第七章弹塑性断裂力学简介详解
弹塑性断裂理论简介
弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。
为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。
为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。
1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。
裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。
在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。
c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。
COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。
2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。
对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。
J 积分的单位为MPa* mm 。
图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。
弹塑性断裂力学概述及COD理论
指导老师： 王吉会教授
目录
弹塑性断裂力学的提出
弹塑性断裂力学的一种计算方法—— COD理论
对比COD和J积分理论
实际中弹塑性断裂力学的运用
第一章
弹塑性断裂力学的提出
线弹性 断裂力 学
小范围屈 服的金属 材料
脆性材料 高强度钢 大范围屈 服
弹塑性断 裂力学
全面屈服
COD理论与J积分对比
COD理论
计算简单，所得到的一些经 验公式能有效的解决工程实 际问题
在中、低强度钢焊接结构和 压力容器断裂分析中应用广 泛
第三章
J积分理论
计算复杂，但理论更严谨， 直接
已用于发电工业，特别是核 动力装置中材料的断裂准则
实际中的应用： 基于复合梁的钢桥面铺装断裂判 据及疲劳寿命的研究
研究方法
以复合梁为研究对象，从断裂力学的基本理论入手，
通过室内复合梁三点弯曲试验研究桥面铺装复合结构 的COD断裂参数，并建立COD断裂判据；（见论文中 第二章） 利用数值分析方法，选取三种不同复合梁尺寸研究桥 面铺装断裂参数的尺寸效应，并分析COD设计曲线在 铺装安全裕度评价中的应用；（见论文中第三章）
环氧青混凝土低温性能，
同时进行了SMA试件和AC改性沥青混合料试件的对比 试验，试验结果如图2.6
环氧沥青混凝土的塑性特征
根据环氧沥青混凝土的低温
性能可知，它不是一种完全 的弹性变形材料，其断裂特 性随着温度变化会有很大的 不同，并且以5℃为分界点。 因此文中采用弹塑性断裂力 学理论来研究钢桥面铺装的 断裂判据。
研究内容：
钢桥面铺装主要用于提高行车的舒适性和钢桥面 的耐久性，如何延长其使用寿命是钢桥面铺装设计的 重要内容。然而开裂却大大限制了其服役寿命。因此 钢桥面铺装层裂缝的萌生及扩展机理、铺装的剩余寿 命等断裂力学问题成为学术界和工程界关注的焦点。
第七章压力容器的疲劳、断裂、蠕变
使用中形成的裂纹，包括腐蚀裂纹，特别是应力腐蚀裂纹， 还有由交变载荷导致出现的疲劳裂纹等。
低应力脆断不仅在压力容器上发生，在船只、桥梁及其它 焊接结构上也大量发生过低应力脆断事故，这引起工程界 与科学界的重视—发展了断裂力学。
以一个频繁开停,及工作压力交替的在零和 pmax 范围内工作的厚壁圆筒为例,说明利用疲劳设计
曲线计算容器寿命的步骤。
(1)求取在工作压力作用下，危险点的应力。 (2)求取应力循环中的最大应力和最小应力。 (3)计算交变应力幅
Sa
1 2
r 0
1 2
r
(4)利用疲劳设计曲线，查出循环次数Nf
e 2 2E
Basquin方程
e 2
f' E
2N f
b
图7-3
f '
2E
2N f
b f ' 2N f
c
等号右边第一项和第二项分别是总应变幅的弹 性分量和塑性分量。
虚拟应力幅 Sa
Sa
E
1 2
t
1 2
E t
当温度低于蠕变范围时，在低循环区域中，应
变与破环次数Nf 之间存在着如下近似关系
(3)在受压容器上距离在 2 RS 以内(R一容器的平均半径， S一壁厚)的任意两点间的金属温差变化的有效次数。
(4)部件焊缝两侧的材料具有不同温度膨胀系数 1 与 2 ， 在 (1 2 )t 0.0003时4 的温度变化次数(——操作温度范围oC)。
五、疲劳分析的其它问题
混凝土弹塑性断裂力学概述
混凝土弹塑性断裂力学概述与线弹性体不同的是，当含裂缝的弹塑性体受到外荷载作用时，裂缝尖端附近会出现较大范围的塑性区，线弹性断裂力学将不再适用，而需要采用弹塑性断裂力学的方法。
弹塑性断裂力学的主要任务，就是在考虑裂缝尖端屈服的条件下，确定能够定量描述裂缝尖端场强度的参量，进而建立适合工程应用的断裂判据。
目前应用最广泛的包括裂缝尖端张开位移（Crack Opening Displacement，COD）（Wells，1962）理论和J积分理论（Rice，1968a，b）。
一、Orowan对Griffith理论的改进试验证实，Griffith理论只适用于理想脆性材料的断裂问题，实际上绝大多数金属材料在裂缝尖端处存在屈服区，裂缝尖端也因屈服而钝化，使得Griffith 理论失效。
在Griffith理论提出二十多年之后，Orowan（1948）和Irwin（1955）通过对金属材料裂缝扩展过程的研究指出：弹塑性材料在其尖端附近会产生一个塑性区，该区域的塑性变形对裂缝的扩展将产生很大的影响，为使裂缝扩展，系统释放的能量不仅要供给裂缝形成新自由表面所需的断裂表面能，更重要的是需要提供裂缝尖端塑性流变所需的塑性应变能（通常称为“塑性功”）。
所以，“塑性功”有阻止裂缝扩展的作用。
裂缝扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的“塑性功”称为“塑性功率”，假设用Γ表示，则对金属材料应用Griffith理论时，式（2.4b）和式（2.5）应修正为对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因而γ可以忽略不计，则式（2.33）和式（2.34）可改写为以上即为Orowan把Griffith理论推广到金属材料情况的修正公式。
以上是针对平面应力状态讨论的，当平板很厚时，应视为平面应变状态，只要把上述公式中的E用代替即得平面应变状态下相应的解。
二、裂缝尖端的塑性区金属材料裂缝尖端会形成塑性区，裂缝扩展所需要克服的塑性功在量级上可高达断裂表面能的三个数量级。
第七章弹塑性断裂力学简介
利用E(k)的近似表达，Q可写为：
1.64 = + Q [1 1.47(a / c) - 0.212( s / s ys ) 2]1/ 2
s / s ys 越大， Q越小，K越大，裂尖屈服区越大。
18
例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
R为：
o rp R a
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
K 1 R= p ( s 1 ) 2 = 2 r p ys
10
依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为： K1 2 1 1 R=2 rp = ap ( ) a = s ys 2 2 (平面应力) (平面应变)
(7-4)
上式指出： 裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比； 平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
11
Most of the classical solution in fracture 一般地说，裂纹前的条件既不是平面
mechanics reduce the problem to two dimensions.
线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。
16
3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
M f s p a 前表面修正系数通常取为Mf=1.1； K1 = E(k)是第二类完全椭圆积分。 E(k)
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1 s p (a + rp) 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1 = E(k) 无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状 态，故由(7-4)式知： K1 2 1 rp = ( ) 4 2p s ys
弹塑性断裂力学
思考题
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
线弹性的适用范围
测试工作的要求
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
实际材料的应力应变关系-低碳钢
应 力
塑性 应变
载荷增大
线弹性断裂力学的局限性
线弹性的适用范围
线弹性力学是建立在小范围屈服的基础上的
当裂纹尖端的塑性区尺寸比裂 纹尺寸或其它特征几何尺寸小 K主导区
E E 2 平面应变 1
c 8 s a c ln sec 2 E s
D-B模型塑性区宽度：
适用情况：
(1) 无限大板穿透裂纹体； (2) 材料被认为是理想弹塑性材料
R a(sec 1) 2 s
(3) =s, ,不适用于整体屈服 (4) (σ/σs)≤0.6的小范围到大范围屈服。
线弹性断裂力学的局限性
测试工作的要求
在测试材料的KIC时,为保证平面应变和小范围 屈服,要求试样厚度
B ≥ 2.5 K I s
如：中等强度钢 要求B=99mm
2
试样太大，浪费材料 一般试验机很难做到
线弹性断裂力学的局限性
弹塑性断裂力学的提出
对于塑性变形占很 大比重的弹塑性断 裂体的断裂问题 用小试样测试 KIC的问题
a
a*
2V
O O’
ry
原裂尖点处的张开位移就是COD(或）
COD参量及其计算
平面应变 沿y方向的位移 o点的坐标为：
KI V E
2r
sin
2 1 cos 2 2
2
1 r ry 2
KI s
弹塑性断裂力学讲解
cos2
2
1
3sin
2
2
r
/
K
2 I
2π
2 s
1.0 平面应力
0.5 平面应变
2)平面应变状态下[ 3 (1 2) ]
r
K
2 I
2π
2 s
cos2
2
(1
2
)2
3 sin2
2
3)裂纹延长线上
0.5
1.0
r
/
COD准则和J积分准则均为弹塑性裂纹起裂准则，从1970s起着力建立裂纹稳定扩 展准则。
最早将断裂力学应用于研究混凝土的是Kaplan,他在1960年首先开展了断裂韧度 的研究，从此混凝土断裂力学就逐步展开。
5 断裂力学的分类
断裂力学根据裂纹尖端塑性区域的范围，分为两大类： （1）线弹性断裂力学---当裂纹尖端塑性区的尺寸远小于裂纹长度，可根据线弹性理 论来分析裂纹扩展行为。 （2）弹塑性断裂力学---当裂纹尖端塑性区尺寸不限于小范围屈服，而是呈现适量的 塑性，以弹塑性理论来处理。
ys
s
平面应力
ys
s 1 2
平面应变
r
/
K
2 I
2π
2 s
1.0 平面应力
0.5 平面应变
0.5
1.0
r
/
K
2 I
2π
2 s
r0’
r0
5)厚板 马鞍形塑性区。外为平面应力，中间平面应 变，由于裂尖钝化效应导致平面应变的塑性 约束降低，实际区域要大于上述解。
弹塑性断裂力学
A
A
x
R
2a R
2c
COD参量及其计算
利用弹性化理论分析方法证明：
原裂纹尖端的张开位移（COD）
8a s ln sec( )
E
2 s
裂纹开始扩展的临界张开位移：
E E 平面应力
E
1
E
2
平面应变
c
8 sa E
ln
s
ec
2
c s
D-B模型塑性区宽度：
R a(sec 1) 2 s
适用情况：
弹塑性断裂力学
COD方法
J积分方法
阻力曲线等方法
主要内容
线弹性断裂力学的局限性 COD参量及其计算 J积分原理及全塑性解 各断裂参量之间的关系 断裂分析在有限元软件中处理方法 思考题
COD参量及其计算
COD的定义和基本思想 小范围屈服条件下的COD D-B带状屈服模型的COD 全屈服条件下的COD判据
极好的量度。
•英国、日本焊接验收标准 •我国压力容器缺陷验收标准
y R
o
O
a 2 v
COD参量及其计算
COD的基本思想
把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移作为一个参量， 建立这个参量与外加应力（或应变e）和裂纹长度a的 关系，计算弹塑性加载时裂纹尖端的张开位移，然后 把材料起裂时的c值作为材料的弹塑性断裂韧性指标。 利用＝c作为判据判断是够是否发生破坏。
y R
o
O
a 2 v
是裂纹开始扩展的判据,不是 裂纹失稳扩展的断裂判据
应力松弛引起的裂纹体刚度下降与裂纹 长度增加的效果是一样的
COD参量及其计算
小范围屈服条件下的COD
等效裂纹长度 a*=a+ry
断裂力学 弹塑性断裂力学
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c
c arccos
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
弹塑性断裂力学
《弹塑性断裂力学》一、断裂力学研究现状与进展断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，也是固体力学的新分支，是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。
它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。
断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。
它不仅是材料力学的发展与充实，而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。
断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。
随着科学技术的发展，断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。
断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。
断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。
1921年,Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。
1955年，Irwin用弹性力学理论分析了裂纹尖端应力应变场后提出了对于三种类型裂纹尖端领域的应力场与位移场公式。
弹塑性断裂与脆性断裂不同，在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展(稳态扩展),达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏.而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展，裂纹开裂与扩展几乎同时发生。
弹塑性断裂准则分为两类，第一类准则以裂纹开裂为根据，如COD准则，J积分准则；第二类准则以裂纹失效为根据，如R阻力曲线法，非线性断裂韧度G法。
1965年Wells在大量实验的基础上，提出以裂纹尖端的张开位移描述其应力、应变场。
1968年,Rice提出了J积分理论.以J积分为参数并建立断裂准则。
弹塑性断裂力学的重要成就是HRR解。
硬化材料I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析是由Hutchinson，Rice与Rosengren(1968)解决的,故称为HRR理论。
(整理)弹塑性断裂力学
弹塑性断裂力学在断裂力学差不多节课的时候，我们开始上弹塑性力学。
而此之后就要求学一个有关断裂力学的文章，顺其自然的我就想到了二者之间应该有着某种联系，而已材料力学时单轴拉伸试验给我一个很重要的的思想就是材料的破坏是在弹性到塑性再到很大的材料应变最后破坏。
断裂是破坏的一种这样，这样就很容易的把断裂与弹塑性联系在一起。
虽然这里的联系我说的似乎有点牵强附会，或者只是从一些文字表面的理解所做的判断。
为此我就专门去网上搜了一下，果然有一个力学分支叫做弹塑性断裂力学。
于是大略的知道了什么叫做弹塑性断裂力学，其所依据的理论研究是什么，主要应用等等。
大范围屈服断裂或简称弹塑性断裂(“普遍屈服断裂”及“屈服后断裂”也是常见的称法)，指的是塑性区尺寸已经接近或显著超过裂纹尺寸的断裂，和高强度材料的小范围屈服断裂或低应力脆性断裂相似，也是工程结构中常见的断裂型式，因而是工程断裂力学的一个重要研究对象。
这个是一篇文章中的一个论断，由此可知弹塑性断裂力学所研究的对象是大范围的屈服断裂。
但是大范围的屈服断裂研究也可以通过线弹性断裂力学方法加入塑性区修正，但是对于很多的问题这个方法并不适用。
由此就提出了弹塑性断裂力学。
不同的情况需要不同分析方法和断裂判据。
例如，长条屈服区模型(或D一M摸型)法，裂纹顶端张开位移法(简称COD法)，J积分方法，最大断裂应力判据以及其他半经验分析方法等等。
由于J积分是一个应力形变场强度的参量，有较严密的力学理论基础，试验测定方法比较简单可靠，又可以利用有限元法和计算技术进行计算，并且，如本文中将抬出的，它为口前在工程界获得广泛应用的COD方法和D 一M模型法提供了有效的理论根据和分析手段。
不过有的文章中也有把COD法写作CTOD的。
COD法是弹塑性断裂力学中以裂纹顶端的张开位移作为断裂准则的一个近似的工程方法，是英国的A。
A。
韦尔斯于1963年提出的。
COD是英文crack opening displacement（意为裂纹张开位移）三字的缩写。
弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端旳小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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1
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学措施，研究 含裂纹弹性体内旳应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱旳应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 旳临界条件, 处理工程问题。
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order o rp
x
to satisfy equilibrium.
解： 1)无限大致中半椭圆表面裂纹最深处旳K最大， 考虑小范围屈服，在发生断裂旳临界状态有：
K1=1.1sQp ac = K1c ；
a
c=
Q 2K12c
1.21s 2p
Q 2= 1 + 1.47(0.5)1.64- 0.212(500 / 600 )2 = 1.32
20
故得到：
ac=
Q2K12c 1.21s 2p
将断裂判据式二边平方， 再将Q2代入，得： 1.21sc2 p a = K12c [1.034- 0.212( sc / sys )2]
21
即有：
sc2
=1.21p
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
《弹塑性断裂力学》课件
断裂判据
03
应力强度因子、能量释放率。
03
弹塑性断裂力学分析方法
线弹性断裂力学分析方法
适用于裂纹张开位移较小 的裂纹扩展
裂纹扩展时，裂纹尖端应 力场不变
裂纹尖端附近应力场呈奇 异性
裂纹扩展时，裂纹尖端应 力场呈奇异性
弹塑性断裂力学分析方法
适用于裂纹张开位移较大的 裂纹扩展
裂纹尖端附近应力场呈奇异 性
复合材料的断裂分析
01
复合材料的断裂分析是弹塑性断裂力学在工程中的另一个重要应用。
02
复合材料由多种材料组成，其断裂行为较为复杂，需要考虑不同材料 之间的界面效应和应力传递机制。
03
复合材料的断裂分析主要应用于航空航天、汽车、船舶、建筑等领域 的结构强度和寿命评估。
04
复合材料的断裂分析方法包括实验测试、数值模拟和理论分析等，其 中数值模拟方法包括有限元分析和离散元分析等。
高分子材料的断裂分析
高分子材料的断裂分析是另一 个重要的应用领域。
高分子材料具有粘弹性和韧性 ，其断裂行为较为复杂，需要 考虑高分子链的取向、结晶度
、温度等因素。
高分子材料的断裂分析主要应 用于塑料、橡胶、纤维等材料 的强度和耐久性评估。
高分子材料的断裂分析方法主 要包括实验测试和数值模拟， 其中数值模拟方法包括有限元 分析和分子动力学模拟等。
和规律，为复合材料的设计和应用提供理论支持。
高分子材料的冲击断裂分析
总结词
高分子材料在冲击作用下会发生断裂，其断 裂行为受到分子链结构、温度、应变速率等 因素的影响。
详细描述
高分子材料的冲击断裂分析主要研究高分子 材料在受到冲击作用时的断裂行为和机理。 高分子材料在冲击作用下会发生断裂，其断 裂行为受到分子链结构、温度、应变速率等 因素的影响。通过实验和数值模拟，可以深 入了解高分子材料冲击断裂行为的机理和规 律，为高分子材料的设计和应用提供理论支
[工学]弹塑性断裂力学
![[工学]弹塑性断裂力学](https://img.taocdn.com/s3/m/76ad0133f78a6529647d538b.png)
2 J积分理论
3 COD理论 4 断裂参量小结
10
J积分理论
Rice于1968年提出。它避开了裂纹尖端附近的弹塑性 应力场。而用J积分作为表示裂纹尖端应力集中特征 的平均参量。对于服从塑性全量理论的材料，可证明：
① J积分与积分路径无关 ② J积分在物理上可解释为变形功的差率 ③ J积分可作为弹塑性含裂纹体断裂准则
u i 为回路上任一点(x,y)处的应变分量；
ds 为回路 上的弧长 。
13
J积分的守恒性(与积分路径无关)
证明过程的几个假设
(1)
ij
W
ij
(全量理论)
(2) ij
1 2
ui, j
u j,i
(小变形)
(3) ij, j 0
(无体力)
(4) ij ji
8
全量理论
即采用全量形式表示塑性本构关系的理论
应用范围： ①小变形 ②简单加载
ij Sij
和弹性变形属同一数量级 各应力分量按同一比例增加
在上述条件下，无论变形体所处的应力状态如何，应变偏张量 各分量与应力偏张量各分量成正比。
特点：
应力与变形一一对应,实际是一种非线性的弹性状态。
9
本讲内容
由以上三点，J积分有明确的物理基础，又便于计算 和测量。
11
J积分的定义
回路积分定义：由围绕裂纹尖端应力、应变和位移 所组成的回路积分给出，从而使J积分具有场强的 性质。 形变功差率定义：由外载荷通过施加点位移对试样 所做的形变功给出，使得J积分物理意义明确，易 于通过试验测定。
12
回路积分定义
J
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； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
2
Linear elastic fracture mechanics predicts infinite stresses at the crack tip. In real materials, however, stress at the crack tip are finite because the crack tip radius must be finite. Inelastic material deformation, such as plasticity in metal , leads to further relaxation of the crack tip stress.
K x
下的面积相等。
aR
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下
的面积等于曲线HB下的面积即可。
10
于是得到：
sy
H
rp
R s ys
= 0
s
y (x)dx
sys
BC A
D
注意到式中：sy=K1 / 2p r ,
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 s ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order
o rp
x
to satisfy equilibrium.
(平面应力) (7-3)
(平面应变)
式中，sys为材料的屈服应力，为泊松比。 对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂
尖塑性区比平面应力时小得多。
7
当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。
虚线为弹性解，r0，sy。
sy H
由于sy>sys，裂尖处材料屈服，
塑性区尺寸为rp。
学
xy=s
2axry，sin2
cos 2
co态s3 2
计 算 主 应 力
s
屈 服 准
裂 端纹 屈y 尖 服dsyy
xy sx
(5区-1)域2a的r
dx
x
则 形状与
尺寸
s
这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。
在裂纹线上(=0)，注意到 K = s pa ，有；
sx =s y =s
a 2r=K1来自2p r第七章 弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端的小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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1
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。
9
为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少 承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将 使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。
设修正后的屈服区尺寸为R；
sy H
假定线弹性解答在屈服区外仍然
适用，BK平移至CD，为满足静
sys
B A
C
力平衡条件，修正后ABCD曲线
D
下的面积应与线弹性解HBK曲线 o rp
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
3
7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力
sx、sy和剪应力xy的线弹性解为：s
sx=s 2arcos2[1- sin2sin32] sy=s 2arcos2 [1+sin2sin32] (5-1)
a
T上h述e r简eg单ion分A析BH是以rep裂re纹se尖nt端s fo弹rc性es解th为at基w础ou的ld，be故 present in an elastic material but cannot be carried i并n t非he严el格as正tic确-p的las。tic屈m服at发er生ial后be，ca应us力e t必he需st重re分ss 布， c以an满no足t e平xc衡ee条d 件yie。ld. The plastic zone must increase in size in order to carry these forces.
y
sy xy
dy
sx
r
dx
2a
x
xy=s 2arsin2 cos2 cos32
s
当r0时，s ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
4
线s弹x=s 2裂arc尖os附2[1近- sin2一sin点32]
性断 裂sy力=s
2任 的arcs一oxs、点2 [s1处+ysin2的力sin应状32]