(六)数学归纳法

（六）数学归纳法

一、知识要点

1.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用数学归纳法。

2.数学归纳法的证明步骤：

（1）证明0n n =时命题成立；

（2）假设),(0n k N k k n ≥∈=+时命题成立，证明1+=k n 时命题也成立。

由（1）、（2）两步可得，所证命题成立。

二、例题解析

例1.用数学归纳法证明：

))(12()2()12(4321222222+∈+-=--++-+-N n n n n n .

例2.如果x 是实数，且n x x ,0,1≠->为大于1的自然数，证明：nx x n

+>+1)1(.

例3.平面上有n 条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，这些直线把平面分成多少

个区域？证明你的结论。

例4.证明：当)1(3221+++•+•=n n a n （n 是正整数）时，不等式

2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n .

【点评】

利用数学归纳法证明不等式的关键是由k n =到1+=k n 的变形，为了达到目标，往往要采用“放缩”等手段。

知识检测

1.用数学归纳法证明不等式),2)((1

2131211+∈≥<-++++N n n n f n 的过程中，由k n =到1+=k n 时，左边增加了（ ）

A.1 项

B.k 项

C.12+k 项

D.k 2 项

2.某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时，命题也成立。现已知当5=n 时命题不成立，那么可推得（ ）

A.当6=n 时该命题不成立

B.当6=n 时该命题成立

C.当4=n 时该命题不成立

D.当4=n 时该命题成立

3.证明不等式θθsin sin n n ≤（+∈N n ）

4.证明：1131211)321(2-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++

++++n n n n （2,>∈n N n ）.

5.证明：

n n n

113121222-<+++ （1,>∈n N n ）.

6.用数学归纳法证明，对于n n n N n <+++•+•∈)1(1321211,* .

*7.已知数列{}n b 是等差数列，)(145,1*10211N n b b b b ∈=+++= . （1）求数列{}n b 的通项.

（2）设数列{}n a 的通项)11(log n

a n

b a +=（其中0>a 且1≠a ），记n S 是数列{}n a 的前n 项的和，试比较n S 与1log 3

1

+n a b 的大小，并证明你的结论。