2017年广西创新杯数学竞赛高二年级决赛试题答案

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创新杯数学竞赛试题

创新杯数学竞赛试题一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。

明阳教育1．与30以内的奇质数的平均数最接近的数是A．12 B．13 C．14 D．152．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比A．不增不减 B．减少1个C．减少2个 n．减少3个3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排播出的方法共有________种。

A．21 B．22 C．23 D．244．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元．A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.85．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007A．201 B．203 C．204 D．2056．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏．A．1004 B．1002 C．1000 D．9987．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为A．1032 B，1132 C．1232 D．13328．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是A．29 B．31 C．33 D．359．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是A．62 B．92 C．512 D．102410．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是二、填空题(5’×12二60’)11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105_____·12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停车格的路边，最好的情况下可停___15____部车，最差的情况下可停____8_____部车．13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为______12.56_____cm2(圆周率π取3.14)．14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7_________________，其中，n是非零的自然数．15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果_____301_____个．16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C 说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中____B______是骑士，____AC____是无赖．17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是___4______·明阳18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是_____9：137______·19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．则所有不同取球情况所得到的积的和是____53____20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是____360_____米．明阳教育21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有___4___个．22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…那么2007位于第___45____组，是这一组的第___27___个数．三、解答题(共40分)23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．(1)观察此图，解下列问题：①甲在B地休息了多长时间?算一算，休息前、后步行的速度各是多少?15分，75、75②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行速度各是多少?50、50(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分?8：12，8：4524．(20分)如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法?共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：12、个位数字为2的质数：23、个位数字为5的质数：54、个位数字为1、3、7、9的质数。

2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)

2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为5。

4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为．【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=．已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是．【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值．解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ．（1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分（2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。

高二数学竞赛试题及答案.doc

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高二数学竞赛试题参考答案

参考答案：一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；15．130 16．)1,21[-三、解答题： 17．解: (Ⅰ)由cos C =C是三角形内角，得sin C ==∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+22== (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC ACA B=，sin sin AC BC A B ==6=132AC CD BC ===, cos 5C =, 由余弦定理得:AD ==18．解：（1(2)(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9219．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-=又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。

故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ．（II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=，222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==．法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则1)(='c f 与已知矛盾。

广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试题答案及评分标准

2016 年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛解答
考试时间：2016 年 9 月 25 日(星期日) 8：30--11：00 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）． 1. D 2. A 3.C 4. C 5. B 6. A
{ } { } 1．已知集合 A = x x −1 ≤ 10 ，x ∈ Z ，B = y y = −x2 +1，x ∈ R ，则 A ∩ B
则 a < 0 时， h(t) 的最小值为 h(0) = 4a −1 ．由 4a −1 = −2 ，得 a = − 1 ，符合 4
要求．
0 ≤ a ≤ 3 时， h(t) 的最小值为 h(a) = −a2 + 4a −1 ．由 −a2 + 4a −1 = −2 ，得
a = 2 ± 5 ，不符合要求，舍去．
的非空真子集有（）
A．31 个答案： D
B．30 个
C．15 个
D．14 个
解析：由条件知， A = { − 2 ，−1，0 ，1，2 ，3，4 } ， B = (−∞ ，1] ，进而得到
A ∩ B = { − 2 ，−1，0 ，1 } ．所以 A ∩ B 的非空真子集有 24 − 2 = 14 个．（命题组提供）
三、解答题（每小题 20 分，共 60 分） 13．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 a＝12c＋bcos C．
若 S△ABC＝ 3，b＝ 13，求 a＋c 的值．2-1 解：由正弦定理，得 sin A＝12sin C＋sin Bcos C，又因为 A＝π－(B＋C)，所以 sin A＝sin(B＋C)，可得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝12sin C＋sin Bcos C，即 cos B＝12，又 B∈(0，π)，所以 B＝3π．．．．．．．．．..．．．．．3＝ 3，所以 ac＝4，由余弦定理可知 b2＝a2＋c2－ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即 a＋c＝5．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 分（命题组提供）

人教版数学高二2012年广西高二创新杯数学竞赛初赛题

2012年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．设集合},56|{},,1|||{2R x x x x B R x a x x A ∈+>=∈<-=，若φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是（）(A)}60|{≤≤a a (B)2|{≤a a 或}4≥a(C) 0|{≤a a 或}6≥a (D)}42|{≤≤a a答案：C 。

解析：由},1|||{R x a x x A ∈<-=，},56|{2R x x x x B ∈+>=得},11|{R x a x a x A ∈+<<-=，},51|{R x x x B ∈<<=，又φ=⋂B A ，所以有11≤-a 或51≥+a ，即0|{≤a a 或}6≥a 。

2．若三点)9,(),4,2(),1,1(--x C B A 共线，则=x （）（A ）2 （B ）－2 （C ）－3 （D ）3答案：D 。

解析：由BC AB λ=，得)5,2()5,1(--=-x λ，解得3,1==x λ。

3．不等式2|1|1|1|2x x -<-+的解集为（）（A ）)3,1(- （B ）)2,2(- （C ）)1,3(- （D ）)4,2( 答案：A 。

解析：由2|1|1|1|2x x -<-+得312|1||1|22|1|<<-⇒<-⇒->+-x x x x 。

4．已知函数x x f lg )(=和x x g cos )(=，则满足)()(x g x f =的实数x 的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4答案：C 。

解析：作出函数x x f lg )(=和x x g cos )(=可以看出有3个交点。

5．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且53655S S -=，则4a =（）（A ）1 （B ）2 （C ）31 （D ）21 答：C 。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

2017年广西高一创新杯参考答案

2017年广西高一创新杯参考答案2017年广西高一“创新杯”预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1.若$(x+3)(x+n)=x^2+mx-15$，则$m$等于A。

$-2$ B。

$2$ C。

$-5$ D。

$5$解析：根据多项式展开，对应系数比较得$n=-5,m=-2$，故选A。

2.设集合$M=\left\{x|x=\dfrac{k_1}{k_1+2},k\inZ\right\},N=\left\{x|x=\dfrac{k}{4},k\in Z\right\}$，则A。

$M\subseteq N$ B。

$N\subseteq M$ C。

$M=N$ D。

$M\cap N=\varnothing$解析：对$M$：$x=\dfrac{k_1}{k_1+2}$，对$N$：$x=\dfrac{k}{4}$，故选A。

3.函数$y=x^2+x,-1\leq x\leq 3$的值域是A。

$[0,12]$ B。

$[-1,12]$ C。

$[-\infty,12]$ D。

$(-\infty,12]$解析：$y=x^2+x$的对称轴为$x=-\dfrac{1}{2}$，从图像上分析，当$x=-1$时，函数有最小值$f(-1)=-\dfrac{1}{4}$，当$x=3$时，函数有最大值$f(3)=12$，故函数的值域为$[-1,12]$，选B。

4.计算$\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}$的值等于A。

$1$ B。

$-1$ C。

$2016$ D。

$2017$解析：设$2016=x$，则原式$=\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}=1$，选A。

5.若$a$是最大的负整数，$b$是绝对值最小的有理数，$c$是倒数等于它本身的自然数，则$a\times2015+2016b+c^{2017}$的值为A。

$2015$ B。

$2016$ C。

$2017$ D。

2017第十届数理化竞赛高二数学试卷含答案

2017第十届数理化竞赛高二数学试卷含答案D（2）若边长a=，且△ABC的面积是，求边长b及c．18.（本小题满分12分）如图，空间几何体的底面是直角梯形，，，，平面，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.19、已知数列{a n}的前n项和S n，满足：S n＝2a n －2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝log2(a n＋2)，T n为数列{b na n＋2}的前n项和，求T n20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60 且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）（理）求二面角A-BC-P的余弦值．（文）求异面直线PC与AD的夹角的余弦值22.在数列中，，当时，满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使得对所有都成立的实数的取值范围．参考答案1-5 CDBBB6-10 CCBDD11-12 AB13.30°14.1015.-116.[-1，1]17.解：（1）△ABC中，∵（2b-c）cos A-acos C=0，∴由正弦定理得（2sin B-sin C）cos A-sin A cos C=0，------（2分）∴2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，---------（3分）∵sin B≠0，∴2cos A=1，∴cos A=0.5，∴A=60°．---------（5分）（2）由△ABC的面积是=，∴bc=3．再由a2=b2+c2-2bc•cos A，可得b2+c2=6．解得b=c=．18. （1）证明：设线段AD的中点为Q，连接PQ，BQ，则在△MAD中，PQ为中位线，故PQ∥MD，又PQ平面MCD，MD平面MCD，所以PQ∥平面MCD.在底面直角梯形ABCD中，QD∥BC且QD=BC，故四边形QBCD为平行四边形，故QB∥DC，又QB平面MCD，DC平面MCD，所以QB∥平面MCD.又因为PQ∩QB=Q，所以平面PQB∥平面MCD，又PB平面PQB，所以PB∥平面MCD.（2）解：因为MA⊥平面ABCD，所以MA⊥DC，因为∠ADC=90°，所以AD⊥DC，又因为MA∩AD=A，所以DC⊥平面MAD，,，所以三棱锥P-MCD的体积为.19. a n＝2n＋1－2(2)证明b n＝log2(a n＋2)＝log22n＋1＝n＋1， ∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋141－12n1－12－n ＋12n ＋2＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，20．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．21.解：（1）证明：连接BD，∵底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，∴△ABD为等边三角形又G为AD的中点，∴BG⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG⊂平面ABCD．∴BG⊥平面PAD（2）（理）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB又BG⊥AD，AD∥BC∴BG⊥BC∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角在R t△PBG中，PG=BG，2cos2θ=（文）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB5cosθ=22. （Ⅰ）证明：两边同除以得，即数列是等差数列，首项，公差，，；（Ⅱ）解：由题意，即对于所有都成立，设即，函数在上是减函数，在上是增函数，故数列从第二项起递减，而，，满足题意的实数的取值范围为.。

2016年广西“创新杯”高二决赛试题答案及评分标准

解析：由 f ( x) = f (− x) 恒成立
⇔ (m − 1) x 5 + x 2 + (m − 2) cos x − 3 = (m − 1) ( − x ) + ( − x ) + (m − 2) cos ( − x ) − 3 恒成
5 2
立，即 (m − 1) x 5 = 0 对任意实数 x 恒成立，从而 m = 1 .即 f ( x) = x 2 − cos x − 3 .由 f ( x)
∠BAC = 60o .则 AG ⋅ BG = (
) C．
5− 3 9
A． −
8 9
B． −
10 9
D． −
5− 3 9
（命题组供题）答案：A．解析：由 AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以 BC＝ 3，∠ACB＝90°，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则 A(0,1) ， B(－ 3 ，0) ，所以重心 2 → 2 3 1 3 1 3 → G－，，所以AG＝－，－，BG＝，3 ， 3 3 3 3 3 8 3 2 2 3 1 → → ＝－．所以AG·BG＝－，－ · ， 9 3 3 3 3
则 f (1) ⋅ f (2) ⋅ f (3) ⋅ f (4) = 1 ，故 f (1) ⋅ f ( 2) ⋅ f (3) ⋅ ⋯ ⋅ f (2016) =1． 6 、 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f (0) = 1 ，且对任意 x ∈ R ，满足
f ( x + 2) − f ( x) ≤ 2 ， f ( x + 6) − f ( x) ≥ 6 ，则 f (2016) = （

2009年广西数学创新杯决赛答案

2009年广西“创新杯”数学竞赛决赛试题解答一、选择题(每小题6分，共36分) 1．选D设4322314234)1()1()1()1(1234b x b x b x b x x x x x ++++++++=++++。

令1-=x 得14-=b 。

排除A ，B ，C ，故选D 2．选D在)(2)()(22y f x f y x f +=+中，令0==y x 得0)0(=f . 令1,0==y x 得21)1(=f ;令1=y 得21)()1(=-+x f x f 。

故{})(n f 是首项为21公差为21的等差数列。

于是5.1004)12009(2121)2009(=-+=f3．选A由02)2(=⋅+⋅=⋅+=⋅b b b a b b a b c 有23-=⋅b a 。

故233123cos -=⨯-==θ。

所以0150=θ，故选A4．选C由题意得nn n x x x 331331-+=+，令n n x αtan =则有)6tan(1πα+=+n n x ，故n n x x =+6。

易知32,32,1,32,32,1654321-=+-=-=--=+==x x x x x x 。

从而0654321=+++++x x x x x x ，故=∑=20091n n x 3254321+-=++++x x x x x5．选C若0>x ，则12122cos =≥x x θ，由此可知1cos =θ。

若0<x ,则12122)21()2(cos =≥-+-=-xx xxθ，由此可知1cos -=θ。

故()Z k k ∈=πθ。

故选C6．选B当1=x 时，1)(=x f 。

1log77=。

如图)(x f y =与x y 7log=图象交点为6个，故选1．222<<x作∠ABC=450，并取BC=x ,以C 为圆心，2为半径所作的圆与射线BA 有两个交点时，满足条件的△ABC 才有两解。

故点C 到AB 的距离CD=x x <<245sin 0。

高二数学竞赛试题及答案

高二年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题:p 方程11522=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<<m B ．1>m C ．51<<m D ．54<<m2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则AB =（）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满足()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥； ③若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成立的是（）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（） A ．()2sin(2)3f x x π=+ B ．()2sin(2)6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等比数列，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A.)21,1 B.21,1⎤⎦C.(21⎤⎦D.20,2⎛⎝⎦12．已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ∆周长的最小值为（）A ．24B ．104C ．14D ．248+第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有 ②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．19．（12分）如图所示，在ABC ∆中, 点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点,3272,cos ,273AE B ADB π==∠=. （1）求AD 的长；（2）求ADE ∆的面积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成立，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线3y x =-相切. ⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ．参考答案一、选择题1．D 解析：方程表示焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故10,2A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.3.D 解析：由已知1n na a +=4.A解析：,e ca =⇒==，渐近线方程222202x y xb b-=⇒=±，因此左顶点到一条2a b =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β⊂，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代入验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =---，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ⋅=-⋅-⨯+-⨯-=，即OP AM ⊥，故夹角为2π，故选C. 9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形111ABCC B A A 的对角线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对角线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥⇒≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线cos (4)sin 1x y θθ+-=的距离直线cos (4)sin 1x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表示除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合， ∴集合A C U 表示圆()2241x y +-=，其对称中心()0,4M如图所示：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =⎧⎨=⎩，可得M '（4，8）．设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ∆的周长为小值，二、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所示，①)(x f 的最大值为1，最小值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成立，正确；②，故不正确；③如图所示，函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④由题意，可得，)22,2(+∈k k x ，kx f 21)(max =，1k 1x k min+=）（．证明k 211k 1≥+，即证明1k 2k +≥，又1k 2k +≥， )1(≥k ，所以k 211k 1≥+，所以对任意0>x ，不等式x k x f ≤)(恒成立，所以对任意0>x ，不等式()2f x x≤恒成立正确．故答案：①③④.三、解答题17. 解析：若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩ ∴1212a -<≤.若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴1021,201a a a ⎧<≤->⎪⎨⎪<≤⎩或即021a <≤-或112a <≤.∴实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦. 18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ∆中，2cos B =)2112732127214ADB ⎛⎫+∠=-+= ⎪⎝⎭, BD, 知 cos AD CD ADC ∠2250DC DC ∴--=,解得1DC =+.1sin 2AD DC ADC ∠=⨯ 332ADC S ∆+=20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩，所以()()max 13f x f ==，因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ∀∈-都成立，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ∀∈-恒成立，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ⎧-+≥⎨++≥⎩，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ⎧+≤⎨-≤⎩，所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>；联立22221x y a by x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯一根；所以()()()222222223430ab a a a b =--+-=，得223b a +=又221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的方程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的方程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联立()22222212142202x y k x k x k y kx k⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩得，则12PQx =-= 同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ⎛⎫ ⎪++===- ⎪++++ ⎪⎝⎭=2211442410k k⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭，因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，所以2211164,2429410k k ⎛⎫⎪⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪++⎝⎭，所以四边形PQMN 面积的最小值为169，最大值为2。

广西壮族自治区玉林市创新中学高二数学理期末试题含解析

广西壮族自治区玉林市创新中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D略2. 设关于的不等式：解集为，若，则的取值范围是( )A．B．C．D．参考答案：C3. 如果执行右边的程序框图,那么输出的等于( )A.2450B.2500C.2550D.2652参考答案：C略4. 已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和,则使得达到最大值的是( )A. 21B. 19C. 20D. 18参考答案：C5. 若实数满足则的取值范围是（）A.[-1,1]B.[C.[-1，D.参考答案：B6. 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于A.B.C.D.参考答案：C【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】-＝，，∴+（-）．故选C．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．7. 已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为（）A．B．C．D．参考答案：A略8. 直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，若l1∥l2，当a=0时，两直线分别为x+2=0和﹣2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件．当a≠0时，若两直线平行则≠，由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，当a=﹣1时， =，不满足条件．则a≠﹣1，即a=3，故“a=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C9. 下列函数中是奇函数的有几个（）①②③④A． B． C．D．参考答案：D10. 已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tanx的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得b=﹣1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，g'（x）=e x﹣2x，g''（x）=e x﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 经调查某地若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得到关于的线性回归直线方程：=0．254+0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元.年饮食支出平均增加 __________ 万元．参考答案：0.254略12. 已知函数（为常数）。

2017年广西高二数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)

2017年广西创新杯数学竞赛高二年级决赛试题参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1. 已知向量,a b 满足1a =，a 与b 的夹角为3π，若对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，则b 的取值范围是（） A ．1[,)2+∞ B ．1(,)2+∞ C ．[1,)+∞ D ．(1,)+∞ （韦兴洲供题）答案：C 解析：由对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，得222xa b a b +≥+，即222224+42x a b xa b a b a b +≥++，把1a =，a 与b 的夹角为3π代入，整理得()222310x x b b b ++--≥恒成立，故()22=44310b b b ∆---≤，解得1b ≥． 2. 设)2017sin(sin o a =，)2017sin(cos o b =，)2017cos(sin o c =，)2017cos(cos o d =，则d c b a ,,,的大小关系是（）A.d c b a <<<B.c d a b <<<C.a b d c <<<D. b a c d <<< （王强芳供题）答案：B解析：o o o 21736052017+⨯= ，o o o o 217cos 2017cos ,217sin 2017sin ==∴ o o o 225217180<< 21217cos 217sin 0π->->>>∴o ob a o o =>=>∴)217sin(cos )217sin(sin 00)217cos(cos )217cos(sin >=>=dc o o 因此cd a b <<<，选B3．已知两个等差数列和的前n 项和分别为n A 和n B ,且,则当n na b 为正偶数时,n 的值可能是（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3（苏华东供题）答案：D解析：（排除法）当n =6时，76131145117)(11)(11111111111111111166=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，不{}n a {}n b 7453n n A n B n +=+是正偶数，选项A 错；当n =5时，9394597)(9)(9999191919155=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，不是正偶数，选项B 错；当n =4时，547374577)(7)(7777171717144=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，不是正偶数，选项C 错；当n =3时，10354557)(5)(5555151515133=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，是正偶数，因此答案选D ．4. 已知b a <<0，在b a ,之间插入一个正数k ，使得b k a ,,成等比数列，在b a ,之间插入两个正数n m ,，使得b n m a ,,,成等差数列，则2)1(+k 与)1)(1(++n m 的大小关系为（）A. 2)1(+k )1)(1(++<n mB. 2)1(+k )1)(1(++=n mC. 2)1(+k )1)(1(++>n mD. 不确定（王强芳供题）答案：A解析：b k a ,,成等比数列，则ab k =2，所以)1)(1(11212)1(22++=+++<++=++=+b a b a ab ab ab k k k ． b n m a ,,,成等差数列，则n m b a +=+且m n m n a b ->-=-)(3．所以)1()1()1()1(+++=+++n m b a ，且)1()1()1()1(+-+>+-+m n a b 因此)1)(1()1)(1(++>++b a n m ．2)1(+∴k )1)(1(++<n m ．5．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间(－2，6]内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．)D ．,2)（唐光明供题）答案：D解析：∵对于任意的R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，∴函数)(x f 是一个周期函数，且T=4．又∵]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，且函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若在区间(－2，6]内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则函数)(x f y =与)2(log +=x y a 在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又3)2()2(==-f f ，则有34log <a ，且38log >a . 解得：243<<a .选D.6. 黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 （赵继源供题）答案：C解析：1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关． ∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++．二、填空题（每小题9分，共54分）1. 若函数0(log )(>=a x x f a 且)1≠a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = ．（唐光明供题）答：42或2．解析：当10<<a 时，有)2(lo g 3lo g a a a a =，解得42=a ．当1>a 时，有)2(lo g lo g 3a a a a =，解得2=a ．2．若直线经过圆的圆心，则的最小值为________________（苏华东供题）答案：9解析：将圆的方程变形为()()221417x y -+-=,可知圆心为()1,4,半径为．直线过圆心()1,4．即()141,0,0a b a b+=>>． 0,0a b >>,()144559a b a b a b a b b a⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当4a b b a =即3,6a b ==时取等号．3.已知)cos 1(22cos )(x a x x f +-=的最小值为12-，则实数a 的值为．（黎福庆供题）答案：2-解：2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1；(3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去) 4. 在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC．则该四面体外接球体积为．（卢瑞庚供题）答案：.34π解析：如图，作DO ABC ⊥面于O ，连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结DE ．则DAE ∠是DA 与平面1(0,0)x y a b a b+=>>22280x y x y +--=a b +22280x y x y +--=1(0,0)x y a b a b +=>>ABC 所成的角，cos DAE ∠= ∵ 2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，∴ DA DBC ⊥面，O 为ABC △的外心，且AB AC ==∴ DA DE ⊥，E 为BC 中点，结合cos DAE ∠=知，AE =，BE ===∴ 2B C B E ==DB DC ⊥．∴ DA 、DB 、DC 两两互相垂直，四面体外接球半径R =．.34343ππ==R V 5．不等式213328x x +-+≥的解集为__________．（赵继源供题）答案：为(][)+∞-∞-,12,解析：当12<<-x 时，()()31212=--+=-++x x x x ，且()x x x x x g -+-++=+=12123333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x 33391在(]1,2--上是减函数，在[)1,1-上是增函数()()()2812==-<g g x g ．当1≥x 时，()12-++=x x x f 是增函数，所以当1≥x 时，()1233-++=x x x g 是增函数，且()()2813312=≥+=-+g x g x x ．当2-≤x 时，()12-++=x x x f 是减函数，所以当2-≤x 时，()1233-++=x x x g 是减函数，且()()2823312=-≥+=-+g x g x x ．所以不等式213328x x +-+≥的解集为(][)+∞-∞-,12, ．6．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为_____．（赵继源供题）答案：104. 解析：设1187≥=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x x ，则r m x +=7，70<≤r ，18-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x ，所以m x m <≤-81，m x m 888<≤-，所以，m r m m 8788<+≤-． r m r +≤<8，70<≤r ，151<≤m当71≤≤m 时，解为r m x +=7，1,,2,1,0-=m r ．当148≤≤m 时，解为r m x +=7，6,,7,8 --=m m r ．当14=m ，68=-=m r 成立，所以1046147=+⨯=x ．三、解答题（每小题20分，共60分）13.（20分）已知抛物线2x y =与直线)12()2(--+=k x k y ．（1）证明：无论k 为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点．（2）设该抛物线与直线的两个不同交点分别为),(),,(2211y x B y x A ，若21,x x 均为整数，求实数k 的值．（王强芳供题）（1）证明：联立⎩⎨⎧--+==)12()2(2k x k y x y 消去y 得0)12()2(2=-++-k x k x ……5分因04)2(84)12(4)2(222>+-=+-=--+=∆k k k k k ，所以，该抛物线与直线恒有两个不同的交点． ……10分（2）解：由（1）及根与系数的关系得 12,22121-=+=+k x x k x x ．消去k 得1)2)(2(522212121-=--⇒-=--x x x x x x ． ……15分不妨设21x x <，则⎩⎨⎧=--=-121221x x ⎩⎨⎧==⇒3121x x ，于是2=k ． ……20分14. 设函数1c o s 4s i n 3)(++=x x x f ，求实数b a ,和实数]2,0[πθ∈使得1)()(=-+θx bf x af 对任意实数x 恒成立．（黎福庆供题）解：由题设可得1)sin(5)(++=ϕx x f ，其中20π<<ϕ且34tan =ϕ， 1)sin(5)(+-+=-θϕθx x f ，将它们代入条件1)()(=-+θx bf x af 中,可得1)sin(5)sin(5=++-+++b a x b x a θϕϕ，............................5分即0)1()cos(sin 5cos )sin(5)sin(5=-+++-+++b a x b x b x a ϕθθϕϕ，所以0)1()cos(sin 5)sin()cos (5=-+++-++b a x b x b a ϕθϕθ.........................10分由已知条件，上式对任意R x ∈恒成立，故必有0cos =+θb a ①0sin =θb ②01=-+b a ③这三个式子应同时成立. ................................15分若0=b ，则由①知0=a ，显然不满足③式，故0≠b .所以，由②知0sin =θ, 故πθ=或πθ20，=．当πθ20，=时，1cos =θ，则①、③两式矛盾.故πθ=，1cos -=θ.由①、③知21==b a . ............................20分 15.（20分）在锐角ABC ∆中，已知BC AH ⊥于点H ，P 为高AH 上的一点，过点P 作AB 的垂线与ABH ∆的外接圆交于点D D ',，过P 作AC 的垂线与ACH ∆的外接圆交于点E E ',.证明：E E D D '',,,四点共圆，并指出所共圆的圆心．（王强芳供题）证明：因为BC AH ⊥，且A 、H 、C 、E 四点共圆，所以EC AE ⊥因为BC AH ⊥，且A 、H 、B 、D 四点共圆，所以DB AD ⊥……5分而BC AP ⊥2222AC AB PC PB -=-⇒)()(2222EC AE DB AD +-+=2222DB DA PB PA AB PD -=-⇒⊥2222EA EC PA PC CA EP -=-⇒⊥ ……10分将三式相加即可得0)(222=-AE AD ，所以AE AD = ……15分又⊥'D D 直径AB ，⊥'E E 直径AC E A AE D A AD '='=⇒, E E D D '',,,四点共圆，其圆心为A ……20分。

2015年广西高二“创新杯”决赛试题_含答案_

2015年广西“创新杯”数学竞赛高二决赛试卷一．选择题（每小题6分，共36分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）1．（南宁市教科所黎福庆供题）已知向量,a b 夹角为45 ，1=a且2−=a b ，则=b A ．23 B ．6 C ．22 D ．2 答案：A 2．3.若方程2sin sin 10()6x a x a x ππ+−−=≤≤有三个根，则a 的取值范围为（）答案：A 解析：1,10)1)(1(01,10sin 212−−==⇒=++−⇒=−−+≤≤=a t t a t t a at t t x t 方程为则令2321121],6[1sin 2],6[1sin ,1sin 1sin −≤<−⇒<−−≤⇒−−===−−==a a a x x x a x x 上有两根在故上只有一根在而或即πππππ3．（广西师院赵继源供题）如图，已知正方体1111ABCD A B C D −中，E 为CD 中点，则二面角1E AB B −−的正切值为A ．1 BCD．解析：选D ．如图，作EF AB ⊥于F ，作1FO AB ⊥于O ，连结OE ．由1111ABCD A B C D −为正方体，知11EF ABB A ⊥面，1EF AB ⊥．又1AB OF ⊥．因此，1AB OEF ⊥面，1OE AB ⊥． ∴ EOF ∠为面角1E AB B −−的平面角．设正方体棱长为a ，则EF a =，114OF A B ==．∴ tan EFEOF OF∠==． 4．（广西师院赵继源供题）已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =−图象的一条对称轴为A ．3x π=−B ．3x π=C ．6x π=− D ．6x π=解析：选A.∵当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，∴12+= 解得a =sin cos 2sin(6y a x x x π=−=−，∴3x π=−是它的一条对称轴.5．（广西师院赵继源供题）已知函数()ln f x e x x =−在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，记ea e =，b ππ=，c e π=，ed π=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为A ．a d c b <<<B ．a c d b <<<C ．b a d c <<<D ．b c d a <<<解析：选A ．ln c π=，ln ln d e π=．由()f x 在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，得()()f f e π<，于是()ln ()ln 0f e f e e e e πππ=−<=−=．∴ln e ππ<，即ln ln d c <，于是d c <，ee ππ<．显然，e e a e d π=<=，c e b πππ=<=．于是，a d c b <<<．6．（恭城中学韦兴洲供题）在2013，2014，2015，2016这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数共有A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个答案： A解析：一个整数能表示为两个整数平方差，等价于这个整数可以表示为两个奇偶性相同的整数的乘积．而201312013=×，201421007=×，201512015=×，201621008=×，故只有2014无法写成两个奇偶性相同的整数的乘积．选A ．二．填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）７．（南宁市教科所黎福庆供题）已知直线:30l x y −+=被圆4)2()(:22=−+−y a x C 截得的弦长为22，则a 的值为．答案：1或-3 解析：2r ==即12a +=，故a 的值为1或-3。

2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf

2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ．（10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=，（30分）所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数．（10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"．（20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．（40分）三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑．证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑．（10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−，（30分）故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=．（50分）四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．（20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =．（30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+．（40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种．（50分）。

(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a 1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。