总体均数估计假设检验

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总体
167.7cm
5.3cm
… ..
样本(n1=10) X1 167.41, S1 2.74
样本(n2=10) X 2 165.56, S2 6.57
样本(n3=10) X3 168.20, S3 5.36
样本(n100=10) X100 165.69, S100 5.09
态分布
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0 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173
平均身高
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从上面的实例可以看出（以下两个结论可通过中心极限定理证 明）：
1. 从正态总体中随机抽取例数为 n 的样本，样本均数 X 同样也 服从正态分布；即使是从偏态总体中抽样，当 n 足够大时（比
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均数标准误的含义：均数标准误就是均数的标准差，因此它反映 的是样本均数间的离散程度，也反映样本均数与相应总体均数间 的差异，因而它说明了均数抽样误差的大小，也就是说标准误越 大，抽样误差也就越大，样本均数的离散程度高，与总体均数的 差异程度越大——标准误是描述均数的抽样误差大小的统计指 标。可证明均数标准误的计算公式为
第四章 总体均数的估计、假设检验
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集中趋势
统计描述 离散趋势
统计分析
点值估计 参数估计
统计推断
区间估计
假设检验
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七、区间 与假设检 验的关系
一、总体均 数的估计
二、假设检 验
六、P> α 时检验效能 1-β的估算
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五、假设检 验注意问题
总体标准差为σ 的正态分布N(μ, σ 2),则
X
X
可通过u变换将（ x ）一般正态分布
转化为标准正态分布N(0, 12),即u分布。
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T分布创始人---William Gosset
❖ 英国统计学家William Gosset发现t 分布与正 态分布不同，曲线下面 积与抽样例数有关。
100个
图1. 1999年某市18岁男生身高N(167.7，5.32)的抽样示意
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抽样示意图显示： 1． 样本均数与总体均数之间不一定恰好
相等。 2． 样本均数之间也不一定恰好相等。 思考：样本均数与总体均数以及样本均数之 间的差异是有什么原因造成的？
均数的抽样误差：由个体变异引起，由抽样产生的 样本均数与总体均数之间以及样本均数与样本均数 之间的差异。
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由于个体变异是客观存在的，因此抽样误差（均数）
是不可避免的，但是有一定的规律可循，可以用特定
的指标描述抽样误差的大小
表 1 N(167.7，5.32)总体中 100 个随机样本的 X j 、 S j
样本号
1 2 3 … 100
Xj
Sj
167.41
2.74
165.56
6.57
168.20
5.36
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美国科学院院士-C.R.劳
C.R.劳指出“如果错 误是不可避免的，则 在一定的规律下做出 抉择，最好知道犯错 误的概率，是我们减 少盲目性，使错误决 策产生损失最小”。
C.R.劳 美国科学院院士，当今仍健在 的国际上最伟大的统计学家之一
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摘自《统计与真理—怎样运用偶然性》 （美）C.R.劳/著
样本均数分布的常用性质
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二、t分布
1、若某一随机变量X服从总体均数为μ， 总体标准差为σ的正态分布N(μ, σ2),则可 通过u变换( x )将一般正态分布转化为
标准正态分布N(0, 12),即u分布。
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2、若某一随机变量服 X 从总体均数为μ，
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例：2000年某研究者随机调查某地健康成年男子 27人，得到血红蛋白量的均数为125g/L，标准差 为15g/L。试估计该样本均数的抽样误差。
Sx s / n 15 / 27 2.89g/L
所以该样本均数的抽样误差为2.89g/L。
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X / n （理论值）
式中 为总体标准差，n 为样本含量 在实际工作中，总体标准差 常常未知，而用样本标准差 S 来
估计。因而均数标准误的估计值为
SX S / n
从上述标准误的公式可以看出标准误的大小与标准差成正比，与 样本含量的平方根成反比。即可通过增加样本含量 n 和减少标准 差来减少均数的标准误，从而降低均数的抽样误差
如 n>50），样本均数 X 也近似服从正态分布。 2. 从均数为 ，标准差为 的正态总体中抽取例数为 n 的样本，
样本均数的总体均数也为 ，样本均数的标准差为 X
其中为了与反映观察值离散程度（ x ）的标准差 相区别，统
计学中把样本均数( x )的标准差 X 称为样本均数的标准误，
简称为标准误（standard error）。
X ~ N(, 2) X ~ N(, 2)
x
x
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样本均数的抽样分布具有如下特点：
① X ，各样本均数 X未必等于总体均数；
② 各样本均数间存在差异； ③ 样本均数的分布为中间多，两边少，左右基本 对称。 ④ 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大 大缩小。
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…
…
165.69
5.09
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我们把样本均数 X j （j=1、2、3、…、100）看作是 一个新的变量，那么这 100 个变量值构成一个新的 分布，绘制频数分布图如下：
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样本均数的分布特征：围绕着总
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体均数（167.7cm），中间多，两
边少，左右基本对称，也服从正
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三、正态 性、方差 齐性检验
四、t检 验
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第一节 总体均数的估计
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一、标准误、样本均数分布
例 若某市 1999 年 18 岁男生身高服从均数 167.7cm 、标准差 2 5.32 cm 的正态分布。 从该正态分布 N(167.7，5.32)总体中随机抽样， 共抽了 100 次，每次样本含量 nj=10 人,得到每 个样本均数 X j 及标准差 S j 如图 1