计算方法绪论
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5
实际 问题
数学 模型
数值 方法
计算机 计算
计算数学 图1-1 数值应用领域的几个环节
• 数值方法的基本处理思路:
复杂 无限 微分 非线性
算 法
可 行 性
简化 有限 代数 线性
截断误差 收敛性 精度 误差
舍入误差 稳定性
计算量（时间、空间）
6
举例0-3（关于计算量）：计算矩阵A的行列式
det(A)
• 微分方程数值方法 常微分方程数值解（第六章） 偏微分方程数值解
19
二、初步学会使用Matlab – 一个超级“计算器”。
三、了解数值方法设计的核心：
• 精度
各类误差分析
截断误差 舍入误差
• 收敛性 • 稳定性
• 计算量
算法速度 存储量
• 举例2：计算 1 x 1 的值，
其中 x 0, x 很小。
w0 71.1米 / 秒
顶级专业选手击出的球的距离可达到300码，约274.3米。
这可以作为验证我们计算结果的比对参照。
10
令 u dx , v dy 则 w u2 v2
dt
dt
du ddvt
k
m k
w w
u v
g
dt m
若 x(0) y(0) 0
x' (0) u(0) w0 cos y' (0) v(0) w0 sin
风阻系数 0.5 0.28~0.4 0.15 0.1~0.2 0.08 0.05
高尔夫球的表面有凹坑，能增加旋转时的提升力，考虑 到这个因素，我把我计算时的高尔夫球的风阻系数取为：
C 0.15
有报道说，顶级专业选手击出的球的初速高达时速180英 里，一般专业选手达160英里时速（约71.1米/秒），业 余选手在126英里时速的水平。计算中，我取初速
21
• 收敛性：
(
1
x
1)
1 2
x
(
1 22
x2 2!
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
)
( 1 x 1)
( 1 x 1)
(
1
x
1)
x (
1 22
1 2!
3 23
x 3!
35 24
x2 4!
)
x0 0
所以，近似算法公式(3)是收敛的。
但是，注意，下面的算法是不收敛的，即使当 x 0
当I0取为 0.63212055882856
当I0取为 0.63212055882855
当I0取为 1-exp(-1)
24
四、知道数值计算是科学研究的重要手段 之一
• 科学研究的三种基本手段：理论分析、实验、 数值计算，缺一不可。 • Richard Hamming（1915-1998, 1968年图灵奖 得主）的名言—
舍入误差影响大， 稳定性差
6.172839438271602e-016
>> y1=0.5*x y1 =
舍入误差影响小， 稳定性好
6.172839438271605e-016 23
• 不稳定性的一个例子：
•
举例3：计算积分值
I20 e1
1 x20exdx
0
记：
In
e1
1 xne xdx,(n 0,1,2, )
• 数值积分方法（例如复合辛普森公式）求定积分。
求得 x(t)和 y(t) 的离散点值 x j 和 y j
(xj, yj)
16
接下来，我们根据这些离散点值，找到一条通过这些 点的光滑曲线，从而给出高尔夫球的完整轨迹。需要： • 插值方法（例如三次样条多项式插值）。
17
• 数据的拟合（例如最小二乘法）
du
dt dv
k
m k
wu wv
g
u
dt m
• 数值微分（例如 ， 向前差分）：
j j+1 t
du
u j1 u j
dt t jt
t
• 常微分方程数值方法（例如隐式梯形公式）：
t=nt n
u j1 u j t
1 k 2m
wj u j wj1 u j1
✓ 把无限意义下的微分，转化成代数形式下的有限个未知数。 13
及
v j1 v j t
1 k 2m
wj v j wj1 v j1
g
这是关于未知数 u j1和 v j1 的非线性方程组。
• 线性方程组的数值求解方法 • 非线性方程的求根（例如牛顿迭代法）：
方程 f (x) 0 的根可以用迭代方法求得： xk1 xk f ( xk ) / f ' ( xk )
实验测量数 据直接相连 一般不能构 成光滑的曲 线，需要用 曲线拟合算 法构造光滑 合理的造型。
18
• 本课程的学习目标 –
一、学习一些基本的数值方法：
• 解代数方程（求根） 非线性方程求根（第二章） 线性代数方程组求解（第三章）
• 构造光滑曲线 插值多项式（第四章） 曲线拟合（第四章）
• 数值微积分 数值微分（第五章） 数值积分（第五章）
x1 2.5895
x2 2.4609
x3 3.5407
x4
3.2753 =
x5 3.0603
x6 2.6911
x7 4.6030
x8 3.1424
解为：X’=[0.55 0.71 1.01 1.01 0.31 0.24 0.95 0.46]
举例0-2：求定积分
1 sin(x)
0
dx x
的值。
解为： 0.94608307
取适当的初值 x0 ，迭代收敛可得到1个根。
✓ 把非线性问题，通过线性化的方法近似求解。
14
uj vj
获得所有的 u j 和 v j 的近似值后，来计算
t
x(t) u( )d
和
t
y(t) v( )d
0
0
15
我们并没有完整的函数u(t) 和 v(t) ，只有一些离散
点上的值 u j 和 v j ，需要：
计算的目的不在于数据， 而在于洞察事物。
• 举例4：Logistic Map
xn 1 a( xn1)2, a [0,2], x0 [0,1]
25
• 本周课外作业： • 复习泰勒展开公式； • 复习矩阵及其特征值、特征向量； • 试试matlab软件。
26
0
则： In 1 nIn1,(n 1,2, ,20),
I0 e1(e 1) = 0.63212055882856
精确值: I20 0.04554488407582
但是如果用上面的迭代公式计算的话，计算结
果是(在我的机器matlab6.5平台上)：
5642.0416399968 -18667.53279521354 -30.19239488558378
低速 时，n=2，即阻力与速度的平方成正比。
k 1C A
2
其中，A 是物体有效截面积，是空气密度，C是物体 的风阻系数；m是物体的质量。
零度时， 1.297 kg / m3
Hale Waihona Puke Baidu
高尔夫球重 m 46克 ，直径 d 42毫米
从而 A 0.001385m2
9
一些物体的风阻系数： 物体 球 轿车 赛车 鸟 飞机 雨滴
4
• 数值计算方法的研究内容 计算机应用的两大领域： * 数值应用领域 * 非数值应用领域 数值计算方法是数值应用领域的基
础，其主要工作是要设计和分析各种算 法，这些算法是以数值的形式求解科学 和工程中提出的各种数学问题。它是用 近似的方法来处理各种连续的量、函数 和方程，获得它们的数值解（近似解）。
计算方法
绪论
• 关于数值计算方法
数学 计算机
计算方法 Numerical Methods
数值分析 Numerical Analysis 数值计算
科学计算 Scientific Computing
（Computational Science）计算机仿真
它是计算数学（Computation / Computational Mathematics）学科的主要研究对象，也是计 算（Computing）学科的方向之一,它的发展直 接推动和伴随了计算机技术的进展。
x 4 1; y 3x ; z 1 y
3
返回运算结果为“>> z=2.220446049250313e-016”
7
• 举例1：高尔夫球的抛射轨迹
（1）没有空气阻力
d2x
dt d2
2
y
dt2
0 g
取 w0 71.1 米 / 秒
0.22
若 x(0) y(0) 0
x' (0) w0 cos c11
取=0.22=39.6度
则上述数学问题存在唯一解，即高尔夫球轨迹唯一存在。
如何求解？
理论方法
如何解决这个问题？
11
（3）实验（实际测量）
t 0.5秒 x( jt) x j y( jt) y j
成本较高 ✓ 数轴区间上无限个值，简化考虑获得有限个代表性点上的值。
12
（4）计算（理论上的近似值）- 数值模拟
20
• 数值（近似）方法的多样性：
（1）直接计算 1 x 1 ， x
（2）用 1 x 1 计算，
（3）用下列近似公式计算：
1 x
1
1 2
x
1 22
x2 2!
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
1 x 0.5* x 2
（4）
1
x
1
1 2
x
1 22
x2 2!
• 计算量： （3）的计算量最小。
时公式两端都趋于 0 。
1 x 1 x
22
• 稳定性：
>> x=1.234567887654321e-15;
精确值:0.000000000000000
617283943827160
309480266346594
>> sqrt(1+x)-1 6.661338147750939e-016
>> x/(sqrt(1+x)+1)
y' (0) w0 sin c21
则 x c11t
y
0.5gt2
c21t
✓ 把复杂因素尽可能在符合需求的条件下简化。 8
（2）有空气阻力（但不空考虑风的影响等）
m m
d2x dt2 d2y dt2
k wn 1 k wn 1
dx
dt dy
dt
mg
其中 w ( dx)2 ( dy )2 dt dt
2
举例0-0：非线性Schrödinger方程 it E xx E E 2 E 0, E(0) 2E0 sech(E0 x)eiV0x/ 2
sch.mpg sch_coll.mpg
3
举例0-1：求解线性代数方程组
1.58 0.21 0.42 0.21 0.68 0.45 0.61 0.08 0.42 1.38 0.30 0.64 0.21 0.04 0.02 0.45 0.52 0.78 1.87 0.32 0.84 0.03 0.02 0.44 0.33 0.68 0.02 1.96 0.63 0.31 0.19 0.35 0.43 0.46 0.77 0.73 1.13 0.01 0.59 0.15 0.23 0.57 0.97 0.41 0.21 1.38 0.06 0.68 0.58 0.79 0.99 0.74 0.61 0.68 1.37 0.70 0.76 0.06 0.79 0.27 0.63 0.09 0.63 1.73
快了 2 1018倍。每秒万亿次计算机大概只要0.00000001秒。
举例0-4（关于收敛性）：
当x 0时，x sin x，sin x x,(x在0附近）；
但sin x 2x或 x ,(x在0附近）;虽然当x 0时，2x, x ,sin x 0；
2
2
举例0-5（关于舍入误差）：在Matlab上运行命令：
(1) a a a (i1 ,i2 , ,in )
i1 1 i2 2
inn
i1 ,i2 , ,in C (1,2, ,n)
约需要 (n-1)·n! 次乘法，n=22时约为 2.361022 ，每秒万
亿次计算机要算75年。超级计算机（千万亿次）也要计算
27天多。用高斯消去法，则只要 n3次乘法（223 10648）
实际 问题
数学 模型
数值 方法
计算机 计算
计算数学 图1-1 数值应用领域的几个环节
• 数值方法的基本处理思路:
复杂 无限 微分 非线性
算 法
可 行 性
简化 有限 代数 线性
截断误差 收敛性 精度 误差
舍入误差 稳定性
计算量（时间、空间）
6
举例0-3（关于计算量）：计算矩阵A的行列式
det(A)
• 微分方程数值方法 常微分方程数值解（第六章） 偏微分方程数值解
19
二、初步学会使用Matlab – 一个超级“计算器”。
三、了解数值方法设计的核心：
• 精度
各类误差分析
截断误差 舍入误差
• 收敛性 • 稳定性
• 计算量
算法速度 存储量
• 举例2：计算 1 x 1 的值，
其中 x 0, x 很小。
w0 71.1米 / 秒
顶级专业选手击出的球的距离可达到300码，约274.3米。
这可以作为验证我们计算结果的比对参照。
10
令 u dx , v dy 则 w u2 v2
dt
dt
du ddvt
k
m k
w w
u v
g
dt m
若 x(0) y(0) 0
x' (0) u(0) w0 cos y' (0) v(0) w0 sin
风阻系数 0.5 0.28~0.4 0.15 0.1~0.2 0.08 0.05
高尔夫球的表面有凹坑，能增加旋转时的提升力，考虑 到这个因素，我把我计算时的高尔夫球的风阻系数取为：
C 0.15
有报道说，顶级专业选手击出的球的初速高达时速180英 里，一般专业选手达160英里时速（约71.1米/秒），业 余选手在126英里时速的水平。计算中，我取初速
21
• 收敛性：
(
1
x
1)
1 2
x
(
1 22
x2 2!
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
)
( 1 x 1)
( 1 x 1)
(
1
x
1)
x (
1 22
1 2!
3 23
x 3!
35 24
x2 4!
)
x0 0
所以，近似算法公式(3)是收敛的。
但是，注意，下面的算法是不收敛的，即使当 x 0
当I0取为 0.63212055882856
当I0取为 0.63212055882855
当I0取为 1-exp(-1)
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四、知道数值计算是科学研究的重要手段 之一
• 科学研究的三种基本手段：理论分析、实验、 数值计算，缺一不可。 • Richard Hamming（1915-1998, 1968年图灵奖 得主）的名言—
舍入误差影响大， 稳定性差
6.172839438271602e-016
>> y1=0.5*x y1 =
舍入误差影响小， 稳定性好
6.172839438271605e-016 23
• 不稳定性的一个例子：
•
举例3：计算积分值
I20 e1
1 x20exdx
0
记：
In
e1
1 xne xdx,(n 0,1,2, )
• 数值积分方法（例如复合辛普森公式）求定积分。
求得 x(t)和 y(t) 的离散点值 x j 和 y j
(xj, yj)
16
接下来，我们根据这些离散点值，找到一条通过这些 点的光滑曲线，从而给出高尔夫球的完整轨迹。需要： • 插值方法（例如三次样条多项式插值）。
17
• 数据的拟合（例如最小二乘法）
du
dt dv
k
m k
wu wv
g
u
dt m
• 数值微分（例如 ， 向前差分）：
j j+1 t
du
u j1 u j
dt t jt
t
• 常微分方程数值方法（例如隐式梯形公式）：
t=nt n
u j1 u j t
1 k 2m
wj u j wj1 u j1
✓ 把无限意义下的微分，转化成代数形式下的有限个未知数。 13
及
v j1 v j t
1 k 2m
wj v j wj1 v j1
g
这是关于未知数 u j1和 v j1 的非线性方程组。
• 线性方程组的数值求解方法 • 非线性方程的求根（例如牛顿迭代法）：
方程 f (x) 0 的根可以用迭代方法求得： xk1 xk f ( xk ) / f ' ( xk )
实验测量数 据直接相连 一般不能构 成光滑的曲 线，需要用 曲线拟合算 法构造光滑 合理的造型。
18
• 本课程的学习目标 –
一、学习一些基本的数值方法：
• 解代数方程（求根） 非线性方程求根（第二章） 线性代数方程组求解（第三章）
• 构造光滑曲线 插值多项式（第四章） 曲线拟合（第四章）
• 数值微积分 数值微分（第五章） 数值积分（第五章）
x1 2.5895
x2 2.4609
x3 3.5407
x4
3.2753 =
x5 3.0603
x6 2.6911
x7 4.6030
x8 3.1424
解为：X’=[0.55 0.71 1.01 1.01 0.31 0.24 0.95 0.46]
举例0-2：求定积分
1 sin(x)
0
dx x
的值。
解为： 0.94608307
取适当的初值 x0 ，迭代收敛可得到1个根。
✓ 把非线性问题，通过线性化的方法近似求解。
14
uj vj
获得所有的 u j 和 v j 的近似值后，来计算
t
x(t) u( )d
和
t
y(t) v( )d
0
0
15
我们并没有完整的函数u(t) 和 v(t) ，只有一些离散
点上的值 u j 和 v j ，需要：
计算的目的不在于数据， 而在于洞察事物。
• 举例4：Logistic Map
xn 1 a( xn1)2, a [0,2], x0 [0,1]
25
• 本周课外作业： • 复习泰勒展开公式； • 复习矩阵及其特征值、特征向量； • 试试matlab软件。
26
0
则： In 1 nIn1,(n 1,2, ,20),
I0 e1(e 1) = 0.63212055882856
精确值: I20 0.04554488407582
但是如果用上面的迭代公式计算的话，计算结
果是(在我的机器matlab6.5平台上)：
5642.0416399968 -18667.53279521354 -30.19239488558378
低速 时，n=2，即阻力与速度的平方成正比。
k 1C A
2
其中，A 是物体有效截面积，是空气密度，C是物体 的风阻系数；m是物体的质量。
零度时， 1.297 kg / m3
Hale Waihona Puke Baidu
高尔夫球重 m 46克 ，直径 d 42毫米
从而 A 0.001385m2
9
一些物体的风阻系数： 物体 球 轿车 赛车 鸟 飞机 雨滴
4
• 数值计算方法的研究内容 计算机应用的两大领域： * 数值应用领域 * 非数值应用领域 数值计算方法是数值应用领域的基
础，其主要工作是要设计和分析各种算 法，这些算法是以数值的形式求解科学 和工程中提出的各种数学问题。它是用 近似的方法来处理各种连续的量、函数 和方程，获得它们的数值解（近似解）。
计算方法
绪论
• 关于数值计算方法
数学 计算机
计算方法 Numerical Methods
数值分析 Numerical Analysis 数值计算
科学计算 Scientific Computing
（Computational Science）计算机仿真
它是计算数学（Computation / Computational Mathematics）学科的主要研究对象，也是计 算（Computing）学科的方向之一,它的发展直 接推动和伴随了计算机技术的进展。
x 4 1; y 3x ; z 1 y
3
返回运算结果为“>> z=2.220446049250313e-016”
7
• 举例1：高尔夫球的抛射轨迹
（1）没有空气阻力
d2x
dt d2
2
y
dt2
0 g
取 w0 71.1 米 / 秒
0.22
若 x(0) y(0) 0
x' (0) w0 cos c11
取=0.22=39.6度
则上述数学问题存在唯一解，即高尔夫球轨迹唯一存在。
如何求解？
理论方法
如何解决这个问题？
11
（3）实验（实际测量）
t 0.5秒 x( jt) x j y( jt) y j
成本较高 ✓ 数轴区间上无限个值，简化考虑获得有限个代表性点上的值。
12
（4）计算（理论上的近似值）- 数值模拟
20
• 数值（近似）方法的多样性：
（1）直接计算 1 x 1 ， x
（2）用 1 x 1 计算，
（3）用下列近似公式计算：
1 x
1
1 2
x
1 22
x2 2!
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
1 x 0.5* x 2
（4）
1
x
1
1 2
x
1 22
x2 2!
• 计算量： （3）的计算量最小。
时公式两端都趋于 0 。
1 x 1 x
22
• 稳定性：
>> x=1.234567887654321e-15;
精确值:0.000000000000000
617283943827160
309480266346594
>> sqrt(1+x)-1 6.661338147750939e-016
>> x/(sqrt(1+x)+1)
y' (0) w0 sin c21
则 x c11t
y
0.5gt2
c21t
✓ 把复杂因素尽可能在符合需求的条件下简化。 8
（2）有空气阻力（但不空考虑风的影响等）
m m
d2x dt2 d2y dt2
k wn 1 k wn 1
dx
dt dy
dt
mg
其中 w ( dx)2 ( dy )2 dt dt
2
举例0-0：非线性Schrödinger方程 it E xx E E 2 E 0, E(0) 2E0 sech(E0 x)eiV0x/ 2
sch.mpg sch_coll.mpg
3
举例0-1：求解线性代数方程组
1.58 0.21 0.42 0.21 0.68 0.45 0.61 0.08 0.42 1.38 0.30 0.64 0.21 0.04 0.02 0.45 0.52 0.78 1.87 0.32 0.84 0.03 0.02 0.44 0.33 0.68 0.02 1.96 0.63 0.31 0.19 0.35 0.43 0.46 0.77 0.73 1.13 0.01 0.59 0.15 0.23 0.57 0.97 0.41 0.21 1.38 0.06 0.68 0.58 0.79 0.99 0.74 0.61 0.68 1.37 0.70 0.76 0.06 0.79 0.27 0.63 0.09 0.63 1.73
快了 2 1018倍。每秒万亿次计算机大概只要0.00000001秒。
举例0-4（关于收敛性）：
当x 0时，x sin x，sin x x,(x在0附近）；
但sin x 2x或 x ,(x在0附近）;虽然当x 0时，2x, x ,sin x 0；
2
2
举例0-5（关于舍入误差）：在Matlab上运行命令：
(1) a a a (i1 ,i2 , ,in )
i1 1 i2 2
inn
i1 ,i2 , ,in C (1,2, ,n)
约需要 (n-1)·n! 次乘法，n=22时约为 2.361022 ，每秒万
亿次计算机要算75年。超级计算机（千万亿次）也要计算
27天多。用高斯消去法，则只要 n3次乘法（223 10648）