学而思三年级奥数鸡兔同笼进阶

学而思

第十五讲鸡兔同笼进阶

我国古代数学名著《孙子算经》中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何?意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有35只，鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只?

这就是著名的鸡兔同笼问题。怎样解决这个问题呢?我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”，这种解决问题的方法就是假设法。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置出来。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

解法1：鸡的只数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔的只数=总只数－鸡的只数

解法2：兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）鸡的只数=总只数－兔的只数

例1 、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

解：假设46只都是兔。

共应有：4×46=184（只）

比128只脚多：184-128=56（只）

如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少：4-2=2（只）

鸡的只数：56÷2=28（只）

兔的只数：46－28=18（只）

例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

解：假设16只都是鸡。

共应有：2×16＝32（只）

比44只脚少： 44-32＝12（只）

如果用一只兔来置换一只鸡，就要增加：4-2=2（只）

兔的只数：12÷2=6（只）

鸡的只数：16－6=10（只）

1、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有多少只？兔有多少只？

2、、鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。笼子中鸡、兔各有多少只？

3、鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有90只。问鸡、兔各多少只？

4、现在有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大、小油桶各多少个?

5、某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有多少张？

6、四（6）班42个同学向2008年北京奥运会捐款。其中12人每人捐2元，其余同学每人捐5元或10元，一共捐了229元。求捐5元和10元的同学各有多少人？

例3、乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

1、有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元。结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

2、运输队为商店运送花瓶500箱，每箱6个花瓶，已知每10个花瓶的运费5.5元，损坏一个花瓶要赔偿成本11.5元（这个花瓶的运费当然也得不到了）。结果这个运输队共得到运费1553.6元。问共损坏了多少个花瓶？

3、工人运青瓷花瓶250个,规定完整运一个到目的地给运费20元,损坏一个倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元,则损坏了多少只？

4、运输衬衫400箱，规定每箱运费30元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元。运后运费为8880元，损失了几箱？

例4、某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。共有12道题，王刚得了84分。王刚做错了几题？

分析：假设全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。而做错一题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，相差了12分，所以错了24÷12=2题。

1、某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。小华参加了这次竞赛，得了64分。问：小华做对几道题？

2、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分，问他做对几题？

3、一次数学竞赛共20道题，每答对一道题得6分，每答错一道题倒扣4分。小明答完了全部的题目却得了零分，那么他一共答错了多少道题？

4、小毛参加数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做错的题和没做的一样多。问小毛做对几道题?

5、一张数学试卷，共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分。如不做，不得分也不扣分。若某同学得了78分，那么，他做对了多少题？做错多少题？不做多少题？

例5、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析：这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118－108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛。这样剩下的18－5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数，再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求