数列模型及应用

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极限的模型应用举例

2.黄金分割
• （1）定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。其比值是（√5-1）：2，近似值为 0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。 • 附：黄金分割数前面的32位为： 0.6180339887 4989484820 458683436565
(2)斐波那契数列的推导
• 设通项为
xn,则有x=xn+1+xn
•
n n 1 1 5 1 5 其中n 0,1,2.... x 2 经推导 n 5 2
相邻两项比的极限
x
lim
n
xn xn1
x x x 1 n 1 n n 1 n 1 设u , 则u 1 1 , n 1,2,... n n x x x u n n n n 1 可证明数列 u 的子列 u 单调递减，子列 u 单调递增而且 n 2n 1 2n 1

3.生活中的斐波那契数
• 兰花 • 毛莨属 • 翠雀属 • 万寿菊
还有这些……
Membership table
• • • • • 李阳旭王技钟证宇江梦林扈梓萱
大兔子
小兔子
我们也可以列表考察兔子的逐月繁殖情况
月份
一
分类 1 0
二
1 1
三
2 1
四
3 2
五
5 3
六
8 5
七
13 8
八
21 13
九
34 21
十
55 34
十一
89 55
பைடு நூலகம்
十二
144 89

第33讲数列模型及应用

第33讲数列模型及应用【考点解读】1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题.2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.【知识扫描】1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2) 建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4) 还原——将所求结果还原到原实际问题中．2、数列实际应用题常见的数学模型(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ,存期为x 期，则本利和y = .(2)单利公式:利用按单利计算,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x ,则本利和y = . (3)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r,等额还款数为b,分n 期还完，则b=【考计点拨】牛刀小试：1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是( D )A ．2007B ．2008C ．2009D ．20102．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟5.在一个凸多边形中，最小内角为120°，各内角度数成等差数列，公差为5°，则这一凸多边形的边数为( A )A.9B.16C.9或16D.9或104．已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴公共点的个数为________．答案：05．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率(1).(1)1nn r r a r ++-为________．答案：25%典例分析：题型一：产值模型，原来产值的基数为N ，平均增长率为P ，对于时间的总产值(1)x y N P =+ 例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量，（1）求n a 的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=）解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则115(144a ab a b =+-=-， 221555()(1)444a ab a b =-=-+， 32325555()[(1]4444a ab a b =-=-++， ………12*55555()[((1](4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈ ．（2）当1972b a =时，有79n a a <得55197(4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54n >，所以，lg51lg 27.2lg52lg 213lg 2n ->=≈--．答：经过8年后该地区就开始水土流失．例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元，设第n 个月月底余n a ，第1n +个月月底余1n a +，则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥，从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，设13750,6750n n b a b =-=，∴{}n b 是等比数列11 1.08n n b b -=⨯， ∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．题型二：复利公式，按复利计算利息的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r,存期为x ，则本利和为(1)xy a r =+例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和： 10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==- （万元）到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利： 10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯== （万元）贷款的本利和为：109 1.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=- （万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）所以，甲方案的获利较多．例4．(湖南省重点中学2012届高三第一次月考理) (本小题满分13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．（1）求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．归纳小结1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．。

高三数学数列模型及其应用2

[单选]选择承重钢结构钢材的钢种时，（）不是主要考虑的因素。A.结构工作温度B.荷载性质C.钢材造价D.建筑的防火等级 [多选]注册会计师应从被审计单位内部和外部了解被审计单位及其环境。下列各项因素中，涉及被审计单位外部因素的有（）。A、了解被审计单位的相关行业状况B、了解被审计单位的目标、战略以及可能导致重大错报风险的相关经营风险C、了解被审计单位财务业绩的衡量和评价D、了解被审计部控制 [单选]当前大多数国家的养老保险体系有三个支柱,即基本养老保险、企业年金和()组成。A.商业养老保险B.年金养老保险C.基金养老保险D.个人储蓄型养老保险 [单选]前置胎盘最主要的症状是（）A.多在妊娠早期出现阴道间断性出血B.妊娠晚期无痛性反复阴道出血C.完全性前置胎盘通常出血不多D.出血量与前置胎盘类型无关E.常易造成胎膜早破 [单选]下列选项中，不属于设备防静电措施的是（）。A．管线的法兰联接的接触电阻在5欧姆以下B．静电接地要完好其电阻值不大于100欧姆C．液体进料采用插底管D．用绝缘材料做流体输送管道 [问答题,简答题]铵油炸药的主要成分是什么，含量多少？其主要性能如何？ [单选,A1型题]容易产生"走油"现象的药材是（）A.丁香B.白芷C.桃仁D.肉桂E.厚朴 [单选]认知重建法是二十世纪五六十年代在美国兴起的一种心理辅导方法，以下不是其主要代表人物的是：（）。A.艾里斯B.贝克C.麦肯鲍姆D.斯金纳 [问答题,论述题]简述下循环水井作业步骤。 [单选]前列腺素来源于（）.A.垂体前叶B.垂体后叶C.下丘脑D.生殖器官E.前列腺 [单选,A2型题,A1/A2型题]急性前壁心肌梗死最常见的心律失常为（）A.室性过早搏动B.房室传导阻滞C.心房颤动D.房性过早搏动E.室上性心动过速 [多选]关于报检员的义务和责任，以下表述正确的有（）。A.办理报检业务须出示《报检员证》B.准确、详

数列知识点总结大全

数列知识点总结大全一、数列的概念与定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。

2. 数列的定义：数列可以用一个通项公式或者递推公式来表示，通项公式指明了数列的第n个项与n的关系，递推公式则指明了数列的第n+1项与第n项的关系。

二、常见的数列类型1. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 调和数列：如果一个数列中任意相邻两项的倒数之差都相等，那么这个数列就是调和数列。

调和数列的通项公式为an=1/(1+d(n-1))，其中d为公差。

三、数列的性质1. 有限数列与无限数列：有限数列指数列中的项是有限个，无限数列指数列中的项是无限个。

2. 数列的奇偶性：如果数列的每一项的奇偶性相同，则称该数列为奇数列或偶数列。

3. 数列的首项和公差：首项指数列中的第一个元素，公差指等差数列中相邻两项之差。

4. 数列的前n项和：数列的前n项和可以用求和公式来表示，对于等差数列和等比数列有相应的公式。

5. 数列的递推公式：递推公式指明了数列的第n+1项与第n项的关系，可以通过递推公式求出数列的任意一项。

四、数列的应用1. 等差数列与等比数列的求和：等差数列和等比数列的前n项和在数学和物理问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们简化复杂的计算。

2. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种方法，在数列中的应用尤其广泛。

3. 数列的模型应用：数列模型可以用来描述自然界和社会现象中的变化规律，比如人口增长、物种演化等。

五、数列的判断与证明1. 数列的判断：如何判断一个数列是等差数列、等比数列、调和数列等，需要根据数列的性质和通项公式进行分析。

数列-递推公式求通项的十大模型

递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：d d a a n n ，（=--1为常数，+∈≥N n n 且2）或者相邻三项递推形式：)2(211++-∈≥=+N n n a a a n n n 且.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =1=，则n a =（）A．21n -B．nC．21n +D．12n -解析：∵11a ==1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，(1)11(1)1n n n =-⨯=+-⨯=，即2n S n =，∴()221121n n n a S S n n n -=-=--=-（2n ≥）.当1n =时，11a =也适合上式，∴21n a n =-.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即b kn a a n n +=++1，它可以得到两个子数列分别是公差为k 的等差数列.例2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．10101011解析：∵12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，∴216a a +=，解得24a =．142n n a a n ++=+ ，∴2146n n a a n +++=+，两式相减，得24n na a +-=，∴数列{}n a 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，∴当n 为偶数时，2(1)422n n a a n =+-⨯=．当n 为奇数时，1n +为偶数，∴根据上式和(*)知1422n n a n a n +=+-=，数列{}n a 的通项公式是2n a n =，易知{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故()()2212n n nS n n +==+，()111111n S n n n n ==-++，设1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，则20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-= ．故选：A．例3．数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．求{}n a 的通项公式；解析：（1）由121++=+n n a a n ①2123n n a a n ++⇒+=+②，②-①22n n a a +⇒-=，∴{}n a 的奇数项与偶数项各自成等差数列，由11223a a a =⇒+=，∴21a =，∴2112(1)2n a a n n -=+-=，∴1n a n =+，n 为奇数，212(1)21n a n n =+-=-，∴1n a n =-，n 为偶数．∴()()**1,21,N 1,2,Nn n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩.类型2.等比数列：相邻两项递推：)2,0,0(1+-∈≥≠≠=N n n a q qa a n n n且且或q a a n n=-1.或者相邻三项递推：)2(211≥∈=+-+n N n a a a n n n 且.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即++∈∀⋅=N n m a a a n m m n ,,，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4．数列{}n a 中，112a =，对任意,N m n *∈有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A．2B．3C．4D．5解析：由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.例5．已知数列{}n a 满足22,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且11a =，22a =．求通项n a ；解析：当n 为奇数时，由22n n a a +-=知数列{}21k a -是公差为2的等差数列，()2111221k a a k k -=+-⨯=-，∴n a n =，n 为奇数；当n 为偶数时，由22n n a a +=知数列{}2k a 是公比为2的等比数列，1222k kk a a q -==，∴22nn a =，n 为偶数∴2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.类型3.)(1n f a a n n =--累加型例6．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．求{}n a 的通项公式.解析：因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+.类型4.)(1n f a a n n=-(2≥∈+n N n 且)累乘型.例7．数列{}n a 及其前n 项和为n S 满足：11a =，当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，则12320231111a a a a ++++= （）A．20211011B．40442023C．20231012D．40482025解析：当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，即111n n a n a n -+=-，所以3124123213451,,,,,12321n n n n a a a a a n n a a a a n a n ---+=====-- 累乘得：()113451123212n n n a n n a n n ++=⨯⨯⨯⨯=-- ，又11a =，所以()12n n n a +=所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1232023111111111111222212233420232024a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14046202321202420241012⎛⎫=-== ⎝⎭.故选：C.类型5.d ca a n n +=-1型（待定系数法）一般形式：1(,n n a ca d c d -=+为常数，0,1,0)c c d ≠≠≠，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dx c =-，1()n n a x c a x -+=+，令n n b a x =+，则n b 为等比数列，求出n b ，再还原到n a ，1)1(11--⋅-+=-c dc cd a a n n .例8．在数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈．求{}n a 的通项公式.解析：依题意，数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈，所以()()1*N 1412,n n a a n n --=-≥∈，所以数列{}1n a -是首项为111a -=，公比为4的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列{}n a 满足13,111+==+n n a a a ，证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式.解析：显性构造：13,111+==+n n a a a ，)21(3211+=++n n a a ，)13(21-=n n a .类型6.nn n b m qa a ⋅+=+1型例10．已知数列{}n a 的首项1=6a ，且满足1142n n n a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式；解析：∵1142n n n a a ++=-，∴112122n n n n a a ++=⋅-，∴1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又∵1122a -=，故12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．112222n nn n a --=⋅=，则42n n n a =+．类型7.)1)((1≠+=+p n f pa a n n 型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=⇒+=n n n n n n n p n f p a p a n f pa a ，令n n n p a b =，则11)(++=-n n n pn f b b ，用累加法即可解决！（公众号：凌晨讲数学）例11.(2020年新课标全国3卷)设数列{}n a 满足31=a ，n a a n n 431-=+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{}n na 2的前n 项和n S .解析：方法1：归纳法.（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+得1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+，1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+方法2：构造法.由n a a n n 431-=+可得：1113433+++-=-n n n n n n a a ，累加可得：123123+=⇒+=n a n a n n n n .（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯ .①23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ .②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ，1(21)2 2.n n S n +=-+类型8.)0(1≠⋅+=+q p qpa ta a n nn 型例12．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 1nn n a a n a +=∈+，求数列{}n a 的通项公式.因为*1,N 1n n n a a n a +=∈+，所以1111n na a +=+，即1111n n a a +-=，又11a =，所以111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，所以()1111n n n a =+-⨯=，故1n a n =，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n=.类型9.已知n S 与n a 关系，求n a .（公众号：凌晨讲数学）解题步骤：第1步：当1=n 代入n S 求出1a ；第2步：当2≥n ，由n S 写出1-n S ；第3步：1--=n n n S S a （2≥n ）；第4步：将1=n 代入n a 中进行验证，如果通过通项求出的1a 跟实际的1a 相等，则n a 为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，.)2()1(1⎩⎨⎧≥==n a n a a n n 在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消n S 留n a ，第二个角度，消n a 留n S ，第三个角度，级数形式的前n 项和，下面我们具体分析.例13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，112n n n S S a ++⋅=-.证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.证明：∵112n n n S S a ++⋅=-，∴112n n n n S S S S ++⋅=-，易知0n S ≠，∴111112n n n n n nS S S S S S +++-=-=⋅，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.例14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1=2a ，()*123N n n n a S n +=+∈.求n S .解析：因为()*123N n n n a S n +=+∈,所以11233,3n nn n n n n S S S S S ++-=+=+∴，则111111,333333n n n n n n n n S S S S ++++-=+=，11233S =，即{}3n n S 为首项为23，公差为13的等差数列，则211(1)(1)3333n n S n n =+-=+，故1(1)3n n n S -=+⋅.例15．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++----…．求数列{}n a 的通项公式.解析：123123252525253n n na a a a +++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥，因为14a =符合上式，所以352n n a +=．例16.（2022新高考1卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．求{}n a 得通项公式.解析：111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．类型9：已知前n 项积求n a .例17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．解析：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠，所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈，所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n n b n ∴=+-⨯=+,22211n n n b n S b n +==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.类型10.特征方程法（强基层次）：n n n ba aa a +=++12型.求解方程：02=--b a λλ，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则nn x b An a 0)(+=（2）若特征方程有两个不等的根，则n nn Bx Ax a 21+=例18．已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式；解析：2143n n n a a a ++=-，变形为：()2113n n n n a a a a +++-=-，216a a -=，∴数列{}1n n a a +-是等比数列，首项为6，公比为3.∴116323n nn n a a -+-=⨯=⨯，变形为：1133n n n n a a ++-=-，131a -=-，∴31n n a -=-，∴31n n a =-例19.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=．例20.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+-．。

初中数学模型大全及解析

初中数学模型大全及解析数学模型是数学知识在实际问题中的应用，是数学与实际问题结合的一种形式。

在中学阶段，数学模型应用较为广泛。

下面是初中数学模型大全及解析，供大家参考。

1. 等差数列模型等差数列是一组数，其中每一项与它的前一项的差值相等。

在实际问题中，等差数列模型可以用来描述增长、减少、变化等情况。

例题：某学校的学生人数从2015年到2019年的变化情况如下表所示，若学生人数呈等差数列增长，求2019年的学生人数。

| 年份 | 学生人数 ||------|----------|| 2015 | 1000 || 2016 | 1100 || 2017 | 1200 || 2018 | 1300 |解析：设2015年的学生人数为a，每年增加的人数为d，则有： a + 3d = 1200a + 4d = 1300解方程得a=900，d=100，故2019年的学生人数为a+4d=1300人。

2. 利润模型利润是企业经营的重要指标之一，它是指企业销售收入与成本之差。

利润模型可以用来计算企业的销售目标、成本控制等问题。

例题：某工厂生产一种产品，每件售价为100元，生产一件产品的成本为70元。

如果该工厂每月销售量为5000件，求该工厂每月的利润。

解析：每件产品的利润为100-70=30元，每月的销售收入为100×5000=500000元，每月的成本为70×5000=350000元，故该工厂每月的利润为500000-350000=150000元。

3. 百分数模型百分数模型常用于比例问题的解决。

在实际问题中，可以用百分数模型计算增减比例、税率、折扣等。

例题：某商场打折促销，打8折后，一件原价500元的商品现在售价为多少？解析：打8折即为原价的80%，故售价为500×80%=400元。

4. 平均数模型平均数模型可以用来求一组数据的平均值，常用于统计分析中。

例题：某班级10名学生的语文成绩为60、70、80、85、90、88、77、75、79、83，求该班级的平均分。

数列应用题

an a2 a1 24 n + 24 n + L + 24 n = 1 . ②
由②得，a1+a2+…+an=24n,
a1 = 5a n 解之得，解之得，a1=40，an=8. 联立① 联立①、③得 a1 + a n = 48.
收割完这片土地上的全部小麦需用40小时小时. 答：收割完这片土地上的全部小麦需用小时
90、100、110 90、100、
4、双变型、
例4、某沙边城、某沙边城2004年底全县的绿地面积占全县面积年底全县的绿地面积占全县面积年起，的30%，从2005年起，该县每年将有，年起该县每年将有16%的原沙漠地的原沙漠地带变成绿地，但同时又有4%的原有绿地面积被侵蚀带变成绿地，但同时又有的原有绿地面积被侵蚀变成沙漠.设全县面积为设全县面积为1，年底的绿地面积为a 变成沙漠设全县面积为，记04年底的绿地面积为 1, 年底的绿地面积为经过n年后的绿地面积为年后的绿地面积为a 已知lg2取经过年后的绿地面积为 n+1.(已知取0.301) 已知 (1)试用 n表示an+1 试用a 表示试用 4 4 an +1 = an + (2)求证：数列 n-0.8}为等比数列求证：求证数列{a 为等比数列 5 25 (3)哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积的哪一年底，哪一年底该县的绿地面积超过全县面积的60%？？
解：设从每一台工作起,这n台收割机工作的时间依设从每一台工作起这台收割机工作的时间依次为a 小时,依题意是一个等差数列. 次为 1,a2, … ,an小时依题意 {an}是一个等差数列是一个等差数列 1 且每台收割机的工作效率为，则有 24n a1 = 5 a n ①

数列模型及应用word

数列模型及应用word数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的集合。

数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在实际生活中，数列模型可以帮助我们解决各种问题。

下面我将从数列的定义、分类及其应用三个方面展开详细回答。

首先，数列是一系列有序的数按照确定的规律排列而成的集合。

数列中的每个数称为该数列的项，每个数列都有一个起始项，通常用a1表示，以及一个通项公式。

数列的常用形式有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列是指数列中各项之间的差值都相等的数列。

其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列常见的应用场景有：1.日常生活中，经常会进行等差数列的计算。

比如，我们经常会遇到一些有规律的数列，比如每天存款增加一定的金额，或者每天的步数增加相同的步数等。

通过计算等差数列可以帮助我们了解某个数列的发展趋势。

2.在经济学中，等差数列被广泛应用于一些经济指标的分析。

比如，每年的国内生产总值增长率、物价指数增长率等，可以通过等差数列的概念来计算和描述。

等比数列是指数列中各项之间的比值都相等的数列。

其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等比数列常见的应用场景有：1.在金融领域，等比数列可用于计算复利。

比如，存款利率为r的情况下，每年的利息就形成一个等比数列。

2.在自然界中，等比数列也有很多应用。

比如，每天二分之一的细菌数量，每代细胞数量的增长等。

斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。

其通项公式为an=an-1+an-2，其中a1和a2为首两项。

斐波那契数列的应用非常广泛，比如：1.在自然界中，斐波那契数列可以用来描述植物的生长。

比如，一个植物的高度等于前两天的高度之和。

2.在计算机科学中，斐波那契数列被广泛应用于算法和数据结构的设计。

比如，递归算法中常常使用斐波那契数列，以及在计算期权价格、股票价格等金融领域也会用到斐波那契数列。

2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解

专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．【答案】2n n 1-+ 【解析】【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-，所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2，当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22nn c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ．【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误，设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++，银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+，即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->，所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ，即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤，即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤，即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤，即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立，因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立，因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合；当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合；当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合；综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52，因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-，所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭，则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++，因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+，又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ，所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤；第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤，以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤，所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =，又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。

求数列通项公式的七种模型

一、高考数列求通项公式模型【简便记忆】二．高考数列求通项公式【详细解读】1．【归纳法】适用于：列举法给出的数列模型即1234,a a a a ,,···；【模型特征】：给出数列的前几项，通过归纳、猜想、找规律。

【求解方法】根据1(2)34⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（）相邻项的特征分式中分子、分母的特征（）拆项后的特征（）各项的序号与项之间的变与不变特征例1.根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式。

（1）—1，7，—13，19，···；（2）0.8, 0.88，0.888，···；（3）115132961,,,,,248163264--，···； ●点评：该法属于不完全归纳法，仅用来解选择、填空题，对于大题，用此法还要用数学归纳法进行证明，另外求得的通项公式一定要代值检验，以防出错。

2．【累加法】适用于：1()n n a a f n +=+模型（先累后求和）【模型特征】：1()n n a a f n +、系数相同，作差，是关于n 的函数。

【求解方法】221()(()()-=()()()1()()(1)n n f n pn q f n pn qn r a a f n f n pq r f n n n +=+⇒⎧⎪=++⇒⎪⎪=+⇒⎨⎪⎪=⇒+⎪⎩一次型）等差求和二次型分组求和指数型等比求和分式型裂项求和化为例2．已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

（一次型）答案：等差求和2n a n =例3. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（指数型）答案：等比求和31n n a n =+-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且写*12()n n a a n n N +=+∈出数列{}n a 的通项公式. （一次型）答案：等差求和21n a n n =-+练习2.已知数列}{n a 满足13a =，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-，求此数列的通项公式.答案：裂项求和12n a n=-3．【累乘法】适用于： 1()n n a f n a += 模型（先累后求商）【模型特征】1()n n a a f n +、系数相同，作商，是关于n 分式型的函数。

数列概念的应用

数列概念的应用数列是数学中的一个基本概念，它在现实生活和各种科学领域中有着广泛的应用。

在此，我们将讨论数列的概念和一些应用。

一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有限或无限集合。

它通常用数列的第一个元素和通项公式表示。

其中，第一个元素称为首项，通项公式是指每个元素与其前一项之间的关系式。

数列按照通项公式的不同形式可以归为等差数列、等比数列、等差减通项数列等。

二、等差数列的应用在现实生活中，等差数列有着广泛的应用。

比如常见的电费、燃气费等属于等差数列的概念。

以电费为例，我们可以根据月度电费的规律建立一个等差数列。

比如，设第一个月电费为100元，每个月增加10元，则第二个月为110元，第三个月为120元，第四个月为130元。

通过这个规律，我们可以简单地预测未来任意时间的电费，并控制用电量。

三、等比数列的应用等比数列也有很多应用，例如货币的利息也可以看作是等比数列。

另外，计算机科学中的指数增长等现象也可以用等比数列的概念来描述。

以汇率为例，我们可以根据两种货币之间的汇率变化建立一个等比数列。

如设初始汇率为1：6，每3个月升值0.1，则3个月后汇率为1：6.66，6个月后为1：7.44，9个月后为1：8.26。

通过这个规律，我们可以预测货币汇率的变化，选择最佳的时间进行汇兑。

四、等差减通项数列的应用等差减通项数列也有广泛的应用。

以租房子为例，房价可能随时间递减，但每次递减的数量可能不一样。

设初始租金为1000元，每月递减150元，则第二个月的租金为850元，第三个月为700元，第四个月为550元，第五个月为400元。

我们可以使用等差减通项数列的方法来计算未来任意时间的租金，并进行预算和控制开支。

总之，数列作为数学中的基本概念，有着广泛的应用。

通过数列的模型和其中的规律性，我们可以预测和控制未来的各种变化，使得我们的生活和工作更加的精准和有效。

第10讲数列的实际应用

数列的实际应用主讲教师：庄肃钦【知识概述】数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。

通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。

实际应用题常见的数列模型：1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n.2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n.3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明.【学前诊断】1．[难度] 易某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（）A．511个B．512个C．1023 D．1024个2．[难度] 易某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______.3．[难度] 中某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______.【经典例题】例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元.两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==）例2．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。

高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些

高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些在高一数学的学习中，数列作为一个重要的知识板块，不仅在数学理论中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。

通过数列，我们可以更好地理解和解决许多现实世界中的问题，从经济领域的投资和贷款计算，到自然科学中的生物繁殖和放射性物质衰变，再到日常生活中的排队和资源分配等。

接下来，让我们深入探讨一下高一数学中数列在实际问题中的具体应用。

一、经济领域1、储蓄与利息计算在银行储蓄中，常常会涉及到利息的计算。

假设我们将一笔本金 P存入银行，年利率为 r，存期为 n 年。

如果按照单利计算，到期后的本息和 A 可以用数列公式表示为：A ＝ P(1 ＋ nr) ；而如果按照复利计算，到期后的本息和 A 则为：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。

通过这样的数列公式，我们可以清楚地计算出不同储蓄方式下的最终收益，帮助我们做出更明智的理财决策。

2、分期付款在购买一些价格较高的商品时，如汽车、房屋等，我们可能会选择分期付款。

假设购买一件价格为 P 的商品，分 n 期付款，每期利率为 r。

每期的还款金额可以通过数列计算得出，从而帮助我们规划好每月的财务支出，避免逾期还款和额外的利息费用。

3、投资回报在投资领域，数列也发挥着重要作用。

例如，我们投资一项每年回报率为 r 的项目，初始投资为 P，经过 n 年后的投资总额可以用数列公式计算。

通过对不同投资项目的回报进行数列分析，我们可以评估其风险和收益，选择最适合自己的投资组合。

二、科学研究1、生物繁殖在生物学中，许多生物的繁殖现象可以用数列来描述。

比如，某种细菌每小时繁殖的数量是前一小时的 2 倍，如果初始时有 x 个细菌，经过 n 小时后的细菌数量就是一个等比数列。

通过数列的计算，我们可以预测生物种群的增长趋势，为生态保护和资源管理提供重要依据。

2、放射性物质衰变放射性物质的衰变过程也符合数列规律。

假设某种放射性物质的半衰期为 T，初始质量为 M，经过 n 个半衰期后的剩余质量可以用数列公式表示为：M(1/2)＾（n/T) 。

数列在日常经济生活中的应用

(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百
分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公
比，其一般形式是：an＋a1－n an×100%＝q(常数)．
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2，其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 审题指导第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的最小正整数解．
2．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．
(2)根据上式，5年后本利和为 a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元).
答：5年后得本利和约为1.148万元.
解题方法
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤为下框图：
10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－15的等差数列．a5＝4

数列同构模型

数列同构模型研究报告一、引言数列同构模型是数学中一个重要的概念，它涉及到数列的结构和性质。

随着数学和相关领域的发展，数列同构模型的应用越来越广泛，本报告将对其基本概念、应用、性质和定理等方面进行探讨。

二、数列同构模型的基本概念数列同构模型是指两个数列在结构上具有相似性，这种相似性可以通过某种映射关系来描述。

具体来说，如果存在一个一一对应的映射f，使得对于任意n，有f(a_n)=b_n，则称数列A与数列B 同构。

特别地，当f为线性映射时，我们称数列A与数列B线性同构。

三、数列同构模型的应用数列同构模型在数学、物理、工程等多个领域都有应用。

例如，在物理学中，波函数的波形可以通过数列同构模型进行描述；在工程学中，振动系统的周期性行为可以通过数列同构模型进行分析。

此外，数列同构模型在密码学、图像处理等领域也有广泛的应用。

四、数列同构模型的性质与定理数列同构模型的性质主要包括：封闭性、传递性、对称性等。

封闭性是指如果数列A与数列B同构，那么数列B与数列A也同构；传递性是指如果数列A与数列B同构，数列B与数列C同构，那么数列A与数列C也同构；对称性是指如果数列A与数列B同构，那么它们的同构映射具有对称性。

五、数列同构模型的深入研究虽然数列同构模型的基本概念和应用已经得到广泛研究，但是还有很多问题需要进一步探讨。

例如，如何寻找更有效的算法来判断两个数列是否同构；如何找到更多具有实际应用价值的数列同构模型等。

此外，对于一些特殊的数列同构模型，如周期性数列、斐波那契数列等，也需要进行深入研究。

六、结论数列同构模型是数学中一个重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。

本报告对数列同构模型的基本概念、应用、性质和定理等方面进行了探讨。

为了更好地发挥数列同构模型的实际应用价值，需要进一步深入研究其性质和定理，并寻找更多具有实际应用价值的数列同构模型。

高三数学数列在日常生活中的应用

• [例1] 某人有七位朋友．第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客，依次类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？
• 解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天数为第： 2,4,6,8，„，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：an＝2n；第三位朋友以后在主人家的天数为第： 3,6,9，„，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：an＝3n；第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数构成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、 6、7的等差数列，通项公式分别为an＝4n， an＝5n，an＝6n，an＝7n；他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共
• (4)分期付款模型 • a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数，n为贷款月数，则⑫________.
• 三、数列综合应用题的解题步骤 • (1)⑬________——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题． • (2)⑭________——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等． • (3)⑮________——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
• 解析：设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，„，第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1000×92－(28800＋14400)]×1.07510＝ 48800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋ 1.0752＋„＋1.0759)＝48800×1.07510(元)，所以x＝48800×1.07510× ≈48800×2.061×0.071≈7141(元)．

数列的性质与应用

数列的性质与应用一、数列的定义与基本性质在数学中，数列是指按照一定规律排列的一系列数字。

我们可以把数列看作是一种特殊的函数，它的定义域是自然数集合，值域是实数集合。

数列可以用以下形式表示：$$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$$其中$a_1$、$a_2$、$a_3$等分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。

n表示数列的项数。

数列的性质和应用是数学中的重要内容，它们在代数、数论、几何、概率等领域都有广泛的应用。

二、数列的常见性质1. 公差对于等差数列，我们可以通过计算相邻两项之间的差值来确定公差。

公差可以用如下方式表示：$$d = a_{n+1} - a_n$$2. 通项公式通项公式可以表示数列中的任意一项。

对于等差数列，通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$对于等比数列，通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$$3. 和与平均数数列的和可以通过求和公式计算，对于等差数列，和的公式为：$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$$对于等比数列，和的公式为：$$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r-1}$$数列的平均数可以通过求平均数公式计算，对于等差数列和等比数列，平均数都是首项和末项的平均值。

三、数列的应用1. 模型建立数列可以用来建立各种模型，例如金融领域中的复利计算模型，人口增长模型，物理学中的运动模型等。

通过建立数列模型，我们可以更好地描述和解决实际问题。

2. 算法设计数列在计算机科学中有广泛的应用，比如排序算法中的快速排序和归并排序等。

通过对数列的性质和规律进行研究，可以设计出高效的算法解决实际问题。

3. 序列求和数列的求和在许多领域中都有应用，例如概率统计中的期望值计算，物理学中的累积量计算等。

通过对数列的和的计算，我们可以得到序列的总体特征。

4. 数列的递推关系数列的递推关系在许多数学领域中是非常重要的，特别是在数论和组合数学中。

数学初中模型及证明方法

数学初中模型及证明方法一、数列模型：数列是由一定规律排列的一组数的集合。

在数学初中模型中，数列模型广泛应用于解决数学问题，例如等差数列模型、等比数列模型等。

对于数列模型，常用的证明方法包括归纳法和数学归纳法。

1.归纳法证明：归纳法是通过观察数列中的前几项，找出数列的规律，并用归纳法证明这个规律对于任意项都成立。

归纳法的步骤一般分为三个部分：证明基本情况、假设与推理、归纳法证明。

2.数学归纳法证明：数学归纳法是先证明一个基本情况成立，然后假设对于一些正整数n成立，再证明对于n+1也成立，由此得出结论对于所有正整数都成立。

数学归纳法是一种常见的证明方法，在数学初中模型中常用于证明数列的性质、等式和不等式等。

二、函数模型：函数是两个集合之间的一种对应关系，可以用来描述变量之间的关系。

在数学初中模型中，函数模型广泛应用于解决实际问题和证明数学定理。

根据函数的不同性质和特点，可以采用不同的证明方法。

1.反证法证明：反证法是一种常用的证明方法，在函数模型中也可以有效地进行证明。

反证法的基本思想是假设所要证明的命题不成立，然后通过推理推出矛盾，从而证明原命题成立。

2.极限思想证明：极限思想是函数模型中重要的思维方法，通过分析函数的极限特性来证明数学命题。

在初中数学中，极限思想常常用于证明数列的极限性质、函数的单调性和特殊函数的性质等。

三、几何模型：几何模型是用几何图形和几何性质来描述和解决问题的方法。

在数学初中模型中，几何模型被广泛应用于证明几何定理和解决几何问题。

常用的几何证明方法包括直接证明、间接证明、反证法证明等。

1.直接证明：直接证明是一种简洁直观的证明方法，通过根据几何性质和定理的推导，直接得到结论。

直接证明应用广泛，适用于证明几何性质、定理和判定方法等。

2.间接证明：间接证明是通过对所要证明的命题进行否定，从而推导出矛盾的结论来证明原命题成立。

间接证明常用于证明几何命题和几何性质。

以上是数学初中模型及证明方法的一些例子。

§4 数列在日常经济生活中的应用

栏目导引
第一章数列
此类问题在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差数列模型．
栏目导引
第一章数列
Hale Waihona Puke 1.(1)某人在一年 12 个月中，每月 10 日向银行存入 1 000 元，假设银行的月利率为 5‰(按单利计算)，则到第二年的元月 10 日，此项存款一年的利息之和是( A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 )
栏目导引
第一章数列
(2)有一批影碟机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台单价为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少 20 元，但每台最低价不能低于 440 元；乙商场一律都按原价的 75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？
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解：(1)选 A.存款利息是以 5 为首项，5 为公差的等差数列，12 个月的存款利息之和为 5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选 A. (2)设某单位需购买影碟机 n 台，在甲商场购买每台售价不低于 440 元时，售价依台数 n 成等差数列，设该数列为{an}， an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式 an≥440，即 800－20n≥440，得 n≤18，当购买台数小于 18 时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于或等于 18 时，每台售价为 440 元．
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§4
数列在日常经济生活中的应用
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数列中裂项求和的几种常见模型(最新整理)

数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。

而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。

下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。

模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则)11(1111++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n na ab ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）.因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x <=+11,1且.（I ）求数列}{n x 的通项公式；（II ）设圆P n的面积为,:n n n S T T =+++<求证解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径，,)()(,||1212111++++++=-+-+=∴n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即两边平方并化简得,4)(121++=-n n n n y y x x 由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212++=-==n n n n n n n x x x x x y r ),(211,2,01111*++++∈=-=-∴>>N n x x x x x x x x nn n n n n n n 即11}1{1=∴x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列，所以121,122)1(11-=-=⨯-+=n x n n x n n 即（II ）4422)12(-====n x y r S n n n n ππππ，])12(1311[2221-+++=+++=n S S S T n n π因为))12)(32(15.313.111(--++++≤n n π.23)12(223)]1211(211[121321()5131()311[(211{πππππ<--=--+=---++-+-+=n n n n 所以，.23π<nT模型二：分母有理化，如：nn n n -+=++111例3已知)2(41)(2-<-=x x x f ，)(x f 的反函数为)(x g ，点)1,(1+-n n a a A 在曲线)(x g y =上)(*∈N n ，且11=a (I)证明数列{21na }为等差数列；(Ⅱ)设1111++=n n n a a b ,记n n b b b S +++= 21，求nS 解(I)∵点A n (11,+-n n a a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +)，∴点(n n a a ,11+-)在曲线y =f (x )上(n ∈N +)4)1(12--=nn a a ,并且a n >021141n n a a +=∴+，),1(411221N n n a a n n ∈≥=-∴+，∴数列{21n a }为等差数列 (Ⅱ)∵数列{21na }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4，∴21na =1+4（n—1），∴3412-=n a n ，∵a n >0，∴341-=n a n ，b n ＝1111++n n a a =4341414341--+=++-n n n n ,∴S n ＝b 1＋b 2+…＋b n =43414.......459415--+++-+-n n =4114-+n 例4设40122N =，则不超过1Nn =的最大整数为。