有限元计算中解的收敛性
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一局部，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准那么〔写出某种单元的形函数，并讨论收敛性〕P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？〔王勖成P131〕答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规那么的单元转换成总体〔笛卡尔〕坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体〔笛卡尔〕坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,那么称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个局部，各局部之间用有限个点相连。
每个局部称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元第四章 一些数学概念和结论
a b a b cos a a b
Euclid空间的三角不等式
5. 收敛性与完备性 （1）收敛性
点列xn E
（赋范线性空间），若存在
lim xn x0 0
则，称 x 0 为点列x 的强极限，读作：x 强收敛于 n n 义不同。
n
x0
，模的定义不同收敛的涵
例２ 由于可以找出任意多个线性无 关的连续函数（1、x、x 2 x n ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
u u i i , v vi i
i 1 i 1
的位移场则组成 2n 维线性空间。
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义 当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
b
２. 内积模
在内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模
u
u, u
在内积空间Ｅ中，u 与 v 之间的距离可用内积模表示
u v
u v, u v
3. 正交性
内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关 系，函数之间的“正交”。 若（ u、v）＝０
b
1 2
L2 模 定义为：
u
L2
b 2 u dx a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称
为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
最优控制问题有限元解的超收敛性
其 中 ｃ Ｒ 是一 个有 界开 集 ， 有光 滑 的边界 且
收 稿 日期 ：０７ ９ ２ ２０ —０ —２
基 金项 目： 国家 自然科 学基金项 目（０ ７１３ ； 南省教 育厅 重点项 目（６ ０９ ； 南教育厅优 秀青年 项 １６ １６ ）湖 ０Ａ ６ ） 湖
目（５ ０２ （６ ０３ ０ １２ ）０ Ｂ０ ） ３
・
程 的一般 最优 控制 问题 ， 讨论 了该 最 优控 制 问题 的有 限元 逼近 ， 出 了最 优控 制 问题 的有 限元 逼 给 近解 的误 差估 计和 超 收敛 性 质 ．
ｌ ｌ Ｉ： ｌ ＩＩＵ＝ Ｉ＝ Ｉ・ｌ＿ Ｉ －Ｄ ｏ， “ｌ ，
（ 声， ， ），
∈ ｆ 『 ） ‘
ｎｒ Ｎｎ ｎ ｇＹ ｈ ＷｅｂｎＬｕ Ｊｈ Ｂ ｒ ｔ和 ｅ， ｉ ｉ ａ ， ｎ ｉ ｉ， ｏｎＷ． ａｒ ｔ ｇｎ ｅ
ｄ （ ） Ｇ ｓ ） （） ｓ ｉ Ａ７Ｙ 一Ｉ （ ， Ｙ ｓｄ ＝Ｆ ｉ ｖ ， Ｏ， ｎ
Ｙ ＝ ０， ｎ， ２， ｏ Ｔ
则 对于 任 意 Ｆ ∈ Ｌ （ ）该 方 程 有 惟 一解 ＹＥ ，
最 优 控 制 问题 有 限 元 解 的 超 收 敛 性
鲁 祖 亮 黄 ，
（． １ 湘潭 大学 数 学与计算科学 学院 ， 湖南 湘潭 摘
晓
４０ ８ ） １０ ３
４ １０ ； ， １１５ ２ 中南大学 继续教育学 院， 湖南 长沙
要： 对积分微分 方程 的最优控 制问题进 行 了介绍 ． 讨论 了积分微分方程 的最优控制 问题 的有 限
有 界 开集 ， ｓ ｔ × ） 厂∈ Ｌ （ ） Ｇ（ ，）Ｅ Ｈ （ ＇ ，
是 ＝ Ｌ （ ， 力， ）中的 闭 子 集 ． 是从 到 Ｈ ： Ｌ（ ） 的线性算 子 ，（ ） Ｋ上 的凸 函数 ． Ｋ： “ 是 设
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元分析及应用习题答案
有限元分析及应用习题答案有限元分析及应用习题答案有限元分析是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，可以用来解决各种结构力学问题。
在学习有限元分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固理论知识，提高应用能力。
本文将给出一些有限元分析及应用的习题答案，希望对读者有所帮助。
1. 什么是有限元分析？有限元分析的基本步骤是什么？有限元分析是一种通过将结构划分为有限数量的子域，然后对每个子域进行数值计算，最终得到整个结构的应力、应变等力学参数的方法。
其基本步骤包括：建立有限元模型、选择适当的数学模型、进行数值计算、分析计算结果。
2. 有限元分析的优点是什么？有限元分析具有以下优点：- 可以处理任意形状的结构，适用范围广。
- 可以考虑材料非线性、几何非线性等复杂情况。
- 可以对结构进行优化设计，提高结构的性能。
- 可以得到结构的应力、应变等力学参数分布，为工程实际应用提供参考。
3. 有限元分析中的单元是什么？常见的有哪些类型？有限元分析中的单元是指将结构划分为有限数量的子域，每个子域称为一个单元。
常见的单元类型有：- 一维单元：如梁单元、杆单元等，适用于解决一维结构问题。
- 二维单元：如三角形单元、四边形单元等，适用于解决平面或轴对称问题。
- 三维单元：如四面体单元、六面体单元等，适用于解决立体结构问题。
4. 如何选择适当的单元类型？选择适当的单元类型需要考虑结构的几何形状、边界条件、材料性质等因素。
一般来说，对于简单的结构，可以选择较简单的单元类型；对于复杂的结构，需要选择更复杂的单元类型。
此外，还需要根据具体问题的要求和计算资源的限制进行选择。
5. 有限元分析中的边界条件有哪些类型？有限元分析中的边界条件包括：- 位移边界条件：指定某些节点的位移或位移的导数。
- 力边界条件：施加在结构上的外力或力矩。
- 约束边界条件：限制某些节点的位移或位移的导数为零。
6. 有限元分析中的材料模型有哪些？有限元分析中常用的材料模型有：- 线性弹性模型：假设材料的应力与应变之间存在线性关系。
有限元网格划分和收敛性
一、基本有限元网格概念1．单元概述ﻫ几何体划分网格之前需要确定单元类型.单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件,一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
ﻫ 2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法,上述单元可以分成以下不同的形式。
ﻫ3。
按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
ﻫ一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元,或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元,如图1~图3所示。
ﻫ二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸.这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等,如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时,这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
ﻫﻫ三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体,这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示．在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以）。
ﻫ4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
线性单元具有线性形式的插值函数,其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面.这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模.但是由于单元位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化,而应力是常数,因此会造成单元间的应力不连续,单元边界上存在着应力突变，如图6所示。
有限元期末考试题及答案
有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。
答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。
答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。
7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。
答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。
影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。
四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。
如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。
答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。
对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题机械设计中的有限元分析是一种常用的分析工具，可以用来评估和优化机械结构的性能和可靠性。
进行有限元分析时需要注意一些关键问题，以确保分析的准确性和可靠性。
下面将介绍几个与有限元分析相关的关键问题。
是网格划分的问题。
有限元分析是基于将待分析的结构离散化为小的有限元单元来进行的，因此网格划分对于分析的准确性和计算效率起着至关重要的作用。
在进行网格划分时，需要注意保持单元之间的一致性和连续性，合理安排单元尺寸，尽量减少网格的畸变和奇异性。
对于复杂结构，还需要注意在关键部位增加足够的单元，以保证准确分析该部位的应力和变形。
是边界条件的设定问题。
在进行有限元分析时，需要明确定义结构的边界条件，即结构与外界的约束关系。
边界条件的设定直接影响分析的结果，因此需要根据实际情况合理设定。
对于静态问题，边界条件通常包括结构的约束和外载荷，需要根据结构的实际约束情况确定。
而对于动态问题，还需要考虑结构的初始条件和动态载荷，以及与结构相连接的其他部件的相互作用。
第三个关键问题是材料力学性质的模型选择。
有限元分析中常用的材料力学模型有线性弹性模型、非线性弹性模型、塑性流动模型等。
在选择材料模型时，需要根据材料的实际性质来确定。
对于大变形、高强度和高温等情况，可能需要采用非线性模型。
而对于金属材料的塑性分析，可能需要采用塑性流动模型。
选择合适的材料模型可以提高分析的准确性和可靠性。
另外一个关键问题是质量检查和网格收敛性分析。
质量检查是指对网格进行质量评估，主要包括网格形状、单元质量、网格畸变等方面的评估。
合理的网格质量对于分析的准确性起着重要的作用，因此在进行有限元分析之前，需要对网格进行质量检查，修复低质量的单元或进行网格优化。
还需要对分析结果进行网格收敛性分析，即通过逐步细化网格，观察分析结果是否收敛。
只有在分析结果收敛时才能认为分析是可靠的。
最后一个关键问题是结果的解释和验证。
有限元分析得到的结果需要进行解释和验证，以确保分析结果的可靠性。
有限元法与偏微分方程的数值解法
有限元法与偏微分方程的数值解法在现代科学技术中，物理和工程问题通常涉及到方程的解析解。
然而，有很多复杂的问题，没有精确的解析解。
在这些情况下，我们可以使用数值方法来解决问题。
其中，有限元法（Finite Element Method，FEM）被广泛应用于求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的数值解法。
有限元法是一种数值解法，用于解决连续介质（如固体、液体和气体）的差分方程。
它通常涉及将整个计算域分成许多小区域，称为有限元。
这些有限元被视为形状简单的几何单元（如三角形、四边形、六边形等），并且为每个元素分配了未知值。
在有限元方法中，偏微分方程被转换为一个离散方程，其中未知数在局部有限元中定义。
该方法通常涉及将初始有限元网格粗略地分配到整个计算区域，以构建数值解的近似值。
我们可以使用数学方法，如高斯消元法或迭代方法，来求解这个离散的线性系统。
有限元方法在许多领域中发挥着重要作用，包括结构力学、流体力学、电磁学、信息学和生物工程等。
它可以用于求解几乎所有类型的PDE，例如：椭圆、双曲和抛物型等。
在有限元方法中，解取决于网格的精度。
对于较小的网格，精度较高，但计算时间较长；反之亦然。
因此，在选择网格时需要进行权衡。
此外，一个好的网格应该是稳定的，能够保证数值解的收敛性和精度。
一些常见的有限元方法包括：显式和隐式欧拉方法、二阶Runge-Kutta 方法和高阶方法等。
这些方法主要涉及将初始条件和边界条件应用到整个计算区域。
作为一种广泛使用的数值解法，有限元法已经成为许多计算机辅助工程计算软件的主要工具，例如有限元分析软件 ANSYS 等。
此外，计算机的性能提高了许多，使得我们能够处理更多的网格和更大的计算域。
结论有限元法是一种强大的数值解法，可用于求解广泛的物理和工程问题。
然而，对于不同的应用，有不同的适用条件和精度要求。
因此，在设计计算方案之前，需要进行仔细的分析和权衡，以确保最终的数值解具有良好的收敛性和精度。
_13-2014中文第13章 收敛要求
•深入的数学分析表明，完备性对于收敛性是必 要条件，其它条件不满足并不排除收敛性。
•THE VARIATIONAL INDEX
令 m 为能量泛函 [u] 中的位移u的最高的 空间导数阶数，则m称为变分指数。
Example 1: 杆问题
[u]
L 0
1 ( u EAu qu )dx 2
检查单元行为的一个办法是看其单刚的模态
k ai i ai
(no sum on i)
•Example: Q4单元( E = 100 Pa and n = 0.3) Q4单元变形行为检查
例：用 CST 和LST单元求解悬臂梁弯曲问题
分别用3节点CST和6节点LST平面应力单元离散上面的 悬臂梁并进行有限元计算，比较端点挠度的计算精度。
•1960–1970是有限元发展迅速的阶段，例如在固 体单元，板壳单元，等参元，数值积分等方面。 但这个阶段也充满迷惑: FEM was a black cat in a dark cellar at midnight. 分片试验则第一次给地下 室投来了光亮。
按照严重程序下降的顺序，单元违例为： (coined by Irons)
Mesh generation: CST
Mesh generation: LST
sxx stress contours
CST LST
两种特殊的单元 1. 无限元(Infinite element) 很多物理问题中用到了无限元，例如:
- 航空工程: 飞行器翅膀在空气中运动
- 海洋学(Oceanography): 海水在海岛周围的 绕射(diffraction) - 土木工程: 大地提供的支撑载荷
Remark 1: 只有前两个是真正致命的。 第一个会带来 收敛性问题，也可能导致错误的结果。第二个的结果 很明显缺乏客观性。
有限元方法超收敛性综述
有限元方法超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026 姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。
1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。
这实际上就是有限元的做法。
有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。
冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。
然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。
因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。
在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。
二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung 就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。
有限元的性质和收敛性
有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。
因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。
里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。
如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。
但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。
有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。
下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ) = L(φ) + b = 0 (1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。
若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。
但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。
因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。
如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。
有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。
从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。
或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。
有限元计算中解的收敛性
Thank you
3. 系统有多个接触的话，也最好如载荷一样，分成几个step让他们接触上。这样的做法会让你以后在 模型的修改中更有方向性。 4. 模型还是不收敛的话，你可以看一下是在哪一步或者那个inc不收敛。对于第一步直接不收敛的话， 如果模型是像我上面把载荷和接触分成很多步建立的话，可以 把载荷加载的顺序换一下。如果你把第二 个加载的载荷换到第一步以后，计算收敛了，那影响收敛的主要问题应该就是原来第一个加载或着接触 影响的。这种情况下 面一般算到这个加载的时候还是不会收敛。这个时候可以考虑是否有什么其他办法 能够使步骤的变化与上一步变动小一点，比如第一点里面提到，或者继续把这个载 荷细分呢？
元计算科技发展有限公司是一家既年青又悠久的科技型企业。年青是因为她正处在战略重组 后的初创期，悠久是因为她秉承了中国科学院数学研究所在有限元和数值计算方面所开创的光荣 传统。元计算的目标是做强中国人自己的计算技术，做出中国人自己的CAE软件。
元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
abaqus收敛高级技巧总结
abaqus收敛高级技巧总结【实用版4篇】目录（篇1）1.引言2.Abaqus 收敛高级技巧概述3.模型的网格划分与优化4.材料属性的设置5.边界条件和载荷的设置6.求解器的选择与设置7.后处理技巧8.总结正文（篇1）一、引言Abaqus 是一款广泛应用于结构分析、热分析和动力学分析等领域的有限元分析软件。
在使用 Abaqus 进行分析时，收敛性是求解过程中的关键问题。
本文将总结一些 Abaqus 收敛高级技巧，以提高分析效率和准确性。
二、Abaqus 收敛高级技巧概述本文所提到的收敛高级技巧主要包括模型的网格划分与优化、材料属性的设置、边界条件和载荷的设置、求解器的选择与设置以及后处理技巧。
三、模型的网格划分与优化1.网格类型选择：根据问题类型选择合适的网格类型，如结构分析时使用结构网格，热分析时使用热网格等。
2.网格密度调整：在关键区域（如应力集中区、接触区域等）增加网格密度，以提高计算精度。
3.网格优化技术：使用 Abaqus 内置的网格优化功能，如自适应网格、网格加密等，以降低计算收敛难度。
四、材料属性的设置1.材料线性：选择合适的材料模型，如线弹性、塑性等，以满足问题需求。
2.材料非线性：对于非线性材料，合理设置其非线性参数，以提高求解收敛性。
五、边界条件和载荷的设置1.边界条件：根据问题实际情况设置边界条件，如固定边界、滑动边界、对称边界等。
2.载荷设置：合理设置载荷类型、大小和施加方式，以降低求解收敛难度。
六、求解器的选择与设置1.求解器类型：根据问题类型选择合适的求解器，如线性求解器、非线性求解器等。
2.求解器参数：合理调整求解器参数，如收敛标准、最大迭代次数等，以提高求解效率。
七、后处理技巧1.结果输出：选择合适的结果输出格式，如.txt、.csv、.mat 等。
2.结果可视化：使用 Abaqus 内置的后处理工具，如 Visualization、Python 脚本等，进行结果可视化分析。
弹性力学有限元法基本原理(二)
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
1 ~ 8为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函数，由
于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。
根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收 敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式 的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
• 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式 多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数， 即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况 。
• 该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界， 这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。
• 如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元， 便成为很实用的单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有 效途径。
2、 六节点三角形单元
（1）单元概述
• 三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元 位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所 示6节点三角形单元，单元每个边上设一个节点，单元有12个 自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)
第2章 弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m 3)为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)12u u x y x yααα+46y ==+ 5(,)v v x y x ααα+==+ (2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将13个结点坐标(x i,3iy y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程: 12i i u x ααα+3=+12j j j x y u αα=+α+3m y (a)12m m u x ααα=++46i y和5i i v x αα=+α+465j j j x y v αα=+α+46m y (b)5m m v x ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :211A Aα=22A 3A Aα=3Aα=式中行列式:2111i i 1i i i j m j j m m u x y A u x y u x y =j jm mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A 2111i i j j m mAx y A x y x y x u x u ===A为△ijm 的面积,只要A不为0,则可由上式解出:112i i j j a u a u ()m m a u A α=++21(2i ij j bu b u )m m b u A α=++ （C）312i i j j c u c u ()m mc u A α=++i j a x y =−j i y x y =−m i j j i y x y 式中:m m j x y a x a x m m i =−y m y y =−m i j y ym i j b y =− b b j i =− （d）3c m i j x x =− j i c m x x =−m j i c x x =−m iy x y =−m为了书写方便，可将上式记为: a xm i j b i jy y =−(,,) i u j m uu u ruuu u r i jc m x x =−(,,)i j m uuu u r uuu u r)m m N x y u N x y u N x y u =++)m x y v 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
有限元的收敛性摘抄
有限元的收敛性一，有限元定义：1，一阶和二阶单元，通常称为H单元。
三阶及以上的称其为P单元。
2，有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应的单元应变值，再计算积分点的应力。
3，因此：位移的准确性高于应变、应变高于应力。
4，线性计算中，单元不可变形过大，否则造成求解失败。
二，三种收敛性技术：手动控制收敛、软件自动控制收敛（h，p自适应方法）1，h方法：根据应力梯度变化情况，根据预先规定的收敛准则，自动重新剖分网格，进行自动加密。
适用于实体零件及装配体（仅仅支持实体单元）的静态分析在应变能误差较高的区域使用较小的网格尺寸目标精度定义应变能默认值98%，一般认为达到分析要求。
2，p方法：根据约束条件，在约束条件大的地方，根据预先规定的收敛准则，调整此处的单元形状函数的阶次，在单元大小不变的情况下提高单元内部应力的准确性。
适用于实体零件及装配体的静态，但装配体仅仅支持结合方式，不可有其他接触存在默认的收敛准则是总应变能，通常默认的就足够必须使用二阶单元为初始网格雅可比检查设定在节点处三，手动收敛性检查：1，相对收敛性检查：大多数复杂情况下很难通过自适应方法得到好的结果，必须通过相对收敛性检查得到收敛的结果：步骤如下执行多个分析研究，逐步调整加密网格，检查应力值的变化情形每次以2：1的比例调整加细网格尺寸如果局部网格尺寸远小于整体尺寸，注意扭曲、失真的情况2，等值线质量检查：应力等值线应该和几何体一样连续，使用不连续选项可以更清楚的看到不连续的结果。
如果几何体光滑连续而结果呈锯齿状，表明此处结果不好，需要加密或提高网格质量。
3，误差估算方法：能量范数值：能量范误差绘图可以显示相邻元素的应力值差异，越小越好节点和单元应力值比较：节点解是临近单元的节点应力的平均值单元解是每个单元所有节点应力的平均值评定标准：理论上节点解和单元解应该有较小的差异：一般情况下，节点应力与单元应力的误差不允许超过5%建议：1，针对单一零件的分析：使用h自适应、二阶单元及默认单元大小2，针对结合的装配体：使用p自适应、二阶单元及默认单元大小3，针对有连接接头或接触条件的装配体分析：使用手动h的单元收敛使用二阶单元及默认单元大小使用初始网格控制以确保符合未变形的几何体使用局部网格控制在需要的位置以达到收敛。
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元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
6. 模型实在是比较大的话，可以修改solver的设定，将迭代次数改大一点。对于开始计算就不收敛的， 而在迭代次数到了以后时间增量还不是很小的话，可以将 initial和minimum改小一点。模型越大的话这边可 以改的越小，特别是前后两个step变化比较大的情况下。但对于模型不是很大的情况下，太小 的时间增量 是意义不大的，问题应该从模型当中是否有错误去考虑。 7. 模型太大的话会导致求解的方程太大，不需要的不重要的接触最好从模型当中去除。这样的话对结 果影响也不会很大，而且可以使计算时间大大的减少。 整体而言，对于常规的力学分析，出现不收敛更多是建模的原因，比如接触面的设置或者网格划分不 合理等等，在计算时如果调整初始增量步还是没有效果的话，那么还是检查下模型本身吧。
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有限元敛性问题，而且其原因一般都五花八门，处理起来非常棘手， 要解决这个问题，首先需要知道，什么是解得收敛性。 在有限元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。如果采用完全多项式作为单元的插值函数 （即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。但是实际上有限元的 试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。 在有限元法中,每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。如果试探函数还满足连续性要求，则整个 系统的泛函将趋近于它的精确值。有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。 最书面的理解是：当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的。即当单元尺寸趋于零时，有 限元解趋于真正解。（关于单元的完备、协调性概念可以参考清华大学王勖成老师的书《有限单元法》， 2003年)这就是有限元的收敛性，需要说明的是：由于数学微分方程的精确解往往不一定能够得到，甚至 问题的数学微分方程并未建立（例如对于复杂型式的结构）。同时有限元解中通常包含多种误差 （例如 计算机的截断误差和舍入误差），因此有限元解收敛于精确解，在更严格意义上说是问题的有限元解的 离散误差趋于零。
5. 对于接触分析不收敛的情况，可以自己看一下模型的接触面。有时候是overclosure,这个时候在 assemble里面将模型相对位置稍微移动下或者用接触里面的那个adjust only to remove overclose,不过这一 种 方法会使你的网格扭曲变形。问题不大也是可以用的。有的时候是因为，模型中的两个接触面变成了一个 点和一个面接触，而点或者面中有一个位置并不是很稳 定。这个时候就会出现了dividing,有时候求解无法成 功。这时候可以看一下是不是能够将模型该处稍微改一下呢？或者将该处的网格细化一下。
那怎么在计算的过程中避免不收敛呢，大神常见问题汇总中给了我们模型改进的方向和一些方法， 现列举如下。 1. 接触分析真正加载之前，设置一个接触步让两个面接触上来，在这个步骤里面，接触面的过盈小 一点好，比如0.001.接下去再把作用与两个接触体的力及接触方向的自由度放开。
2. 如果系统的载荷很多的话，将系统的载荷分做多步进行加载，一次性全上可能使系统无法在规定 的迭代次数内收敛。所以根据需要分开，让abaqus的内核慢慢消化去。少吃多餐在这边好像也是成立的。