高二数学基本概念——第9章 矩阵和行列式初步

第9章 矩阵和行列式初步

一、 矩阵

9.1 矩阵的概念

矩阵及其相关的概念

1、矩形数表叫做矩阵

矩阵中的每个数叫做矩阵的元素

由个数排成的行列的数表

n m ⨯m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn

m m n

n a a a a a a a a a

21

2222111211称为矩阵.

n m ⨯记作⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A

2122221

11211n m ij a ⨯=)(

2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-1321它是2行2列的矩阵，记为

2

2⨯A ，矩阵

可简记为A

n m A ⨯注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.

列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

。

等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ⨯⨯⨯)(,

说明：

通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有

下列三种：

（1）互换矩阵的两行

（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数

（3）某行乘以一个数加到另一行

通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

9.2 矩阵的运算

矩阵

列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ⨯==⨯)

,,2,1;,2,1( 11

12121

2221

2

.....................n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭

记为列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

,()m n m n ij A B a ⨯⨯必要时可记为等，或者A=。

0m n

O O ⨯所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习

定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对

应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B

n

m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,)

ij ij a b i m j n ===且则A=B 。

...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算

（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法

3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。

A B ±即

()()ij m n ij m n a b ⨯⨯=±()ij ij m n

a b ⨯=±

定义4以实数乘矩阵A

中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A

A α即

()ij m n a α⨯=()ij m n

a α⨯=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n

m ij a A ⨯-=-)(即

α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B

αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）

（2）设A 、B 、C 、O 都是m ×n 矩阵，l 、k 是实数，则

A

B B A +=+)1()()()2(

C B A C B A ++=++A O A =+)3(O A A =-+)()4(kB kA B A k +=+)()5(lA kA A l k +=+)()6()()()()7(kA l lA k A kl ==(8)1A A

=

存在唯一解的条件。

组例、给出二元一次方程2

221

11c y b x a c y b x a {=+=+解：原方程组的系数矩阵为)

(

2

2

11b a b a A =……①

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111,b b b a 是矩阵A 的两个列向量，原方程组可以表示为：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121c c b b y a a x ……②由平面向量的分解定理可知：

使、对实数不平行时，存在唯一一

与当向量y x b b a a )1(2121⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛②成立

1122111122221212a b (2)x y a b a b a b x y a b a b c c c c c c ααα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫

= ⎪⎝⎭⎛⎫

= ⎪⎝⎭

当向量与平行时，对任意实数、，

都与或平行，所以

若与平行，则原方程组有无穷多个解；

若与不平行，则原方程组无解。

唯一解的条件。不平行是原方程组存在与⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴2121b b a a