复变函数 柯西定理
复变函数的积分 柯西定理
第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
柯西定理与留数定理的应用
柯西定理与留数定理的应用柯西定理和留数定理是复变函数理论中的两个重要定理，它们在数学分析、电磁学、流体力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西定理和留数定理的基本概念，并讨论它们在实际问题中的应用。
1.柯西定理柯西定理是复变函数中的一个核心定理，它建立了复变函数在闭合区域内的全纯性与边界上的积分之间的联系。
若$f(z)$是沿逆时针方向取正的简单闭曲线$\Gamma$内的解析函数，那么对于闭合曲线$\Gamma$围成的任一区域$D$内的任意一点$z_0$，都有如下公式成立：$$f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma \dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$$其中，积分路径$\Gamma$也围成区域$D$。
这个公式又叫做柯西积分定理。
柯西定理的应用很广泛，比如在研究解析函数的全纯性的时候，柯西定理可以通过积分的方式得到函数的导数，从而进一步研究它的全纯性。
此外，在实际问题中，我们也经常会用到柯西积分定理。
2.留数定理在柯西定理的基础上，留数定理将解析函数的全局性转化为它的局部性质，关注函数在离散点的特征。
留数定理是复变函数中的一个重要定理，它描述了解析函数在离散点处的奇异性，并提供了求解积分的有效方法。
设$f(z)$在点$a$的领域内除去点$a$外是解析函数，则$f(z)$在$a$处的留数为$$\operatorname{Res}(f,a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_\Gammaf(z)\mathrm{d}z$$其中，积分路径$\Gamma$是围绕点$a$以逆时针方向旋转的一个充分小的圆。
留数定理的一个重要应用是求解积分。
对于一个有理函数$f(z)$，可以通过分解分母，分别计算每个分式的留数，将它们加起来得到整个积分的值。
此外，在实际问题中，留数定理也可以解决一些看似棘手的问题。
比如，在电路分析中，我们可以通过留数定理求解电路中的电流和电压分布。
复变函数-柯西定理
数学物理方法（I）高飞2014-2015年秋季大连理工大学物理与光电工程学院sxwlff_gf@Password：sxwlff2014§1.4 解析函数解析函数的定义解析函数与函数可导、C-R条件之间的关系；以及解析函数的充分必要条件调和函数-满足二维拉普拉斯方程已知解析函数的实部（或虚部）求解析函数；§1.5 几种简单的解析函数幂函数 指数函数 三角函数()nf z z=()zf z e= 双曲函数§1.6 多值函数第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 柯西公式§2.4 泊松积分公式一般：曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向。
那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向，写为C -曲线方向的说明闭曲线：正方向和边界线的正方向一致——左侧A(起点)B(终点)CC1.定义设l 为复平面上的一条分段光滑的曲线c （A →B ），复变函数f(z)在该曲线上有定义。
()111()()nnkkk k kk k f zz f z ττ-==-=∆∑∑a)任意分割n 段b) 求和曲线积分012111,,,...,,,...,k k k n nz z z z z z z z -+-τkAB1lim ()()nk k cn k S f z f z dzτ→∞==∆≡∑⎰由于[][]()(,)(,)(,)(,)cccS f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ==-++⎰⎰⎰c) 取极限,0n z →∞∆→,()(,)(,)dz dx idy f z u x y iv x y =+=+极限值S 为函数f(z)沿曲线c 的积分1lim ()nk kn k S f z τ→∞==∆∑则τkAB被积函数积分路径()CS f z dz=⎰复变积分存在的条件： c 是分段光滑曲线 若曲线C 是闭曲线，记为 如果存在，一般不能写成。
复变函数-柯西定理
数学物理方法（I）高飞2014-2015年秋季大连理工大学物理与光电工程学院sxwlff_gf@Password：sxwlff2014§1.4 解析函数解析函数的定义解析函数与函数可导、C-R条件之间的关系；以及解析函数的充分必要条件调和函数-满足二维拉普拉斯方程已知解析函数的实部（或虚部）求解析函数；§1.5 几种简单的解析函数幂函数 指数函数 三角函数()nf z z=()zf z e= 双曲函数§1.6 多值函数第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 柯西公式§2.4 泊松积分公式一般：曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向。
那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向，写为C -曲线方向的说明闭曲线：正方向和边界线的正方向一致——左侧A(起点)B(终点)CC1.定义设l 为复平面上的一条分段光滑的曲线c （A →B ），复变函数f(z)在该曲线上有定义。
()111()()nnkkk k kk k f zz f z ττ-==-=∆∑∑a)任意分割n 段b) 求和曲线积分012111,,,...,,,...,k k k n nz z z z z z z z -+-τkAB1lim ()()nk k cn k S f z f z dzτ→∞==∆≡∑⎰由于[][]()(,)(,)(,)(,)cccS f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ==-++⎰⎰⎰c) 取极限,0n z →∞∆→,()(,)(,)dz dx idy f z u x y iv x y =+=+极限值S 为函数f(z)沿曲线c 的积分1lim ()nk kn k S f z τ→∞==∆∑则τkAB被积函数积分路径()CS f z dz=⎰复变积分存在的条件： c 是分段光滑曲线 若曲线C 是闭曲线，记为 如果存在，一般不能写成。
复变函数柯西定理
复变函数柯西定理
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。
柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。
另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。
(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):
[注：格林定理可以直接证明，亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。
]
以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):
具体而言：
现在：1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用（2），环路积分为零得证。
(II) 另一个角度，可证明如下：
对于解析函数，由柯西-黎曼方程可知：(3)中的实部：udx-vdy 和虚部：vdx+udy 分别是全微分形式，可写作某实函数的全微分:
而实函数全微分的环路积分为零。
第一节 柯西定理
f ( z )dz
1 2 3 4
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
复变函数
因此，沿周界 1 , 2 , 3 , 4 的积分中，至少有 一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为1 M | f ( z )dz | , 1 4 对于这个三角形周界为 1 ，我们也把它等分成 ( 2) 四个全等的三角形，其中一个的周界 满足 M | ( 2 ) f ( z )dz | 2 , 4 把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：
C
i v( x, y )dx u ( x, y )dy
C
(1.3)
2、参数方程法
终点对应参数
T
C
f ( z)dz f ( z(t ))z '(t )dt (1.4)
t0
f ( z ) u ( (t ), (t )) iv( (t ), (t )) f ( z (t ))
复变函数复变函数复变函数复变函数复积分的定义与计算定义设在复平面上有一条连接把曲线用分点分成的弧上的任一点右图作和式当曲线上的分点的个数无穷增加而且代替求和4取极限复变函数复变函数11时如果和有极限且此极限值与的选择和限值为积分记作ivdxidy为记忆方便复变函数复变函数复积分的存在条件在曲线上连续时积分一定存在
作和式
f (
k 0
n 1
k
)( zk 1 zk ) (1.1)
2、3 代替、求和 4、取极限
当曲线C上的分点zk的个数无穷增加，而且
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk )2 ( yk 1 yk )2 | k 0,1, 2,..., n 1} 0
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
复变函数：3.2 柯西-古萨基本定理
5
备注：Green公式介绍（关于线积分与面积分的关系）
l P( x, y)dx Q( x, y)dy
D 单连通区域, l D 光滑曲线
P,Q, Px , Py ,Qx ,Qy 在D及l上连续
Q P
l
P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy
(
D
x
y
)dxdy
6
2. Cauchy-Goursat定理的相关定理:
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理中的 C 可以不是简 单曲线.
C B
此定理也称为柯西积分定
理.
4
Rieman的证明： f (z) 在B内解析
f (z) 在B内连续
f (z) ux ivx v y iuy
第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
(1) 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
(积分与路线无关).
(2) 被积函数 f (z) Re z,不满足柯西－黎曼方程 在复平面上处处不解析.
(积分与路线有关).
(3)
1 dz 2i 0.
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
2
1 1 1 zi 1 z 2 z i
2
1 2
z
1
i
dz
9
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
复变函数课件：3_2柯西积分定理
根据多连通区域的柯西积分定理,
2z z2
1dz z
C1
2z z2
1dz z
C2
2z z2
1dz z
1 dz 1dz 1 dz 1dz
C1 z 1
C1 z
C2 z 1
C2 z
y
C1
C2
o
•
•
1
x
C
0 2i 2i 0 4i.
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18
它在以 z0 为中心的圆周 C 的内部不是处处解析的,
虽然在除去 z0 的 C 的内部函数处处解析, 但此
区域已不是单连通域.
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2
观察上节练习, 被积函数 f (z) z x iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处 处不解析.
此时积分值 c zdz 与路线有关.
16
例4 计算积分
2z 1
C z2 z dz ,
其中C为包含圆|z|1在内的任何正向光滑曲线.
y
解 因为函数 2z 1 在复平面
z2 z
内有两个奇点z 0 和 z 1, 且这两个奇点都在C的内部.
o
•
•
1
x
C
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17
在 C 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1 和 C2 , C1 只包含奇点 z 0, C2 只包含奇点 z 1,
25
例1 求 z1zdz 的值. z0
解 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z2 , 2
由牛顿-莱布尼兹公式知,
z1zdz z0
1 z2 z1 2 z0
1 2
第二章 柯西定理公式
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
复变函数 柯西定理
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
常用结论 :
对于包含z0的任何一条正向简单 闭曲线c都有 2 i , n 0 1 dz n 1 n 0. ( z z0 ) 0, C
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 练习1 计算积分 dz ,其中C :| z | 1. C cos z
原函数之间的关系:
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数.
引理2 若函数 f ( z ) 是凸区域 D 内的解析函数 , 那么f ( z )在D内有原函数 .
凸区域：连接D内两点的直线也在D内
D, D {(1 t ) t : t [0,1]} D
3) 若f z 在D内不解析，则命题不真.
例如, 设f z x iy , 计算其沿曲线 C : | z | 2,
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
C1 : | z | 1的积分.
x 2cos x cos 解 C: , C1 : y 2sin y sin (0 2 )
k 1 k 1
n1
n1
两边取极限即可得
二、几个引理
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
引理1 设f ( z )是在单连通区域D内的解析函数 . 设C是D内一个多角形的周界，那么有
C
f ( z )dz 0
原函数（不定积分）的定义
在区域D内，如果F ( z )解析，并满足 F ( z ) f ( z ) 则称函数F ( z )为f ( z )在区域D内的一个原函数 或不定积分.
第三章 复变函数的积分
复变函数 柯西-古萨积分定理
C1
f ( z )dz f ( z )dz 0
l
C
D
f ( z )dz 0
f ( z )dz f ( z )dz .
c1
l
C1
c
9
此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它
D
f ( z )dz
c
c1
f ( z )dz
当z在区域D内变化时，积分值也变化，并且该 积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函 数），记作
F ( z ) f ( z )dz f ( )d .
z0 z0 z z
4
定理2 设f (z)在单连通区域D内解析，则F(z)在 D内解析，且 F ' ( z ) f ( z ). 分析： 只须证 即 而
的积分值，只要在变
形过程中曲线不经过
CC 11
C1
C
f(z)的不解析点.
—闭路变形原理.
10
2z 1 例 计算 2 dz : 包含圆周z 1在内的 z z 任意正向简单闭曲线 .
1 1 解 原 式 ( z 1 z )dz 1 1 dz dz C1 C 2 z 1 C1 C 2 z
1
2、 柯西积分定理
定 理1 若f ( z )在 单 连 通 区 域 D内 解 析 ， 则 对 于
c
D内 任 一 条 闭 曲 线 C， 都 有 f ( z )dz 0.
人们对此定理的评价是很高的，有人称之为 积分的基本定理或函数论的基本定理。还有人 认为它是研究复变函数论的一单连通区域D内解析，则在D内f (z)的积分与路径无关.
复变函数(3.2.2)--柯西-古萨定理及其推广
定义 3.2 如果函数在区域内导数等于，即，且在内连续，那么称为在区域内的一个 原
函数。
F (z) = f D(z zf)( )d z0
定理 3.4 表明，是在单连域内的一个原函数。
5
FFf (z)
易得，的任何两个原函数之间只相差一个复常数。事实上，设和是的任意两个原函数 ， 那么
▎ 注记:在上式的证明中,因为复变函数本身不能比较大小,所以高等数学中拉格朗日中值 定理在复变函数积分不成立. 易见，定理 3.4 非常类似于实变函数中的变上限积分的求导定理（微积分第一基本定 理）。由此，我们还可以进一步得到类似实变函数中的另一个微积分基本定理和牛顿-莱布 尼茨公式。为此，先引入原函数的概念。
C
因此，为了研究复变函数延闭路经的积分，只要研究相应的两个线积分
ﾮ vuddxx+-uv d y = 0
C
与
1
u, v, ux ,CDuy , vx , vy
因此，若在复平面上由简单闭曲线围城的单连域内连续，并且上述两个线积分沿内任一闭曲线积分等于零,即由格林公式得
�u
C
d
x
-
v
d
y
=
��(-
D
ﾮv ﾮx
-
ﾮu ﾮy
)dxdy
=
0
,
�v
C
d
x
+
u
d
y
=
�D�( ﾮﾮux
-
ﾮv ﾮy
)dxdy
=
0
.
f
(z)
=
u
B x
+fff (D(izzv))xd=z
复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用
M Q N 图 2.3
l
P D
定理 3 . 10 设 C C C 柯西定理2 1 2
Cn 是复周线, D I (C )
如果: ( 1) f ( z ) A( D), ( 2) f ( z ) C( D),
C
f ( z )dz f ( z )dz
例
中心，r为半径的正方向，n 为整数
dz 计算 c n 1其中 C 以 z0为 ( z z0 )
2i dz n 1 z z r ( z z ) 0 0
0
n0 n0
f
n
n! z 2 i
z
l
f
n 1
d , n 1, 2,
例 计算积分 I
l z
n
其中 n 为整数。 dz，
【解】 若回路 l 不包含 α，则被积函数在整个复平面上是解 析的，积分等于零；若 l 包含 α，但是 n
0,
则被积函数在
整个 l 内部解析，因而积分为零；对于 l 包含 α，且 n 情况，按照导数的柯西公式，可得：
0的
2i n 1 l ( z ) dz 0 n 1
k 1 k 1 n
n
Ck
C f ( z )dz 0,
f ( z )dz ,
C1
Cn
C3
C
C2
Ck
其中 C 及 Ck 均取正方向; D
这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!
柯西积分公式
有界区域的单连通柯西积分公式
定理 （柯西积分公式） 如果 f ( z ) 在有界
区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭
复变函数的柯西积分定理
复变函数的柯西积分定理
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它表明一个函数在一条围线内的曲线积分等于围线内的区域上的函数值相关的积分。
具体而言，柯西积分定理可以表示为：
设函数f(z)在区域D上解析，围线C完全位于D内，如果z0是D内部的一个点，那么对于围线C上的点z，有以下等式成立：
∮C f(z)dz = 0
这意味着如果一个解析函数在区域D内除去有限个孤立奇点外是解析的，那么沿着围线C的曲线积分等于零。
柯西积分定理的一个重要的推论是柯西公式，它可以表示为：
设函数f(z)在区域D上解析，围线C完全位于D内，如果z0是D内部的一个点，那么对于围线C上的点z，有以下等式成立：
f(z0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z0}dz
这个公式表明，解析函数在围线C上的积分值完全由函数在围线内部点z0附近的取值决定。
柯西积分定理和柯西公式在复变函数理论中具有重要的应用，可以用来计算复变函数的曲线积分、求解边值问题等。
§1-2复变函数的积分柯西定理
§1-2复变函数的积分柯西定理第三章复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理⽅法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平⾯上以0z 为起点，⽽以z 为终点的⼀段路径（即⼀根曲线），在C上取⼀系列分点011,,,,n n z z z z z-= 把C 分为n 段，在每⼀⼩段[1k kz z -]上任取⼀点k ξ作和数：()()()111nnn kkk kkk k S f zz f z ξξ-===-=∑∑, 其中1kk k zz z -?=-如果当n →∞且每⼀⼩段的长度（1||||kk k z z z -?=-）趋于零时，和式()1nk k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取⽅式⽆关，则称这⼀极限为()f z 沿路径C 由0z 到z的积分: ()()1n k k Cn n k fz d zS fz ξ→∞→∞===?∑，C称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ? . (围道积分)⼏点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在⾼等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCfz dzu x y iv x y dx idy =++()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-++??，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0Cd z zz =-? ，z、0z 分别为C 之起点、终点。
3.1.2 柯西定理
第三章 复变函数的积分第一节 柯西定理3、柯西定理：定理3.1 设f (z )是单连通区域D 的解析函数，（1）设C 是D 内任一条简单闭曲线，那么0)(=⎰C dz z f ,其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的。
（2） C 是在D 内连接0z及z 两点的任一条简单曲线，那么沿C 从0z 到z 的积分值由0z 及z 所确定，而不依赖于曲线C ，这时，积分记为⎰z z d f 0)(ζζ. 定理3.1’ 设C 是一条简单闭曲线，函数f (z )在以C 为边界的有界闭区域D 上解析，那么 0)(=⎰C dz z f 。
定理3.2 设f (z )是单连通区域D 的解析函数，那么f (z )在D 内有原函数。
证明：取定D z D ∈∈任取,α，由定理3.1，得⎰=zd f z F αζζ)()( 是在D 内确定得一个函数。
取00,z D z D z 与并取∈∈充分接近，把⎰⎰-=-0)()()()(0z z d f d f z F z F ααζζζζ D 中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接0z及z 的线段的并集。
于是有⎰-=---z z d z f f z f z z z F z F 0)]()([)()()()(0000ζζ这里积分是沿0z 及z 的联线取的，同样可证，有)()('00z f z F =。
例1、 设D 是不含a 的一个单连通区域，并且D z z ∈,0，那么])(1)(1[11)(1010------=-⎰m m zz m a z a z m a d ζζ 其中m 是不等于1的整数。
另外，还设D 在复平面上沿从a 出发的任何射线割开而得的区域内，我们有),ln()ln(00a z a z a d zz ---=-⎰ζζ 其中对数应理解为Ln(z-a )在D 内的一个解析分支在z 及0z 的值。
注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。
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n1
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两边取极限即可得
二、几个引理
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引理1 设f ( z )是在单连通区域D内的解析函数 . 设C是D内一个多角形的周界，那么有
C
f ( z )dz 0
原函数（不定积分）的定义
在区域D内，如果F ( z )解析，并满足 F ( z ) f ( z ) 则称函数F ( z )为f ( z )在区域D内的一个原函数 或不定积分.
C C
记忆
C
C
( u iv )(dx idy )
这个定理表明 f ( z )dz可通过二个二元实变 函数的第二型曲线积分来计算.
2. 复积分计算的参数方程法
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设光滑曲线C : z z(t ) x(t ) iy(t ) t :
C
f ( z )dz
C
若C为闭曲线，则记作 f ( z )dz
定理 当f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在光滑曲线C
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上连续时, f ( z )必沿C可积.
且
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
f ( z )dz
C
(终点 )
( 起点 )
f [ z ( t )]z ( t )dt
这是由定理及曲线积分的计算法得
f ( z )dz udx vdy i vdx udy {u[ x( t ), y( t )] i[v[ x( t ), y( t )]]}( x( t ) iy( t ))dt
f z dz
C
C
xdx ydy i ( xdy ydx )
4cos sin d 4sin cos d
0
2
i 4cos 2 d 4sin 2 d
0
2
8 i
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f z dz
2) C是D内任一条连接z0 , z两点的简单曲线, 那么沿C从z0到z的积分的值由z0和z决定， 而不依赖于曲线C , 积分可记作
z
z0
f ( z )dz
注
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1) 若C为D的边界 , f ( z )在 D C D上解析 , 定理的结论1仍成立
2) 若C为D的边界 , f ( z )在D内解析 , f ( z )在 D C D上连续, 定理的结论1仍成立.
曲线, 它们互不包含也互不相交 , 并且由 C的 内部,C1 , C 2 , , C n的外部围成多连通区域D.
则称C C C C 为复合闭路 , D为其内部.
n 1 2
Cn
C
C1
C3
C2
D
【复合闭路定理】
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设f ( z )在复合闭路 C C1 C 2 Cn 所
C C
证明：因为
| f ( k )( zk 1 zk ) | | f ( k )zk | | f ( k ) | sk
k 1 k 1 k 1 n1 n1 n1
| f ( k )( zk 1 zk ) | M | zk 1 zk | ML
C C C
{u( t ) iv ( t )}{ x( t ) iy( t )}dt
f [ z( t )]z( t )dt
写出平面曲线复数参数方程的步骤：
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1. 把平面上曲线方程写成参数形式： x x( t ), y y( t ) ( t )。
y
1. 分割：将 AB任意分划成 n个小弧段 : A z0 , z1 , , zn B
a z z2 a z0 1 o
1 2
C
k z k zk 1
bb z
zn1
n
x
z 2. 作乘积：f ( k )zk , k z k 1 k
3. 求和：Sn f ( k )zk , zk zk zk 1 ,
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dz 3 C ( z z0 )n1 C是以z0为中心, r为半径的 正向圆周, n为整数 .
1 2 i , n 0, dz n 1 ( z z0 ) n 0. 0, z z0 r
积分值与路径圆周的中心z0和半径r无关, 这个结果以后会经常用到，请记住！
注 1) 若n 0时，则为简单闭曲线，复合闭路
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定理即为柯西积分定理.
2 ) 若n 1时, f z dz f z dz
C C1
这说明在区域内的一个解析函数沿闭曲 线的积分，不因闭曲线在区域内作连续 变形而改变它的值，只要在变形过程中 曲线不经过函数的奇点. 所以此定理又称为闭路变形定理.
C1
C1
xdx ydy i ( xdy ydx )
cos sin d sin cos d
0
2
i cos d sin d
2 2 0
2
2 i
所以
f z dz f z dz
C C1
这是因为不满足f z 解析的条件.
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常用结论 :
对于包含z0的任何一条正向简单 闭曲线c都有 2 i , n 0 1 dz n 1 n 0. ( z z0 ) 0, C
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1 练习1 计算积分 dz ,其中C :| z | 1. C cos z
3) 若f z 在D内不解析，则命题不真.
例如, 设f z x iy , 计算其沿曲线 C : | z | 2,
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C1 : | z | 1的积分.
x 2cos x cos 解 C: , C1 : y 2sin y sin (0 2 )
引理3
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(复积分的Newton-Leibnitz公式)
设f ( z )是区域D内的解析函数 ,并且在D内有 原函数F ( z ), 则对于D内任意起点为，终点 为 的曲线C，有
f z dz F F
C
例4 求
其中 C是
1 dz , z (3 z 1)
练习2 计算积分
C
1 C为 1) | z | , 2) | z | 1的正向圆周. 6
2
x a ( sin ) 连接 0 到 2 πa 的摆线 : . y a (1 cos )
三、柯西定理
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定理1 设w f ( z )是单连通区域D内解析函数,
1) C为D内任一条简单闭曲线(逆时针方向), 则
C
f ( z )dz 0.
小结与思考
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1. 重点掌握柯西基本定理:
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析 , 那么函数 f ( z ) 沿D内的任何一条封闭曲线 C的积分为零:
c
f ( z )dz 0.
2. 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分 中的重要定理. 这个定理是计算闭曲线内部有奇点的积分 的有利武器!!!
定理2
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设D为单连通域 ,如果函数 f ( z )是D上的 解析函数，则f ( z )在D内有原函数.
例1 计算积分
z 1
1 dz . 2z 3
二 、复合闭路定理
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考虑柯西积分定理推广到多连通区域上 设C为闭曲线, C1 , C 2 , , C n是在C内部的闭
第三章 复变函数的积分
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§3.1 柯西定理 复变函数积分的定义 几个引理与不定积分 柯西定理
一、 复变函数积分的定义
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设在复平面D上有一条以A为起点 B为终点的 有向曲线C , f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )是定义在 C上的函数.
围成的有界多连通区域D内处处解析，则有
1)
C
f z dz 0, 或写成
f ( z )dz
C1
f ( z )dz
Ck
Cn
f ( z )dz 0
2)
C
f ( z )dz f ( z )dz
k 1
n
其中 C 及 Ck 均取正方向;
2. 令 z x iy , 代入 x , y 即可得 z( t ) x( t ) iy( t )，即得曲线的复数形式： z z( t ) ( t )。
特别的， 已知直线上两点的直线参数方程为 z z0 ( z1 z0 )t
z z0 re
i
0 t 1
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n
k 1
4. 取极限： I lim 0