近似解基本思想。

2、用数形结合与化归转化思想处理有关问题。

用函数的观点、方法去观察、分析和解决常见方程问题。

知识回顾：1．零点的概念：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 2．函数零点与方程根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点 3．函数零点的判断如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b)内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴的交点 x 1，x 2x 1无交点零点个数两个1个没有5.二分法(1)定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤第一步，确定区间[a ，b ]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；第二步，求区间(a ，b )的中点x 1；第三步，计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x 1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)＜0，则令b ＝x 1(此时零点x 0∈(a ，x 1))； ③若(x1)·f(b)＜0，则令a ＝x 1(此时零点x 0∈(x 1，b ))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |＜ε，得到零点近似值a (或b )；否则重复第二、三、四步．典型例题分析：题型一、函数零点确定问题：例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x 2-3x-18,x ∈［1，8］；（1）方法一因为f (1)=-20＜0,f (8)=22＞0，所以f (1)·f (8)＜0，故f (x )=x 2-3x -18，x ∈［1，8］存在零点.方法二令x 2-3x -18=0,解得x =-3或6, 所以函数f (x )=x 2-3x -18,x ∈［1，8］存在零点.（2）f(x)=x 3-x-1,x ∈［-1，2］；∵f （-1）=-1＜0,f (2)=5＞0,∴f （x ）=x 3-x -1，x ∈［-1，2］存在零点.（3）f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈［1，3］.∵f （1）=log 2（1+2）-1＞log 22-1=0. f (3)=log2(3+2)-3＜log 28-3=0.∴f （1）·f （3）＜0故f (x )=log 2(x +2)-x 在x ∈［1，3］上存在零点.（4）f(x)＝1x－x ，x ∈(0，1)令f(x)＝1x－x ＝0(x ≠0)，∴x2＝1，∴x ＝±1∉(0，1)，故f(x)在(0，1)内无零点．例、求f(x)＝x 3－2x 2－x ＋2的零点(1)∵f(x)＝x3－2x2－x ＋2＝x2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)， ∴f(x)＝x3－2x2－x ＋2的零点为－1、1、2.迁移训练：1、求下列函数的零点：(1)y=x 3-7x+6; (2)y=x+x2-3. 解（1）∵x 3-7x +6=(x 3-x )-(6x -6)=x (x 2-1)-6(x -1)=x (x +1)(x -1)-6(x -1)=(x -1)(x 2+x -6)=(x -1)(x -2)(x +3)解x 3-7x +6=0,即(x -1)(x -2)(x +3)=0可得x 1=-3,x 2=1,x 3=2.∴函数y =x 3-7x +6的零点为-3,1,2.(2)∵x +.)2)(1(23322xx x x x x x--=+-=-解x +,032=-x 即xx x )2)(1(--=0,可得x =1或x =2.∴函数y =x +x2-3的零点为1，2.例、在下列区间中，函数f(x)＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝＋4×14－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝＋4×12－3＝－1＞0，所以f (x )＝ex＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 迁移训练：1、函数 f(x)＝－1x ＋10g 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )答案：BA ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2、方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)设f(x)＝2x －1＋x －5，由f(2)·f(3)＝－2＜0，故f(x)在(2，3)上有零点，即方程2x －1＋x ＝5在(2，3)内有解，所以选C.例、（1）判定f(x)＝lnx ＋2x －6的零点个数；解在同一坐标系画出y =ln x 与y =6-2x 的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y =ln x +2x -6只有一个零点.(2)已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1),判断f(x)=0的根的个数.解设f 1(x )=a x(a ＞1),f 2(x )=-12+-x x ,则f (x )=0的解即为f 1(x )=f 2(x )的解，即为函数f 1(x )与f 2(x )图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f 1(x )=a x(a ＞1)与f 2(x )=-1312+=+-x x x -1的图象（如图所示）. 两函数图象有且只有一个交点，即方程f (x )=0有且只有一个根.迁移训练：1、判断方程3x －x 2＝0的负实数根的个数，并说明理由．解析：设f(x)＝3x －x2，∵f(－1)＝－23＜0，f(0)＝1＞0，又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点．又∵在(－∞，0)上，函数y ＝3x 递增，y ＝x2递减，∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的， ∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点．因此方程3x －x2＝0只有一个负实数根． 2、函数f(x)＝ 21x －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令g(x)＝，h(x)＝(12)x ，则f(x)的零点个数即为g(x)与h(x)图象的交点个数．由g(x)与h(x)的图象可知，f(x)有1个零点例、已知函数f(x)＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．(0，1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]【解析】法一：取m ＝0，有f(x)＝－3x ＋1的零点x ＝13＞0，即m ＝0符合题设，所以排除A 、B ；当m＝1时，f(x)＝x2－2x ＋1＝(x －1)2，它的根是x ＝1符合要求，排除C.故选D.迁移训练：设函数f(x)＝1x ，g(x)＝－x 2＋bx.若y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞0B ．x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0C ．x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0D ．x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0【解析】由题意得，f(x)，g(x)在同坐标系中的图象如下∴x1＋x2＞0，y1＋y2＜0故选B.答案】 B例、用二分法求函数f(x)=x 3-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）.解由于f (1)=1-1-1=-1＜0,f (1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0,∴f (x )在区间［1，1.5］上存在零点，取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间|a n -b n |[]5.1,10.51.25 f (1.25)＜0 []5.1,25.10.25 1.375 f (1.375)＞0 [1.312 5，1.37]0.125 1.312 5f (1.312 5)＜[]375.1,5312.10．062 5∵|1.375-1.312 5|=0.062 5＜0.1，∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.312 5.迁移训练：如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（填序号）.答案①③题型二、二次函数的零点例、若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，求a 的取值范围.解设f (x )=3x 2-5x +a ,则f (x )为开口向上的抛物线（如图所示）. ∵f （x ）=0的两根分别在区间（-2，0），（1，3）内， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-，f f f f 0)3(,0)1(,0)0(,0)2( 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯<+-<>+-⨯--⨯.03593,053,00)2(5)2(32a a a，a解得-12＜a ＜0.所求a 的取值范围是（-12，0）.迁移训练：1.关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1=0在区间［0，2］上有解，求实数m 的取值范围.解设f (x )=x 2+(m -1)x +1,x ∈［0，2］， ①若f (x )=0在区间［0，2］上有一解， ∵f （0）=1＞0,则应有f (2)≤0,又∵f （2）=22+（m -1）×2+1,∴m ≤-23.②若f (x )=0在区间［0,2］上有两解,则,123,231313.012)1(41304)1(0)2(,221002-≤≤-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤≤--≤≥∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⨯-+≤≤-≥--∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤--≤≥∆m m m m m m m m f m 或由①②可知m ≤-1.2.关于x 的实系数方程x 2-ax+2b=0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b 的最大值为 .答案 93、已知函数f(x)=x 2+(a 2-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解方法一设方程x 2+(a 2-1)x +(a -2)=0的两根分别为x 1,x 2 (x 1＜x 2),则(x 1-1)(x 2-1)＜0,∴x 1·x 2-(x 1+x 2)+1＜0,由韦达定理得(a -2)+(a 2-1)+1＜0,即a 2+a -2＜0,∴-2＜a ＜1.方法二函数的大致图象如图所示,则有f (1)＜0,即1+(a 2-1)+a -2＜0, a 2+a -2＜0,∴-2＜a ＜1.例、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a ＞b ＞c ，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x 1、x 2∈R 且x 1＜x 2，f(x 1)≠f(x 2)，方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f(1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.又∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，即ac ＜0.又∵Δ＝b2－4ac ≥－4ac ＞0，∴方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，所以函数f(x)有两个零点． (2)令g(x)＝f(x)－12[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－12[f(x1)＋f(x2)]＝－2；g(x2)＝f(x2)－12[f(x1)＋f(x2)]＝－2.∴g(x1)·g(x2)＝－2·－2＝－14[f(x1)－f(x2)]2.∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＜0，∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．即f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根.迁移训练：已知a 、b 是不全为0的实数，求证：方程3ax 2+2bx-（a+b ）=0在（0，1）内一定有实根.证明若a =0时，则b ≠0，此时方程的根为x =21，满足题意.当a ≠0时，令f （x ）=3ax 2+2bx -（a +b ）. （1）若a (a +b )＜0,则f （0）·f （21）=-（a +b ）·(-41a )=41a （a +b ）＜0，所以f （x ）在区间(0,)21内有一实根.（2）若a （a +b ）≥0，则f ()21f （1）=(-a 41)（2a +b ）=-41a 2-41a （a +b ）＜0，所以f （x ）在区间(21，1）内有一实根.综上所述，方程3ax 2+2bx -(a +b )=0在（0，1）内一定有实根.题型三、利用函数的零点求参数的范围：例、已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)＞0，求实数p 的取值范围解二次函数f (x )在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )＞0的否定是对于区间［-1，1］内的任意一个x 都有 f (x )≤0,∴.0)1(0)1(⎩⎨⎧≤-≤f f 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+---+≤+----012)2(24012)2(2422p p p p p p 整理得：,012093222⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-+p p p p 解得：p 23≥或p 3-≤. ∴二次函数在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0的实数p 的取值范围是(-3,).23例、（1）若函数f(x)=ax 2-x-1有且仅有一个零点，求实数a 的值；若a =0，则f (x )=-x -1,令f (x )=0,即-x -1=0,得x =-1,故符合题意；若a ≠0，则f (x )=ax 2-x -1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a =0，解得a =-41，综上所述a =0或a =-41.（2）若函数f(x)=|4x-x 2|+a 有4个零点，求实数a 的取值范围.（2）若f (x )=|4x -x 2|+a 有4个零点，即|4x -x 2|+a =0有四个根，即|4x -x 2|=-a 有四个根.令g (x )=|4x -x 2|,h (x )=-a .作出g (x )的图象，由图象可知如果要使|4x -x 2|=-a 有四个根，那么g (x )与h （x )的图象应有4个交点. 故需满足0＜-a ＜4,即-4＜a ＜0. ∴a 的取值范围是（-4,0）.（3）若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点，求实数a 的取值范围答案（-2，2）例、0sin sin cos cos =-++x x x x a 在],0[π∈x 内恒有解，求a 的范围。

高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)-200708(解析版)

高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc.若不等式∣∣∣2k kx +3−1x 2∣∣∣<0的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A. {0}∪[24,+∞)B. [0,24]C. (0,24]D. (−∞,0]∪[24,+∞)2. 已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ，设M =1a +1c ，N =2b ，则( )A. M >NB. M ≥NC. M <ND. M ≤N3. 已知函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x 的解集是( )A. [−3,+∞)B. [1,+∞)C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)4. 若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则a 的取值范围( )A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. [12,+∞)D. (−∞,12]5. 若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数，则k 的取值范围是( )A. [0,3)B. [0,3]C. (0,3]D. [3,+∞) 6. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =ln(ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a 0.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A. (−∞,−2)∪[3，+∞) B. (−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞) C. (1,2]∪[3,+∞) D. (−∞,−2)∪(1,2] 8. 若a <0，则关于x 的不等式x 2−4ax −5a 2>0的解是( )A. x >5a 或x <−aB. x >−a 或x <5aC. 5a <x <−aD. −a <x <5a 二、填空题（本大题共8小题，共40.0分） 9. 不等式−x 2−x +6≥0的解集为______． 10. 函数y =−x 2的单调递增区间为______．11. 若函数f(x)={1x ,x >03x ,x ≤0，则不等式f(x)≥13的解集为______．12. 若函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上的最大值为1，最小值为m ，且函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，则a =______．13. 若不等式ax 2+2ax −1<0解集为R ，则a 的范围是______．14. 对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，则x 的取值范围是______． 15. 不等式3x 2−7x ≤10的解集为______． 16. 函数y =√6−x −x 2的定义域是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.解关于x的不等式：x2+2x−3−x2+x+6<0．18.已知f(x)=x2+6x+9x+1(x>−1)．(1)解不等式f(x)≥9；(2)求f(x)的最小值．19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈[1,3)时，有f(x)≤18(x+2)2成立．(1)证明：f(2)=2；(2)若f(−2)=0，求f(x)的表达式；(3)在题(2)的条件下设g(x)=f(x)−mx2，x∈[0,+∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y=14的上方，求实数m的取值范围．20.已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)已知m∈R，解关于x的不等式(x−m)(ax−b)<0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意得，不等式2kx 2+kx +3<0的解集为空集， ①k =0时，3<0，满足题意；②k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，解得0<k ≤24， ∴综上得，实数k 的取值范围是[0,24]．故选：B ．根据题意即可得出不等式2kx 2+kx +3<0的解集是空集，从而讨论k ：k =0时，显然满足题意；k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，从而可得出k 的取值范围．本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式解的情况，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：A解析：解：由三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ，且M =1a +1c =c+a ac=2bac =2ac b，N =2b ，所以ac b −b =ac−b 2b=ac−(a+c 2)2b=−(a−c)24b<0，即ac b 2b ，即M >N ．故选：A ．化简M =2ac b，利用作差法比较acb <b ，从而得出M 与N 的大小．本题考查了不等式大小比较问题，也考查了转化思想，是基础题． 3.答案：A解析：解：∵函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则对于不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x ，当x −1<0即x <1时，f(x −1)=x −1+1=x ，则(x +1)⋅x ≤3−x ，解得−3≤x ≤1，∴−3≤x <1．当x −1≥0时，即x ≥1，f(x −1)=1−x −1=−x ，则(x +1)(−x)≤3−x ，即x 2≥−3，∴x ≥1． ∴原不等式的解集为{x|−3≤x <1，或x ≥1}={x|x ≥−3}，故选：A ．分别考虑x −1<0即x <1时；x −1≥0时，即x ≥1时，原不等式的解集，最后求并集．本题考查分段函数的应用，考查分段函数值应考虑自变量对应的情况，属于中档题． 4.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)=x 2+x +ax ，其导数f′(x)=2x +1−a x 2=2x 3+x 2−ax 2，若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则f′(x)=2x3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，设g(x)=2x 3+x 2−a ，则有g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，而g′(x)=6x 2+2x ，在(12,+∞)上，有g′(x)>0恒成立，即函数g(x)在(12,+∞)上为增函数，若g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，必有g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，则a ≤12，即a 的取值范围为(−∞,12]；故选：D ．根据题意，求出函数f(x)的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得：若函数f(x)在(12,+∞)上是增函数，必有f′(x)=2x 3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，进而设g(x)=2x 3+x 2−a ，求出g(x)的导数，分析可得g(x)在(12,+∞)上为增函数，据此可得g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查利用导数分析函数单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题． 5.答案：B解析：解：若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数， ①当k =3时，f(x)=6x +1，显然f(x)在(−∞,0]上为增函数，②当k ≠3时，由f(x)在(−∞,0]上为增函数，有{k −3<0−2k 2(k−3)≥0，∴{k <30≤k <3，∴0≤k <3，∴k 的取值范围为[0,3]．故选：B ．利用函数图象与单调性的关系，结合二次函数的图象分析开口方向即可．本题考查函数的图象与性质的应用，一元二次函数单调性问题一定要结合图象，考虑图象开口方向，体现数形结合和分类讨论的思想． 6.答案：D解析：解：∵0=log 51<log 52<log 55=1，log 0.50.2>log 0.50.5=1，0<ln2<1，ln(ln2)<0， ∴c <a 1，ln(ln2)<0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题，由p ：函数f(x)=x 2+mx +1有两个零点，得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2．由q ：∀x ∈R ，4x 2+4(m −2)x +1>0 得△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，当p 真q 假时，有{m >2或m <−2m ≥3或m ≤1即m ≥3或m <−2 当p 假q 真，有{−2≤m ≤21<m <3即1<m ≤2∴实数m 的取值范围为(−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞)．故选：B ．由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2.由q ，得△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，分两种情况求出实数m 的取值范围．本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用． 8.答案：B解析：解：∵x 2−4ax −5a 2>0 ∴(x +a)(x −5a)>0，等价于{x +a >0x −5a >0或{x +a <0x −5a <0又∵a <0∴x <5a 或x >−a 故选：B ．写出等价不等式组，根据a <0，解不等式组即可本题考查一元二次不等式的解法，注意等价关系．属简单题 9.答案：[−3,2]解析：解：不等式−x 2−x +6≥0可化为x 2+x −6≤0，即(x +3)(x −2)≤0，解得−3≤x ≤2，所以不等式的解集为[−3,2]．故答案为：[−3,2]．把不等式化为一般形式，再求解即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 10.答案：(−∞,0]解析：解：画出函数函数y =−x 2的草图；如图所示；易知，函数y =−x 2的单调递增区间为(−∞,0]，故答案为(−∞,0]画出函数y =−x 2的图象，由图象容易得到解答．本题考查了一元二次函数的图象和性质． 11.答案：{x|−1≤x ≤3}解析：解：函数f(x)={1x,x >03x,x ≤0，则不等式f(x)≥13，即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，解①求得0<x ≤3；解②求得−1≤x ≤0，故原不等式的解集为{x|−1≤x ≤3}，故答案为：{x|−1≤x ≤3}．由题意原不等式即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，指数不等式、分式不等式的应用，属于基础题．12.答案：14解析：解：∵函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，∴m +1>0，解得m >−1．①当a >1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递增，由已知可得{log a 2=1log a 14=m，解得{a =2m =−2，与m >−1矛盾，故应舍去；②当0<a <1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递减，由已知可得{log a 14=1log a 2=m，解得{a =14m =−12，满足m >−1，故a =14．故答案为14．利用二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论即可得出．熟练掌握二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论的方法是解题的关键． 13.答案：−1<a ≤0解析：解：a =0时，不等式ax 2+2ax −1<0化为−1<0，解集为R ； a ≠0时，不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时，应满足{a <0△=4a 2−4a ×(−1)<0，解得−1<a <0；所以实数a 的取值范围是−1<a ≤0．故答案为：−1<a ≤0．讨论a =0和a ≠0时，求出不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 14.答案：x >3或x <−1解析：解：若不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立则m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．令f(m)=m(x −1)+x 2−4x +3．则{f(0)>0f(4)>0⇒{x 2−4x +3>0x 2−1>0⇒{x <1或x >3x <−1或x >1.∴x <−1或x >3．故答案为：x >3或x <−1由对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，可变形为m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．由于该函数为关于m 的一次函数估可转化为{f(0)>0f(4)>0,即{x 2−4x +3>0x 2−1>0，解不等式组，即可得到结论．解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．15.答案：[−1,103]解析：解：不等式3x 2−7x ≤10可化为3x 2−7x −10≤0，即(x +1)(3x −10)≤0，解得−1≤x ≤103；所以不等式的解集为[−1,103]. 故答案为：[−1,103].不等式化为3x 2−7x −10≤0，求出不等式的解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 16.答案：(−3,2)解析：解：∵函数y =√6−x −x 2， ∴6−x −x 2≥0，即x 2+x −6≤0； ∴(x +3)(x −2)≤0，解得−3≤x ≤2，∴函数y 的定义域是(−3,2)．故答案为：(−3,2)．根据函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的问题，解题时应化为求一元二次不等式的解集的问题，是基础题．17.答案：解；不等式x 2+2x−3−x 2+x+6<0可化为x 2+2x−3x 2−x−6>0，即(x+3)(x−1)(x+2)(x−3)>0，各因式对应的一次方程的实数根为−3，−2，1和3，如图，由图可知，该不等式的解集为(−∞,−3)∪(−2,1)∪(3,+∞)．解析：把不等式化为几个一次因式的积(或商)的形式，求出各因式对应方程的实数根，然后利用数轴标根法求出不等式的解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．18.答案：解：(1)由x>−1可得x+1>0，故x2+6x+9x+1≥9可得，x2+6x+9≥9x+9，解可得，−1<x≤0或x≥3，故原不等式的解集(−1,0]∪[3,+∞)，(2)由x>−1可得x+1>0，由基本不等式可得，f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4，≥2√(x+1)⋅4x+1+4=8，当且仅当x+1=4x+1集集x=1时取等号，因此函数f(x)取得最小值8．解析：(1)由已知把分式不等式可转化为二次不等式，即可进行求解；(2)由f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题．19.答案：解：(1)证明：由题意可得f(2)≥2，且f(2)≤18(2+2)2=2，即有f(2)=2；(2)由f(−2)=0，可得4a−2b+c=0，f(2)=2，即为4a+2b+c=2，两式相减可得，b=12，4a+c=1即c=1−4a，f(x)=ax2+12x+1−4a，对任意实数x，都有f(x)≥x，即为ax2−12x+1−4a≥0恒成立，即有a>0，△=14−4a(1−4a)≤0，即有(8a−1)2≤0，即有a=18，c=12，则f(x)=18x2+12x+12；(3)g(x)=f(x)−mx2=18(x+2)2−mx2，当x=0时，g(0)=12>14成立；当x>0时，18(x+2)2−mx2>14，即有4m<x2+4x+2x =x+2x+4，由x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2，当且仅当x =√2时，取得最小值．即有4m <2√2+4，解得m <1+√22．综上可得，m 的范围是(−∞,1+√22).解析：(1)令x =2，求得f(2)≥2，且f(2)≤2，即可得证；(2)由f(−2)=0，f(2)=2，求得b =12，4a +c =1即c =1−4a ，再由二次不等式恒成立的条件为a >0，判别式非正，即可得到a ，c ，进而得到解析式； (3)g(x)=f(x)−mx 2=18(x +2)2−mx 2，讨论x =0，x >0，不等式恒成立，注意运用参数分离和基本不等式求得最小值，即可得到m 的范围．本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用二次不等式恒成立的条件，同时考查不等式恒成立的解法，注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．20.答案：解：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1或x >b}知， 1和b 是方程ax 2−3x +6=4的两个实数根，且a >0，b >1，又方程可化为ax 2−3x +2=0，所以由根与系的关系得{1+b =3a1×b =2a ，解得a =1，b =2；(2)由(1)，知a =1且b =2，则不等式(x −m)(ax −b)<0可化为(x −m)(x −2)<0； ①当m >2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|2<x <m}； ②当m <2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|m <x <2}； ③当m =2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为⌀．解析：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集得出对应方程的根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值； (2)将a =1且b =2代入不等式(x −m)(ax −b)<0中，可得(x −m)(x −2)<0，然后讨论m 的取值，求出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了运算与转化能力，是基础题．。

高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第13练函数与方程练习

第13练函数与方程[基础保分练]1．(2019·甘肃省酒泉市敦煌中学模拟)方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(5,6) D ．(6,7)2．函数f (x )＝sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]4．设f (x )是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根5．若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x －，x >2，10|x －1|，x ≤2，若f (x )－b ＝0有三个不等实根，则b 的取值范围是( )A ．(0,10] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤110，10C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10D ．(1,10] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x <0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是( ) A ．－12＋ 3B.12＋ 3 C ．－1＋32D ．1＋328．(2019·甘肃省酒泉市敦煌中学模拟)在函数f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝2x，f 4(x )＝12log x 四个函数中，当x 2>x 1>1时，使12[f (x 1)＋f (x 2)]<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立的函数是( )A ．f 1(x )＝12x B ．f 2(x )＝x 2C ．f 3(x )＝2xD ．f 4(x )＝12log x9．(2019·安徽省肥东县高级中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ax 2＋x ，x <0，其中a >0，若函数y ＝f (x )的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________． [能力提升练]1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{－2－7，1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{1,3}D ．{2－7，1,3}2．(2018·长春质检)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin(πx )，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4B ．8C ．12D ．163．(2019·云南省曲靖市第一中学模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，－2<x ≤0，f x －，x >0，则方程f (x )－13x ＝0的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－94且斜率为k 的直线与f (x )在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1312B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1312C ．[2,3]D ．(2,3) 5．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[2.7]＝2，[－1.3]＝－2，则函数f (x )＝ln(x ＋1)－[x ]的所有零点之和为________． 6．已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若满足不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．答案精析基础保分练1．C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.A 9.(0,1)10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 解析 ∵f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a 在(－∞，0)上单调递减，y ＝log a (x ＋1)＋1在(0，＋∞)上单调递减，且f (x )在(－∞，0)上的最小值大于或等于f (0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解得13≤a ≤34.作出y ＝|f (x )|和y ＝2－x3的函数草图如图所示．由图象可知|f (x )|＝2－x3在[0，＋∞)上有且只有一解，∵|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，∴x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x3在(－∞，0)上只有1解，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4a －83x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上只有1解，∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －832－a －＝0，－4a －832<0或⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫4a －832－a －，3a －2<0，解得a ＝5136或a <23，又13≤a ≤34，∴13≤a <23. 能力提升练1．A [∵f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋3x ＝－f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0，∵g (x )＝f (x )－x ＋3，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，令g (x )＝0，当x ≥0时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3；当x <0时，－x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7或x ＝－2＋7(舍去)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}，故选A.]2．D [F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，画出函数g (x )，f (x )的图象，函数g (x )，f (x )的图象关于(2,1)点对称，则F (x )共有8个零点，其和为16，故选D.]3．B [由题意知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≤0，f x －，x >0，作出函数f (x )的图象，如图所示，又由方程f (x )－13x ＝0的根的个数转化为y ＝f (x )和y ＝13x 的图象的交点个数，结合图象可知，函数y ＝f (x )和y ＝13x 的图象有三个交点，即方程f (x )－13x ＝0有三个实数解，故选B.]4．A [∵f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )， ∴f (－x )＝f (2－x )，即f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为T ＝2. 由x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，故f (－x )＝f (x )＝x 2，因此当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.结合函数f (x )的周期性，画出函数f (x )(x ∈[0,4])的图象如图所示．又过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－94且斜率为k 的直线方程为y ＝kx －94. 结合图象可得，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2与y ＝kx －94联立消去y 整理得x 2－kx ＋94＝0，由Δ＝k 2－9＝0，得k ＝3或k ＝－3(舍去)，此时x 切＝k 2＝32∉[0,1]，故不可能有三个交点；当x ∈[2,3]时，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－94与点(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y ＝f (x )有两个交点，又f (x )＝(x －2)2，若与y ＝kx －94相切，将两式联立消去y 整理得x 2－(k ＋4)x ＋254＝0，由Δ＝(k ＋4)2－25＝0，得k ＝1或k ＝－9(舍去)，此时x 切＝k ＋42＝52∈[2,3]，所以当1<k <1312时有三个交点．综上可得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1312.]5．e ＋1e－2解析由题意可知x －1<[x ]≤x ，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，令g (x )＝ln(x ＋1)－(x －1)(x ≥3)，有g ′(x )＝1x ＋1－1<0，所以g (x )在[3，＋∞)上单调递减，有g (x )≤g (3)＝ln4－2<0，所以f (x )＝ln(x ＋1)－[x ]在[3，＋∞)上无零点，只需考虑⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <0，x ＋＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <1，x ＋＝0，⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x ＋＝1，⎩⎪⎨⎪⎧2≤x <3，x ＋＝2，可得三个零点分别为1e －1，e －1,0，故答案为e ＋1e－2.6.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >－14或a ≤－2解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，f (x )≥g (x )，由f (x )≥g (x )，得2x －1＋a ≥b (2－x＋a )，即22x －1＋a ·2x≥b (1＋a ·2x)，令t ＝2x(t >0)，则12t 2＋a (1－b )t －b ≥0，由题意知t 1＝4是方程12t 2＋a (1－b )t －b ＝0的解，∴8＋4a (1－b )－b ＝0，得b ＝4a ＋84a ＋1，又t 1·t 2＝－2b ，∴t 2＝－b2≤0，即b ＝4a ＋84a ＋1≥0，解得a >－14或a ≤－2，1 4或a≤－2.故实数a的取值范围是a>－。

高考数学复习函数与方程专项练习题(含答案)

2019-2019高考数学复习函数与方程专项练习题（含答案）用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。

以下是函数与方程专项练习题，请考生及时练习。

一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.方程x- =0的实数解所在的区间是()A.(-,-1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(1,+)解析:令f(x)=x- ,则f(1)=0,f(-1)=0,只有B合适.答案:B2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除AB,因为AB不符合f(a)f(b)0.答案:C3.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是()A.0,2B.0,C.0, -D.2,-解析:由ax+b=0的根为2,得2a+b=0,b=-2a,则方程bx2-ax=0变为2ax2+ax=0.∵a0,2x2+x=0,x1=0,x2=-.答案:C4.(2019合肥模拟)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是()解析:设f(x)=x2+ax-2,∵f(0)=-20,由x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)0且f(5)0即可,解得- 1.答案:C5.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:x123456y-52812-5-10则函数y=f(x)在x[1,6]上的零点至少有()A.5个B.4个C.3个D.2个解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点.答案:D6.(2019浙江)已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0,f(x2)0C.f(x1)0,f(x2)0D.f(x1)0,f(x2)0解析:由于函数g(x)= 在(1,+)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+)上只有惟一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)0,在(x0,+)上f(x)0,故选B.答案:B二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)0的解集是________.解析:由于f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此 ,因此f(x)=x2-x-6,所以不等式af(-2x)0即-(4x2+2x-6)0,即2x2+x-30,解集为{x|-答案:{x|-8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?答案:49.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.解析:由题意知x0,∵xlg(x+2)=1,lg(x+2)= ,画出y=lg(x+2),y= 的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.答案:210.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a2,即a 的最小值为2.答案:2三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若ac且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;(2)若对x1、x2R且x1证明:(1)∵f(1)=0,a+b+c=0.又∵ac,a0,即ac0.又∵=b2-4ac0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,所以函数f(x)有两个零点.(2)令g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]∵f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)0.g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.12.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围. 解:依题意,方程22x+2xa+a+1=0有实数根.令2x=t(t0),则t2+at+a+1=0,13.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,m=4或m=-1.②解法一:设f(x)的两个零点分别为x1,x2.则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4.由题意,知-5故m的取值范围为(-5,-1).解法二:由题意,知-5m的取值范围为(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当04,即-4故a的取值范围为(-4,0).函数与方程专项练习题及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得更优异的成绩。

函数与方程的练习题

函数与方程的练习题函数与方程的练习题函数与方程是数学中非常重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数与方程的性质和运用。

本文将介绍一些常见的函数与方程的练习题，帮助读者更好地学习和应用这些概念。

一、函数的练习题1. 设函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。

解析：将 x = 4 代入函数 f(x) = 2x + 3，得到 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。

所以f(4) 的值为 11。

2. 已知函数 g(x) = x^2 - 4x + 4，求 g(2) 的值。

解析：将 x = 2 代入函数 g(x) = x^2 - 4x + 4，得到 g(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 -8 + 4 = 0。

所以 g(2) 的值为 0。

3. 设函数 h(x) = |x - 2|，求 h(3) 的值。

解析：将 x = 3 代入函数 h(x) = |x - 2|，得到 h(3) = |3 - 2| = 1。

所以 h(3) 的值为 1。

二、方程的练习题1. 求解方程 2x + 3 = 7。

解析：将方程 2x + 3 = 7 移项，得到 2x = 7 - 3 = 4。

再将 x 的系数化为 1，得到 x = 4/2 = 2。

所以方程 2x + 3 = 7 的解为 x = 2。

2. 求解方程 x^2 - 4x + 4 = 0。

解析：观察方程 x^2 - 4x + 4 = 0，发现它可以写成 (x - 2)^2 = 0。

根据平方根的性质，得到 x - 2 = 0，即 x = 2。

所以方程 x^2 - 4x + 4 = 0 的解为 x = 2。

3. 求解方程 |x - 2| = 3。

解析：根据绝对值的定义，方程 |x - 2| = 3 可以拆分为两个方程：x - 2 = 3 和 x - 2 = -3。

解得 x = 5 和 x = -1。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习13 幂函数

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题13 幂函数题型一幂函数的定义域和值域1．函数()()123421x x y +=-的定义域为__________．【答案】[)2,1-【解析】函数解析式为()()123421y x x ==-+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩，解得21x .因此，函数()()123421x x y +=-的定义域为[)2,1-.故答案为：[)2,1-.2．讨论函数23y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数23y x ==R=，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增.3．已知幂函数()()21*m mfx xx N +=∈.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析:（1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则：()f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：()122m m -+=求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去），则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312a ≤＜．4．已知幂函数f (x )=(m -1)22-42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k .（1）求实数m 的值；（2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围.【答案】（1）m =0；（2）[0，1].【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2.当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m =0.（2）由（1）可知f (x )=x 2，当x ∈(1，2]时，函数f (x )和g (x )均单调递增. ∴集合A =(1，4]，B =(2-k ，4-k ]. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .∴2-14- 4.k k ≥⎧⎨≤⎩，∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0，1].5．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0；（2）[]0,1【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴()211m -=，∴0m =或2.当0m =时，()2f x x =在()0,∞+上单调递增，满足题意.当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去.∴0m =.（2）由（1）知，()2f x x =.∵()f x 在[]1,2上单调递增，∴[]1,4A =.∵[]2,4B k k =--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴21,44,k k -≥⎧⎨-≤⎩解得01k ≤≤.故实数k 的取值范围为[]0,1. 题型二幂函数的图像问题1．函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，()12f x x-==，所以函数的定义域为{}0x x >，因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数，故选：A ．2．下列结论正确的是（） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数【答案】D【解析】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确. 故选：D.3．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（）A ．0<1mn 【答案】ABC【解析】图象在(1,1)右侧上升但上升幅度比y x =小，01mn<<，A 正确；图象关于y 轴对称，函数为偶函数，m 是偶数，n 是奇数，B 正确；则C 也正确，D 错误．故选：ABC ．4．函数()()110y x αα=-+<恒过定点______．【答案】()2,2【解析】当11x -=，即2x =时，2y =，∴函数恒过定点()2,2. 故答案为：()2,2.5．在同一平面直角坐标系中画出函数()f x ()1g x x =-的图象，并利用图象求不等1x >-的解集．【答案】作图见解析；0⎡⎢⎣⎭．【解析】由题意，函数()f x ()1g x x =-，画出图象，如图所示：1x =-，解得x =1x >-的解集0⎡⎢⎣⎭．6．已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N ∈，∴1m =.即12()f x x =，其定义域为0x ≥，且在定义域上函数为增函数， ∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a ≤-<-，解得312a ≤<. 题型三幂函数的单调性及应用1．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ） C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】设幂函数y =f （x ）=x α，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得12α=，∴f （x ）=12x ，∵0<a >>>>，∴f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故选A ．2．幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．【答案】3【解析】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3.3．若幂函数()2222m y m m x -+=--在()0∞，+上为减函数，求实数m 的值；【答案】3m =【解析】因为函数为幂函数，则2221m m --=，得1m =-或3m =，当3m =时，1y x -=；当1m =-时，3y x =. 又函数在()0∞，+上为减函数，所以3m =.4．已知2()f x x =(0x ≠)，2()g x x -=，若定义(),()(),()(),()(),f x f xg xh x g x f x g x ⎧=⎨>⎩求函数()h x 的最大值及单调区间.【答案】1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.【解析】由题意，得22,11,(),1001,x x x h x x x x -⎧-=⎨-<<<⎩或或根据题中图象可知函数()h x 的最大值为1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.5．已知幂函数223()(22,)m m f x x m m z --+=-<<∈满足：（1）在区间()0,∞+上为增函数（2）对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=，求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域．【答案】()4f x x =；值域是[]0,256．【解析】因为函数在()0,∞+上递增，所以2230m m --+>，解得31m -<<，因为22m -<<，m Z ∈，所以，1m =-，或0m =．又因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以223m m --+为偶数．当1m =-时，2234m m --+=满足题意；当0m =时，2233m m --+=不满足题意，所以()4f x x =,又因为()4f x x =在[]0,4上递增．所以()()min 00f x f ==，()()max 4256f x f ==，故函数的值域是[]0,256 ．题型四幂函数的奇偶性及应用1．设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（） A ．1,3-B ．1,1- C ．1,3D ．1,1,3- 【答案】C【解析】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2y x ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意. 故选：C.2．已知幂函数()y f x =的图象过(2,2，则下列结论正确的是（）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数【答案】B【解析】设幂函数f （x ）＝x α，因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎛ ⎝⎭，所以1222a-==，解得12a =-，所以()12f x x -=，所以y ＝f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A 错误；B 正确，因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C ，D 错误，故选：B ．3．已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【答案】（1）0m =；（2）112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．4．已知幂函数21322()()p p f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式.（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；（2）存在，130-. 【解析】（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<.又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件.。

中考数学总复习考点知识专题练习13 二次函数 (解析版)

中考数学总复习考点知识专题练习专题13 二次函数一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2021·山东菏泽市·中考真题）一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y 轴的关系即可得出a 、b 的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：A 、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A 错误；B 、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B 正确；C 、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C 错误；D 、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a ＜0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D 错误．故选：B ．2．（2021·四川达州市·中考真题）如图，直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++交于A 、B 两点，则2()y ax b k x c =+-+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题目所给的图像，首先判断1y kx =中k ＞0，其次判断22y ax bx c =++中a ＜0，b ＜0，c ＜0，再根据k 、b 、的符号判断2()y ax b k x c =+-+中b-k ＜0，又a ＜0，c ＜0可判断出图像．【详解】解：由题图像得1y kx =中k ＞0，22y ax bx c =++中a ＜0，b ＜0，c ＜0， ∴b-k ＜0，∴函数2()y ax b k x c =+-+对称轴x=2b ka--＜0，交x 轴于负半轴， ∴当12y y =时，即2kx ax bx c =++，移项得方程2()0ax b k x c +-+=，∵直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++有两个交点，∴方程2()0ax b k x c +-+=有两个不等的解，即2()y ax b k x c =+-+与x 轴有两个交点，根据函数2()y ax b k x c =+-+对称轴交x 轴负半轴且函数图像与x 轴有两个交点， ∴可判断B 正确．故选：B3．（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．【详解】解：2221(1)(1)()24m m y x m x m x m --=--+=-+-，∴该抛物线顶点坐标是1(2m -，2(1))4m m --， ∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是1(2m -，2(1)3)4m m ---， 1m >，10m ∴->，∴102m ->， 2222(1)4(21)12(3)4(3)3104444m m m m m m m ---+-------===--<，∴点1(2m -，2(1)3)4m m ---在第四象限；故选：D ．4．（2021·新疆中考真题）二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则一次函数y ax b =+和反比例函数y cx=在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口向上得到a ＞0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线2bx a=-＞0，∴b ＜0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y=ax+b 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交，反比例函数y cx=图象在第一、三象限， ∴只有D 选项的图像符合题意；故选：D ．5．（2021·湖北黄石市·中考真题）若二次函数22y a x bx c =--的图象，过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -、()6,1C n +、)12,Dy 、()22,E y 、()34,F y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．231y y y <<D ．213y y y << 【答案】D 【分析】根据题意，把A 、B 、C 三点代入解析式，求出213425942a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．【详解】解：根据题意，把点()1,A n -、()5,1B n -、()6,1C n +代入22y a x bx c =--，则22225513661a b c na b c n a b c n ⎧+-=⎪--=-⎨⎪--=+⎩，消去c ，则得到2224613571a b a b ⎧-=-⎨-=⎩，解得：213425942a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的对称轴为：25959422622642b x a-=-==，∵2x =与对称轴的距离最近；4x =与对称轴的距离最远；抛物线开口向上， ∴213y y y <<；故选：D ．6．（2021·天津中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0,1a c ≠>）经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．有下列结论： ①0abc >；②关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中，正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【分析】根据对称轴和抛物线与x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式240b ac ->，即可判断②；根据1c >以及c=-2a ，即可判断③．【详解】∵抛物线2y ax bx c =++经过点()2,0，对称轴是直线12x =， ∴抛物线经过点(1,0)-，b=-a当x= -1时，0=a-b+c ，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c ， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c ＞1， ∴abc ＜0，由此①是错误的，∵222224=4(2)890b ac a a a a a a ---=+=>，而0a ≠∴关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根，②正确；∵1c >，c=-2a>1， ∴12a <-，③正确故选：C.7．（2021·山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度()h m 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，()0/v m s是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（） A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m 【答案】C【分析】将0h =1.5，0v =20代入2005h t v t h =-++，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．【详解】解：依题意得：0h =1.5，0v =20，把0h =1.5，0v =20代入2005h t v t h =-++得2520 1.5=-++h t t当()20t 225=-=⨯-时，54202 1.5=21.5=-⨯+⨯+h故小球达到的离地面的最大高度为：21.5m 故选：C8．（2021·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的对称轴是直线1x =，则以下四个结论中：①0abc >，②20a b +=，③244+<a b ac ，④30a c +<．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【分析】由开口方向，对称轴方程，与y 轴的交点坐标判断,,a b c 的符号，从而可判断①②，利用与y 轴的交点位置得到c ＞1，结合a ＜0,可判断③，利用当1,,x y a b c =-=-+结合图像与对称轴可判断④．【详解】解：由函数图像的开口向下得a ＜0, 由对称轴为12bx a=-=＞0,所以b ＞0, 由函数与y 轴交于正半轴，所以c ＞0,abc ∴＜0,故①错误；12bx a=-=， 2,b a ∴-=20,a b ∴+=故②正确；由交点位置可得：c ＞1，a ＜0, c ∴＞1a +，4ac ∴＜244,a a +222,4,b a b a =-∴=4ac ∴＜24,a b +故③错误；由图像知：当1,,x y a b c =-=-+ 此时点()1,a b c --+在第三象限，a b c ∴-+＜0,2,b a =-3a c ∴+＜0,故④正确；综上：正确的有：②④，故选B ．9．（2021·浙江杭州市·中考真题）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（） A ．若h ＝4，则a ＜0B ．若h ＝5，则a ＞0 C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞0 【答案】C 【分析】当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式整理得a （9﹣2h ）＝1，将h 的值分别代入即可得出结果．【详解】解：当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式得：221(1)8(8)a h k a h k ⎧=-+⎨=-+⎩， ∴a （8﹣h ）2﹣a （1﹣h ）2＝7，整理得：a （9﹣2h ）＝1，若h ＝4，则a ＝1，故A 错误；若h ＝5，则a ＝﹣1，故B 错误；若h ＝6，则a ＝﹣13，故C 正确；若h ＝7，则a ＝﹣15，故D 错误；故选：C ．10．（2021·湖北襄阳市·中考真题）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①0ac <；②30a c +=；③240ac b -<；④当1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据抛物线的开口向上，得到a ＞0，由于抛物线与y 轴交于负半轴，得到c ＜0，于是得到ac ＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x ＝−12ba=，于是得到2a ＋b ＝0，当x=-1时，得到30a c +=故②正确；把x ＝2代入函数解析式得到4a ＋2b ＋c ＜0，故③错误；抛物线与x 轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x ＞1时，y 随着x 的增大而增大，故④错误．【详解】解：①∵抛物线开口向上与y 轴交于负半轴， ∴a ＞0,c ＜0 ∴ac ＜0 故①正确；②∵抛物线的对称轴是x=1， ∴12ba-= ∴b=-2a∵当x=-1时，y=0 ∴0=a-b+c故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程2=++有两个不相等的实数解0ax bx c∴240->b ac∴2-<40ac b故③正确；④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．故④错误所以正确的答案有①、②、③共3个故选：B二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜x＜1【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y ＜0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．12．（2021·江苏淮安市·中考真题）二次函数223y x x =--+的图像的顶点坐标是_________．【答案】(-1,4)【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵223y x x =--+=-(x+1)2+4，∴顶点坐标为(-1,4)．故答案为(-1,4)．13．（2021·辽宁朝阳市·中考真题）抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点，则k 的取值范围是___________________．【答案】54k且1k ≠ 【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合10k -≠，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点，∴2(1)4(1)10k ∆=--⨯-⨯≥，∴54k ≤，又∵10k -≠，∴k 的取值范围是54k且1k ≠；故答案为：54k 且1k ≠． 14．（2021·江苏连云港市·中考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．【答案】3.75 【分析】根据二次函数的对称轴公式2b x a =-直接计算即可．【详解】解：∵20.2 1.52y x x =-+-的对称轴为()1.5 3.75220.2b x a =-=-=⨯-（min ），故：最佳加工时间为3.75min ，故答案为：3.75．15．（2021·山东青岛市·中考真题）抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与x 轴交点的个数是__________．【答案】2【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可．【详解】解：∵∆=4(k -1)2+8k=4k 2+4>0，∴抛物线与x 轴有2个交点．故答案为：2．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2021·甘肃兰州市·中考真题）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天≤≤且x为整数)的销售量为y件．(1x30()1直接写出y与x的函数关系式；()2设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？=+；()2第20天的利润最大，最大利润是3200元．【答案】()1?y2x40【分析】(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．【详解】()1由题意可知y2x40=+；()2根据题意可得：()()=---+，w145x8052x4022x80x2400=-++，2=--+，2(x20)3200a20=-<，∴函数有最大值，∴当x 20=时，w 有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．17．（2021·山东临沂市·中考真题）已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围．【答案】（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∵22232y ax ax a =--+，∴22(1)32y a x a a =---+，∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∵抛物线顶点在x 轴上，∴2230a a --=，解得：32a =或1a =-，当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+，当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-，综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-．（3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =，∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -，当a ＞0时，若12y y <，则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <，则m ＜-1或m ＞3.18．（2021·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，且28OA OC OB ==，点P 是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若//PC AB ，求点P 的坐标；（3）连接AC ，求PAC ∆面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）2722y x x =+-；（2）（72-，2-）；（3）PAC ∆面积的最大值是8；点P 的坐标为（2-，5-）．【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C 的坐标，然后得到点A 、点B 的坐标，再求出解析式即可；（2）由//PC AB ，则点P 的纵坐标为2-，代入解析式，即可求出点P 的坐标；（3）先求出直线AC 的解析式，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ，则12PAC S PD OA ∆=•，设点P 为（x ，2722x x +-），则点D 为（x ，122x --），求出PD 的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）在抛物线22y ax bx =+-中，令0x =，则2y =-，∴点C 的坐标为（0，2-），∴OC=2，∵28OA OC OB ==，∴4OA =，12OB =， ∴点A 为（4-，0），点B 为（12，0），则把点A 、B 代入解析式，得16420112042a b a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得：172a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴2722y x x =+-；（2）由题意，∵//PC AB ，点C 为（0，2-），∴点P 的纵坐标为2-，令2y =-，则27222x x +-=-，解得：172x ，20x =， ∴点P 的坐标为（72-，2-）；（3）设直线AC 的解析式为y mx n =+，则把点A 、C 代入，得402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AC 的解析式为122y x =--；过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ，如图：设点P 为（x ，2722x x +-），则点D 为（x ，122x --）， ∴22172(2)422PD x x x x x =---+-=--， ∵OA=4，∴2211(4)42822APC S PD OA x x x x ∆=•=⨯--⨯=--， ∴22(2)8APC S x ∆=-++，∴当2x =-时，APC S ∆取最大值8；∴22772(2)(2)2522x x +-=-+⨯--=-， ∴点P 的坐标为（2-，5-）．19．（2021·安徽中考真题）在平而直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,A B C 三点中的两点．()1判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；()2求,a b 的值；()3平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【答案】（1）点B 在直线y x m =+上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）54 【分析】（1）先将A 代入y x m =+，求出直线解析式，然后将将B 代入看式子能否成立即可；（2）先跟抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A ，C 两点，然后将A ，C 两点坐标代入21y ax bx =++得出关于a ，b 的二元一次方程组；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，根据顶点在直线1y x 上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h 2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．【详解】（1）点B 在直线y x m =+上，理由如下：将A （1，2）代入y x m =+得21m =+，解得m=1，∴直线解析式为1y x ，将B （2，3）代入1y x ，式子成立，∴点B 在直线y x m =+上；（2）∵抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A ，C 两点，将A ，C 两点坐标代入21y ax bx =++得124211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，∵顶点在直线1y x 上， ∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h 2+h+1，∵-h 2+h+1=-（h-12）2+54， ∴当h=12时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值54． 20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？21 / 21 【答案】（1）2180y x =+﹣；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2180k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+；（2）由题意得：()()502180600x x --+=，整理得214048000x x -+=：，解得126080x x ==，，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()502180w x x =--+22(70)800x =-+﹣，∵﹣2＜0，∴当70x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．。

2021年江西省中考数学复习第13讲二次函数的图象及性质(精选练习)

第13讲二次函数的图象及性质一、选择题1．(2020·大连)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴是直线x ＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( B )A ．(72 ，0)B ．(3，0)C ．(52，0) D ．(2，0) 2．(2020·温州)已知(－3，y 1)，(－2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y ＝－3x 2－12x ＋m 上的点，则( B )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 23．(2020·菏泽)一次函数y ＝a c x ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )4．(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3).若抛物线y ＝ax 2的图象与正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( A )A .19 ≤a ≤3B ．19≤a ≤1 C ．13 ≤a ≤3 D ．13≤a ≤1 5．(2020·呼和浩特)关于二次函数y ＝14x 2－6x ＋a ＋27，下列说法错误的是( C ) A ．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4，5)，则a ＝－5B ．当x ＝12时，y 有最小值a －9C ．x ＝2对应的函数值比最小值大7D ．当a ＜0时，图象与x 轴有两个不同的交点（第4题图）（第6题图）6．(2020·广东)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①ab c ＞0；②b 2－4a c ＞0；③8a ＋c ＜0；④5a ＋b ＋2c ＞0，正确的有( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题7．若函数y ＝(1－m)x m 2－2＋2是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为__－2__． 8．(2020·牡丹江)将抛物线y ＝ax 2＋bx －1向上平移3个单位长度后，经过点(－2，5)，则8a －4b －11的值是__－5__．9．(2020·南京)下列关于二次函数y ＝－(x －m)2＋m 2＋1(m 为常数)的结论：①该函数的图象与函数y ＝－x 2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2＋1的图象上．其中所有正确结论的序号是__①②④__．10．(2020·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，2)，点B 的坐标为(4，2).若抛物线y ＝－32 (x －h)2＋k(h ，k 为常数)与线段AB 交于C ，D 两点，且CD ＝12AB ，则k 的值为__72__．三、解答题11．(2020·江西丰城模拟)抛物线C 1：y 1＝(x 2－1)－2t(x －1)(t ≠1)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧).(1)若t ＝－2，求线段AB 的长；(2)猜想：随着t 的变化，抛物线C 1是否会经过一定点？若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；(3)若t ＞1，将抛物线C 1经过适当平移后，得到抛物线C 2：y 2＝(x －t)2＋t －1，A ，B 的对应点分别为D(m ，n)，E(m ＋2，n)；①求抛物线C 2的解析式；②将抛物线C 2位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折，连同C 2在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线y ＝－12x ＋b (b ＜3)与图形G 有且只有两个公共点，求b 的取值范围．解：(1)令y 1＝0，解得：x ＝1或2t －1，t ＝－2，则x ＝1或－5，∴AB ＝1－(2t －1)＝2－2t ＝6；(2)当x ＝1时，y 1＝0，∴过定点(1，0)；(3)①t ＞1时，点A ，B 的坐标分别为：(1，0)，(2t －1，0)，AB ＝DE ，即2t －1－1＝m ＋2－m ＝2，解得：t ＝2，∴点B(3，0)，抛物线C 2的解析式为：y 2＝(x －2)2＋1；②将点D ，E 的坐标代入抛物线表达式得：n ＝(m －2)2＋1＝(m ＋2－2)2＋1，解得：m＝1，∴点D ，E 的坐标为：(1，2)，(3，2)；图象G 如图所示，当直线过点D 时，2＝－12×1＋b ，解得：b ＝52 ，同理直线过点E 时，b ＝72 ，而b ＜3.∴52＜b ＜3.12．(2020·江西上饶模拟)如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点C(0，－2)，顶点D 的坐标为(1，－83)，与x 轴交于A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB 的值．解：(1)由题意可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，a －2a ＋c ＝－83，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝－2.∴抛物线解析式为：y ＝23 x 2－43x －2； (2)连结BE ，由(1)知，抛物线解析式为：y ＝23 x 2－43x －2，可求得A(－1，0)，B(3，0)，∴AB ＝4，∵∠AOC ＝90°，∴AC ＝ 5 ，设直线AC 的解析式为：y ＝k x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝－2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－2. ∴直线AC 的解析式为：y ＝－2x －2；当△AOC ∽△AEB 时，S △AOC S △AEB＝(AC AB )2＝(54 )2＝516 ，∵S △AOC ＝1，∴S △AEB ＝165 ，∴12 AB ×|y E |＝165 ，AB ＝4，则y E ＝－85 ，则点E(－15 ，－85 )；由△AOC ∽△AEB 得：AO AC ＝AE AB ＝15，∴AE AB ＝55 .13．(2020·江西模拟)如图，抛物线y ＝－38 x 2＋34x ＋3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，点P 为抛物线对称轴上一点．则△APC 的周长最小值是__13 ＋5__．14．(2020·江西一模)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与y 轴相交于点A.y 与x 的部分对应值如下表(m x 0 m 2y －3 －4 －3(1)直接写出m 的值和点(2)求出二次函数的关系式；(3)过点A 作直线l ∥x 轴，将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线y ＝x ＋n 与新图象只有一个公共点P 是(s ，t)且t ≤5时，求n 的取值范围．解：(1)根据抛物线的轴对称性可知：m ＝1，由表格知，图象过(0，－3)∵图象与y 轴相交于A 点，∴A(0，－3)；(2)∵抛物线的顶点坐标为(1，－4)，∴设抛物线的关系式为：y ＝a (x －1)2－4，抛物线y 轴相交于A(0，－3)，∴a －4＝－3，解得，a ＝1，∴二次函数的关系式为：y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3；(3)新图象如图所示，①当y ＝x ＋n 与y ＝x 2－2x －3交于点(0，－3)时，n ＝－3，当y ＝x ＋n 与y ＝x 2－2x －3交于(s ，t)，t ＝5时，s 2－2s －3＝5，解得，s ＝－2(交点在y 轴右边，舍去)，或s ＝4，∴y ＝x ＋n 与新图象交于(4，5)，则5＝4＋n ，∴n ＝1，∴当直线y ＝x ＋n 与新图象只有一个公共点P 是(s ，t)且t ≤5时，－3＜n ≤1；②当y ＝x ＋n 与y ＝x 2－2x －3只有一个交点时，则x 2－2x －3＝x ＋n ，即x 2－3x －3－n＝0，∴Δ＝9－4(－3－n)＝0，∴n ＝－214，∴当直线y ＝x ＋n 与新图象只有一个公共点时，n ＜－214 综上，n 的取值范围为：－3＜n ≤1或n ＜－214.。

(整理版)函数方程及其应用

函数、方程及其应用题组一一、选择题1．〔宁夏银川一中高三第五次月考试题全解全析理〕a 是x x f x 21log 2)(-=的零点，假设a x <<00，那么)(0x f 的值满足〔〕A ．0)(0=x fB ．0)(0<x fC ．0)(0>x fD ．)(0x f 的符号不确定【答案】B【分析】函数2()2log x f x x =+在(0,)+∞上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在(0,)a 上这个函数的函数值小于零，即0()0f x <。

【考点】函数的应用。

【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，那么只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。

2．〔重庆市重庆八中高三第四次月考文〕函数()26f x ax bx =++满足条件()()13f f -=，那么()2f 的值为〔〕A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案 B 提示：由()()13f f -=知对称轴12b a-=，故()226f x ax ax =-+，所以()26f =．3．〔重庆市重庆八中高三第四次月考文〕函数()22f x x ax a =-+在(),1x ∈-∞上有最小值，那么函数()()f xg x x=在()1,x ∉+∞上一定〔〕A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案： D 提示：由函数()22f x x ax a =-+在(),1-∞有最小值，知1a <，又()2a g x x a x=+-，由1x >及1a <知()222'1a x a g x x x-=-=210a x ->>，故()g x 为增函数． 4．〔安徽省百校论坛高三第三次联合考试理〕函数221,1,()[(0)]4,1,xx f x f f a x ax x ⎧+<⎪==⎨+≥⎪⎩若，那么实数a 等于〔〕 A ．12B ．45C ．2D ．9答案 C. 5．函数)10()3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数x 1、x 2，当221a x x ≤<时，总有0)()(21>-x f x f ，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．〔0，3〕B ．〔1，3〕C ．)32,1(D ．)32,0(答案 C.6.〔福建省莆田一中高三上学期第三次月考试题文〕函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象如下图，那么ω等于( )A ．13 B ． 32C ． 1D ．2 答案 B.7.〔福建省莆田一中高三上学期第三次月考试题文〕函数)(x f 在定义域R 内可导，假设()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，假设),3(),21(),0(f c f b f a ===那么c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>答案 B. 二、填空题8．〔安徽省合肥八中高三第一轮复习四考试理〕函数3()2'(2),'(2),f x x f x n f =-+=那么二项式2()nx x+展开式中常数项是第项。

数学课程函数与方程练习题及答案

数学课程函数与方程练习题及答案1. 函数与方程的基本概念在数学课程中，函数与方程是基础而重要的概念。

函数是描述两个变量之间关系的规则，通常表示为f(x)或y。

方程则是包含未知数的等式，我们需要找到使其成立的解。

2. 函数的分类函数可以分为线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等多种类型。

下面是一些函数与方程的练习题及答案：2.1 线性函数题目1：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。

解答：将x代入函数中，得到f(4) = 2*4 + 3 = 11。

题目2：已知函数g(x) = 5x - 2，求解方程g(x) = 3的解。

解答：将g(x)替换为3，得到5x - 2 = 3，解方程得x = 1。

2.2 二次函数题目3：已知函数h(x) = x^2 + 2x + 1，求h(3)的值。

解答：将x代入函数中，得到h(3) = 3^2 + 2*3 + 1 = 19。

题目4：已知函数k(x) = x^2 + 3x，求解方程k(x) = 0的解。

解答：将k(x)替换为0，得到x^2 + 3x = 0，解方程得x = 0或x = -3。

2.3 指数函数题目5：已知函数p(x) = 2^x，求p(2)的值。

解答：将x代入函数中，得到p(2) = 2^2 = 4。

题目6：已知函数q(x) = 3^x，求解方程q(x) = 9的解。

解答：将q(x)替换为9，得到3^x = 9，转化为指数运算得到x = 2。

2.4 对数函数题目7：已知函数r(x) = log2(x)，求r(8)的值。

解答：将x代入函数中，得到r(8) = log2(8) = 3。

题目8：已知函数s(x) = log5(x)，求解方程s(x) = 2的解。

解答：将s(x)替换为2，得到log5(x) = 2，转化为指数运算得到x = 25。

3. 总结通过上述练习题及答案，我们复习了函数与方程的基本概念，并对常见的函数类型进行了练习。

通过解答这些问题，我们可以更好地掌握并应用这些概念，提高数学的理解与运用能力。

第13章《一次函数》中考题集(34)：13.3+一次函数与一次方程、一次不等式

第13章《一次函数》中考题集（34）：13.3一次函数与一次方程、一次不等式第13章《一次函数》中考题集（34）：13.3 一次函数与一次方程、一次不等式选择题1．（2010•烟台）如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）2．（2010•小店区）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，5）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）3．（2009•烟台）如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b ＜0的解集为（）4．（2009•新疆）如图，直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）5．（2009•遂宁）已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m6．（2009•仙桃）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（）7．（2008•乌鲁木齐）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）8．（2008•衡阳）如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（）9．（2007•山西）如图是关于x的函数y=kx+b（k≠0）的图象，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上可表示为（）．C D．10．（2007•临沂）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）12．（2006•济南）如图，直线L是函数y=x+3的图象．若点P（x，y）满足x＜5，且y＞x+3，则P点的坐标可能是（）b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，14．（2006•河南）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（）15．（2005•内江）若函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当y＞0时，x的取值范围是（）填空题16．（2010•咸宁）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_________．17．（2010•武汉）如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b ＞mx﹣2的解集是_________．18．（2009•武汉）如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为_________．19．（2009•眉山）已知直线y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为_________．20．（2009•佛山）一次函数y=﹣2x+4，当函数值为正时，x的取值范围是_________．21．（2009•大连）如图是一次函数的y=kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为_________．22．（2008•咸宁）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为_________．23．（2008•武汉）如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式组x＜kx+b＜0的解集为_________．26．（2007•孝感）如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是_________．第13章《一次函数》中考题集（34）：13.3 一次函数与一次方程、一次不等式参考答案与试题解析选择题1．（2010•烟台）如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）2．（2010•小店区）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，5）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）3．（2009•烟台）如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b ＜0的解集为（）4．（2009•新疆）如图，直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）5．（2009•遂宁）已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m 的最大值是（）；6．（2009•仙桃）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（）7．（2008•乌鲁木齐）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）8．（2008•衡阳）如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（）与9．（2007•山西）如图是关于x的函数y=kx+b（k≠0）的图象，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上可表示为（）．C D．10．（2007•临沂）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）12．（2006•济南）如图，直线L是函数y=x+3的图象．若点P（x，y）满足x＜5，且y＞x+3，则P点的坐标可能是（）b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，14．（2006•河南）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（）15．（2005•内江）若函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当y＞0时，x的取值范围是（）填空题16．（2010•咸宁）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1．17．（2010•武汉）如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b ＞mx﹣2的解集是1＜x＜2．，．18．（2009•武汉）如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为﹣1＜x＜2．的值，即可得到不等式，．x即，19．（2009•眉山）已知直线y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为．（，（），），，，．20．（2009•佛山）一次函数y=﹣2x+4，当函数值为正时，x的取值范围是x＜2．21．（2009•大连）如图是一次函数的y=kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣2．22．（2008•咸宁）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式23．（2008•武汉）如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式组x＜kx+b＜0的解集为﹣3＜x＜﹣2．，，则不等式组x26．（2007•孝感）如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2．参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；zhehe；zhjh；Linaliu；未来；CJX；MMCH；蓝月梦；bjy（排名不分先后）菁优网2014年7月30日。

《方程与函数思想》-练习题

“方程与函数思想”练习
练习A
1. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。

车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。

下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是（）
A B C D
练习B
2.已知等腰三角形的周长是16cm ，底边长是ycm ，腰长是x cm ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.
练习C
3.小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m /min 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为1
s m ，小明爸爸与家之间的距离为2s m ，图中折线OABD 、线段EF 分别表示1s 、2s 与t 之间的函数关系的图象.
（1）求2s 与t 之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？。

(完整版)函数与方程经典例题及答案

函数与方程典型例题习题例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++，由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-．（2）令()0f x =得2x =或4-，∴零点是122,4x x ==-．（3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为（ D ））A .1B .0C .2或0D .22．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）A .1B .2C .3D .不确定3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B .0，41- C .41,21- D .0，41,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．答案：有解．函数与方程测试题（时间45分钟）一、填空题（共计6小题，每题10分）1、函数f(x)=122--x x 在区间（2，3）上零点的个数为 .2、已知：f(x)=b a x +的图象如图所示，则a 与b 的值分别为3、设f （x ）x e +1，则f （x ）＝ .4、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为________元5、若不等式2x +ax+1≥0对于一切x ∈（０，21］成立，则a 的最小值是 . 6、如果y=mx x -2，[]1,1-∈x 的最小值为－４，则m 的值为 .二、解答题（共计2小题，每题20分）7、设集合P=｛x|224+-x x +a=0，x ∈R ｝.（１）若P 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合Q ；（２）若对于任意a ∈Q ，不等式x 2-6x<a （x-2）恒成立，求x 的取值范围.8、已知函数f （x ）=xa 11-（a>0，x>0）. （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f （x ）在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］（m≠n），求a 的取值范围.试题答案：1、根据求根公式得方程两根212,1±=x ，故答案为1个。

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初三数学通用版函数与方程综合练习（答题时间：50分钟）1. 已知抛物线12--=x x y 与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式20102+-m m 的值为（）A. 2008B. 2009C. 2010D. 20112. 已知抛物线c bx ax y ++=2（a>0）的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为)0,(1x ，且101<<x ，下列结论：①039>+-c b a ；②a b <；③03>+c a ；其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知二次函数222)1(2m m x m x y -+-+-=的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B ，C 构成的∆ABC 的面积是（）A.21 B. 1 C. 23D. 2 4. 二次函数c bx ax y ++=2的图象永远在x 轴上方的条件是（）A. 04,02>->ac b aB. 04,02<->ac b aC. 04,02>-<ac b aD. 04,02<-<ac b a*5. 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实根1x ，2x ，且211x x <<，那么a 的取值范围是。

*6. 方程0)1(=--k x x 有三个不相等的实根，则k 的取值范围是。

7. 已知点A （1，0）、B （2，0），若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是。

*8. m 和n 为何整数时，方程0222=+-n mx x 的两根21,x x 满足32,2121<≤<≤x x ？*9. 为使方程b x x x +=+-311322有四个不同的实数根，求b 的取值范围。

*10. 设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点)0,(1x A 、)0,(2x B 。

（1）求证：032221>++p x px ；（2）若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求p 的最大值。

**11. 对0>>>c b a ，有抛物线)()(2ac bc ab x c b a x y +++++-=。

（1）若抛物线与x 轴有交点，求证：以c b a ,,为边不能构成一个三角形；（2）若抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为0x ，求证：a x c b <<+0；（3）当方程有实根6，9时，求正整数c b a ,,的值。

初三数学通用版函数与方程综合练习参考答案1. D 解析：因为点)0,(m 是抛物线12--=x x y 上的点。

所以代入此函数关系式得012=--m m ，即12=-m m ，所以201120102=+-m m 。

故应选择D 。

2. C 解析：因为12-=-ab，所以a b 2=。

因为0>a ，所以a b >，由已知条件可大致画出二次函数的图象，由图象可知当3-=x 时，0>y ，即039>+-c b a ，所以0239>+⨯-c a a ，即03>+c a ，故①，③正确，②错误，故应选择C 。

3. B 解析：由此函数的图象关于y 轴对称，所以01=-m ，即1=m ，所以该二次函数解析式为12+-=x y 。

令0=y ，则012=+-x ，即012=-x ，所以1±=x 。

所以BC＝1－（－1）＝2，即11221=⨯⨯=∆ABC S 。

故应选择B 。

4. B 解析：由二次函数c bx ax y ++=2的图象永远在x 轴的上方，则有0>a ，且042<-ac b ，即函数图象开口向上，且不会与x 轴相交，故应选择B 。

5. 0112<<-a 解析：0≠a ，记9)21(2+++=x ax y ，则它的图象是开口向上的抛物线，因为211x x <<，故当1=x 时，0<y ，即09)21(1<+++a ，解得0112<<-a 。

6. 041<<-k 解析：原方程变形为k x x =-)1(。

令⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-=.0,,0,)1(221x x x x x x x x y k y =2。

如图，其图象分别为C 1、C 2。

函数)0(2≥-=x x x y 的顶点坐标为)41,21(-。

由图象知，当041<<-k 时，直线C 2与曲线C 1相交，有三个不同的交点。

7. 211-<≤-a 或者323-=a 解析：分两种情况：（1）因为二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，且A （1，0）、B （2，0），则[][]032)3(231)3(122≤+⨯-+⨯+⨯-+a a ，解得211-≤≤-a 。

由031)3(12=+⨯-+a ，得1-=a ，此时，3,121==x x 符合题意；由032)3(22=+⨯-+a ，得21-=a ，此时，23,221==x x ，不符合题意。

所以211-<≤-a 。

（2）令03)3(2=+-+x a x ，由判别式0=∆，得323±=a 。

当323+=a 时，321-==x x ，不符合题意；当323-=a 时，321==x x ，符合题意。

综上，a 的取值范围是211-<≤-a 或者323-=a 。

8. 解：设n mx x y +-=222，二次函数n mx x y +-=222的两根21,x x 满足条件211<≤x ，322<≤x ，必须同时满足：0842>-=∆n m ， ① 022)1(≥+-=n m f ，②048)2(≤+-=n m f ， ③ 0618)3(>+-=n m f ， ④②－③，得026≥+-m ，所以3≥m ； ③－④，得0210<+-m ，所以5<m 。

所以53<≤m ，即3=m 或4。

把3=m 分别代入②③④，得4=n 。

把4=m 分别代入②③④，得7=n 或8。

再把各组n m ,值代入①。

当8,4==n m 时，0=∆,故舍去。

所以所求n m ,的值是⎩⎨⎧==4,3n m 或⎩⎨⎧==.7,4n m 9. 解：方程b x x x +=+-311322的实根就是函数1322+-=x x y 与b x y +=31的图象的交点横坐标。

现作函数1322+-=x x y 与b x y +=31的图象，如图，这里b 取不同的值，直线l 也就不同，但这些直线是互相平行的。

从图中可以看出l 介于1l 和2l 之间时，这条直线才与函数1322+-=x x y 的图象有4个交点，即方程b x x x +=+-311322有4个不同的实数根，1l 过点P ，可求出1l 的表达式为3633132331--=--=x x y 。

2l 与)132(2+--=x x y 的图象只有一个交点。

要使方程b x x x +=+--31)132(2有等根，必须有0=∆。

即2)3231()1(4-=+b ，解得1213=b 。

从而2l 的方程为121331+=x y 。

故b 的取值范围是1213363<<--b 。

10. 解：（1）判别式0442>+=∆p p ，02222=--p px x ，所以p p px px p x px 3223221221+++=++0444)(2221>+=++=p p p x x p 。

（2）21212124)(x x x x x x AB -+=-=32442-≤+=p p p ，解得169≤p 。

又当169=p 时满足题意，故p 的最大值是169。

11. 解：（1）由于方程0)(2=+++++-ac bc ab x c b a x 的根的判别式)(4)(2ac bc ab c b a ++-++=∆ ac bc ab c b a 222222---++=＝)()()()(c b a a c b a c b c a b c b a a --<-+--+---。

因为0>>>c b a ，故0>--c b a 。

所以c b a +>，故命题得证。

（2）因为220∆+++≤≤∆-++c b a x c b a ，其中)(4)(2ac bc ab c b a ++-++=∆22)(4)(c b a bc c b a --<---=，由（1），知0>--c b a ，故∆>--c b a 。

有a cb ac b a c b a x =--+++<∆+++≤220， c b c b a c b a c b a x +=++-++>∆-++≥220所以a x c b <<+0。

（3）由根与系数的关系，即15=++c b a ， 54=++ac bc ab 。

所以)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++211117108225<=-=。

由（2），知9>a ，所以222119<<a ，只有10=a 。

从而5=+c b ，4=bc 。

又c b >，所以4=b ，1=c 。

所以10=a ，4=b ，1=c 。