第十五章 网络拓扑和电路方程的矩阵形式

3、支路电压与结点电压关系的矩阵形式：
二、回路矩阵（基本回路矩阵）：
１、（基本）回路矩阵描述：描述支路与回路之间的关联情况。对于n个结点b条支路的电路，用[b-(n-1)]* b阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个独立回路，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：
以15-3-２为例：
选择支路1、2、3、7为树支，4、5、6、8为连支，则单连支回路组为：
{1、2、4}，{2、3、5}，{2、3、6、7}，{1、3、7、8}。
又称为单连支回路组。
四、独立割集组的确定：
可以通过树确定一组独立割集，称为单树支割集组。如图15-2-2。
选择支路1、2、3、7为树支，4、5、6、8为连支，则单树支割集组为：
*第七节 2b表格法
2b表格法是以电路中b个支路电流和b个支路电压为独立变量，运用KCL、KVL、欧姆定律列出2b个独立方程。这种方法对元件类型不做限制，每一个元件为一条支路（不采用复合支路）规定如下：
矩阵中的元素如下：
列方程的依据是：
【解】电路的有向图如（b）。以支路4、5、6为树，基本回路矩阵Bf为：
第六节 割集电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的矩阵形式
一、 复合支路及特性方程（只讨论无受控源、无互感的情况）：如图15-4-1。
为了得到割集电压方程的矩阵形式，利用KCL的矩阵形式和支路电压与割集电压关系的矩阵形式，可得：
证明略。
第四节 结点电压方程的矩阵形式
一、 复合支路（以正弦交流为例）：又称一般支路，典型支路。如图15-4-1。
阻抗ZK只能是电阻、感抗、容抗之一而不能是它们的组合。
二、 特性方程及结点电压方程的矩阵形式：分三种情况讨论。
1、无受控源、无互感。
通过例题说明。
【例15-3】写出结点电压方程的矩阵形式。
【解】电路的有向图如（b）。以结点④为参考结点。关联矩阵A为：
第五节 回路电流方程的矩阵形式
一、复合支路及特性方程：
如图15-5-1。
支路导纳矩阵、独立电压源、电流源列相量为：
2、无受控源、有互感耦合。
结点电压方程的标准形式不变，支路导纳矩阵不再是对角线阵。以图15-2为例。
3、有受控源、但无互感耦合。
结点电压方程的形式不变，支路导纳矩阵不再对称，结点导纳矩阵也不再是对称矩阵。
【例15-6】用2b表格法列写例15-6电路方程的矩阵形式。
电路中以6为参考结点。关联矩阵A、网孔矩阵B、独立电压源、电流源列相量、支路阻抗矩阵、支路导纳矩阵分别为：
带入2b表格法的基本方程即可。
第八节 状态方程
一、 状态变量和状态方程的标准形式：
与关联矩阵不同。基本割集矩阵不能唯一确定一个拓扑图的形状。
２、ＫＣＬ的矩阵形式：
3、支路电压与结点电压关系的矩阵形式：
对于连通图G，若选择相同的支路顺序，则关联矩阵、回路矩阵之间满足：
若选择连通图的同一个树，则基本回路矩阵和基本割集矩阵之间满足：
可以任意选择一组独立回路。但通常选择单连支回路作为独立回路。称为基本回路组即单连支回路组。
以支路4、5、6为树支，1、2、3为连支。则基本回路矩阵为：
可见，Bf中包含一个L阶的单位子矩阵，原因是：支路编号时先连支后树支（或先树支后连支）；基本回路编号顺序与连支先后顺序号一致；回路正方向与连支正方向一致。
二、割集：
定义：对连通图来说，割集C是一组支路的集合，如果把C的全部支路移去，将使原来的连通图分成两个分离部分，但在C的全部支路中，只要少移去一条支路，剩下的拓扑图仍是连通的。因此割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合。
三、独立回路组的确定：
可以通过树确定一组独立回路，称为单连支回路组。如图15-2-1。
２、 系统列写法：该方法必须选择特有树。原则是：树支包括电路中所有电容支路（不能有电感支路），连支包括电路中所有电感支路（不能有电容支路）。以图15-8-3（a）为例说明。
选择电压u4、u5、u6和电流i2、i3为状态变量。其特有树的树支和连支如图（b）。由单树支割集（C4除外）和单连支回路（Ⅲ回路除外）确定的方程如下：
此拓扑图是连通图。
(b)是互感电路的分离图。
(b)是在低频下的拓扑图，是分离图，包括自环（自回路）、悬支、孤立结点。
2、有向图：如果标以支路电压、电流的（关联）参考方向，即成有向图。
3、子图：如果图G1的所有结点和支路是图G的结点和支路，则G1是G的子图。子图可以有很多。
通过例题说明割集电压方程的列写过程和方程的物理意义。
【例15-5】写出割集电压方程的矩阵形式。
【解】电路的有向图如（b）。以支路3、4、5为树，割集电压ut3、ut4、ut5。基本割集矩阵Qf为：
第七节 理想电源的转移
一、 理想电压源的转移：以图15-6-1为例。
以15-3-1为例。其矩阵形式为：
其特点为：每一列只有两个非零元素，且一"＋"、一"－"。因此可以划去一行（此行对应的结点称为参考结点，如第四行）称为降阶关联矩阵，用Ａ表示（以后，如果无特殊说明均指A）。则：
关联矩阵和拓扑图之间为一一对应的关系。
２、ＫＣＬ的矩阵形式：
将(a)中的理想电压源转移到相关的（右面）（或左面）支路中去。理想电压源转移后减少了一条支路，消去了一个结点，但电压源的个数增加了。
二、理想电流源的转移：以图15-6-2为例。
将(a)中的理想电流源转移到相关的支路中去。理想电流源转移后减少了一个回路，但电压源的个数增加了。
是一组以uc和iL为变量的一阶微分方程组，uc和iL称为状态变量。即描述电路动态过程的状态方程。用矩阵形式表示即为：
二、状态方程的列写方法：分为直观列写法和系统列写法。
１、 直观列写法：对于不太复杂的电路可以用直观列写法。以图15-8-2为例。
以uC、i1、i2为状态变量，必须选择结点A和回路ⅠⅡ列写响应的KCL、KVL方程。方程如下：
{1、4、8}，{2、4、5、6}，{3、5、6、8}，{6、7、8}。
又称为单树支割集组。
第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
有向拓扑图的结构可以用关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵来描述。
一、 关联矩阵：
１、 关联矩阵的描述：描述支路与结点之间的关联情况。对于n个结点b条支路的电路，用n* b阶矩阵或（n-1）* b阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个结点，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：
为了得到结点电压方程的矩阵形式，利用KCL的矩阵形式和支路电压与结点电压之间的关系，可得：
通过例题说明结点电压方程的列写过程和方程的物理意义。
【例15-1】按步骤写出图15-1（a）结点电压方程的矩阵形式。
【解】电路的有向图如（b）。以结点④为参考结点。关联矩阵A为：
1、状态变量：网络在任意时刻t0的状态变量是一组描述这个网络所必需的最少量数据，根据这些最少量数据及外加激励就可唯一地确定t> t0时网络的响应。
２、 状态方程：状态方程是联立的一阶微分方程组，可以用解析法和数值解法求解。以图15-8-1为例观察状态方程的形式。
如果以uc和iL为电路变量，则电路方程为：
二、回路电流方程的矩阵形式：
为了得到回路电流方程的矩阵形式，利用KVL的矩阵形式和支路电流与回路电流之间的关系，可得：
通过例题说明方程的列写过程和方程的物理意义。
【例15-4】写出回路电流方程的矩阵形式。已知：C1=C2=0.5f,L3=2h,L4=1h，R5=1Ω,R6=2Ω。
与关联矩阵不同。基本回路矩阵不能唯一确定一个拓扑图的形状。
2、ＫVＬ的矩阵形式：
3、支路电流与回路电流关系的矩阵形式：
三、割集矩阵（基本割集矩阵）：
１、（基本）割集矩阵描述：描述支路与割集之间的关联情况。对于n个结点b条支路的电路，用 (n-1) * b阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个独立割集，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：
本章必做习题：15-1，15-3，15-4，15-6，15-8，15-9，15-10，15-13，15-17，15-18。
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以15-3-3为例：
可以任意选择一组独立割集。但通常选择单树支割集作为独立割集。称为基本割集组即单树支割集组。
以支路4、5、6为树支，1、2、3为连支。则基本割集矩阵为：
可见，Qf中包含一个L阶的单位子矩阵，原因是：支路编号时先连支后树支（或先树支后连支）；基本割集编号顺序与树支顺序号一致；割集正方向与树支正方向一致。
第二节 树、割集
一、 树：
1、定义：连通图G的树T是G的一个子图。（1）它是连同的。（2）包括G中的所有结点。（3）不包含任何回路。树是连接图中所有结点但不包含回路的最少的支路集合。同一拓扑图可以有不同的树。对于一个有n个结点的全连通图可以选择出nn-2种不同的树。
2、树支和连支：当树确定后，凡是图G的支路又属于T的，称为树支，其它是连支。树支数T=n-1；连支数L=b-(n-1)。
第十五章 网络拓扑和电路方程的矩阵形式
第一节 网络的拓扑图
一、 网络的图：1、拓扑图：
在电路的分析中，不管电路元件的性质差别，只注意连接方式即网络拓扑的问题。若将每一条支路用一条线段（线段的长短、曲直不限）来表示，就组成拓扑图。如图15-1-1(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-2(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-3(a)对应电路在低频下的拓扑图为(b)。