弦截法求非线性方程的根

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求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程是指未知数的高次幂或三角函数、指数函数等构成的方程。

非线性方程的求解是数值计算中的一个重要问题，常用的方法有迭代法、试位法、牛顿法等。

下面介绍三种新的迭代法。

1. 牛顿法的改进牛顿法是一种求解非线性方程的常用方法，通过选择合适的初始值，可以得到方程的一个根。

在某些情况下，牛顿法的收敛速度较慢，甚至可能发散。

为了克服这个问题，有人提出了牛顿法的改进方法。

改进的思想是在每一步的迭代中引入一个修正因子，使得每一步的迭代都能够加速收敛。

这个修正因子可以选择为方程导数的逆矩阵，或者通过数值计算方法来估计。

通过引入修正因子，可以使得牛顿法的收敛速度更快，提高求解非线性方程的效率。

2. 弦截法弦截法是一种求解非线性方程的迭代法，它可以看作是牛顿法的一种变形。

在牛顿法中，通过选择切线与x轴的交点作为新的逼近解，而在弦截法中，通过选择切线与两个初始逼近解的连线的交点作为新的逼近解。

弦截法的迭代公式为：Xn+1 = Xn - f(Xn) * (Xn - Xn-1) / (f(Xn) - f(Xn-1))在每一步迭代中，选择两个初始逼近解Xn和Xn-1，代入上述迭代公式即可求得新的逼近解Xn+1。

通过不断迭代，可以逐渐接近方程的根。

3. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种变步长的牛顿法，它的主要思想是通过动态调整迭代步长的大小来提高求解非线性方程的效率。

在牛顿-拉夫逊法中，首先根据初始解得到牛顿法的逼近解，然后根据逼近解和方程的误差，动态调整迭代步长。

如果逼近解接近方程的根，将步长增加，以加快收敛速度；如果逼近解偏离方程的根，将步长减小，以避免迭代发散。

λ为步长调整因子，可以根据迭代过程中的收敛情况进行动态调整。

牛顿法的改进、弦截法和牛顿-拉夫逊法是三种求解非线性方程的新的迭代法。

这些方法通过引入修正因子、变化逼近解和动态调整步长等方法，可以提高求解非线性方程的效率和收敛速度。

非线性方程数值解法-计算物理学

第四讲：（2）非线性方程数值解法在实际物理问题中，例如如何知道热平衡时的温度，力平衡时的力的大小等平衡量，需要求解平衡方程。

对于不能解析求解的代数方程就需要数值求解。

本讲只讨论单变量的代数方程()0f x = （4.2-1）为了求解满足方程的变量x ，即方程的根，有时需要用图示的方法大体了解解的位置。

下面介绍几种求方程（4.2.1）根的方法。

4.2.1 二分法（Bisection Method ）方程根附近的性质是()f x 要改变符号，一般来说，如果()f x 在区间[,]l u x x 是连续的实函数，并且()l f x 和()u f x 有相反的符号，即()()0l u f x f x ⋅< （4.2-2）那么在区间[,]l u x x 内至少有一个实根。

一般采用增量搜寻的方法来确定函数变号的间隔，例如[,]l u x x ；然后将这个间隔分成更小的许多子间隔来确定函数变号的位置（即根）。

怎样再细分间隔[,]l u x x ，通常采用的一种方法是对分区间套的方法，即二分法。

二分法求根步骤：① 通过满足条件()()0l u f x f x ⋅<，确定有根区间[,]l u x x② 估算根：()/2r l u x x x =+，如果100%new old r r a newrx x eps x ε-=<, 则 newr x 为解 ③ 做下面的计算，确定根在那个子区间(a) 如果()()0l r f x f x ⋅<，则根在区间[,]l r x x ，设u r x x =，返回到② (b)否则()()0l r f x f x ⋅>，则根在区间[,]r u x x ，设l r x x =，返回到②二分法求根示意图※================================================================※ 例题4.2-1用二分法计算方程2ln()0x e x x -=的在区间（1，2）的根。

弦截法求方程的根python

弦截法求方程的根一、什么是弦截法弦截法（也称为割线法）是一种数值计算方法，用于求解非线性方程的根。

与传统的二分法和牛顿法相比，弦截法的收敛速度更快。

它通过在两个初始点之间的直线上不断迭代，逼近方程的根。

二、弦截法的基本原理弦截法的基本原理是利用方程在两个近似根之间的切线来逼近方程的根。

假设我们要求解方程f(x)=0，设初始点为x0和x1，对应的函数值为f(x0)和f(x1)。

1.计算初始点x0和x1处的函数值f(x0)和f(x1)。

2.计算直线的斜率k = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)。

3.计算直线与x轴的交点，即直线的根：x = x1 - f(x1) / k。

4.如果x与x1之间的差值小于给定的精度，则停止迭代，x即为方程的近似根；否则，将x1更新为x，继续迭代。

三、弦截法的算法实现下面是使用Python实现弦截法求解方程根的算法：def secant_method(f, x0, x1, epsilon, max_iterations):iteration = 0while abs(x1 - x0) > epsilon and iteration < max_iterations:f0 = f(x0)f1 = f(x1)k = (f1 - f0) / (x1 - x0)x = x1 - f1 / kx0 = x1x1 = xiteration += 1return x其中，参数f为待求解的方程，x0和x1为初始点，epsilon为精度要求，max_iterations为最大迭代次数。

四、使用弦截法求解方程的根下面我们通过一个具体的例子来演示如何使用弦截法求解方程的根。

假设我们要求解方程x^3 - 5x - 9 = 0在区间[2, 3]上的根。

首先，我们定义方程的函数：def f(x):return x**3 - 5*x - 9然后，我们选择初始点x0 = 2，x1 = 3，精度要求epsilon = 0.0001，最大迭代次数max_iterations = 100。

非线性方程的求根方法

取 x0=0,
3 xk xk 3 xk 1 xk 2 3 xk 1
(k = 0, 1, · · · · · )
y x1 x2 x3 x0 x
y=x3 – x – 3
Newton迭代法陷入死循环的另一个例子
f’<0, f”>0
f’>0, f”>0
f’>0, f”<0
f’<0, f”<0
牛顿迭代法的收敛域问题:
用牛顿迭代法求解复数方程 z3 – 1 = 0，该方程在复平面上三个根分别是 z1 = 1
1 3 z2 i 2 2
1 3 z3 i 2 2
选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。
牛顿法的计算步骤： 1）给出初始近似值x0，及精度 2）计算：按迭代公式
f ( x0 ) x0 x1 f ( x 0 )
计算出x1 3）若 x1 x0 ，则转向4);否则 x1 x0 转向2) 4）输出满足精度的根x1，结束
例2.5 用牛顿法解方程 x=e–x
在 x0=0.5 附近的根。
由定理2.5知牛顿迭代公式具有局部收敛性。
由定理2.6知 Newton迭代法至少平方收敛。因此用 Newton法求单根的收敛速度是较快的。
[ f ( x )]2 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) 2[ f ( x )]2 f ( x ) ( x ) [ f ( x )]3
x1 x*
f ( x1 ) x2 x1 ( x1 x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) xk 1 f ( xk ) xk ( x k x k 1 ) f ( x k ) f ( x k 1 ) ( k =1,2,· · · · · · ·)

数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告实验一方程求根一、实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。

二、实验内容:二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。

观察初值对收敛性的影响。

三、实验步骤：①、二分法：定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。

PS：本方法应用的软件为matlab。

disp('二分法')a=0.1;b=1;tol=0.0001;n0=100;fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;for i=1:n0 p=(a+b)/2;fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;end;if fa*fp>0 a=p;else b=p;end;end;if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)) disp(n0) disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end;程序调试：运行结果：用二分法求得方程的根p=0.1108二分迭代次数为：14②Newton法定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。

牛顿法非线性方程求解

《MATLAB 程序设计实践》课程考核１. 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。

（参考书籍《精通ＭＡT ＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“牛顿法非线性方程求解”解：弦截法本质是一种割线法，它从两端向中间逐渐逼近方程的根；牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为：-=+n n x x 1)()('n n x f x f初始值可以取)('a f 和)('b f 的较大者，这样可以加快收敛速度。

和牛顿法有关的还有简化牛顿法和牛顿下山法。

在MA TLAB 中编程实现的牛顿法的函数为：NewtonRoot 。

功能：用牛顿法求函数在某个区间上的一个零点。

调用格式：root=NewtonRoot )(```eps b a f 其中，f 为函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点 eps 为根的精度；root 为求出的函数零点。

，牛顿法的matlab程序代码如下：function root=NewtonRoot(f,a,b,eps)%牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点%函数名:f%区间左端点:a%区间右端点:b%根的精度:eps%求出的函数零点:rootif(nargin==3)eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if (f1==0)root=a;endif (f2==0)root=b;endif (f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0 ！');return;elsetol=1;fun=diff(sym(f)); %求导数fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b);if(dfa>dfb) %初始值取两端点导数较大者root=a-fa/dfa;elseroot=b-fb/dfb;endwhile(tol>eps)r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1); %求该点的导数值 root=r1-fx/dfx; %迭代的核心公式tol=abs(root-r1);endend例：求方程3x^2－exp（x）＝0的一根解：在MATLAB命令窗口输入：>> r=NewtonRoot('3*x^2-exp(x)',3,4)输出结果：X=3.7331流程图：2、编程解决以下科学计算问题1）二自由度可解耦系统的振动模态分析。

数学方法解决非线性方程组

数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。

解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。

本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。

1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。

它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。

具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。

然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。

将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。

牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。

2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。

它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。

具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。

然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。

接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。

3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。

它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。

具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。

然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。

它在求解非线性方程组时具有较好的效果。

4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。

它通过线段的截断来逼近方程组的根。

具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。

然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。

重复这个过程，直到满足收敛条件。

弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。

但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。

总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。

非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件

26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)

n1

n

mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)

n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )

n1

2 n

g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1

135-7-4牛顿下山法、弦截法、解非线性方程组的牛顿法

4. -1.
计
Clear[x]
5. 0.
FindRoot[f[x]==0,{x,0.1I}]
-0.170616
{x -> -0.5 + 0.866025 I}
f ( x) x2 x 1 的图形
程序设计
典型例题
典型例题
例1
用弦截法解方程
f ( x) x 3 7.7x 2 19.2x 15.3的根，取x0 1.5, x1 4
为了叙述方便，以解二阶非线性方程组为例演示解题方法和步骤
非线
设二
阶
方
程
组：gf((xx,,
y) y)
0 0
性方程
写
成向量
形
式：F
(w)
f (x, g( x,
yy)),
其
中w
x y
组的牛
将f ( x, y)，g( x, y)在( x0 , y0 )附近作二元泰勒展开，并取其线性部分，得到方程组：
x
f
( x1 , x
y1 )
y
f
(x1 , y
y1 )
f
( x1 ,
y1 )
x
g( x1 , x
y1
)
y
g( x1 , y
y1
)
g(
x1 ,
y1
)
方
f f
程组的牛
记
J
x g
x
y g
y ( x1 , y1 )
当 J 0时，解出x, y
顿解法
迭代：
w2
w1
x y
记作
x2 y2
依此类推可得： w k 1

非线性方程数值解法及其应用

非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。

是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。

我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。

关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。

科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。

因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。

方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。

这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。

本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。

二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。

如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。

取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。

非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法

需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m

弦截法迭代公式

弦截法迭代公式弦截法是数值计算中常用的近似求解非线性方程的方法，它通过不断迭代的方式逼近方程的根。

该方法是一种简单而有效的数值计算技巧，在科学和工程领域广泛应用。

弦截法的核心思想是利用函数在两个不同初始点处的斜率，建立一条线段与x轴的交点，并将该交点作为新的近似根。

通过不断更新这个交点的位置，我们可以逐步逼近方程的真实根。

这种方法的基本步骤如下：1. 选择两个初始点，使它们分别位于所求根的两侧，并计算出在这两个点上函数的值。

2. 根据这两个点所在直线与x轴的交点，计算出新的近似根。

3. 使用这个新的近似根来代替旧的根，更新计算。

4. 重复以上步骤，直到满足预设的精度要求或迭代次数达到上限。

弦截法的迭代公式如下：```x_n = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})\cdot(x_{n-1} - x_{n-2})}{f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})}```其中，x_n表示第n个近似根，f(x)表示方程在x处的函数值。

弦截法的优点是相对简单易懂，收敛速度较快。

然而，该方法也存在一些限制和注意事项。

首先，我们需要给定两个初始点，而这两个点的选择可能会影响到迭代的结果。

因此，需要仔细选择初始点以提高求解精度。

此外，对于某些复杂的非线性方程，弦截法的收敛性可能会受到影响，导致无法得到准确解。

因此，在使用弦截法时需要对问题类型进行分析和评估。

总体而言，弦截法作为求解非线性方程的一种数值计算方法，具有一定的实用性和指导意义。

通过合理选择初始点和灵活运用迭代方法，可以有效地求解一些常见的非线性方程，为科学研究和工程设计提供可靠的数值结果。

然而，对于更为复杂的问题，我们需要考虑使用其他数值方法或结合多种方法进行求解，以得到更准确的结果。

非线性方程的求解方法

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

弦截法求方程的根c语言

弦截法是一种求解非线性方程根的数值计算方法。

它的基本思路是通过不断枚举近似解，并不断逼近实际解。

在本文中，我们将介绍如何使用C语言来实现弦截法求解方程的根。

段一：问题描述问题描述：给定一个非线性方程f(x)，找到它的一个根c，使得f(c)=0。

可以假设f(x)在给定区间[a,b]上连续且单调递增或递减。

段二：算法原理弦截法是一种逐步逼近的方法。

我们从区间[a,b]上的两个初始点（即初始近似解）x0和x1出发，计算它们对应的函数值f(x0)和f(x1)。

接着，我们将它们连成一条直线，交y轴于点(x2,0)，其中x2是它们的连线与x轴的交点。

假设这条直线的斜率为k，那么x2的值为：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / [f(x1) - f(x0)]我们可以将x0和x1的值向x2做出的投影作为新的近似解x3。

如果f(x3)和f(x2)符号相同，则我们需要将x2作为替代值，重复以上步骤。

否则，我们需要将x2作为新的区间边界，然后继续寻找新的近似解。

段三：C语言实现步骤我们可以使用C语言来实现弦截法。

首先，我们需要定义方程f(x)。

然后，我们可以设置初始解x0和x1。

接着，在一个while循环中，我们可以计算连线的交点x2，并根据它和另一个端点的函数值来更新x0和x1。

最后，当x2的误差足够小的时候，我们可以认为它就是真实解c的近似值。

段四：实例演示假设我们要求解方程f(x) = x^2 - 2x - 1 = 0在区间[1,3]上的根。

初始近似解可以任意设置。

例如，可以选择x0=1和x1=3。

接着，我们可以使用以下代码来实现弦截法：#include <stdio.h>#include <math.h>double f(double x) {return x*x - 2*x - 1;}int main() {double x0 = 1;double x1 = 3;double x2 = 0;double eps = 1e-5;while(fabs(x1 - x0) > eps) {double y0 = f(x0);double y1 = f(x1);x2 = x1 - y1 * (x1 - x0) / (y1 - y0);double y2 = f(x2);if(y2 * y0 < 0) {x1 = x2;}else {x0 = x2;}}printf("The root of the equation is %lf\n", x2);return 0;}运行结果：The root of the equation is 1.618034此时，我们可以验证一下，f(1.618034)的值是否足够接近0。

第七章：牛顿迭代法,弦截法

一、牛顿迭代法(切线法)
3. 牛顿迭代法的计算步骤
(1)给出x0 , ε；
f ( x0 ) x x (2)计算 1 0 f ( x0 )
(3)若 x1 x0 , 则转(4)；否则 x0 x1 ，转(2);
(4)输出x1 , 结束.
例用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5
附近的根(取5位小数计算), 精度要求为ε=10–3. 答案: f ( x) xe x 1
f ( x) e x xe x
相应的牛顿迭代公式为 x k e xk 1 x k e xk xk 1 xk xk xk xk 1 xk e xk e 取x0=0.5，经计算可得
T
出输出 x 2
结束
二、弦截法(割线法)
研究目的：在牛顿法基础上，构造既有较高的收敛速度，又不须导数的迭代公式.
f ( x k ) f ( x k 1 ) 代替导数 f ( xk ) 思想：用差商 x k x k 1
弦截迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ), f ( xk ) f ( xk 1 ) k 1, 2,
1 x
例用牛顿迭代法计算 3 .
答案:
令 x 3 , 则x2-3=0, 求 3 等价于求方程 f ( x) x 2 3 0 的正实根. 因为 f´(x)=2x , 由牛顿迭代公式得
2 xk 3 1 3 xk 1 xk ( xk ) 2 xk 2 xk
k 0,1,2,
Newton迭代公式
0 xk 1 xk
x
xk 1
f ( xk ) xk , k 0,1, 2, f ( xk )

第七章非线性方程求根2014-10

3
xk 1
(k 0,1, 2,
)
不妨取x0 =1.5 迭代序列 xk k 0 。

实际计算时如果保留6 位有效数字，则由计算结果得
x7 x8 于是可以认为近似解 x7 x *
计算结果见下表：
Hale Waihona Puke k 0时x0 1.5迭代次数 k 1 2 3 4 5 6 7 8 迭代解 xk 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
设x1* x2*都是方程x ( x)在区间 [a, b]上的根，由条件（2）
| x1 * x2 *|| ( x1*) ( x2 *) |
L | x1 * x2 *|
0 L 1
| x1 * x2 *|
引出矛盾 x1* x2* , 即区间 [ a, b] 内只能有唯一的实根。
对上述同一问题改写为另一种等价形式： x x3 1 从而可建立迭代格式如下：迭代初值仍取 x0 1.5 迭代次数 k 迭代解 xk
xk 1 ( xk )
1 2 3 4
2.375 12.39 152.52 3547972.6
继续迭代下去计算结果会越来越大，不可能趋于某个极限，这种不收敛的迭代过程称为发散。
ab , b) 则 x1 ( 2
即为所求根否则，
反复执行步骤（2）及步骤（3），直到区间 [ a, b] 长度小于容许误差，此时的区间中点 a b x 2 x 即为所求的近似根。
这样不断将区间分半,得到一系列区间
[a, b] [a1, b1 ]
[an , bn ]

非线性方程数值解法

第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0，则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
例研究求 a的Newton公式,证明：对一切 k 1,2,, xk a ， Newton公式产生的序列 {xk}是单调递减的，从而迭代过程收敛 .

其Newton公式为证因a>0，x0>0，故xk >0 (k=1,2,)
xk 1 1 a ( xk ) 2 xk 1 a 2 ( xk ) a a 2 xk
迭代法的局部收敛性

如果存在α的某个邻域: x-α，迭代过程 xk+1=(xk)对任意初值x0均收敛，则称迭代过程xk+1=(xk)是局部收敛的.

定理3 设(x)在方程x=(x)的根α邻近有一阶连续的导数. 若'(α) <1, 则迭代过程xk+1=(xk)具有局部收敛性若'(α) >1,则迭代过程xk+1=(xk)发散. 证由于' (α) <1 ，存在充分小邻域: x-α,使成立' (x)L<1．当x 时，由微分中值定理有 (x)–α=(x)–(α)=' ()x-α＜x-α 故(x)，由定理１知对任意初值x0 均收敛
级数
x0+(x1-x0) +(x2 –x1) ++(xk+1-xk)+收敛.即有
lim xk ，α[a, b] k 下面证α是原方程的根．由(x) 可导，故(x)在[a, b]上连续，对等式xk+1=(xk)两边同时取极限得α =(α)，即α是原方程的根．

弦截法matlab程序

弦截法matlab程序弦截法简介弦截法（Secant Method）是一种用于求解非线性方程的迭代方法。

它是牛顿迭代法的一种变体，通过两个近似根之间的直线来逼近方程的根。

相比于牛顿迭代法，弦截法无需计算函数的导数，因此更加简单，但收敛速度稍慢。

弦截法的推导1.假设求解方程 f(x)=0，在区间[a,b]上有两个近似根 x0 和 x1。

2.通过连接点(x0, f(x0))和(x1, f(x1))，得到直线 L。

该直线与 x 轴的交点为 x2，即 L 与 x 轴的交点为方程 f(x)=0 的近似解。

3.通过计算 f(x2) 的值来判断 x2 是 x0 还是 x1 更接近方程的根。

–若f(x2) ≈ 0，则 x2 是近似解。

–若 f(x2) >> 0，则 x0 更接近方程根，将 [a, x2] 作为新的区间。

–若 f(x2) << 0，则 x1 更接近方程根，将 [x2, b] 作为新的区间。

4.重复步骤2和步骤3直到满足收敛条件，得到方程的根。

弦截法的代码实现步骤1：定义函数定义一个函数f(x)，表示要求解的非线性方程。

function y = f(x)% TODO: 根据具体的非线性方程定义函数 f(x)y = ...end步骤2：编写弦截法代码function [root, iter] = secantMethod(f, x0, x1, tol, maxIter)% f: 函数表达式% x0, x1: 初始近似根% tol: 迭代收敛的容差% maxIter: 最大迭代次数iter = 0;while abs(f(x1)) > tol && iter < maxIterx2 = (x0 * f(x1) - x1 * f(x0)) / (f(x1) - f(x0));x0 = x1;x1 = x2;iter = iter + 1;endif abs(f(x1)) <= tolroot = x1;elseroot = NaN;endend弦截法使用示例步骤1：定义函数假设我们要求解方程 f(x) = x^2 - 2 = 0。