八上 第一章 轴对称图形 复习课
第一章 轴对称图形 复习课
第一章轴对称图形复习课学习目标：1、回顾和整理本章所学知识，用自己喜欢的方式进行总结的归纳，构建本章知识结构框架，使所学知识系统化；2、进一步巩固轴对称性质和简单的轴对称图形——线段、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形的性质，并能运用这些性质解决问题；学习重点:轴对称图形的性质，以及运用于解题学习难点:有条理地表达，熟练地运用已知结论解决问题学习过程:一、【知识梳理】1. ，那么称这个图形是轴对称图形.2．线段的对称轴是，线段的垂直平分线有什么性质？3．角的对称轴是，角平分线有什么性质？4.等腰三角形的判定：有相等的三角形是等腰三角形；有相等的三角形是等腰三角形5.等边三角形的判定：都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形.6.等腰三角形的性质：等腰三角形的相等；等腰三角形的、、互相重合.7．直角三角形斜边上的中线 .8.等腰梯形的性质：（1）边：；（2）角：；（3）对角线：.9.等腰梯形的判定： .二、【热身练习】1．下列图形中，轴对称图形有（）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2. 右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .3.如右图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝36°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点D ，则∠BCD 的度数是____________. 4．已知AB 垂直平分CD ，AC=6cm,BD=4cm ，则四边形ADBC 的周长是 .5．如图，以正方形ABCD 的一边CD 为边向形外作等边三角形CDE ，则∠AEB= .6. 等腰三角形ABC 中，（1）若∠A=80°，则∠B= °；（2）若周长为8cm ，AB=3cm ，则BC= cm7.等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．三、【典型例题】例1、已知∆ABC 中，AB=AC=10，DE 垂直平分AB ，交AC 于E ，已知∆BEC 的周长是16.求∆ABC 的周长.例2、如图，已知D 、E 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明BD=CE 的理由?B C D N M AA B CED例3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ．试说明：AO ＝DO ．测试题1.下列图形不是轴对称图形的是 （ ）A 、有两个外角相等的三角形.B 、有一个内角为45°的直角三角形.C 、有一个内角为60°的等腰三角形.D 、有一个内角为40°的直角三角形.2．下列命题中，正确的是 ( )A ．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线B ．等腰三角形的对称轴是底边上的高C ．一条线段可看作是以它的垂直平分线为轴的轴对称图形D ．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线3．下列说法正确的是 ( )A ．等腰梯形的对角线互相平分B ．有两个角相等的梯形是等腰梯形C ．对角线相等的四边形是等腰梯形D ．等腰梯形的对角线相等4.如果等腰三角形两边长是6㎝和3㎝，那么它的周长是 （） A 、9㎝ B 、12㎝ C 、12㎝或15㎝ D 、15㎝5.等腰三角形是 对称图形，它至少有 条对称轴.6.若等腰三角形的一个角为50°，则其他两个角的度数为________________．7.等腰梯形的腰长为12cm ，上底长为15cm ，上底与腰的夹角为120°，则下底长为 cm ．8.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠A ＝120°，对角线BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是 ；又若AD ＝5，则BC ＝ ．OCDA B D E A9.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AB 的中垂线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论：（1）BD 平分∠ABC ；（2）AD =BD =BC ；（3）△BDC 的周长等于AB +BC ；（4）D 是AC 中点.其中正确的命题序号是 .10.在△ABC 中，∠C =90°，DE 垂直平分斜边AB ，分别交AB ，BC 于D ，E .若∠CAE = ∠B +30°，求∠AEB .11如图，已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点.试探索FG 与DE 的关系.12.如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连结AF.求证：∠B=∠CAF.F E D C BA EB DC A G F ED C BA · ·。
第一章轴对称图形复习教学案(1)(苏科版八年级上)
2、轴对称图形的对称轴的条数（ ）
（A）只有一条 （B）2条 （C）3条 （D）至少一条
3、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.两条相交直线B.线段
C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段
4、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点
1）当MN满足什么条件时，将长方形ABED以MN为折痕翻折，翻折后能使C点恰好和A点重合；
2）梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积相等吗？为什么？
24、已知直线 及其两侧两点A、B，如图.
（1）在直线 上求一点P，使PA=PB；
（2）在直线 上求一点Q，使 平分∠AQB.
第23题
25、在矩形ABCD中，将△ABC绕AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如图.试说明EF=DF.
18、如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm,∠A=49º，求△BCE的周长和∠EBC的度数.
19、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。（保留画图痕迹，不写画法）
7、如图，A、B是安达公路边两个新建的居民小区，某镇需在公路边增加一个公共汽车站，这个公共汽车站建在什么位置，才能使两个小区到车站的路程一样，找出汽车站的位置并说明理由。
8、点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA于A，QB⊥OB于B，则AQ＝____ ,理由是_____________________________________。
图形的轴对称复习课
1、下列各图哪些是轴对称图形，是轴对 称图形的画出它的对称轴：
2、将一张矩形的纸对折，然后用笔 尖在上面扎出“B”，再把它铺平， 你可见到（ C ）
3、下列图形中,不是轴对称图形的是 (D ) (A)线段MN (B)等边三角形ABC (C)钝角∠ADB (D)直角三角形
5、在0~9中不管如何放置，镜中的 0、1、8 像都和原来数字一样的是＿＿＿＿＿
N
7、轴对称的性质： （1）对应点所连的线段被对称轴 垂直平分 ＿＿＿＿ （2）对应线段 相等； （3）对应角 相等 。 如图，是用笔尖扎重叠的 纸得到的成轴对称的两个 图形，则AB的对应线段是 GH; EF的对应线段是CD； ∠C的对应角是∠E 连结CE交L于O， 则 L ⊥CE ，且 CO = EO ＿＿
生活中的 轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条
直线折叠后，直线两旁的部分能重合， 那么这个图形叫做轴对称图形 ， ＿＿两个图形沿一条直 线对折后，它们能完全重合，那么称这 两个图形 成轴对称 ，这条直线就是 对称轴。
名称 角 线段
等腰三角形 等边三角形 长方形 正方形 等腰梯形 圆形 扇形
5、△ABC中，AB=AC， 75 ∠A=30°，则∠B=＿＿＿
6、等腰三角形的一个角为45°， 则它的底角为＿＿＿ 5 45 或67 .
7、等腰三角形的一个角为96°， 42 则它的底角为 ＿＿＿
8、如图，△ABC中，AB=AC （1）若∠1=∠2，BD=3cm， 则BC= 6 cm （2）若AD⊥BC，CD=5cm， 则BD= 5 cm B （3）若BD=CD，∠1=20°， 则∠BAC=＿＿＿ 40
A
12
D
C
9、裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F 点处，若∠BAF=60°， 则∠DAE= ＿＿ 15
轴对称复习课优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
利用轴对称变换作图1
作出三角形关于直线L对称图形
第21页
利用轴对称变换作图2
如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方， 可使所用输气管道线最短？
A
B
L P
第22页
相关概念、性质（三）
• 平面直角坐标系中：
•
点（X，Y）关于X轴对称点坐标是（X，-
复习目标
1.在回顾和思索基础上，构建本章知 识结构图。
2.经过对概念、性质、判定等内容回 顾和归类，形成知识链。
第2页
生活中轴对称现象（1）
建 筑
第3页
建 筑
第4页
生活中轴对称现象（2）
商 标
第5页
生活中轴对称现象（3）
艺 术 品
第6页
生活中轴对称现象（4）
剪 纸
第7页
生活中轴对称现象（5）
第11页
相关概念、性质（一）
2.轴对称
把一个图形沿一条直线折叠， 假如它能够与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条直线对称。
第12页
区分与联络
轴对称图形 轴对称
区
1.对一个图形而言 对两个图形而言
别
• 2.是一个含有轴 • 是两个图形位置关
对称图形
系
联
1.都有对称轴
• 2.能够转化：假如把轴对称图形沿对
2.
A
如图，∠AOB内有一点P，
P 在边OA、OB上分别作两
O
点M、N，使△PMN周长
最小。
B
第25页
作业
1.必做题：完成书P1561---4题。 2.选做题：书P1578---10题。 3.思索题：书P137—8、9题。
第一章轴对称图形-复习课课件1
辨析与思考：
(1)如果一个图形沿着某条直线对折，两侧的图形能够完
全重合，这个图形就是轴对称图形
（）
(2)全等图形不一定是轴对称图形。 （ ）
(3)线段的对称轴是它的垂直平分线
Байду номын сангаас
（）
(4)等边三角形有３条对称轴。
（）
(5)一个角的角平分线就是这个角的对称轴 （ ）
(2)小丽用如图①的直角三角形铁皮，烙一块与铁皮形状、 大小相同的饼。如果烙好一面后就把饼翻身，那么这块 并不能正好落在“锅”中。如图②，小丽将饼切了一刀， 然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中了， 这是为什么？
(3)如果用来烙饼的既不是等腰三角形也不是直角三角形 (如图③)，那么烙好一面后，怎样将烙饼翻身，才能使 烙饼仍能正好落在锅中？
20世纪著名数学家赫尔 曼·外 尔所说的，“对称是一 种思想，人们毕生追求，并创造 次序、美丽和完善……”
知识点复习：
轴对称 一个图形沿着某一条直线折叠,
如果它能够与另一个图形______,那么就
说这两个图形成轴对称.这条直线就是
______.两个图形中的对应点叫做
.
轴对称图形 一个图形沿着某条直线对折,
CF⊥BD于F，交DE于G，DF= 1 BC，试
说明∠FCB= 1∠B
2
2
D
F
A
G
B
E
C
本节课小结：
本节课我们复习了哪些知识点？ 你对本节课所复习的知识又有了哪些新的
认识？
设计轴对称图案
图案的对称不但要求图形对称外，有 时颜色也“对称”。
人教版八年级数学上册《轴对称》优秀课件3
求BC的长
M
N
B
C
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂 直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，
求∠B的度数。
C E
B
D
A
3、 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE 的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度 有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？
AB=AC=CE AB+BD=DE
变式：将边换成角（口答）
4、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，
(1)写出△ABC中相等的线段和相等的角.
(2)求△ABC中∠A的度数.
A
D
B
C
5、趣味数学：
如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF的 度数。
A
(提示:过D作DG∥AE交BC于G 证△DFG≌△EFC即可)
D
B
GF
C
E
12、已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上 的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q， 求证：
（1）∠APE=60°
（2）BP=2PQ．
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
A
∴AB=AC=BC，∠C=∠ABC=60°，
（1）正面照镜子（左右对称——只改变左右） （2）水中倒影（上下对称——上下、左右都改变）
我思,我进步 1
4、下列图形中，不是轴对称图形的是（ C ）
A角
B 线段
C 任两边都不相等的三角形 D 等边三角形
5、下列图形中，只有一条对称轴的是（ C ）
新人教版八年级上册数学[轴对称全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】【389304 轴对称复习，本章概述】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF 对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：连接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A 、B ，在直线上求一点C ，使它到A 、B 之和最小．（保留作图痕迹不写作法） （2）知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小（保留作图痕迹不写作法）②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC ，AE=DE ，∠AMN+∠ANM 的度数为 ．【答案】解：（1）作A 关于直线MN 的对称点E ，连接BE 交直线MN 于C ，连接AC ，BC ， 则此时C 点符合要求．（2）作图如下：（3）①作图如下：②∵∠BAE=125°，∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．【答案】D；【解析】解：∵该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），∴对称点到直线x=3的距离为2，∵点M（a，3）到直线x=3的距离为2，∴a=1【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键．举一反三：''【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A OB 关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【答案】D ；提示：因为Rt △AOB 与Rt △A OB ''关于直线m 对称，所以通过作图可知，A '的坐标是（－2，－1）．【轴对称复习：例10】【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】解：满足条件的点D 的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）. 类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12A B•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°， ∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE = 又,AB AC AE =∴垂直平分BC ．∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】 解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DEACD123B 5 E∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°类型三、等边三角形的综合应用6、（2014秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE=DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【答案与解析】解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；（2）AE=DB，理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF，BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，∴∠DEB=∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB=EF，则AE=DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB=EF=2，BC=1，则CD=BC+DB=3．【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．。
苏科版初中数学八年级上册精品教案第一章 轴对称图形
义务教育基础课程初中教学资料第一章轴对称图形1．1 轴对称和轴对称图形教学目标：1、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念；2、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；3、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系；4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值。
教学重点：正确辨认轴对称图形，画出它们的对称轴；教学难点：设计简单轴对称图案；教学过程：一、创设情境：动手操作：用一张正方形的纸片，二、新课讲解：1、观察、思考：（投影片）P4 4幅图，观察下列四幅图形，你能发现它们有什么共同特征，说出来与同学交流。
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、动手试一试：观察课本第4页几幅图中，画出它们对称轴。
3、探索思考：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
动手画出第5页几幅图片的对称轴。
说说你所熟悉的图形是否是轴对称图形，对称轴是什么？与同学讨论、交流，同小组互相补充。
轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯级、等腰三角形、角、线段等。
学生口述对称轴的位置。
4、讨论、交流：轴对称与轴对称图形的区别与联系。
区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分能完全重合。
联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
5、观察、思考：镜像特征：哪些字母在镜中的像与原字母一样？哪些发生了改变？说说它们的对称轴；手在镜中的像有什么变化？说说生活中的轴对称和轴对称图形。
6、欣赏大自然风景（倒影）并说说它们的对称轴的位置。
三、课堂练习：1、P1 22、动手制作一轴对称标志（校运会）四、本节课的收获：1、什么是轴对称和轴对称图形；2、如何画出对称轴、如何找对称点？3、生活中的轴对称和轴对称图形。
轴对称及轴对称图形(复习课)
8 B
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， 如图,在梯形ABCD中 AD∥BC， ABCD DC的中点 EF⊥AB于点 的中点， 于点F E是DC的中点，EF⊥AB于点F． 求证：S梯形ABCD=AB×EF． 求证： =AB×EF．
A F E D
B
C
G
平移底,梯形转化成:三角形. 平移底,梯形转化成:三角形.
5．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝ 在梯形ABCD中 AB∥DC，AD＝ ABCD BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD， BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD， 则梯形的面积= 则梯形的面积= ．
A B
D
E
C
F
6．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 如图,梯形ABCD中 AD∥BC， ABCD 分别是AD BC的中点,∠B+∠C=90° AD、 的中点,∠B+∠C=90 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C=90°， 请说明EF= （BC-AD）． 请说明EF= 1 BC-AD）．
D C B
E
5、如图，△ABC中，AB的垂直平分线 如图， ABC中 分别交AB BC于点 AB、 于点D AC的垂直 分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直 平分线分别交AC BC于点 AC、 于点F 平分线分别交AC、BC于点F、G，若 BC=20， AEG的周长为多少 的周长为多少？ BC=20，则△AEG的周长为多少？
A
F
N E
B M
C
10、已知△ABC是等腰三角形，过 10、已知 ABC是等腰三角形，过
△ABC的一个顶点的一条直线，把 ABC的一个顶点的一条直线，把 △ABC分成两个小三角形，如果这 ABC分成两个小三角形，如果这 两个小三角形也是等腰三角形，问 △ABC顶角的度数是多少？ ABC顶角的度数是多少？
第一章复习课(第一课时)
1.在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母， 那么不是轴对称图形的是（ ）
2.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心 对称图形的是( )
3.在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出变换 后的图形（图中每个小正方形的边长为个单位）： （1）向右平移个单位；（2）关于轴对称； （3）绕点顺时针方向旋转．
第一章 轴对称图形
——— 轴对称及轴对称图形的意义以及折叠问题
上峰中学：程志关
1．轴对称： 2．轴对称图形： 3．轴对称的性质： 4．简单的轴对称图形： 线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 5.图形对称轴的条数： 正n边形有n条对称轴 圆有无数条对称轴。
考点讲解： 考点讲解：
常见的折叠问题有两种类型： 常见的折叠问题有两种类型：一种是将一 个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置， 个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这 时候，这条直线两旁的图形全等； 时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将 一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合， 一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合， 此时， 此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直 平分线。 平分线。
1．已知：点A、B分别在直线l的同侧，在直线l上 找一点P，使PA+PB最短。
D C A B l
A B A P B
变形1：正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，在对角 线AC上找一点P，使PA+PB最短。 变形2：已知点A（1，6）、点B（6，4），在x轴和y轴上 各找一点C、D，使四边形ACDB的周长最短。
《13.1.1轴对称》学历案-初中数学人教版12八年级上册
《轴对称》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“初中数学课程《轴对称》”。
轴对称是初中数学中一个重要的概念，它涉及到图形的对称性、对称轴的寻找以及在实际生活中的应用等。
通过本课的学习，学生将能够理解轴对称的基本概念和性质，并能够通过具体实例来应用这一概念。
二、学习目标1. 理解轴对称的基本概念和性质，掌握对称轴的寻找方法。
2. 能够通过具体实例来识别和判断轴对称图形。
3. 培养学生的空间想象能力和几何直觉，提高学生的数学思维能力。
4. 了解轴对称在现实生活中的应用，增强学生的数学应用意识。
三、评价任务1. 能否正确理解轴对称的概念和性质。
2. 能否准确找出图形的对称轴。
3. 能否通过具体实例来识别和判断轴对称图形。
4. 能否将所学知识应用到实际生活中，解决实际问题。
四、学习过程1. 导入新课：通过展示一些轴对称图形，引导学生观察图形的特点，引出轴对称的概念。
2. 概念讲解：通过讲解和举例，让学生理解轴对称的基本概念和性质，明确对称轴的概念。
3. 探究活动：组织学生分组进行探究活动，让学生通过自己动手操作、观察、思考来发现图形的对称性，并尝试找出图形的对称轴。
4. 课堂互动：进行课堂互动环节，让学生提出自己的疑问和看法，老师进行解答和引导，加深学生对轴对称的理解。
5. 总结归纳：对整节课的内容进行总结归纳，强调重点和难点，让学生对所学知识有一个全面的认识。
五、检测与作业1. 课堂检测：进行课堂小测验，检测学生对轴对称概念的理解和掌握情况。
2. 作业布置：布置相关练习题和实际问题，让学生通过练习来巩固所学知识，并尝试将所学知识应用到实际生活中。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在课堂上的表现，总结自己的不足之处，以便在今后的学习中加以改进。
2. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的优点和不足，以便在今后的教学中加以改进。
同时，教师还应根据学生的反馈和课堂表现，调整教学策略和方法，以提高教学效果。
第一章 轴对称图形 复习课
第一章 轴对称图形 复习课班级 姓名 学号 等第学习目标：1、 回顾本章所学知识，查漏补缺2、运用诸性质解题，体会几何证明的思想，学会清晰、有条理地表达思想学习重点: 轴对称图形的性质，以及运用于解题学习难点: 有条理地表达，熟练地运用已知结论解决问题 学习过程:1.写出一个有三条对称轴的轴对称图形____________。
2.线段垂直平分线可以看作___________________的集合.3. 右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为.4、如图所示，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使得点D 落在BC 边上的点F 处，如果∠BAF ＝50°，则∠DAE 的度数是多少？A BCD EF5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，试添加一个适当的条件使梯形ABCD 是等腰梯形，你添加的条件可以是 （写出所有可能的）6. 等腰三角形底边上的高是底边的一半，则其顶角的大小为___________．7.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝36°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点D ，则∠BCD 的度数是____________。
BCD NMA8.如图，△ABC 中，∠B ＝80°，AC 边的垂直平分线DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，且∠ACD ∶∠BCD ＝2：1，则∠ACB ＝______.DE C AB9、墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB ＝AC ，BC 边的中点D 处挂了一个重锤。
小明将BC 边与木条重合，观察此时重锤是否通过A 点，那么这根木条是水平的，这是因为_______________________________AD BC10、如图，∠A ＝15°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，则∠DEF 等于_________CDE*11、在正三角形ABC 所在的平面上找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形。
第一章轴对称图形(复习课)079PPT课件
直线对称; ④连结DF,EF. (2)通过观察和测量,猜想△DEF是什么三角形.
等腰三角形、梯形的 轴对称性
回顾与复习
等腰三角形的性质： A
= （
P
且PC＝PD
O
∴点P在∠AOB的平分线上．
DB
简单应用
1. 指出下列图案是否是轴对称图形， 如果是请指出有几条对称轴
（5）
（6）
简单应用
2. 下列说法正确的是( B )
⑴ 全等的两个图形一定对称.
⑵ 成轴对称的两个图形一定全等. √
⑶ 若两个图形关于某直线对称,则它们 的对应点一定位于对称轴的两侧.
线段的垂直平分线 上的点到线段两端 的距离相等．
A
·P
a
B
练：《补充》/17（1）
动脑筋
12 如图,要在河边
修建一个水泵站, 向张庄、李庄送水. 修
在河边什么地方,可使使用的水管B最短？
A
∟
· ·P
a
把问题转化成第10题的形式画图。
练：《补充》/17（2） 课本38页/9
练一练
《课本》37-38页 复习巩固/1.2.3.4.5，9
4
形，首先应确定 对称轴，然后找
·D2
C·
出对称点。且点D 必须在格点上
·A ·B
综上所述：
·D 3
·D1
方格纸中符合要求的点D有4个。
8.分别画出（1）（2）（3）中,已知△ABC 关于直线l 的对称△A′B′C′
l
A
∟
北师大版八年级数学上册《轴对称与坐标变化》示范公开课教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
教科书 第70页 习题3.5 第1、3题
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
它像一片树叶.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
y
(2)将所得图案的各个顶点的横
坐标保持不变，纵坐标分别乘
-1，依次连接这些点，那么图
形会怎么变化？
-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
两个图案关于x 轴对称.
(x，y) (5，2) (4，4) (6，3) (7，6) (8，3) (10，2) (7，1) (5，2) (-x，y) (5，-2) (4，-4) (6，-3) (7，-6) (8，-3) (10，-2) (7，-1) (5，-2)
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
典型例题
例 (2)将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1， 依次连接这些点，那么图形会怎么变化？
y
5
4 3
两个图案关于y
2
轴对称.
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 -1
x
-2
-3
(x，y) (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，-1) (3，0) (4，-2) (0，0) (-x，y) (0，0) (-5，4) (-3，0) (-5，1) (-5，-1) (-3，0) (-4，-2) (0，0)
随堂练习
抢答
3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，请你试着分
别作出△ABC关于x轴和y 轴对称的图形.
新青岛版八年级数学上册《轴对称的基本性质》精品课件
4
3
·A (2,3)
2
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
-4
123
·
A’(2,-3)
45 X
你能说出 点A与点 A’坐标的 关系吗？
归纳：关于x轴对称的点的坐标的特点 是: 横坐标相等,纵坐标互为相反数.
练习:zxxkw
1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称， 则点Q的坐标为_____(_-_5_,__-.6 )
Y
解：点A(-3,5),B(-4,1), C(-1,3)，关于y轴对称 点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接 A’B’,B’C’,C’A’,就得到 △ABC关于y轴对称的
· A
5
·A’
· · c4 3 C’
·2
B
1
·B’
△A’B’C’.
-4 -3
归纳:对于这类问题,只要先求出已
知图形中的一些特殊点(如多边形
-2
-1-10
-2 -3
的顶点)的对应点的坐标,描出并连 接这些点,就可以得到这个图形的
-4
12345 X
轴对称图形.
探究3:如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对 称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?
Y 5
P(-2,3) 4
·3 · M(-1,1)2
2、点M(a, -5)与点N(-2, b)关于 x轴对称，则a=__-_2__, b =__5___.
探究2：如图，你能在平面直角坐标系中画
出点A关于y轴的对称点吗?
Y
你能说出
5
点A与点 A’坐标的 关系吗？
· A’(-2,3) 4 3 2
八上 第一章 轴对称图形 复习课
第一章轴对称图形复习课教案学习目标：1、回顾和整理本章所学知识，用自己喜欢的方式进行总结的归纳，构建本章知识结构框架，使所学知识系统化；2、进一步巩固轴对称性质和简单的轴对称图形——线段、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形的性质，并能运用这些性质解决问题；学习重点:轴对称图形的性质，以及运用于解题学习难点:有条理地表达，熟练地运用已知结论解决问题学习过程:一、【知识梳理】1. ，那么称这个图形是轴对称图形.2．线段的对称轴是，线段的垂直平分线有什么性质？3．角的对称轴是，角平分线有什么性质？4.等腰三角形的判定：有相等的三角形是等腰三角形；有相等的三角形是等腰三角形5.等边三角形的判定：都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形.6.等腰三角形的性质：等腰三角形的相等；等腰三角形的、、互相重合.7．直角三角形斜边上的中线 .8.等腰梯形的性质：（1）边：；（2）角：；（3）对角线：.9.等腰梯形的判定： .二、【热身练习】1．下列图形中，轴对称图形有（）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2. 右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .3.如右图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝36°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点D ，则∠BCD 的度数是____________. 4．已知AB 垂直平分CD ，AC=6cm,BD=4cm ，则四边形A DBC 的周长是 .5．如图，以正方形ABCD 的一边CD 为边向形外作等边三角形CDE ，则∠AEB = .6. 等腰三角形ABC 中，（1）若∠A =80°，则∠B = °；（2）若周长为8cm ，AB=3cm ，则BC= cm7.等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．三、【典型例题】例1、已知∆ABC 中，AB=AC=10，DE 垂直平分AB ，交AC 于E ，已知∆BEC 的周长是16.求∆ABC 的周长.例2、如图，已知D 、E 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明B D=CE 的理由?例3、如图，等腰梯形ABCD 中，A D ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ． B C D N M AAB C ED试说明：A O＝DO．。
八年级数学上册前两章复习指南
第1章轴对称与轴对称图形复习总体要求：复习首先要熟悉课本，认真的看几遍课本后，一定要做到，合上课本，能知道本章共几节，每节都有哪些定理和定义。
1.1 我们身边的轴对称图形复习要求：1.知道轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的定义；2.知道上述两定义的联系和区别；3.能判断一个图形是否是轴对称图形本节关键：1.常见图形中的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、长方形、菱形、正多边形和圆，其中线段有两条对称轴，分别是它的垂直平分线（也称中垂线）和它本身所在的直线；角有一条对称轴，是它的角平分线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，正n边形有n条对称轴；圆有无数条对称轴。
2.注意课本7页第4题的图（1）中的两幅图案并不关于直线l成轴对称。
3. 轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的区别：轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；两个图形关于某条直线成轴对称是指两个图形的特殊的形状和位置关系。
联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个关于某直线成轴对称的图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
1.2 线段的垂直平分线一.复习要求：1.知道什么是线段的垂直平分线；2.能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.二.本节关键：(一). 线段垂直平分线的性质定理的应用格式:PD ABPA PB =∴垂直平分(二). 线段垂直平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图1,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AB +BC ＝13,AB 边的垂直平分线MN 交AC 于点D ,求△BCD 的周长.分析:第一步:我们首先来看本题的已知条件: AB ＝AC ,AB +BC ＝13, MN 垂直平分AB ,由其中的“MN 垂直平分AB ”,我们还可以立刻得到DA ＝DB ;第二步:然后来看一下本题的未知,即要求解的东西: △BCD 的周长,即BC +CD +BD第三步:找已知和未知的联系:本题未知和已知的联系比较直接, △BCD 的周长＝BC +CD +BD = BC +CD +AD = BC +AC= BC + AB ＝13.解:MN 垂直平分MN ∴DA ＝DB ∴于是△BCD 的周长＝BC +CD +AD = BC +AC= BC + AB ＝13. 反思:本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和整体思想,例如将BD 转化为AD ,然后将CD +AD 转化为AC ,再将AC 转化为 图1B N M DC AAB,进一步将BC+AC转化为BC + AB,最终求得结果.收获: (1)通过本题,我们知道,对线段垂直平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)再一个,看到已知条件应立刻想到可以推得的结论,这样利于我们找到已知和未知之间的联系,至少可以让已知和未知离的更近一些;(3)本题所体现的转化思想我们也应该认真体会领悟,很多题目就是在这样不断转化当中得到答案的;(4)本题的解答中还运用了整体思想,求解△BCD的周长,我们并没有一条边一条边的去求解,而是将整个三角形的周长当做一个整体一起求,这也应该当做一个经验储存起来,以后碰到类似的问题也可以采用相同的方法.相应练习:①.如图,已知ABC∆的周长为8cm,∆中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,已知BCE且AC=BC+2cm,求AB,BC的长.②.如图,已知ABC∆的∆中,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E,若ABC周长为28,BC=8,求BCE∆的周长.①分析:第一步:已知条件:AB=AC,DE垂直平分AB, BCE∆的周长=BE+CE+BC=8 cm, AC=BC+2cm,由“DE垂直平分AB”可立刻推得AE=BE.第二步:未知结论: AB,BC的长第三步:找已知和未知联系:由AB=AC可知,要求AB,只需求出AC即可;故本题可转化为求AC,BC;因为AC=BC+2cm,所以我们需要找出AC和BC之间另外的关系,这样我们就可以得到关于AC,BC的二元一次方程组,进而求出AC,BC.看来我们需要再看一下本题的另外两个条件, BCE∆的周长=BE+CE+BC=8 cm,在这个等式中有BC,我们可以看一下BE和CE是否和AC有关系,不难发现,BE+CE= AE+CE=AC,即AC+BC=8 cm.解答:B A ,8DE AB AD BDAE BE BE CE BC AE CE BC AC BC ⊥==++=++=+=∴∴联立AC =BC +2可得:825cm,3cmAC BC AC BC AC BC +=⎧⎨=+⎩==解得： 反思: 本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想(所谓方程思想,就是通过设未知数,寻找已知和未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化的一种思想方法),当然构造方程的目的其实还是方便进行转化.收获:我们看到,很多时候解决和几何图形有关的问题时,需要借助于方程思想,本题本身就有一个方程AC =BC +2,但只这一个不够,这使我们想到去构造另一个方程以和它组成方程组.以后在解决类似的问题时,我们也可以考虑用方程思想;当然,本题也反复应用了转化思想.② BCE ∆的周长=18(自己分析解答)先分析,再解答,完了之后进行反思,并争取有所收获.2.用来作图①（1）如图，用尺规分别作出线段AB 与BC 的垂直平分线；（2）在（1）中，如果线段AB 与BC 的垂直平分线 交于点P ，那么P A 与PC 相等吗？为什么？②如图，要在任庄A ，李村B ，菜屯C 三个村庄之间修一座变电站O ，使它到三个村庄的距离相等，你能在图中找出点O 的位置吗？解答:只需连接AC ,AB ,然后作它们的中垂线12,l l ,两条中垂线的交点既是点O 的位置.(三)易混淆知识点1.三角形三边垂直平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能 解答:此题最容易选A 选项,实际上应该选D.反思:对于涉及几何图形的题目,当题目不给出图形时,我们就应该自己画出所有可能的图形,然后针对每种图形进行分析解答,像本题,没有明确指出(画出)三角形到底是什么样的三角形,我们至少应该画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个,并分别画出它们三边的垂直平分线,然后看看到底交点在哪里.这实际上是在运用分类讨论的思想(分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.)解决问题.收获:当以后再碰到没有几何图形的几何题目时,我们也应该考虑分类讨论.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个顶点的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题很容易选成D,实际上选C.反思:在学习角平分线性质定理之前,这个题倒不容易做错,学了之后就容易做错,三角形三边垂直平分线的交点是到三角形各顶点的距离相等,而三角形各内角平分线的交点是到三角形各边的距离相等.其实,这个题也容易做对,你只需要将两幅图形画在一起,认真的进行对比,找出它们在形式上的不同(其实差别还是很多的),然后再搞清它们实质上的区别即可(一个是利用了线段的垂直平分线性质定理,一个是利用了角平分线的性质定理).收获:对数学上的一些相似的定理,要放在一起对比学习一下,这样有利于分清它们各自的条件和结论,可以有效避免这个定理的条件推出那个定理的结论,俗话说的“不怕不识货，就怕货比货”,我们在数学上不妨拿来用一下.3.平面上到三点A 、B 、C 距离相等的点（ ）A.只有一个B.有两个C.三个或三个以上D.有一个或者一个都没有 解答:这个题容易选A,实际上应选D.反思:这里还是分类讨论的问题,这里没说三个点是否在同一条直线上,我们就应该分三个点在同一条直线上和不在同一条直线上两种情况解答.收获:永远记住,没有几何图形的几何问题,一般需要分类讨论.实际上1题和3题还告诉我们一个道理,那就是考虑问题要全面一些.(四)线段的垂直平分线的性质定理深入研究思考题:如图,PD AB 垂直平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,,,,,ADP BDP ADP BDPPA PB AD BD A B ADP BDP APD BPD S S C C ∆∆∆=∆==∠=∠∠=∠∠=∠= (1) ,90PD ABAD BD ADP BDP ∴=∠=∠=︒垂直平分 (2)PD AB PA PB =∴垂直平分大家都看到了,,,AD BD ADP BDP PA PB =∠=∠=很容易证明,而且,ADP BDP ADP BDP S S C C ∆∆∆=∆=也容易证明,但,A B ∠=∠APD BPD ∠=∠该如何证明呢?(3)分析:要证明,A B ∠=∠只需证明PA PB =即可.证明: PD ABPA PB A B=∠=∠∴∴垂直平分(4)分析:要证明APD BPD ∠=∠,我们可以先证明,A B ∠=∠,ADP BDP ∠=∠然后利用内角和证明.证明: 180,180180,18090PD ABPD ABPA PB A BA ADP APDB BDP BPD APD A ADP BPD B BDPAPD BPDADP BDP ⊥∴=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∴∴∴∠=∠=︒垂直平分 这里,大家想一想,还有没有其他的方法来证明APD BPD ∠=∠?这里我再提供一种思路:证明: ,PD ABPA PBPA PB PD AB APD BPD==⊥∠=∠∴∴垂直平分大家可以想一想,这是运用了什么定理?收获:通过对垂直平分线性质定理的的深入研究,我们不难发现,数学中的定理是彼此有着千丝万缕的联系的,这不正像这个我们生活着的大千世界吗?这也是学习数学的乐趣之一,当你能够通过认真思考,总结将所学的知识融会贯通之时,你就更能游刃有余的解决那些所谓的难题,谁能说这里面没有无穷的乐趣呢? APD BPD ∠=∠的证明还告诉我们,解决同一个问题,可以有不同的方法,希望同学们致力于一题多解,这样可以开阔你们的思路,帮助你们更好的熟悉定理,锻炼数学思维,当你只有一种武器对付敌人时,你是受限制的,当你有两种或更多的武器对付敌人时,你已经进入了自由的毫无拘束的世界!1.2 角的平分线一.复习要求：1.知道角平分线性质定理的内容；2.能熟练运用角平分线的性质定理:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.二.本节关键：(一). 角平分线的性质定理的应用格式:,OP AOBPA OA PB OB PA PB∠⊥⊥=∴平分注意: (1)在角平分线性质定理的应用格式中,“,PA OA PB OB ⊥⊥”是必不可少的,因为“,PA OA PB OB ⊥⊥”可以表明,PA PB 是垂线段,而点P 到直线,OA OB 的距离正好是指P 到直线,OA OB 的垂线段的长度;(2)另一方面,只是OP AOB ∠平分并不足以说明PA PB =,如下图:OP AOB ∠平分,但PA PB ≠(3)当然,只有,PA OA PB OB ⊥⊥也不足以证明PA PB =,如下图:,PA OA PB OB ⊥⊥,但PA PB ≠(4)上一节课学的线段的垂直平分线的性质定理也有同样的问题:正确的应用格式如下:PD ABPA PB =∴垂直平分①只是PD AB ⊥不足以证明PA PB =,如下图:PD AB ⊥,但PA PB ≠②只是PD 平分AB 也不足以证明PA PB =,如下图:PD 平分AB ,但PA PB ≠(二). 角平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图,△ABC 中,BD 平分,90,6,15ABC A AD BC ∠∠=︒==,求△BCD 的面积.分析:我们首先来看本题的已知条件: BD 平分,90,6,15ABC A AD BC ∠∠=︒==,由BD 平分ABC ∠,我们立刻可以想到点D 到ABC ∠两边的距离相等,这样就可以得到BC 边上的高等于AD ,即等于6,又BC 已知,这样就可以求出△BCD 的面积了. 解:如下图,作DE BC ⊥于点E,6111564522BDC BD ABCDA BA DE BCDE DA S BC DE ∆∠⊥⊥===⋅⋅=⨯⨯=∴∴平分 反思:本题的解决所用到的知识点主要是角平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想.收获: (1)通过本题,我们知道,角平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)本题的辅助线需要用虚线作出来,而且在证明的第一步就需要将作了什么辅助线说出来.相应练习:①.如图,在△ABC 中,AD 平分,5,3,BAC AB AC ∠==则_____.ABD ACD S S ∆∆=分析:三角形的面积等于底乘以高的一半,故要求面积比,需先确定底边和高,因为,AB AC 已知,不妨将它们确定为底边,这样就需要将它们上面的高作出来,如下图,,DE DF 即分别为,AB AC 上的高,从而有:11555221133322ABDACD AB DE DE S DE S DF AC DF DF ∆∆⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯.解答:作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点,11555221133322ABD ACD AD BACDE AB DF ACDE DF AB DE DE S DE S DF AC DF DF ∆∆∠⊥⊥=⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯∴∴平分 反思:本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,以后碰到类似的问题,我们也应该想到去作高,然后结合角平分线性质定理和三角形面积公式来解决.另外“作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点”还是要列在解答过程中.追问: ____BD CD= 请同学们思考上述问题,我只是把图画在下面,请同学们根据图的提示自己解答.②.如图,已知BD 平分,,36,18,12,ABC ABC DE AB S AB BC ∆∠⊥===则___.DE =分析:先看已知,由BD 平分ABC ∠,我们不难想到这个题很可能要过点D 向BC 作垂线以得到一条垂线段(如下图,不妨设为DF ),并且本题很可能会用到DE DF =;由36ABC S ∆=可知整个三角形的面积为36,结合DE DF =,我们不妨将ABC S ∆分解为()()111111181236222222ABD CBD S S AB DE BC DF AB DE BC DE DE AB BC DE ∆∆+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+=从而求得125DE =解答:作DF BC F ⊥于点()(),111122221118123622125ABC ABD CBD BD ABCDE AB DF BCDE DFS S S AB DE BC DF AB DE BC DE DE AB BC DE DE ∆∆∆∠⊥⊥==+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+==∴∴∴平分 反思:解答本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将DF 转化为DE ,将ABC S ∆转化为ABD CBD S S ∆∆+等都是转化,DE 的求出则是借助于建立了方程.收获:自己想想通过解这个题,你都是得到了那些经验,好好总结一下,每做完一个题,都反思一下本题用到了哪些知识点,用到了什么思想方法,以及你是怎么想到用这些知识点的,你又怎么想到了用这样的思想方法,久而久之,你自然就会成为解题高手,而不是那个腋下只有一个玉米的狗熊.③.如图,在△ABC 中,AD 平分,//,//,BAC PE AB PF AC ∠请问点D 到,PE PF 的距离相等吗?解答:如下图,作,DM PE M DN PF N ⊥⊥于点与点AD 平分BAC ∠12//13//243434,PE ABPF ACDM PE DN PF DMDN ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠⊥⊥=∴∴∴∴∴注意:在本题的证明中,必须作出,DM DN ,因为没有它们,根本谈不上点D 到,PE PF 的距离;另外34∠=∠的证明也必须严格按照上面的过程证明,绝对不可以像下面这样证明:,//,//AD BAC PE AB PF ACPD EPF ∠∠∴平分平分首先没有这样的定理,其次,虽然道理上讲是对的,但跨度太大,省略了太大步骤,就好比一个人是没办法从一楼直接上三楼一样.④.如图,四边形ABCD 中,90,//,,A AD BC DP ADC CP BCD ∠=︒∠∠平分平分,请问点P 是边AB 的中点吗?为什么?解答:如下图,作PE DC E ⊥于点,//1801801809090,DP ADCPA DA PE DCPA PEAD BCB A B A CP BCDPB DB PE CDPB PEPA PB∠⊥⊥=∠+∠=︒∠=︒-∠=︒-︒=︒∠⊥⊥==∴∴∴∴∴平分平分注意:在本题的证明中,90∠=︒的证明,只能用“两直线平行,同旁内角互补”来证B明,不可错用“两直线平行,内错角相等”或“两直线平行,同位角相等”来证明,因为,A B∠∠根本不是内错角,也不是同位角.2.用来作图①.如图,某校学生开运动会,要选一起点C,两名运动员先从C点出发分别到E,F 两处取物品,然后负重回到C,再分别将物品送到OA,OB的路上,你能找到一个公平的点C吗？两运动员又应沿怎样的路线走？与的交点解答:只需连接EF,并作它的垂直平分线m,然后作AOB∠的平分线,n m n即为C.②如图,直线n,,表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条k,m公路的距离相等,则可供选择的地址有（）处.A.一处B.两处C.三处D.四处解答:如下图,有四处点,,,A B C D处都可以做为中转站.③如图所示, 在△ABC 中,20,30,40,AB BC CA O ===为其三条角平分线的交点,则________.AOB AOCS S ∆∆=分析:如下图,由点O 为其三条角平分线的交点可知,其道三角形各边的距离相等,从而其面积比可以转化为边长比.即:112122AOB AOC AB OD S AB S AC AC OF ∆∆⋅⋅===⋅⋅(三)易混淆知识点1.三角形三个内角平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能解答:此题选A 选项,不要误选D.反思:这个题目容易同“三角形三边垂直平分线交点”相混淆,注意辨别.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个边的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题选D,不要误选为C.(四)角平分线性质定理的深入研究思考题:如图,,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,90,,,AOP BOP OAP OBP PA PB OPA OPB OA OB ∠=∠∠=∠=︒=∠=∠=(1),90,AOP BOP OAP OBP PA PB ∠=∠∠=∠=︒=都非常容易证明;(2)OPA OPB ∠=∠的证明可以用三角形的内角和定理:180,180180,180,90AOP OAP OPA BOP OBP OPB OPA AOP OAP OPB BOP OBPAOP BOP OAP OBP OPA OPB∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∠=∠=︒∠=∠∴∴(3)如何证明OA OB =呢?可以运用角平分线的性质定理:如下三幅图,我们对原题逐步进行改造(按图1,图2,图3)之后就可以证明了:12,OA PA OB PB OA OB∠=∠⊥⊥=∴追问: 如图,原题的条件为,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,现在再连接AB ,则:(1)PAB PBA ∠=∠吗?为什么?(2)OAB OBA ∠=∠吗?为什么?(3)OP 垂直平分AB 吗?为什么?(1)(2)问自己证明,(3)问的证明如下:(),,OP AOBPA OA PB OBPA PBPA PB OP AB AC BC OP AB∠⊥⊥==⊥=∴∴∴平分等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合垂直平分追问之对应练习:①.如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B ,下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP解答:选D,好好想想为什么.②.如图,在△ABC 中,90,,,,A AB AC BD ABC DE C ∠=︒=∠⊥平分证明△DEC 的周长等于BC 的长.解答:略,靠自己的力量解决.链接中考:1.如图,在四边形ABCD 中,AB BC =,BF 是ABC ∠的平分线,AF DC ∥,连接,AC CF .求证:CA 是DCF ∠的平分线.分析:由AB BC =,BF 是ABC ∠的平分线可得BF 所在的直线垂直平分AC ,从而有FA FC =,从而有FAC FCA ∠=∠,又由AF DC ∥可得FAC ACD ∠=∠,从而有ACD FCA ∠=∠,即CA 是DCF ∠的平分线.2.如图,在△ABC 中,∠A ＝α.∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2; ……;∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009,得∠A 2009 .则∠A 2009＝ .解答: 20092α希望同学们能认真系统的复习角平分线性质定理,我相信你们肯定能很好的掌握好角平分线性质定理.BA C DA 1A 2A D FB C1.4 等腰三角形一.复习要求：1.知道等腰三角形的对称轴;2.能熟练运用“等边对等角”解决问题;3.能熟练运用“三线合一”解决问题;4.充分意识到等腰三角形的“求角的度数”和“求边长周长”都容易出现两种情况(这实际上是在运用分类讨论思想解决问题),同时必须得意识到“求边长周长”时的两种情况中有时会有一种情况构不成三角形;5.意识到“面积法”是解决三角形问题的一种非常重要的方法;6.充分意识到等腰三角形有锐角等腰三角形、等腰直角三角形和钝角等腰三角形三种,不要一自己画图时,就只画一个锐角等腰三角形.7.会用等边三角形的每个内角都等于60︒解决问题.8.会利用几种基本作图作等腰三角形.二.本节关键：(一). 知道等腰三角形是轴对称图形:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边的垂直平分线.它的对称轴还可以描述为(1)顶角平分线所在的直线;(2)底边上的高所在的直线;(3)底边上的中线所在的直线.但以下的一些说法是错误的:(1)顶角的平分线(×) 因为顶角的平分线是一条射线,而对称轴必须是直线(2)高所在的直线(×) 因为这里的高有可能不是底边上的高(二).知道“等边对等角”、“三线合一”和“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:1.等边对等角的应用格式:AB AC B C=∠=∠∴ 2.三线合一的应用格式:(建议学习这个定理的应用格式之前,先看一下“动态演示三线合一”)(1)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC AD BAC =∠平分那么AD BC ⊥吗?BD CD =吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BAC AD BC BD CD=∠⊥=∴平分 注意1:当然,有时候,我们只需要得到AD BC ⊥这个结论,这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACAD BC =∠⊥∴平分也有时候,我们只需要得到BD CD =(或者说“AD 是BC 边上的中线”、“点D 是BC 边的中点”)，这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACBD CD =∠=∴平分注意2:“,AD BC BD CD ⊥=”是我们通过“,AB AC AD BAC =∠平分”推出的结论,这个结论实际上表明了AD 垂直于BC 且平分了BC ,或者换句话说AD 是垂直平分BC 的.当有的题目要求我们证明某条线垂直平分另一条线时,我们就经常采用证明“某条线”是等腰三角形的顶角的平分线,而“另一条线”则恰好是等腰三角形的底边的方法.(2)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC BD CD ==那么AD BC ⊥吗?,AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC BD CDAD BC AD BAC ==⊥∠∴平分(3)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC AD BC =⊥那么BD CD =吗?AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BCBD CD AD BAC=⊥=∠∴平分注意: [1]在(1)(2)(3)三种情况中,条件“,AB AC AD BAC =∠平分”、“ ,AB AC BD CD ==”或“,AB AC AD BC =⊥”中都有“AB AC =”,这是必不可少的,因为一般的三角形是不具备“三线合一”的,只有等腰三角形具备“三线合一”,所以在条件中必须通过“AB AC =”表明等腰三角形的身份;[2]当然了,在条件“,AB AC AD BAC =∠平分”中,“AD BAC ∠平分”也是必不可少的; 在条件“ ,AB AC BD CD ==”中,“BD CD =”同样必不可少;在条件“,AB AC AD BC =⊥”中,“AD BC ⊥”同样必不可少.[3] “AB AC =”除了表明三角形是等腰三角形之外,还恰到好处的表明了,AB AC 就是等腰三角形的腰,互相重合的就应该是A ∠的平分线、BC 边上的高和BC 边上的高.因为等腰三角形底角的平分线和腰上的高、腰上的中线并不重合,如下图:所以在用“三线合一”证明问题时,必须在条件中以“AB AC =”这样的方式表明谁是腰,而不只是笼统的说“三角形是一个等腰三角形”,如下面的证明就是错误的证明,至少是不准确的证明:AB AC =,BD CD AD BC AD BACABC =⊥∠∴∴平分三角形是等腰三角形3.“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:60AB BC CA A B C ==∠=∠=∠=︒∴ 注意:有时我们可能只需要A ∠60=︒,这时我们可以这样写:60AB BC CA A ==∠=︒∴ (三). 等边对等角的应用:例题1 如图, △ABC 中,,,AB AC BC BD AD ===求△ABC 中各个角的度数.分析:根据题目中的已知条件“,AB AC BC BD AD ===”,我们可以得到很多对相等的角,从而可以比较的容易得到图形中各角之间的关系,我们不妨设其中的一个角为x ,将与其有关系的角用含x 的代数式表示出来,最后看是否能利用三角形的内角和定理得到关于x 的一个方程,从而将x 求出来,进而求出△ABC 中各个角的度数.解答:AB ACABC CBD BC BDC CBD ADABD A=∠=∠=∠=∠=∠=∠∴∴∴ 设A x ∠=,则ABD A x ∠=∠=,BDC ∠是△ABD 的外角 2BDC A ABD x x x ∠=∠+∠=+=∴22180221803636,272C BDC xABC C xA C ABC x x x x A ABC C x ∠=∠=∠=∠=∠+∠+∠=︒++=︒=︒∠=︒∠=∠==︒∴∴∴∴∴ 反思:本题的解决所用到的知识点主要是“等边对等角”、“三角形的内角和定理”、和“等边对等角”,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将等边转化为等角,将A ABD ∠+∠转化为BDC ∠,再将BDC ∠转化为C ∠,再将C ∠转化为ABC ∠,方程思想就不必说了.收获:在求角的题目中,“三角形的内角和定理”、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”、“等边对等角”是经常会用到的定理,另外像“两直线平行,同位角相等内错角相等以及同旁内角互补”、“同角的补角相等,同角的余角相等”、“垂直会推出直角”、“邻补角”、“n 边形的内角和为()2180n -⋅︒,外角和为360︒”等定理或定义也经常用到,要熟悉这些定理或定义的内容,这样求角时才能做到游刃有余.当然了,求角的度数绕不开转化,甚至是不停的转化,有时可能还需要作平行线或连接两点的线段等辅助线.方程思想有时也是必不可少的.希望同学们在解题的同时多反思,不断积累经验.相应练习:1.①如图, △ABC 中,,,,___.AB AC BC BD AD DE EB A ====∠=则解答:45︒,自己解决.②如图,在△ABC 中,,,75,___.AB AC BD ABC BDC A =∠∠=︒∠=平分则。
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第一章 轴对称图形 复习课 --- [ 教案]
学习目标：
1、回顾和整理本章所学知识，用自己喜欢的方式进行总结的归纳，构建本章知识结构框架，使
所学知识系统化；
2、进一步巩固轴对称性质和简单的轴对称图形——线段、角、等腰三角形、等边三角形、等
腰梯形的性质，并能运用这些性质解决问题；
学习重点: 轴对称图形的性质，以及运用于解题
学习难点: 有条理地表达，熟练地运用已知结论解决问题
学习过程:
一、【知识梳理】
1. ，那么称这个图形是轴对称图形.
2．线段的对称轴是 ，线段的垂直平分线有什么性质？
3．角的对称轴是 ，角平分线有什么性质？
4.等腰三角形的判定：有 相等的三角形是等腰三角形；有 相等的三角形是等腰三角
形
5.等边三角形的判定： 都相等的三角形是等边三角形； 都相等的三角形是等
边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
6.等腰三角形的性质：等腰三角形的 相等；等腰三角形的 、 、 互相重合.
7．直角三角形斜边上的中线 .
8.等腰梯形的性质：（1）边： ；（2）角： ；
（3）对角线： .
9.等腰梯形的判定： .
二、【热身练习】
1．下列图形中，轴对称图形有（ ）．
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（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
2. 右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .
3.如右图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝36°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点D ，则∠BCD 的度数是____________. 4．已知AB 垂直平分CD ，AC=6cm,BD=4cm ，则四边形ADBC 的周长是 .
5．如图，以正方形ABCD 的一边CD 为边向形外作等边三角形CDE ，则∠AEB= .
6. 等腰三角形ABC 中，（1）若∠A=80°，则∠B= °；
（2）若周长为8cm ，AB=3cm ，则BC= cm
7.等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．
三、【典型例题】
例1、已知∆ABC 中，AB=AC=10，DE 垂直平分AB ，交AC 于E ，已知∆BEC 的周长是16.求∆ABC 的周长.
例2、如图，已知D 、E 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明BD=CE 的理由?
B C D N M A
A
B C E
D
例3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．试说明：AO＝DO．
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