数列模型及应用

3.过圆(x－5)2＋y2＝25 内一点(5,3)有 k 条弦， 其长度组成 等差数列，且最小弦长为数列{an}的首项 a1，最大弦长为末 1 2 项 ak，若公差 d∈(3，3)，则 k 的最大值为( A．5 C．7 B．6 D ．8 )
【解析】因为圆内过点(5,3)的最小的弦长为以(5,3)为中点 的弦， 弦长为 8， 即 a1≥8， 又最大的弦长为直径 10， 即 ak≤10， ak－a1 10－8 2 1 2 2 1 故 d＝ ≤ ＝ .又 d∈(3，3)，所以 >3， k－1 k－1 k－1 k－1 即 k－1<6，故 k<7，又 k∈N*，所以 kmax＝6. 故选 B.
4.函数 y＝x2(x>0)的图象在点(ak， a2 k )处的切线与 x 轴的交 点的横坐标为 ak＋1(k∈N*)，若 a1＝16，则 a1＋a3＋a5 的值是 21 .
【解析】因为 y′＝2x，所以 y′|x＝ak＝2ak， 所以切线方程：y－a2 k ＝2ak(x－ak)． 1 1 令 y＝0，得 x＝2ak，即 ak＋1＝2ak， 1 所以{ak}是首项为 16，公比为2的等比数列， 1 k－1 所以 ak＝16×(2) ， 所以 a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
1 1 【解析】设第一行的公差为 d，a14＝2＋3d，a12＝2＋d，
1＝1＋dq2 4 2 则 1 1＝2＋3dq
1 ，解得 d＝q＝2.
1 1i i－1 于是 aij＝[2＋(j－1)d]· q ＝j· (2) .
一
建立等差或等比数列模型解应用题
【例 1】某企业 2011 年的纯利润为 500 万元，因设备 老化等原因， 企业的生产能力将逐年下降． 若不能进行技术 改造，预测从今年(2012 年)起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改 造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年(今年为 1 第一年)的利润为 500(1＋2n)万元(n 为正整数)．
1.认识数列的函数特性，能结合方 程、不等式、解析几何、算法等知识 解决一些数列问题.
2.掌握与等差数列、等比数列有关 的实际应用问题的解法.
1.数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a元，每期利率为r,存期为x期，则本利和 x a (1+ r ) y=① . (2)单利公式.
【点评】数列模型实际应用问题的显著情境是一次一 次的变化，且前后相邻两次或三次显现固定的变化模式； 求解时可依次探究，归纳出一般规律，也可找相邻前后二 次或三次的递推关系式，然后化归为特殊数列甲方案：一次性贷款 10 万元， 第一年便可获利 1 万元， 以后每年比前一年增加 30% 的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万元，以 后每年比前一年增加 5 千元．两种方案的使用期都是 10 年， 到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息 5%的 复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(参考数据： 1.0510＝1.629,1.310＝13.786,1.510＝57.665)
3° 若 d≠0 且 q≠1，P1，P2，P3，„，Pn，„共线⇔Pn
－1
Pn＝(an－an－1，bn－bn－1)与 PnPn＋1＝(an＋1－an，bn＋1－bn)
共线(n>1，n∈N*) ⇔(an－an－1)(bn＋1－bn)－(an＋1－an)(bn－bn－1)＝0 ⇔d(bn＋1－bn)－d(bn－bn－1)＝0 ⇔bn＋1－bn＝bn－bn－1⇔q＝1，与 q≠1 矛盾， 所以当 d≠0 且 q≠1 时，P1，P2，P3，„，Pn，„不 共线．
(2)依题意得，Bn>An， 500 即 500n－ 2n －100>490n－10n2， 50 2 可化简得 2n <n ＋n－10， 50 所以可设 f(n)＝ 2n ，g(n)＝n2＋n－10. 又因为 n∈N＋，f(n)是减函数，g(n)是增函数． 50 50 又 f(3)＝ 8 >g(3)＝2，f(4)＝16<g(4)＝10， 则 n≥4 时不等式成立， 即至少经过 4 年进行技术改造 后累计纯利润将超过不改造的累计纯利润．
5.如图， n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵， 符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n，i，j∈N*)表示位于第 i 行第 j 列 的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成 1 等比数列，且各列数的公比都等于 q.若 a11＝2，a24 1 1 1i ＝1，a32＝4，则 q＝ 2 ，aij＝ j· (2) . a11，a12，a13，„，a1n， a21，a21，a23，„，a2n， „„ an1，an2，an3，„，ann.
(1)设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累 计纯利润为 An 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万 元(须扣除技术改造资金)，求 An、Bn 的表达式； (2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行 技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利 润？
【解析】 (1)依题意知， 数列{An}是一个以 480 为首项， －20 为公差的等差数列的前 n 项和的数列． nn－1 所以 An＝480n＋ 2 ×(－20)＝490n－10n2， 1 1 1 Bn＝500(1＋2)＋500(1＋22)＋„＋500(1＋2n)－600 1 1 1 ＝500n＋500(2＋22＋„＋2n)－600 1 1n 2[1－2 ] ＝500n＋500× 1 －600 1－2 500 ＝500n－ 2n －100.
【点评】这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息与利 润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式 求解．
二
点列问题
【例 2】已知点 A(1,0)，B(0,1)和互不相同的点列
→n＝anOA → ＋bnOB → (n P1，P2，P3，„，Pn，„，且满足OP ∈N*)，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若 P1 是线段 AB 的中点． (1)求 a1，b1 的值； (2)讨论：点 P1，P2，P3，„，Pn，„是否共线．
2.设关于 x 的不等式 x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个 数为 an，设数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S100 的值为( A．10100 C．10010 B．1100 D．10000 )
【解析】由 x2－x<2nx，得 0<x<2n＋1，从而 an＝2n， 1002＋200 则 S100＝ ＝10100.故选 A. 2
an 所以 an＋1＝ 2 (n∈N*)，又 a1＝1， 1 所以数列{an}是以 1 为首项，2为公比的等比数列， 所以 an＝ 1 2n
－1
.
4－2n (2)由已知 bn＝ n－2 . 2 4 －2 n 2 0 －2 －4 Tn＝ －1＋20＋ 2 ＋ 22 ＋„＋ n－2 .① 2 2 4－2n 1 2 0 －2 －4 2Tn＝20＋2＋ 22 ＋ 23 ＋„＋ 2n－1 ，② ①－②，得 －2 －2 －2 －2 －2 4－2n 1 2Tn＝4＋ 20 ＋ 21 ＋ 22 ＋ 23 ＋„＋2n－2－ 2n－1
又当 n≥2 时，Tn≤Tn－1，所以 Tn≤Tn－1≤„≤T2， 所以当 n＝2 时， T1＝T2＝4， 所以(Tn)max＝T2＝4， 所以 Tn≤4. 综上，0<Tn≤4.
三
数列与函数的综合应用
【例 3】(2011· 蚌埠模拟)已知 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)， 设 f(a1)，f(a2)，„，f(an)(n∈N*)是首项为 4，公差为 2 的等 差数列． (1)设 a 为常数，求证：{an}是等比数列； (2)若 bn＝anf(an)，{bn}的前 n 项和是 Sn，当 a＝ 2时， 求 Sn.
【点评】本题是数列与平面向量综合的基本题型，以平 面向量共线为载体构造数列递推关系或等式，从而得到数列 通项及属性，使得问题得到解决．
素材2
已知曲线 C：y＝x2(x>0)，过 C 上的点 A1(1,1)作曲线 C 的 切线 l1 交 x 轴于点 B1，再过 B1 作 y 轴的平行线交曲线 C 于点 A2，再过 A2 作曲线 C 的切线 l2 交 x 轴于点 B2，再过 B2 作 y 轴 的平行线交曲线 C 于点 A3，„，依次作下去，记点 An 的横坐 标为 an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 bn＝(8－4n)an，设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证： 0<Tn≤4.
2.数列与其他知识综合，主要有数列与 不等式、数列与函数、数列与解析几何等
1.某企业 2011 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 p 倍， 则该企业 2011 年年度产值的月平均增长率为( p A. p －1 C. 11 p p－1 B. 11 D. 11 p－1 )
【解析】设月平均增长率为 x，则(1＋x)11＝p， 故 x＝ 11 p－1，故选 D.
【解析】甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋„＋(1＋30%)9 1.310－1 ＝ 0.3 ≈42.62(万元)， 银行贷款本息：10(1＋5%)10≈16.29(万元)， 故甲方案纯利：42.62－16.29＝26.33(万元)， .
②乙方案获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋„＋(1＋9×0.5) 10×9 ＝10×1＋ 2 ×0.5＝32.50(万元)； 银行本息和： 1.05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋„＋(1＋5%)9] 1.0510－1 ＝1.05× 0.05 ≈13.21(万元)， 故乙方案纯利：32.50－13.21＝19.29(万元)； 综上可知，甲方案更好．
利用按单利计算,本金为a元,每期利率 r· x . 为r,存期为x,则本利和y=② a+a·