简明材料力学(刘鸿文)第二版 第8章课后答案

λ1 = π
E
σP
=π
200 × 109 = 99.3 200 × 106
λ2 =
a − σ S 304 − 240 = = 57 1.12 b
(2) 求各杆的临界压力Pcr 1 杆：
λ(1) =
1× 5 = 125 λ1 i 0.16 / 4 π d 4 π × 0.164 I= = = 3.22 × 10−5 m 4 64 64 2 π EI π 2 × 200 × 109 × 3.22 × 10−5 Pcr (1) = = = 2542 kN 2 2 (μl ) (1 × 5) =
上海理工大学 力学教研室
2
2
垂直的xz平面内，两端则可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。
x z 3100 I I 14 96 85 140 y y
解：(1) 计算截面的几何性质
A = 0.14 × 0.096 − 0.085 × ( 0.096 − 0.014 ) = 6.47 × 10−3 m 2 Iy = 1 1 × 0.085 × 0.0143 + × ( 0.14 − 0.085) × 0.0963 = 4.0745 × 10−6 m 4 12 12 1 1 I z = × 0.096 × 0.143 − × ( 0.096 − 0.014 ) × 0.0853 = 1.7755 × 10 −5 m 4 12 12 Iy 4.0745 × 10−6 = = 0.025 m iy = 6.47 × 10−3 A iz = Iz 1.7755 × 10−5 = = 0.052 m A 6.47 × 10−3
λ=
μl
i
=
4 μ l 4 × 1 × 0.257 = = 128.5 d 0.008 =π 210 × 109 = 92.9 240 × 106
λ1 = π
∴λ
E
σP λ1
挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力 (2) 校核挺杆的稳定性
I=
πd4
64
=
π × 0.0084
π 2 EI = Pcr = 2 (μl )
D 1.2m A B C
P
1.2m G
1m
1m
解：(1) 分析 ABC 受力 RAD
A B C
P
RAG 列平衡方程
RB
∑M
变形谐调条件
B
=0
( RAD + RAG ) × 1 − P × 1 = 0
Δl AD = Δl AG
RAD + RAG = P
RAD × 1.2 RAG × 1.2 = EAAD EAAG
C
解：由铰 B 的平衡可得 P
θ B
o
P1
90
P2Leabharlann P1 θ P P2P2 = P1tgθ
由已知条件可知，
l BC = l AB tg β
AB 和 BC 皆为细长压杆
E AB = EBC
I AB = I BC
μ AB = μ BC = 1
Pcr1 =
π 2 E AB I AB
2 l AB
Pcr 2 =
a − σ s 304 − 235 = = 61.6 1.12 b ∴ λ2 ≺ λ xz ≺ λ1
连杆为中长杆，用直线公式计算临界压力
Pcr = σ cr A = ( a − bλ xz ) A = ( 304 − 1.12 × 62) × 106 × 6.47 × 10−3 = 1517.6 kN
p
A l
B
P 解：(1) 求柔度极限值
P
λ1 = π
压杆的柔度
E
σP
=π
210 × 109 = 92.9 240 × 106
λ=
压杆是大柔度杆 (2) 压杆的临界压力
μl
i
==
1 × 1.8 = 96 0.075 / 4
λ1
I=
πd4
64
=
π × 0.0754
π 2 EI = Pcr = 2 (μl )
π d 22 [σ ]
4 × 0.281
π × 0.0252 × 160 × 106
4 × 0.281
= 279.5 kN
(3) 杆 AD 受压，考虑稳定问题 AD 杆的柔度
λ=
柔度极限值
μl
i
=
1 × 1.2 = 120 0.04 / 4
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5
λ1 = π λ λ1
E
σP
=π
206 × 109 = 100.8 200 × 106
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界压力
I=
π d14
64
=
π × 0.044
64
= 1.257 × 10−7 m 4
Pcr =
根据稳定性条件
π 2 EI π 2 × 206 × 109 × 1.257 × 10−7 = = 177.5 kN 2 2 (μl ) (1 × 1.2)
工作安全系数
= 2.01 × 10−10 m 4 64 π 2 × 210 × 109 × 2.01 × 10−10
(1 × 0.257 )
n=
2
= 6.31KN
Pcr 6.31 = = 3.59 Pmax 1.76
所以挺杆满足稳定性要求。 10.4. 图示蒸汽机活塞杆AB所受压力为P=120 kN，l=1.8 m，截面为圆形d=75 mm。材料为 Q275 钢，E=210 GPa，σs=240 MP。规定nst=8。试校核活塞杆的稳定性。
I y = 144cm 4
μ = 1, λ=
iy
l BD = 1.5 / cos 300 = 1.732m
μ l BD
=
1 × 1.732 = 82.87 2.09 × 10−2
∴ λ2 ≺ λ ≺ λ1
BD 杆为中长杆 (3) 计算临界压力
Pcr = σ cr A = ( a − bλ ) A = ( 304 − 1.12 × 82.87 ) × 106 × 32.837 × 10−4 = 693.5 kN
λ1=100， λ2=62。 10.15. 某厂自制简易起重机如图所示。 压杆BD为 20 号槽钢， 材料为Q235 钢， 最大起重量P=40kN。若规定nst=5，试校核杆BD的稳定性。
A 1.5m 30
o
0.5m B C
XA
YA
z y
P
RBD
D
解：(1) 受力分析 以整体为研究对象，由平衡方程可求得
(4) 稳定性校核
n=
Pcr 693.5 = = 6.5 RBD 106.7
4
nst
上海理工大学 力学教研室
满足稳定要求。 10.17 图示结构中的杆AD和AG材料均为Q235 钢，E=206 GPa，σp=200 MPa，σs =235 MPa， a=304 MPa，b=1.12 MPa，[σ]=160 MPa。两杆均为圆截面，杆AD的直径为d1=40 mm 杆AG的直径为d2=25 mm。横梁ABC可视为刚体，规定的稳定安全系数nst=3，试求P 的许可值。
3 杆：
λ(3) =
μ l3
i
= λ(1) ×
l3 = 31.25 ≺ λ2 l1
∴σ cr = σ s 1 ∴ Pcr (3) = σ S A = 240 × 106 × × π × 0.162 = 4825 kN 4
10.8. 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆长l=4.5 m，横截面直径d=150 mm。材料为低合金 钢，E=210GPa，σp=200MPa。顶杆两端可简化为铰支座，规定稳定安全系数nst=3.3。 试求顶杆的许可载荷。
2 2
RAD AAD ⎛ d1 ⎞ ⎛ 40 ⎞ = = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2.56 RAG AAG ⎝ d 2 ⎠ ⎝ 25 ⎠
解方程组得
RAD = 0.719 P
(2) 杆 AG 受拉，考虑强度条件
RAG = 0.281P
σ AG =
P≤
RAG 0.281P = ≤ [σ ] 2 AAG π d 2 /4 =
3
解：(1) 求柔度极限值
λ1 = π
压杆的柔度
E
σP
=π
10 × 109 = 70.25 20 × 106
λ=
μl
i
==
1× 4 = 115.5 0.12 / 12
λ1
压杆是大柔度杆 (2) 用欧拉公式计算压杆的临界应力
Pcr =
π 2 E π 2 × 10 × 109 = = 7.40 MPa 115.52 λ2
顶杆 d
P
l 上海理工大学 力学教研室
1
解：(1) 求顶杆的临界载荷
λ1 = π
I=
E
σP
=
=π
210 × 109 = 101.8 200 × 106 = 2.485 × 10−5 m 4
λ=
μl
i
=
1 × 4.5 = 120 0.15 / 4
λ1
πd4
64
2
π × 0.154
64
π EI π 2 × 210 × 109 × 2.485 × 10−5 Pcr = = = 2543.4 kN 2 2 (μl ) (1 × 4.5)
∑M
A
=0
RBD cos30o × AD − P × AC = 0
RBD =
P × AC 40 × 2.0 = = 106.7 kN o cos30 × AD cos30o × 1.5 × tg 30o
(2) BD 压杆的柔度 查型钢表，20 号槽钢：
A = 32.837cm 2