中考数学二次函数及四边形综合专题

72

x = B(0,4)

F

x

y

O

二次函数与四边形综合专题

一．二次函数与四边形的形状

例1.如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入2

23

y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：

P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x --

∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =

时，PE 的最大值=94

（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，

练习1.如图，对称轴为直线7

2

x =

的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？

②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

A

练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是

7

2

x=，可设解析式为2

7

(

2

y a x k

=-+．把A、B两点坐标代入上式，得

2

2

7

(6)0,

2

7

(0) 4.

2

a k

a k

⎧

-+=

⎪⎪

⎨

⎪-+=

⎪⎩

解之，得225

,.

36

a k

==-

故抛物线解析式为2

2725

()

326

y x

=--，顶点为725

(,

26

-

（2）∵点(,)

E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

2

2725

()

326

y x

=--

，∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．

∵OA是OEAF的对角线，

∴2

17

2264()25

22

OAE

S S OA y y

==⨯⨯⋅=-=--+．

因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值围是1＜x＜6．

①根据题意，当S = 24时，即2

7

4()2524

2

x

--+=．化简，得2

71

(.

24

x-=解之，得12

3, 4.

x x

==故所

求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．

点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF是菱形；

点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形．

②当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为

（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形．

练习2.如图，已知与x轴交于点(10)

A，和(50)

B，的抛物线

1

l的顶点为(34)

C，，抛物线

2

l与

1

l关于x轴对称，顶点为C'．

（1）求抛物线

2

l的函数关系式；

（2）已知原点O，定点(04)

D，，

2

l上的点P与

1

l上的点P'始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D O P P'

，，，为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在

2

l上是否存在点M，使ABM

△是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

练习3.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，

． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；

（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；

与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

二．二次函数与四边形的面积

例1.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2

+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x … -3 -2 1 2 … y

…

-52

-4

-52

…

(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；

(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，