高中数学人教版必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系含答案

合集下载

高中数学(人教版必修2)配套练习第四章4.3空间直角坐标系试题解析

§4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、基础过关1．点P (5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为________． 6．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标． 8. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其它7个顶点的坐标．二、能力提升9．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．答案1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)7．解如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 8．解长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)．又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称，所以C (2,3，－1)．而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)．因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)． B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)．同理D 1(2，－3,1)．综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)． 9．C 10．D11.⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 2212．解因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．13．解如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)． 4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A.61B ．25C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B.29C ．5D ．2 63．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 ( )A.534B.532C.532D.1324．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足 ( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝45．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________． 6．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．8. 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形10．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.191411．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．三、探究与拓展13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．答案1．C 2.B 3.B 4．B 5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－47．解设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC ||PB |＝|PC |所以⎩⎨⎧(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝－2，所以点P 的坐标是(0,1，－2)． 8．解由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD | ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9．A 10．C 11．(0，－1,0)12．解如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)， D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN | ＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.13．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.。

2017-2018学年高中数学必修二练习：4-3 空间直角坐标系 4-3-1、4-3-2 含答案精品

第四章 4.3 4.3.1 4.3.2A 级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是导学号 09025074( A )A ．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )B ．在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )C ．在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )D ．在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c ) [解析] 空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标是(a,0,0)． 2．在空间直角坐标系中，点M (3,0,2)位于导学号 09025075( C ) A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内[解析] 由x ＝3，y ＝0，z ＝2可知点M 位于xOz 平面内．3．(2016～2017·襄阳高一检测)若已知点M (3,4,1)，点N (0,0,1)，则线段MN 的长为导学号 09025076( A )A ．5B ．0C ．3D ．1[解析] |MN |＝ 3－0 2＋ 4－0 2＋ 1－1 2＝5.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为导学号 09025077( C )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(0,0，－3)[解析] 设P (0,0，z )，则有12＋－2 2＋ z －1 2＝22＋22＋ z －2 2，解得z ＝3.5．点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是导学号 09025078( B ) A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3)[解析] 点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，故选B ． 6．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是导学号 09025079( B ) A ．(72，1，－2) B ．(12，2,3)C ．(－12,3,5)D ．(13，43，2)二、填空题7．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是__ (1，32，1) __.导学号 09025080[解析] 由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2,3,2)，故M (1，32，1)．8．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)、B (2，－2,3)、C (12，52，3)，则AB 边上的中线CD 的长是__52__.导学号 09025081[解析] AB 中点D 坐标为(12，0,3)，|CD |＝12－12 2＋ 52－0 2＋ 3－3 2＝52. 三、解答题9．已知点A (x,5－x,2x －1)、B (1，x ＋2,2－x )，求|AB |的最小值.导学号 09025082 [解析] ∵|AB |＝ x －1 2＋ 3－2x 2＋ 3x －3 2＝14x 2－32x ＋19＝14 x －87 2＋57≥357，当x ＝87时，|AB |取最小值357.10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.导学号 09025083(1)写出点D 、N 、M 的坐标； (2)求线段MD 、MN 的长度．[解析] (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)．由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,3)、C 1(0,2,3)．∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)．同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得|MD |＝ 1－0 2＋ 2－0 2＋ 3－0 2＝14， |MN |＝ 1－2 2＋ 2－1 2＋ 3－0 2＝11.B 级素养提升一、选择题1．(2016·大同高一检测)空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有导学号 09025084( A )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个[解析] 设x 轴上满足条件的点为B (x,0,0)，则由|PB |＝30，得 x －4 2＋ 0－1 2＋ 0－2 2＝30. 解之得x ＝－1或9. 故选A ．2．正方体不在同一面上的两顶点A (－1,2，－1)、B (3，－2,3)，则正方体的体积是导学号 09025085( C )A ．16B ．192C ．64D ．48[解析] |AB |＝ 3＋1 2＋－2－2 2＋ 3＋1 2＝43， ∴正方体的棱长为433＝4.∴正方体的体积为43＝64.3．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 是导学号 09025086( A )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形[解析] 由两点间距离公式得|AB |＝89，|AC |＝75，|BC |＝14，满足|AB |2＝|AC |2＋|BC |2.4．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是导学号 09025087( D )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0,1,1)、B ′(0,2,1)、C ′(0,2,3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.二、填空题5．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)、B (－2,4,3)，则z ＝__0或－4__.导学号 09025088[解析] 利用中点坐标公式可得AB 中点C (12，92，－2)，因为|PC |＝3，所以32－12 2＋ 52－922＋[z －－2 ]2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为3导学号 09025089[解析] |AM |＝ 3－0 2＋－1－1 2＋ 2－2 2＝13，∴对角线|AC 1|＝213，设棱长x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393.C 级能力拔高1.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A 、E 两点之间的距离.导学号 09025090[解析] 根据题意，可得A (a,0,0)、B (a ，a,0)、D 1(0,0，a )、B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ，所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3，所以Rt △BEB 1中，|BE |＝33a 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3，所以点F 的坐标为(2a 3，2a3，0)，则点E 的坐标为(2a 3，2a 3，a3)．由两点间的距离公式，得 |AE |＝a －2a 3 2＋ 0－2a 3 2＋ 0－a 3 2＝63a ，所以A 、E 两点之间的距离是63a . 2．如图所示，V －ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E 、F 分别为BC 、CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.导学号 09025091[解析] ∵底面是边长为2的正方形， ∴|CE |＝|CF |＝1. ∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)、A (－1，－1，0)、D (－1,1,0)． ∵V 在z 轴上，∴V (0,0,3)．。

人教版高中数学必修二4.3空间直角坐标系教案(1)

空间直角坐标系考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式．§2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式．经典例题：在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问（1）在y 轴上是否存在点M ，满足||||MA MB ？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．当堂练习：1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为（）A ．(-1,2,3)B ．(1,-2,-3)C ．(-1, -2, 3)D ．(-1 ,2, -3)2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为（）A ．(-3,4,5)B ．(-3,- 4,5)C ．(3,-4,-5)D ．(-3,4,-5)3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（）A ．6B ．6C ．3D ．24．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P /的坐标为（）A ．(-1, 0, 2)B ．(-1,0, 2)C ．(1 , 0 ,2)D ．(-2,0,1)5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（）A ．( 4, 2, 2)B ．(2, -1, 2)C ．(2, 1 , 1)D ． 4, -1, 2)6．若向量a 在y 轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量a 平行的坐标平面是（）A ． xOy 平面B ． xOz 平面C ．yOz 平面D ．以上都有可能7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对8．已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ． 5119．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（）A ．14B ．13C ．32D ．1110．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（）A ．（27，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3） 11．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（）A ．22b a + B ．c C ．c D ．b a + 12．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（） A ．21，4 B ．1，8 C ．21-，－4 D ．－1，－8 13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A ．26B ．3C ．23D ．3614．在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, 3,2),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________．15．已知A(x, 5-x, 2x-1)、B （1，x+2，2-x ），当|AB|取最小值时x 的值为_______________．16．已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B （2，4，1）、C （p ，3，q+2），若A 、B 、C 三点共线，则p =_________，q=__________．17．已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________．18．求下列两点间的距离:(1) A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);(2) C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).19．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ∆ABC 是直角三角形.20．求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:(1) A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;(2) A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).21．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，PD =2b ，取各侧棱的中点E ，F ，G ，H ，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．。

2019-2020学年人教版数学必修二课时检测：第四章 4.3 空间直角坐标系

A级基础巩固一、选择题1.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1，0，0)B．(1，0，1)C．(1，1，1) D．(1，1，0)解析：点B1到三个坐标平面的距离都为1，从而易知其坐标为(1，1，1)．答案：C2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是()A．(－1，3，－5) B．(1，－3，5)C．(1，3，5) D．(－1，－3，5)解析：因为关于xOy平面对称的两点竖坐标互为相反数，所以点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点是(1，3，5)．答案：C3．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D．5解析：由B(4，－3，7)，C(0，5，1)，得BC中点M(2，1，4)，故BC边上的中线|AM|＝（3－2）2＋（3－1）2＋（2－4）2＝3.答案：B4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．已知△ABC的顶点为A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形解析：由空间两点间的距离公式得|AB|＝89，|BC|＝14，|CA|＝53，所以|AB|2＝|BC|2＋|CA|2.所以△ABC为直角三角形．答案：C二、填空题6.如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz 平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________________．解析：由于点P 在xOz 平面内，故其纵坐标为0，结合图形可知点P 的坐标是(2，0，1)．答案：(2，0，1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)，所以C 1(－3，3，2)．正方体对角线长为 |AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：23938．在空间直角坐标系中，已知点A (1，0，2)，B (1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到点A 与点B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：设点M 的坐标为(0，y ，0)，则由|MA |＝|MB |，得1＋y 2＋4＝1＋（y ＋3）2＋1，解得y ＝－1，即点M 的坐标是(0，－1，0)．答案：(0，－1，0) 三、解答题9．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在的直线为轴建立空间直角坐标系O -xyz .在线段C 1D 上找一点M ，使点M 到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13的距离最小，求点M 的坐标．解：设线段C 1D 上一点M 的坐标为(0，m ，m )，则有 |MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －232＋⎝⎛⎭⎪⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋12.当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12. 10．如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，所以|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B级能力提升1．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标为()A．(1，1，1) B．(1，1，2)C．(1，1，3) D．(2，2，3)解析：由三视图可知，该几何体为底面边长为2，高为3的正四棱锥V-ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示．故第五个顶点V 的坐标为(1，1，3)．答案：C2.如图所示，在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则点M 的坐标是________．解析：因为|OA |＝2，|AB |＝3， |AA 1|＝2，所以O (0，0，0)，B 1(2，3，2)．因为M 是OB 1与BD 1的交点，所以M 为OB 1的中点，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0＋22，0＋32，0＋22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 3．已知正方形ABCD 、正方形ABEF 的边长都为1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最短？解：(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，所以BE ⊥平面ABC ，所以AB ，BC ，BE 两两垂直．以B 为原点，BA ，BE ，BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)因为|MN |＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，所以当a ＝22时，|MN |min ＝22.。

新人教版高中数学必修二教案：4.3空间直角坐标系

4.3空间直角坐标系【知识要点】1、空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O —xyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，xOz 平面，yOz 平面。

2、空间一点M 的坐标可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x ，y ，z ）。

其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。

平面上的中点坐标可推广到空间有，即设111A(x ,y ,z )，222B(x ,y ,z )，则AB 的中点坐标P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++。

3、空间两点之间的距离公式：设 1111(,,)P x y z 和2222(,,)P x y z 是空间上任意两点，则这两点的距离公式为：12||PP =特殊地，点(,,)P xy z 到原点O （0，0，0）的距离为：||OP = 4、空间上一点关于对称点的求法：①(,,)P x y z 关于坐标平面xOy 对称，对称点为1(,,)P x y z - ② (,,)P x y z 关于坐标平面xOz 对称，对称点为2(,,)P x y z -③(,,)P x y z 关于坐标平面yOz 对称，对称点为3(,,)P x y z -④(,,)P x y z 关于坐标轴x 轴对称，对称点为4(,,)P x y z --⑤(,,)P x y z 关于坐标轴y 轴对称，对称点为5(,,)P x y z --⑥(,,)P x y z 关于坐标轴z 轴对称，对称点为6(,,)P x y z --⑦(,,)P x y z 关于坐标原点O 对称，对称点为7(,,)P x y z ---【解题方法】1、考察空间坐标点，距离等问题，根据坐标系的定义，找出等量关系求解。

人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.3空间直角坐标系(教师版)【个性化辅导含答案】

空间直角坐标系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题．一、空间直角坐标系1. 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示.点O 叫做坐标原点，x 、y 和z 三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向. 2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz 、xOz 、xOy ，叫做坐标平面．xOy 平面(通过x 轴和y 轴的平面)是坐标形如(x ，y,0)的点构成的点集，其中x ，y 为任意的实数； xOz 平面(通过x 轴和z 轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x ，z 为任意的实数； yOz 平面(通过y 轴和z 轴的平面)是坐标形如(0，y ，z )的点构成的点集，其中y ，z 为任意的实数； x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x 为任意实数； y 轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y 为任意实数； z 轴是坐标形如(0,0，z )的点构成的点集，其中z 为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法 1.关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOy P x y z -关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z yOz P x y z -关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOz P x y z -关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称()()1,, ,,P x y z x P x y z --关于轴对称 ()()1,, ,,y P x y z P x y z --关于轴对称 ()()1,, ,,P x y z z P x y z --关于轴对称三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z 间的距离为12PP =特殊地，任一点(),,P x y z 到原点O 的距离为PO =类型一空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．解析：由空间直角坐标系定义求解答案：①对于图一，因为D 是坐标原点，A 、C 、D ′分别在x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、D ′(0,0,2)．因为B 点在xDy 平面上，它在x 轴、y 轴上的射影分别为A 、C ，所以B (2,2,0)．同理，A ′(2,0,2)、C ′(0,2,2)．因为B ′在xDy 平面上的射影是B ，在z 轴上的射影是D ′，所以B ′(2,2,2)．②对于图二，A 、B 、C 、D 都在xD ′y 平面的下方，所以其z 坐标都是负的，A ′、B ′、C ′、D ′都在xD ′y 平面上，所以其z 坐标都是零．因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D ′(0,0,0)、A ′(2,0,0)、C ′(0,2,0)、D (0,0，－2)．同①得B ′(2,2,0)、A (2,0，－2)、C (0,2，－2)、B (2,2，－2)．练习1：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标．答案：建立如图所示的空间直角坐标系．E 点在xOy 面上的射影为B (1,1,0)，且z 坐标为12，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12. F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，且z 坐标为1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.练习2：点(2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内答案：C例2：已知V －ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD 的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x 轴、y 轴建系．如以A 为顶点AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建系，等等．答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O 为原点，互相垂直的对角线AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴，OV 为z 轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD 边长AB ＝2，∴AO ＝OC ＝OB ＝OD ＝2，又VO ＝3，∴A (0，－2，0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (－2，0,0)，V (0,0,3)．练习1：如图所示，棱长为a 的正方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．答案：∵OB ′与BD ′相交于Q 点，∴Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的并点，∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，12a . 练习2：在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 答案：D例3：在平面直角坐标系中，点P (x ，y )的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P ′(－x ，－y )， (2)关于x 轴的对称点是P ″(x ，－y )， (3)关于y 轴的对称点是P (－x ，y )，那么，在空间直角坐标系内，点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P 1________；(2)关于横轴(x 轴)的对称点是P 2________； (3)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3________； (4)关于竖轴(z 轴)的对称点是P 4________； (5)关于xOy 坐标平面的对称点是P 5________； (6)关于yOz 坐标平面的对称点是P 6________； (7)关于zOx 坐标平面的对称点是P 7________.解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论答案：(1)(－x ，－y ，－z )．(2)(x ，－y ，－z )． (3)(－x ，y ，－z )．(4)(－x ，－y ，z )． (5)(x ，y ，－z )．(6)(－x ，y ，z )． (7)(x ，－y ，z )．练习1：求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．答案：如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称，且C (1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则A 与B 关于x 轴对称，且B (1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1)； A (1,2，－1)关于x 轴对称的点B (1，－2,1)．练习2：点()1,2,3P -关于坐标平面xOz 对称点的坐标是（）A.()1,2,3B.()1,2,3--C.()1,2,3--D.()1,2,3-- 答案：B类型二空间两点间距离公式例4：证明以A (4,3,1)、B (7,1,2)、C (5,2,3)为顶点的△ABC 是等腰三角形．解析：运用两点间距离公式答案：由两点间距离公式：|AB |＝(7－4)2＋(1－3)2＋(2－1)2＝14， |BC |＝(5－7)2＋(2－1)2＋(3－2)2＝6， |AC |＝(5－4)2＋(2－3)2＋(3－1)2＝6，∵|BC |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A (－1，－2,3)、B (3,0,1)； (2)M (0，－1,0)、N (－3,0,4)．答案：(1)d (A ，B )＝(3＋1)2＋(0＋2)2＋(1－3)2＝2 6.(2)d (M ，N )＝(0＋3)2＋(－1－0)2＋(0－4)2＝26. 练习2：2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．|a |B ．|b |C ．|c |D ．以上都不对答案：C例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD ＝5m ，河宽BC ＝3m ，另一侧有点A ，AB ＝4m ，求点A 与塔顶D 的距离AD .解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题答案：以塔底C 为坐标原点建立如下图所示的坐标系．则D (0,0,5)，A (3，－4,0)，∴d (A ，D )＝32＋(－4)2＋52＝52，即点A 与塔顶D 的距离为52m.练习1：已知空间三点A (1,2,4)、B (2,4,8)、C (3,6,12)，求证A 、B 、C 三点在同一条直线上．答案：d (A ，B )＝(2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝21，d (B ，C )＝(3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝21， d (A ，C )＝(3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝221，∴AB ＋BC ＝AC ，故A 、B 、C 三点共线．练习2：以()()()10,1,6,4,1,9,2,4,3A B C -三点为顶点的三角形是（ C ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案：C例6：求到两点A (2,3,0)、B (5,1,0)距离相等的点P 的坐标满足的条件．解析：运用两点间距离公式. 答案：设P (x ，y ，z )，则P A ＝(x －2)2＋(y －3)2＋z 2， PB ＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2. ∵P A ＝PB ，∴(x －2)2＋(y －3)2＋z 2＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2. 化简得6x －4y －13＝0.∴点P 的坐标满足的条件为6x －4y －13＝0.练习1：若点P (x ，y ，z )到A (1,0,1)、B (2,1,0)两点的距离相等，则x ，y ，z 满足的关系式是____________；答案：2x ＋2y －2z －3＝0练习2：若点A (2,1,4)与点P (x ，y ，z )的距离为5，则x 、y 、z 满足的关系式是____________；答案：(x －2)2＋(y －1)2＋(z －4)2＝25练习3：已知空间两点A (－3，－1,1)、B (－2,2,3)在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距离相等，则C 点的坐标是____________．答案：⎝⎛⎭⎫0，0，321．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是( )A ．(－3，－4,5)B ．(－3，－4，－5)C ．(－3,4,5)D ．(3,4,5) 答案： B3．设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 坐标平面的对称点，则|AB |等于( )A ．10B.10C.38 D ．38 答案：A4．已知三点A (－1,0,1)、B (2,4,3)、C (5,8,5)，则( )A ．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形答案：D5．点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．答案：(－1,1，－2)6．空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是________．答案：67.在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．答案：(2,0,3)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点P(－1,2,0)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOy平面上D．xOz平面上答案：C2．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)答案：C3．已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为() A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)答案：C4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A．14 3 B．314C．542 D．42 5答案：A5.已知一长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA1＝2，AB＝6，AD＝4.求长方体各顶点的坐标．答案：由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，∴A 1(3,2,1)、B 1(－3,2,1)、C 1(－3，－2,1)、D 1(3，－2,1)，A (3,2，－1)、B (－3,2，－1)、 C (－3，－2，－1)、D (3，－2，－1).能力提升6．点A (－3,1,5)、B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2答案 B7. 以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 答案：C8. 点M (2，－3,5)到x 轴的距离d 等于( )A.38B.34C.13D.29 答案：B9. 如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．答案：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz .依题设，B (2,2,0)、C (0,2,0)、E (0,2,1)、A 1(2,0,4)．10. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．答案：建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A 1C 1|＝22， ∵|MC 1|＝2|A 1M |，∴|A 1M |＝232，∴M (23，23，4)．又C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1中点∴N (1,2,2)，∴|MN |＝(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2＝533.课程顾问签字：教学主管签字：。

高中数学新人教版必修2教案4.3空间直角坐标系.doc

3
5
教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
因此，空间中两点 P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）之间的距离为：
∣P1P2∣＝＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
类比平面两点间的距离公式，有什么不同？有何相似之处？通过对比已经熟悉的公式来记忆新的公式，能加深印象。
过点 P1 作 P2N 的垂线，垂足为 H，则 ∣MP1∣＝∣z1∣，∣NP2∣＝∣z2∣
所以，∣HP2∣＝∣z1－z2∣，
∣HP1∣＝∣MN∣＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
根据勾股定理，得
∣P1P2∣＝ P1H 2 HP2 2 ＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
方
如图，设点 P 在 xOy 平面上的射影是 B（PB 垂直平面 xOy），点 B
坐标为（x，y，0）。
法
∣OB∣＝ x2 y2 ，
∣OP∣＝ OB 2 PB 2 ，
由∣PB∣＝z，得：
∣OP∣＝ x2 y 2 z 2 ，
这说明，在空间直角坐标系 Oxyz 中，任意一点 P（x，y，z）到坐标原点的距离
1
教师课时教案
教
问题与情境及教师活动
学生活动
2
学
反之，给定有序实数组
（x，y，z），在 x 轴、y 轴、
过 z 轴上依次取坐标为 x、y、z
的点 P、Q、R，分别经过各
R M
程
做一个平面，分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，这三个平面
的唯一的交点就是有序实数
O
Q
y
P
M'

【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：4-3空间直角坐标系(含答案解析)

1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xOz 面上D ．第一象限内解析：因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz 面上．答案：C2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1,0,0)解析：平面yOz 内点的横坐标为0.答案：B3．已知A 点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P 在x 轴上，且|PA|＝|PB|，则P 点坐标为( )A ．(6,0,0)B ．(6,0,1)C ．(0,0,6)D ．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝－2＋1＋1，|PB|＝－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x ＝6.答案：A 4．已知M(5,3，－2)，N(1，－1,0)，则点M 关于点N 的对称点P 的坐标为________．解析：设P(x 0，y 0，z 0)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝x 0＋52，－1＝y 0＋32，0＝z 0－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝－5，z 0＝2，即P(－3，－5,2)．答案：(－3，－5,2)5．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM|＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．解：过点M 作MM 1⊥BC 于M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1.由|BM|＝2|MC 1|，知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C|＝13|BC|＝13. 所以M 1⎝⎛⎭⎫13，1，0. 而M 1M ∥DD 1，则M 1M 与z 轴平行，M 1与M 的横坐标、纵坐标相同，M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0，而N 1N 与z 轴平行，且|N 1N|＝|M 1M|＋|D 1D|2＝56，所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.课堂小结。

高中数学必修2同步练习：4.3.1空间直角坐标系Word版含解析

空间直角坐标系一、根底稳固1.在空间直角坐标系中 ,z 轴上的点的坐标可记为 ()A.(0,b,0)B.(a,0,0)C.(0,0,c)D.(0,b,c)答案 :C2.点P(0,1,4)位于 ()A. y轴上B.x 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内解析 :由于点 P 的横坐标是 0,那么点 P 在 yOz 平面内 .答案 :D3.在空间直角坐标系中 ,点 M(-1,2,-4)关于 x 轴的对称点的坐标是 ()A.( -1,-2,4)B.(-1,-2,-4)C.(1,2,-4)D.(1,-2,4)答案 :A4.点 P(-1,2,3)关于 xOz 平面对称的点的坐标是 ()A.(1,2,3)B.(-1,-2,3)C.(-1,2,-3)D.(1,-2,-3)答案 :B5.点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),那么 AB 的中点坐标是 ()A-C.(-12,3,5)D答案 :B如图正方体 1 1 1 1 的棱长为1,那么点B1 的坐标是()6.,ABCD-A B C DA.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)答案 :C7.点 M(3,-2,1)关于坐标平面 yOz 对称的点的坐标是.解析 :由题意知 ,纵、竖坐标不变 ,横坐标变为原来的相反数 ,故所求的对称点坐标为 (-3,-2,1).答案:(-3,-2,1)8.点M(1,-4,3)关于点P(4,0,-3)的对称点M' 的坐标是.M'(7,4,-9).解析 :由题意知,线段MM' 的中点是点P,那么答案 :(7,4,-9)9.在空间直角坐标系中 ,点P(1过点作平面的垂线为垂足那么点的坐标为解析 :由于垂足在平面xOy 上 ,故竖坐标为 0,横、纵坐标不变 .答案 :(110.在如下图的空间直角坐标系中,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,|AB|= 6,|AD|= 4,|AA1|= 2,E,F 分别是 B1D1和 C1C 的中点 ,求点 E,F 的坐标 .解:根据坐标的定义可得 B1(6,0,2),D1(0,4,2),C(6,4,0),C1(6,4,2).由中点坐标公式 ,得 E(3,2,2),F(6,4,1).二、能力提升1.以下表达正确的个数是 ()①在空间直角坐标系中 ,x 轴上的点的坐标可写成 (0,b,c)的形式 ;②在空间直角坐标系中 ,yOz 平面内的点的坐标可写成(0,b,c)的形式 ;③在空间直角坐标系中 ,y 轴上的点的坐标可写成 (0,b,0)的形式 ;④在空间直角坐标系中 ,xOz 平面内的点的坐标可写成(a,0,c)的形式 .解析 :在空间直角坐标系中 ,x 轴上的点的坐标可写成 (a,0,0)的形式 ,故①错误 ;yOz平面内的点的坐标可写成 (0,b,c)的形式 ,故②正确 ;y 轴上的点的坐标可写成 (0,b,0)的形式 ,故③正确 ;xOz 平面内的点的坐标可写成 (a,0,c)的形式 ,故④正确 .因此选 C.答案 :C2.在空间直角坐标系中 ,点 P(2,3,4)与 Q(2,3,-4)两点的位置关系是 ()A. 关于 x 轴对称B.关于 xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.关于 z 轴对称解析 :因为在空间直角坐标系中 ,P(2,3,4)与 Q(2,3,-4)两个点的横坐标、纵坐标相同 ,竖坐标相反 ,所以这两点关于 xOy 平面对称 ,应选 B.答案 :B★3.假设点 P(-4,-2,3)关于坐标平面 xOy 及 y 轴的对称点的坐标分别是 (a,b,c),(e,f,d),那么 c 与e 的和为 ()解析 :由题意知 (a,b,c)= (-4,-2,-3),(e,f,d)= (4,-2,-3),故 c+e=- 3+ 4= 1.答案 :D4.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,假设在坐标平面内的正分别是棱的面那么A. S1=S2=S32=S1,且S2≠S33=S1,且 S3≠S23=S2,且 S3≠S1解析 :如图 ,显然 S1△ABC23应选 D.=S S S答案 :D5.在空间直角坐标系中 ,点 M 的坐标是 (4,5,6),那么点 M 关于 y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射的坐标为.解析 :点 M 关于 y 轴的对称点是 M' (-4,5,-6),那么点 M' 在坐标平面 xOz 上的射影是 (-4,0,-6).答案 :(-4,0,-6)1 1 1D1 在如下图的空间直角坐标系中,那么体对角线的交6.棱长为 2 的正方体 ABCD-A B C点 O 的坐标是.解析 :点 O 是线段 AC1的中点 .又A(0,0,0),C1 (2,2,2),故点 O 的坐标是 (1,1,1).答案 :(1,1,1)7.如图 ,在长方体 ABCO-A1B1C1O1中,|OA|= 1,|OC|= 2,|OO1|= 3,A1C1与 B1 O1相交于点 P,分别写出 A,B,C,O,A1,B1,C1,O1,P 的坐标 .解:点 A 在 x 轴上 ,且 |OA|= 1,那么 A(1,0,0).同理 ,有 O(0,0,0),C(0,2,0),O1 (0,0,3).B 在 xOy 平面内 ,且|OA|= 1,|OC|= 2,则B(1,2,0).同理 ,有 C1(0,2,3),A1(1,0,3),B1(1,2,3).故 O1B1的中点 P 的坐标为★ 8.设 z 为任意实数 ,点 P(1,2,z)组成的集合是什么图形 ?解:当 z=0 时,点 P(1,2,0)在坐标平面 xOy 上,由于点 P 的竖坐标是任意实数 ,因此满足条件的点P 的集合是过点 (1,2,0)且垂直于坐标平面xOy 的直线 .。

最新人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系含答案

最新人教版数学精品教学资料4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( )(2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________．解析：|P 1P 2|＝－2＋02＋22＝2 2.答案：2 2[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点．故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求：(1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)．因为M 为BC 1的中点，所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝＋2＋＋2＋＋2＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223，且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋－2＝533. 层级二应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝－2＋－2＋－2＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝－2＋－2＋＋2＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短．解：(1)设P (x,0,0)．由题意，得|P 0P |＝x －2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．则|MN |＝x 0－2＋－x 0－2＋－2＝x 0－2＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51. 此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12－2＋－2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝－2＋－3＋2＝5，∴圆C的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋2＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)，半径为12|OP |＝ 12－2＋－2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －2＋y －2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2，即2＋a －2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|，即|a －2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3kk 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。

高中数学必修二(4.3.1 空间直角坐标系)示范教案新人教A版必修2

4.3 空间直角坐标系教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x 来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z 为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M 在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z 轴上,因此它的横纵坐标都为0,C 在y 轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx 面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z 轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz 平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy 平面上的射影是点B,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同,在xOy 平面上,点B 的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z 轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例 1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C。

高中数学必修2(人教A版)教案—4.3.1空间直角坐标系

4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

难点：空间直角坐标系的理解。

【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

高中数学必修2第四章第三节《空间直角坐标系》全套教案

4.3.1空间直角坐标系【教学目标】知识与技能：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。

（2）会自己画出空间直角坐标系。

（3）能够在空间直角坐标系下表示点。

过程与方法：通过尝试建立空间直角坐标系的过程，体会空间直角坐标系的特点，以及空间直角坐标系中点的坐标特点及规律。

情感态度与价值观：通过本节的探究性学习，培养严谨的学习态度以及勇于探索的学习精神。

【教学重点难点】教学重点：空间直角坐标系的建立过程。

教学难点：空间中任意点的坐标表示。

【学前准备】：多媒体，预习例题四，，，中B AC C B AD '''''''-0P4.3.2空间两点间的距离公式【教学目标】1．掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题。

2．通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法。

3．通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养学生积极参与、大胆探索的精神。

【教学重难点】重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

【学前准备】：多媒体，预习例题已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值。

引导师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得。

生解答并回答解题过程|AB|=6，∴ 即，解得x=1或x=9 ∴x=1或x=9 点拨求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。

证明以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形。

解答：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC 是一等腰三角形3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？引导因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线。

人教版高中数学(必修二)导学案设计：4.3空间直角坐标系(无答案)

高二数学 SX-G2-B2-U4-L4.34.3 《空间直角坐标系》导学案编写人：审核：高二数学组编写时间：一、教学目标：1、掌握空间直角坐标系的有关概念；2、会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体顶点的有关坐标；3、掌握空间两点间的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

二、教学重、难点：重点：理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系。

难点：用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。

三、使用说明及学法指导:预习教材 P134~P136，找出疑惑之处，并用笔画出来。

四、知识链接:1. 如何确定一个点在一条直线上的位置？。

2. 如何确定一个点在一个平面内的位置？。

五、教学过程:问题1：（平面内点的位置的确定）请在如下平面直角坐标系中，表示出点()1,1P 的位置？请在右面画出该直角系的直观图？并指明()1,1P 的位置？想想横纵坐标表示的是什么？问题2：（空间中点的位置的确定）根据一个房间的示意图，我们怎么表示电灯的位置呢？问题3：有序实数组()4,5,3P 的含义是什么？知识点一：空间直角坐标系的建立1、如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA 、OC 、OD ′的方向为正方向，以线段OA 、OC 、OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y轴、z 轴，这时我们说建立了一个，其中点O 叫做 ,x 轴、y 轴、z 轴叫做，通过每两个坐标轴的平面叫做，分别称为。

2、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．3、空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135o，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的单位长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等．例1：请画出一个空间直角坐标系（右手直角系）知识点二：空间点的坐标表示(参考课本134第二个图)对于空间任意一点M ，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面依次交x 轴、y 轴和z 轴分别于点R Q P ,,．点R Q P ,,在相应数轴上的坐标依次为,,x y z ，我们把有序实数对(),,x y z 叫做点A 的坐标，记为(),,M x y z ．例2：请在上面的空间直角系中找到()1,1,1P ，()1,1,0Q ，()1,0,0M 的位置？例3：如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为5,8,12='==A A AD AB ．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．例4：在空间直角坐标系中，请回答(写出点的坐标特征)：（1）x 轴上的点的坐标；y 轴上的点的坐标；z 轴上的点的坐标；（2）xOy 坐标平面内的点的坐标；xOy 坐标平面内的点的坐标；xOy 坐标平面内的点的坐标。

浙江省温州市兴港高级中学人教版高中数学必修二课件：4-3空间直角坐标系

出全部钠原子所在位置的坐标．
z
O
y
x
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．
典型例题
z
下层的原子全部在平面上，它们所
在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠
原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，
（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,
（
1 2
，1 2
，0）.
x
O
y
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，
P5 (1, 1,1)
P (1,1,1)
o y
x
P1(1,1,1)
1/11/2020
P2(1,1,1)
P4(1,1,1)
26
对称点
• 一般的P(x , y , z) 关于：
• （1）x轴对称的点P1为___(x_,___y_,__z;) • （2）y轴对称的点P2为___(__x_, _y_,__z;) • （3）z轴对称的点P3为__(___x_,__y_,_z;)
A（0，0，0） A’（0，0，5）
z
B（12，0，0） B’（12，0，5）
1/11/2020
A'
B' 5
A
12
B
x
D' C（12，8，0）C’（12，8，5）
C'
D（0，8，0） D’（0，8，5）
8
D
y
C
16
例2 如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12，
AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体

2021-2022高中数学人教版必修2教案：4.3.1空间直角坐标系(系列五)Word版含答案

生：完成
〔6〕今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？
让学生的自信心得到增强
生：谈收获
师：总结
板书设计：
1、空间直角坐标系
2、空间直角坐标系有三要素
3、右手直角坐标系
4、空间中点之间的距离
师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系。
〔3〕建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
[2]
学生从〔1〕中的感性向理性过渡
师：引导学生观察图[2]，
生：点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标
师：如果给定了有序实数组，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/
1．教学任务分析
使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。
通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。
2．教学重点和难点
重点：空间直角坐标系中点的坐标表示
难点：空间直角坐标系中点的坐标表示
3．教学根本流程
设情景引入空间直角坐标系的建立
通过例1、例2的讲解，加深对空间点的坐标表示的理解
生：〔思考〕是的
师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M ，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。
师：大家观察一下列图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？
生：答复
〔4〕例1、例2
学生在教师的指导下完成，加深的重要性
师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。
师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立适宜的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。

【同步速递】专题4.3 空间直角坐标系-人教版高一数学(必修2)(Word版含解析)

一、空间直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y 轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标3．空间直角坐标系中的对称点设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则三、空间两点间的距离公式如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为．在xOy平面上，．在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以．在中，，根据勾股定理，得____________________________．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是____________________________．特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |＝．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P 2z1＋z2．K 知识参考答案：三、1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P （x ，y ，z ），则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |．当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．【解析】以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体中，分别是的中点，棱长为1．试建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：点在面上的射影为，竖坐标为．所以．在面上的射影为的中点，竖坐标为1．所以．方法二：，，，为的中点，为的中点．故点的坐标为即，点的坐标为，即．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】点关于x轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1（－x，－y，－z）；②关于x轴（横轴）对称的点的坐标是P2（x，－y，－z）；③关于y轴（纵轴）对称的点的坐标是P3（－x，y，－z）；④关于z轴（竖轴）对称的点的坐标是P4（－x，－y，z）；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5（x，y，－z）；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6（－x，y，z）；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7（x，－y，z）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点，则的中点的坐标为．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点，，求：（1）线段的长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．∵，∴，，∴，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥EF ．【例9】如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N a ，a 3. 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝2a ＝46a .【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点，在轴上有一点，它到两点的距离相等，求点的坐标．【错解】由已知得，的中点坐标为，且所在直线的斜率为3，故的垂直平分线的斜率为，则垂直平分线的方程为，当时，，故点的坐标为．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点到两点的距离相等，故可求的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点的坐标为，则，即，解得，所以点的坐标为．【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为A ．（－1，2，3）B ．（1，－2，－3）C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为 A ．（－3，4，5） B ．（－3，－4，5） C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为A ．（2，2，1）B ．（2，2，32） C ．（2，2，31）D ．（2，2，34）4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为 A ．9 B ． C ．5D ．25．已知点A （1，a ，－5），B （2a ，－7，－2）（a ∈R ）则|AB |的最小值是 A ．3B ．3C．2 D．26．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，，0）B．（0，，）C．（1，0，）D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A （1，2，－1），B （2，0，2）， ①在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．（2）在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A ．26B ．C ．23D ．3611．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0）B．（6，0，1）C．（0，0，6）D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M 在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是__________．1．【答案】B【解析】关于x轴对称，横坐标不变．故选B．2．【答案】A【解析】关于yOz平面对称，y，z不变．故选A．3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C1（0，2，3），∴|AC1|＝．故选B．5．【答案】B【解析】|AB|2＝（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2＝5a2＋10a＋59＝5（a＋1）2＋54．∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54．∴|AB|min＝＝3．故选B．6．【答案】C【解析】因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上．故选C．7．【答案】B【解析】平面yOz内点的横坐标为0．故选B．8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P（1，0，0）；②M点的轨迹是xOz平面内的一条直线，其方程为x ＋3z－1＝0；（2）M（1，0，0）．【解析】（1）①设P（a，0，0），则由已知得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P点坐标为（1，0，0）．②设M（x，0，z），则有＝，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0．故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．（2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝＝．所以当x ＝1时，|MN |min ＝，此时点M （1，0，0）． 10．【答案】A【解析】设P （x ，y ，z ），由题意可知，∴x 2＋y 2＋z 2＝23．∴＝26．故选A ．11．【答案】A【解析】设P （x ，0，0），|PA |＝，|PB |＝，由|PA |＝|PB |，得x ＝6．故选A ． 12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】339【解析】设正方体的棱长为a ，由|AM |＝＝可知，正方体的体对角线长为a ＝2，故a ＝313＝339．14．【答案】（1）；（2）当a ＝22时，MN 的长度最短．【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点M （22a ，0，1－22a ）．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N （22a ，22a ，0）．（1）由空间两点间的距离公式，得|MN |＝＝，即MN 的长度为．（2）由（1），得|MN |＝＝．当a ＝22（满足0<a <）时，取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22．学%科网15．【答案】M 32；N 65．16．【答案】V （0，0，3），A （－1，－1，0），B （1，－1，0），C （1，1，0），D （－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1． ∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）． ∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．【答案】（1）P ′31；（2）当m ＝21时，|MP |取得最小值22，此时点M 为21．【解析】（1）由题意知P 的坐标为31， P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为31．（2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ），则有|MP |＝21＝＝21．当m ＝21时，|MP |取得最小值22，所以点M 为21．学^科网18．【答案】详见解析．19．【答案】（﹣4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴（﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．。