必学4平面向量(讲义和练习)

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必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

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平面向量知识点整理1、概念向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示:几何表示法;字母a 表示;坐标表示:a =xi+yj =(x,y).向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:.( 2222||||a a a x y ===+r r r 。

) 零向量:长度为0的向量。

a =O |a |=O .【例题】1.下列命题:(1)若a b =r r ,则a b =r r 。

(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。

(3)若AB DC =u u u r u u u r,则ABCD 是平行四边形。

(4)若ABCD 是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u r 。

(5)若,a b b c ==r r r r ,则a c =r r 。

(6)若//,//a b b c r r r r ,则//a c r r 。

其中正确的是_______2.已知,a b r r 均为单位向量,它们的夹角为60o,那么|3|a b +u u r r =_____2、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相接连端点. ⑵平行四边形法则的特点:起点相同连对角.⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+r r rr r r .⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+r r r r ;②结合律:()()a b c a b c ++=++r r r r rr ;③00a a a +=+=r r r r r.⑸坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y +=++rr . 3、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y -=--rr .设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--u u u r. 【例题】(1)①AB BC CD ++=u u u ru u u ru u u r___;②AB AD DC --=u u u ru u u ru u u r____;③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____(2)若正方形ABCD 的边长为1,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则||a b c ++r r r=_____4、向量数乘运算:⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λr.①a a λλ=r r ;②当0λ>时,a λr的方向与a r 的方向相同;当0λ<时,a λr的方向与a r 的方向相反;当0λ=时,0a λ=r r .⑵运算律:①()()a a λμλμ=r r ;②()a a a λμλμ+=+r r r;③()a b a b λλλ+=+r r r r .⑶坐标运算:设(),a x y =r ,则()(),,a x y x y λλλλ==r.【例题】(1)若M (-3,-2),N (6,-1),且1MP MN 3--→--→=-,则点P 的坐标为_______5、向量共线定理:向量()0a a ≠rr r 与b r 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=r r .设()11,a x y =r,()22,b x y =r ,(0b ≠r r )22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 。

(完整版)平面向量全部讲义

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第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.例1.若向量a与b不相等,则a与b一定()A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量例2..给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC等价于四边形ABCD为平行四边形;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b等价于|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.④⑤CA2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb例3:化简AC→-BD→+CD→-AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D.0例4:(1)如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0B.BE C.AD D.CF(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.巩固练习:1.将4(3a+2b)-2(b-2a)化简成最简式为______________.2.若|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,则非零向量OA→,OB→的关系是() A.平行B.重合C.垂直D.不确定3.若菱形ABCD的边长为2,则|AB-CB+CD|=________4.D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD等于()A.-BC+12BA B.-BC-12BA C.BC-12BA D.BC+12BA5.若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子:①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.如图,在△ABC中,D,E为边AB的两个三等分点,CA→=3a,CB→=2b,求CD→,CE→.DD12巩固练习1。

必修4平面向量(讲义和练习)(可编辑修改word版)

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AB 0 0 b AB一、知识纲要《必修 4》 第二章平面向量1、向量的相关概念:(1) 向量: 既有大小又有方向的量叫做向量,记为 或a。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别:向量既有大小又有方向;标量只有大小,没有方向。

普通的数量都是标量,力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示,但也不能说向量就是有向线段,因为向量是自由的,可以平移;有向线段有固定的起点和终点,不能随意移动。

(2) 向量的模:向量的大小又叫向量的模,它指的是:表示向量的有向线段的长度。

记作:|AB |或| a |。

(3) 零向量本身不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

向 量: 长度为 0 的向量叫零向量,记为 ,零向量的方向是任意的。

①| a |=0; ② 与 0 的区别:写法的区别,意义的区别。

(4) 单位向量:模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量,则| a|= 1 。

2、 向量的表示:(1) 几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意:方向是“起点指向终点”。

(2) 符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , →等;(3) 坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i 、 j 为基底向量,则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ,称( x , y ) 为向量 a的坐标, a =( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。

此时| a |。

若已知 A (x 1 , y 1 )和B (x 2 , y 2AB = x 2 -x 1,y 2 -y 1 ) , 即终点坐标减去起点坐标。

特别的,如果向量的起点在原点,那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

注意 注意 注意 注意 ) ,则 (b b 0 0 b b 0b b b 3、 向量之间的关系:(1)平行(共线):对于两个非零向量,若它们的方向相同或相反的,那么就称这种关系 为平行,记作a ∥。

(精校版讲义)高中数学必修四 第15讲 《平面向量》全章复习与巩固(可直接打印)

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第十五讲:《平面向量》全章复习与巩固【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示;2.向量的线性运算(1)通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;(2)通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义;(3)了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;(3)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一:向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:(1)字母表示法:如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ,CD uuu r等.(3)坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA u u u r 的坐标,记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等,记为a b =r r.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0r与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算 1.运算定义运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1,y 1),OB --→=(x 2,y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2,y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1,y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ,y) 则()a x y λλλ→=,两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律 加法:①a b b a +=+r r r r (交换律); ②()()a b c a b c ++=++r r r r r r(结合律)实数与向量的乘积:①()a b a b λλλ+=+r r r r ; ②()a a a λμλμ+=+r r r;③()()a a λμλμ=r r两个向量的数量积:①a →·b →=b →·a →; ②(a λ→)·b →=a →·(b λ→)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r ,称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合.①其中12,e e u r u u r叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e u r u u r的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.③当基底12,e e u r u u r是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标, 即若A(x ,y),则→--OA =(x ,y);当向量起点不在原点时,向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则→--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)(2)两个向量平行的充要条件 符号语言:)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ坐标语言为:设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r,则a →∥b →⇔(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),或x 1y 2-x 2y 1=0.(3)两个向量垂直的充要条件 符号语言:⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a坐标语言:设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r,则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质: ①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度);②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断);③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).要点诠释:1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明;(2)向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路:先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用:①证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)②证明垂直问题,常用垂直的充要条件⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔02121=+y y x x③求夹角问题,利用cos a ba b θ⋅=⋅r rr r 222221212121y x y x y y x x +++=④求线段的长度,可以利用2||→→=a a或12PP =u u u u r【典型例题】类型一:平面向量的概念 例1.给出下列命题:①若|a r |=|b r |,则a r =b r;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a r =b r ,b r =c r ,则a r =c r ;④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r;⑤ 若a r //b r ,b r //c r ,则a r //c r ;其中正确的序号是 .(2)设0a u u r 为单位向量,(1)若a r 为平面内的某个向量,则0a a a =⋅r r u u r ;(2)若a r 与0a u u r平行,则0a a a =⋅r r u u r ;(3)若a r 与0a u u r 平行且1a =r ,则0a a =r u u r.上述命题中,假命题个数是( )A.0B.1C.2D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。

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一、向量的概念与线性运算考点一: 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若==则(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ρρ=,c b ρρ=,则c a ρρ=;(7)若b a ρρ//,c b ρρ//,则c a ρρ//(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A(9) b a ρρ=的充要条件是||||b a ρρ=且b a ρρ//;考点二: 向量的加、减法题型1: 考查加法、减法运算及相关运算律例2、化简)()(---题型2: 结合图型考查向量加、减法例3、在ABC ∆所在的平面上有一点P ,满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A .13B .12C .23D .34例4、如图,在ΔABC 中,D 、E 为边AB 的两个三等分点,CA→ =3a ,CB → =2b ,求CD→ ,CE → .B D E考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例5、设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A 、B 、D 三点共线,求k 的值。

例6、已知A 、B 、C 、P 为平面内四点,求证:A 、B 、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m 、n ,使PC → =mP A → +nPB→ ,且m+n=1。

二、平面向量的基本定理与坐标表示考点一: 平面向量基本定理题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量例7、在△OAB 中,21,41==,AD 与BC 交于点M ,设=a r ,=b r ,用a r ,b r 表示OM 。

例8、若已知1e 、2e 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A .1e 与—2eB .31e 与22eC .1e +2e 与1e —2eD .1e 与21e例9、在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4,BN 与CM 交于点P ,且 , AC AB a b ==u u u r r u u u r r ,试 用, a b r r 表示AP u u u r考点二: 平面向量的坐标表示与运算题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算例10、已知A (—2,4)、B (3,—1)、C (—3,—4)且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.例11、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 例12、若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MN , 求P 点的坐标;考点三: 向量平行的充要条件题型1: 平行、共线问题例13、已知向量(1sin ,1)θ=-a ,1(,1sin )2θ=+b ,若a ∥b ,则锐角θ等于()A .30︒B . 45︒C .60︒D .75︒例14、若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同,求x例15、已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及t +=,求(1)t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限。

(完整版)平面向量知识点及练习题有答案,推荐文档

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(3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.
(4)特殊的向量:零向量 a=O |a|=O.单位向量 aO 为单位向量 |aO|=1.
(5)相等的向量:大小相等,方向相同:(x1,y1)=(x2,y2)
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量:a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 . 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ,使之分别与力 F1 , F2 , F3 相等,由于 F1 , F2 ,
F3 的合力为 0 ,则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等,又
由于力 F1 , F2 , F3 的大小相等,∴ OA OB OC ,则三角形 OCD 和三角形
6
6
(7)北偏西 300
(8) 1200
(9)略
m 6 m 3
(10) n 3

n
3 2
略解或提示:
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ,故选(D).
2.由于 AC AB AD ,∴ AC AB AD ,即 BC AD ,∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等,∴ ABCD 为平行四边形,选(A).
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. 如图:
向量 MN 用 a 、 b 表示为

高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)

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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力(1cm 长表示10N ).2、非零向量AB 的长度怎样表示?非零向量BA 的长度怎样表示?这两个向量的长度相等吗?这两个向量相等吗?3、指出图中各向量的长度.4、(1)用有向线段表示两个相等的向量,如果有相同的起点,那么它们的终点是否相同?(2)用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量,如果有相同的起点,那么它们的终点是否相同?2.2.1 练习1、如图,已知b a ,,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图,已知b a ,,用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空:(1)________;=+d a(2).________=+b c4、根据图示填空:(1)________;=+b a(2)________;=+d c(3)________;=++d b a(4).________=++e d c2.2.2 练习1、如图,已知b a ,,求作.b a -2、填空:________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证:b a b)(a --=+-2.2。

(完整版)高中数学平面向量讲义

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算(1)向量的基本看法:①向量:既有大小又有方向的量向量不能够比较大小,但向量的模能够比较大小.②零向量:长度为0 的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行③单位向量:模为 1 个单位长度的向量④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur(2)向量的加法:设AB a, BC b ,则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ;②向量加法满足交换律与结合律;uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ,但这时必定“首尾相连”.(3)向量的减法:①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量②向量减法:向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差,③作图法: a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量( a 、b有共同起点)(4)实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定以下:(Ⅰ)a a ;(Ⅱ)当0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当0 时,a0 ,方向是任意的(5)两个向量共线定理:向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数,使得b= a (6)平面向量的基本定理:若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任向来量 a ,有且只有一对实数 1 ,2使:a1e12e2,其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页(1) 平面向量的坐标表示 :平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ,记作 a =(x,y) (2)平面向量的坐标运算:rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ,则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ,则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ,则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ,则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ,则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积(1)两个向量的数量积:已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ,它们的夹角为 ,则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)r r规定 0 arr rrr= a b(2)向量的投影: ︱ b ︱ cosr ∈ R ,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影(3)数量积的几何意义:r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积(4)向量的模与平方的关系:r r r 2 r 2 a a a | a |(5)乘法公式成立:r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ; a ba 2ab ba2a b b(6)平面向量数量积的运算律:①交换律成立:rrr r a bb a②对实数的结合律成立: r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立:r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意:( 1)结合律不成立:r r r r r r ab c a b c ;r rrrr r ( 2)消去律不成立 a ba c 不能够获取b c(rr=0r r r r3) a b 不能够获取 a =0 或 b=0(7)两个向量的数量积的坐标运算:rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ,则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r ( 8 ) 向 量 的 夹 角 : 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= (0 0180 0 ) 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时, θ =0 ,当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ,同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r (9)垂直 :若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b( 10)两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ ba ·b = Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;rr r r ②若 a b ,则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ;ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ,则 m p ; ⑤若 a // b , b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ,且 a b 0 ,则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ;⑨若 a 与 b 方向相同,且 a b ,则 ab ;⑩由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a 1, 2a b10 ;求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 , b 3 , a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a , b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ,求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o , |a| 3, | b |2 ,若 (3a 5b) (ma b) ,求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 , b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______()A . 5B . 10C . 2 5D . 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ,则以下结论必然正确的选项是( )r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . ()A .若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB .若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C .若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD .若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2, a,sin ,b,22r r r r (1)证明 a b a b ;(2)r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b)【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是(| a ||b |r r r r r r r rr r A.a b B.a // b C.a 2b D.a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中, A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ,uuur1uuurRuuur uuur2 ,则AQ AC ,BQ CP=()A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形,设 P、Q满足AP AB AQ 1AC,,uuur uuur 3,则R BQ CP=()2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .()A.3B.7C.2 2D.23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC()A.2, 4B.2,4C.6,10D.6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ,平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD()A.1r1rB.2r2rC.3r3rD.4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ,则点 Q 的坐标是()A.( 7 2,2) B. (72,2)C.( 4 6, 2)D.( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ,BC2,点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中,AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点,则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图,在VABC中,AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中,AB = DC =( 1,1),uuur BA uuur BC uuur BD ,BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中,若AB2,3 , AC 6, 4 ,则 VABC 面积为【例 14】( 2012 年河北二模)在VABC中,AB 边上的中线CD=6 ,点 P 为 CD 上(与 C,D )uuur uuur uuur不重合的一个动点,则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

(完整版)平面向量全部讲义

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第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.例1.若向量a与b不相等,则a与b一定()A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量例2..给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC等价于四边形ABCD为平行四边形;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b等价于|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.④⑤CA2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb例3:化简AC→-BD→+CD→-AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D.0例4:(1)如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0B.BE C.AD D.CF(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.巩固练习:1.将4(3a+2b)-2(b-2a)化简成最简式为______________.2.若|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,则非零向量OA→,OB→的关系是() A.平行B.重合C.垂直D.不确定3.若菱形ABCD的边长为2,则|AB-CB+CD|=________4.D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD等于()A.-BC+12BA B.-BC-12BA C.BC-12BA D.BC+12BA5.若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子:①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.如图,在△ABC中,D,E为边AB的两个三等分点,CA→=3a,CB→=2b,求CD→,CE→.DD12巩固练习1。

(完整版)必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练

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a b a b AB DC AB DC a (1,1), b 1), c c 按向量 =(-1、向量有关概念:平面向量复习基本知识点及经典结论总结(1) 向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。

例:已知 A (1,2),B (4,2),则把向量1,3)平移后得到的向量是 AB a。

(2) 零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向 ;(3) 单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是:);(4) 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有 ;(5) 平行向量(也叫):方向 或的非零向量 a 、b 叫做平行向量,记作:,规定零向量和任何向量平行。

提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有0 );④三点 A 、、B C 共线⇔ AB 、AC 共线;(6) 相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是。

例:命题:(1)若 =,则 =。

(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。

(3)若 = ,则 ABCD 是平行四边形。

(4)若 ABCD 是平行四边形,则 =。

(5)若 a = b ,b = c ,则 a = c 。

(6)若 a // b ,b // c ,则 a // c 。

其中正确的是 ; 2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等;(3)坐标表示法:在 平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = (x , y ),称(x , y )为向量 a 的坐标, a =叫做向量 a 的坐标表示。

人教A版数学必修4 课件 平面向量

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始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A.一条线段
B.一条直线
C.圆上一群孤立的点 D.一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量(精品课件)
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3.判断下列各命题的真假:
(1)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;
(2)向量 a 与向量b 平行,则 a 与 b 的方向相同或 相反;
A
D
F
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B
C E
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A
D
F
B
C E
解:(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A(起点)
(1)几何表示法:有向线段(起点、方向、长度 )
(2)字母表示法: a , b , AB
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【即时训练】
下列说法正确的是( D) A、数量可以比较大小,向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
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【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小?
向量不能比较大小,我们知道,长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向 量之间只有相等关系,没有大小之分,对于向

必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

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1、概念向量:既有大小,乂有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度.单位向量:长度等丁 1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平■行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:a b b a a b 0向量表示:几何表示法 AB ;字母a 表示;坐标表示:a=x i+y j = (x, y).向量的模:uuu r urn rr设OA a ,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作:|a|.■- r r 2 r .2 2(|a| Jx y ,a |a| x y 。

)零向量:长度为0的向量。

a = O| a I =O…… 一一一 ,,r j …r r ............................. ......................... ..... ........... .................. 【例题】1.下列命题:(1)若a b,则a b 。

(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点uuu uuir相同,终点相同。

(3)若AB DC ,则ABCD 是平行四边形。

(4)若ABCD 是平■行四边形,则 uuir unr r r r r rrr r r r r rABDC。

(5)若 a b,b c,则 a c 。

(6)若 a//b,b//c ,贝U a//c 。

其中正确的是r r uu r2. 已知a,b 均为单位向量,它们的火角为60°,那么|a 3b| = 2、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相接连端点. ⑵平■行四边形法则的特点:起点相同连对角.平■面向量知识点整理4、向量数乘运算:⑴实数与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.②当。

时,a 的方向与a 的方向相同;当。

时,a 的方向与a 的方向相反;当。

时,a 0.r r⑵E 算侔:① a a :② a a a :③ a br r⑶坐标E 算:设 a x, y ,贝U a x, y x, y⑶三角形不等式: ,、、一…一 . ........ r r ⑷E 算性质:①父换侔:a br r _,…b a -②结合律:r r r 0 0a__ _ _ rr⑸坐标E 算:设a x1,y1 , br bra贝y2x 2,y i ¥23、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.r iuir iuirb Crr r r⑵坐标E 算:设 a x 1,y 1, b x 2,y 2,贝U a b x i x 2,y i y 2uuu两点的坐标分别为x 〔,y i , X2N2,则 x 〔 x 2,y i V2【例题】uur (i)① AB uur nnr BC CDunr urnr UULT 2 AB AD DCIUIT ③(AB CD) (AC uii uir uiur BD)(2)若正方形ABCD 的边长为uuu r uur r uuir i, AB a, BC b, AC r r r rc ,贝 U | a b c | =1 ..【例题】1若M -3、-2、N 6、-1 、且MP - MN,则点P 的坐标为3-----------5、向量共线定理:向量a a 0与b 共线,当且仅当有唯—个实数,使brr r r r r 2 r r 2a X i ,y i , bX2N2 , (b0)(a b)(|a||b|)。

1高一数学必修四课件加习题精选:31平面向量的基本定理

1高一数学必修四课件加习题精选:31平面向量的基本定理

• 已知非零向量 a , 那么在同一平
面内 的任意向量 b 是否可以由向
量 a 的线性来表示呢?
a
a
b
b
问题2:如果平面内的向量不能由单个向量线性表示, 又该如何具体表示呢? 两个向量?
给依定照平速面度内的两分个解不,共平线面的内向任量一e向1, 量e2,a可可 表作示怎平样面的内分任解一呢向?量a吗?
一个重要结论
如图, OA、OB 不共线, 且 AP t AB
(t R), 用 OA, OB 表示 OP .
OP (1 t)OA tOB
结论:已知O、A、B三点不共线,
若点 P 在直线 AB 上,
则 OP mOA nOB,
且 m n 1.
O
P B A
例1.如图,已知向量e1、e2 , 求作向量 a,
使
a
2 e1
3e2
.
e1
解:
2e1
a
e2
3e2
【例 1】 如图,OADB 是以O→A=a,O→B=b 为边的平行四边形, 又 BM=13BC,CN=13CD,试用 a,b 表示O→M,O→N,M→N.
【解析】 O→M=O→B+B→M=b+13B→C=b+13·12B→A
2.在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别是 CD,BC 的中点,设 A→M=a,A→N=b.试以 a,b 为基底表示向量A→B和A→D.
【解析】根据向量加法的三角形法则有 A→B+B→N=A→N,A→D+D→M=A→M,
即AA→→BD++1212AA→→DB= =ba, ,
解得AA→→BD==-43a23-a+23b43. b,
特别的:
a
ak
B
ObB
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《必修4》 第二章 平面向量一、知识纲要1、向量的相关概念:(1) 向量: 既有大小又有方向的量叫做向量,记为AB u u u r 或a。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别:向量既有大小又有方向;标量只有大小,没有方向。

普通的数量都是标量,力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示,但也不能说向量就是有向线段,因为向量是自由的,可以平移;有向线段有固定的起点和终点,不能随意移动。

(2)向量的模:向量的大小又叫向量的模,它指的是:表示向量的有向线段的长度。

记作:|AB u u u r |或|a|。

向量本身不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

(3)零 向 量: 长度为0的向量叫零向量,记为0,零向量的方向是任意的。

①|a|=0; ②0 与0的区别:写法的区别,意义的区别。

(4)单位向量:模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量,则|a|= 1 。

2、 向量的表示:(1) 几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB u u u r,注意:方向是“起点指向终点”。

(2) 符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a ,b等;(3) 坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 为基底向量,则平面内的任一向量a 可表示为 ,a xi y j x y r r r ,称 ,x y 为向量a 的坐标,a = ,x y 叫做向量a 的坐标表示。

此时|a|。

若已知1122(,)(,)A x y B x y 和,则 2121=--AB x x y y u u u r,, 即终点坐标减去起点坐标。

特别的,如果向量的起点在原点,那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

3、 向量之间的关系:(1)平行(共线):对于两个非零向量,若它们的方向相同或相反的,那么就称这种关系为平行,记作a ∥b。

换言之,方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量(共线向量)。

相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度,记为<a ,b> = 00或1800 。

由于向量可以进行任意的平移(所以向量又叫自由向量),所以平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

② 规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

③平行向量无传递性(因为有0r ).(2) 不平行:对于两个非零向量a 和b,如果平移后它们的夹角不是0度或180度,则称这两个向量不平行。

此时,它们夹角的范围是 <a ,b> (0, )。

特别的,当<a ,b > =2(即900)时,称为两个向量垂直,记为 a b 。

4、 由向量之间的关系引出的术语:(1) 同向向量:如果两个向量方向相同(即:共线并且夹角为0度),那么就称这两个向量是同向向量。

<a ,b> = 0(2) 反向向量:如果两个向量方向相反(即:共线并且夹角为180度),那么就称这两个向量是反向向量。

<a ,b> =同向向量和反向向量都是共线向量。

并且只考虑方向,不研究模长的大小关系。

(3) 相等向量: 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,记为b a 。

注意:① 相等向量经过平移后总可以重合,是同向向量的升级版。

② 相等向量的坐标体现为:),(),(2211y x y x 2121y y x x③ 若b a ,且c b ,则c a。

即向量相等具有传递性。

(4) 相反向量:长度相等且方向相反的两个向量叫相反向量, a 的相反向量记为-a,AB 的相反向量记为:-AB 或BA ,零向量的相反向量仍是零向量。

注意:① 相反向量是反向向量的升级版,要求方向相反,且大小相等,即|a r|=|b r |。

② 若b a 与为相反向量,则0 b a 。

③ 相反向量的坐标体现为:),(-),(2211y x y x 2121--y y x x④ 双重取反必还原:)(a =a。

5、向量的线性运算:(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。

注意 加法性质:① a a a00,任何向量与零向量的和都是任何向量;② a +(a )=(a )+a =0,一对相反向量的和一定为零向量; ③ 向量加法满足交换律:a +b r =b r +a;④ 向量加法满足结合律:(a +b r)+c =a +(b r +c );(2)向量减法:求两个向量差的运算叫做向量的加法。

记作:)(b a b a ,即求两个向量a 与b 的差,等于向量a加上b 的相反向量。

注意 ① a +(a )=(a )+a =0 ;② 若a 、b是互为相反向量,则a =b ,b =a ,a +b =0 .小结 加减法的运算法则:(作图)“三角形法则” “平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ,但这时必须“首尾相连”.(3)向量的数乘运算:实数 与向量a 的积是一个向量,所得的结果表示:在a 的方向(或a的相反方向)取 倍构成一个新向量,记作a 。

a的长度与方向规定如下:① a a ;② 当0 时,a 的方向与a 的方向相同;当0 时,a 的方向与a的方向相反;当0 时,0a ,方向是任意的③ 数乘向量满足交换律、结合律与分配律:a a a r r r , ()a a a r r r, ()a b a b r r r r6、向量的投影和数量积:(1) 两个向量的数量积:已知两个非零向量a r 与b r ,它们的夹角为 ,则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积(或内积) 规定0a r r(2) 向量的投影:︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ,称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影(3) 数量积的几何意义: a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积(4)、向量的模与平方的关系:22||a a a a r r r r(5)、乘法公式成立:2222a b a b a b a b r r r r r r r r ;2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r(6)平面向量数量积的运算律:①交换律成立:a b b a r r r r②对实数的结合律成立:a b a b a b R r r r r r r③分配律成立: a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意:(1)结合律不成立: a b c a b c r r r r r r;(2)消去律不成立a b a c r r r r不能得到b c r r(3)a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7、向量的坐标运算:(1)已知起点和终点的坐标,求向量坐标:已知1122(,)(,)A x y B x y 和,则 2121=--AB x x y y u u u r,, 即终点坐标减去起点坐标。

(2)已知向量的坐标,求向量的模:已知 ,a x y r ,则a =;已知1122(,)(,)A x y B x y 和,则 2121=--AB x x y y u u u r,,此时,|AB u u u r ,本公式等价于“两点间距离公式: 已知1122(,)(,)A x y B x y 和则AB 。

(3)已知两个向量的坐标,求这两个向量加减、数乘和数量积:①加减:已知 1122,,,a x y b x y r r ,则 1212,a b x x y y rr ,即对应横纵坐标相加减。

②数乘:已知 ,a x y r ,则 ,=,a x y x y r(),即倍数对坐标作分配。

③数量积:已知 1122,,,a x y b x y r r ,则1212a b x x y y rr ,即对应坐标之积再相加。

(4)已知两个向量的坐标,求这两个向量的夹角或夹角余弦值:已知 1122,,,a x y b x y r r,则cos ,a ba b a b r r r r r r 。

8、 向量的夹角已知两个非零向量a r 与b r ,作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= (001800 )叫做向量a r 与b r 的夹角,记为,a b rr 。

① 研究向量夹角时,必须将两个向量的起点移动到同一点上;② 当且仅当两个非零向量a r 与b r同方向时,,0a b r r ③ 当且仅当a r 与b r反方向时,a b r r④ 0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题⑤ cos =cos ,a b a b a b • •r r r r r r⑥ 向量夹角与数量积的关系:当 为锐角时,a •b >0(反之不成立,因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角,可能是平行且同向);当 为钝角时,a •b <0。

(反之不成立,因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角,可能是平行且反向)9、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

若给定一组基底向量,则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应,当这组基底是两个相互垂直的单位向量时,这组基底可以构成一个系统,这个系统叫平面直角坐标系,与向量对应的实数对就是坐标。

10、向量垂直(共线)的基本定理(1)共线: a r ∥b r,(0)a b b r r r r ,此为向量平行的符号表达。

若 1122,,,a x y b x y r r ,则1221//0a b x y x y rr 或 2121y y x x ,此为向量平行的坐标表达。

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