第一、二节 平面立体曲面立体的投影
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曲面 立体
例1、求圆柱体截交线
2' 5'（6'）
3'（4'）
7'（8） 1'
4 86
1
2
75
3
2"
解题步骤：
6"
5" 1.进行线面
4"
3" 分析，判断
截交线的形
状和特点.
8"
7" 1"
2.作特殊位
置点的投影.
3.作一般位 置点的投影.
4.画截交线.
5.整理轮廓.
§7-2 平面和曲面立体相交
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
nd f
a lc
b e
§7-2 平面和曲面立体相交
[例题5]：求作侧平面Q与圆锥的截交线。
分析： 因截平面Q与圆锥轴线平 行，可知截交线是双曲线(一叶)。它 的正面投影和水平投影均由于Q面的 积聚性而落在QV上和QH上；它的侧 面投影，因Q面与W面平行而具有显 实性。
第二节 平面和曲面立体相交
学习内容：
学
➢ 平面和圆锥的相交形式及截交线画法
习
内
➢ 平面和圆柱的相交形式及截交线画法
容
及 学
➢ 平面和球的相交形式及截交线画法
习 重
学习重点：
点
➢ 平面和曲面立体相交截交线的画法
➢ 辅助平面法
§7-2 平面和曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
§7-1 曲面立体的投影
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
侧面投影的左、 右边线分别是圆柱 最前、最后的两条 轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱 分为左、右两半， 它们在V面上的投 影与回转轴的投影 重合。
2' 5'（6'）
3'（4'）
7'（8） 1'
4 86
1
2
75
3
2"
解题步骤：
6"
5" 1.进行线面
4"
3" 分析，判断
截交线的形
状和特点.
8"
7" 1"
2.作特殊位
置点的投影.
3.作一般位 置点的投影.
4.画截交线.
5.整理轮廓.
§7-2 平面和曲面立体相交
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
nd f
a lc
b e
§7-2 平面和曲面立体相交
[例题5]：求作侧平面Q与圆锥的截交线。
分析： 因截平面Q与圆锥轴线平 行，可知截交线是双曲线(一叶)。它 的正面投影和水平投影均由于Q面的 积聚性而落在QV上和QH上；它的侧 面投影，因Q面与W面平行而具有显 实性。
第二节 平面和曲面立体相交
学习内容：
学
➢ 平面和圆锥的相交形式及截交线画法
习
内
➢ 平面和圆柱的相交形式及截交线画法
容
及 学
➢ 平面和球的相交形式及截交线画法
习 重
学习重点：
点
➢ 平面和曲面立体相交截交线的画法
➢ 辅助平面法
§7-2 平面和曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
§7-1 曲面立体的投影
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
侧面投影的左、 右边线分别是圆柱 最前、最后的两条 轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱 分为左、右两半， 它们在V面上的投 影与回转轴的投影 重合。
工程制图第五章立体的投影
投影的分类
01
02
03
正投影
光线与投影面垂直，物体 的投影与原物体形状、大 小一致。
斜投影
光线与投影面形成一定角 度，物体的投影与原物体 形状、大小可能存在差异。
中心投影
光线通过一点投影到投影 面上，物体的投影与原物 体形状、大小可能存在较 大差异。
投影法在工程中的应用
建筑设计
通过正投影法绘制建筑物 的平面图、立面图和剖面 图，以表达建筑物的外观 和内部结构。
圆锥体的投影
1 2
圆锥体的投影特性
圆锥体在三面投影体系中分别形成圆、椭圆和抛 物线。
圆锥体的三视图
主视图、俯视图和左视图。
3
圆锥体投影的作图方法
根据圆锥体的轴线位置，确定其在三面投影体系 中的位置，然后根据投影规律画出其三视图。
曲面立体投影的作图方法
曲面立体投影的作图步骤
曲面立体投影的应用
首先确定曲面立体的形状和尺寸，然 后根据其在三面投影体系中的位置， 按照投影规律画出其三视图。
曲面立体投影在工程制图、建筑设计、 机械制造等领域有着广泛的应用，是 工程技术人员必须掌握的基本技能之 一。
曲面立体投影的注意事项
在作图过程中，需要注意曲面的曲率、 方向和投影角度等因素，以确保绘制 的图形准确无误。
04 组合体的投影
组合体的构成方式
叠加型
由基本几何体按一定方式叠加而成，各基本体之间相 对位置关系明确。
对于截断立体和相贯立体，尺寸标注更为复杂。需要明确截断和相贯的位置，以及各个部分的大小。这涉及到对立体结构的 深入理解，以确保标注的尺寸能够准确反映立体的实际结构和形状。
Hale Waihona Puke 组合体的尺寸标注全面反映组合体的结构和功能
机械制图6立体的投影
a″
b″
d″
宽度
e
宽度
a
点侧面投影的宽度（Y）坐 标，可以从水平投影中直接 c 量取。
d
b
棱锥体表面上取点和取直线
） （b′ e′ b″ c″ ） （e″ a″
c′ a′ d′
d″
e c a b
C
(B) A
D E
d
例：补全斜棱锥表面的点和线
d′ b′
（ d″ ）
b″
c′
a′
A
（ c″ ）
a″
A C
棱柱
棱锥
•平面立体各表面的交线称为棱线。 •棱线的交点称为顶点。 •若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 •若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
常见的平面立体
棱 柱
棱 锥
一、棱柱体的投影图
Z
X
O
Yw
Yh
一、棱柱体的投影图
特点
● ●
无投影轴 投影原则：长对正、宽相等、高平齐
●
可见轮廓线画成粗线
m
a(b)
圆球体表面取点
a' a”
分析：
点在圆球面上，则过点 可在圆球面上作纬圆，可 作正平圆或水平圆。点在 前左半圆球面上，则其正 面投影和侧面投影都是可 见的。 作图(1)过a(b)作水平纬圆 的水平投影，并求其另两 面投影，其正面侧面投影 反映为水平线段；
(2)在纬圆的投影上求得点 的两面投影。
s o
A
o1
圆锥的投影图
圆锥面的2种形成方法
H
2. 圆锥面上取点
素线法
圆锥面上取点
素线法
k
s
s
●
s
第四章立体的投影
③判别可见性。
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每 段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。 立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组； 二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。 求两平面体相贯线的方法：有两种 （1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交 点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体 来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。 （2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体 （1）形体特征: 底面是多边形，棱 线交于一点，侧棱面均为三角形。 （2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。 （3）投影分析
【例4-1】 作四棱台的正投影图 解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行， 前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面 为正 垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投 影反映实形；其正面、侧面投影积聚为 直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投 影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投 影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面 坡屋面 双坡屋面
四坡屋面 同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。 同坡屋面交线的画法，其实 质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每 段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。 立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组； 二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。 求两平面体相贯线的方法：有两种 （1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交 点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体 来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。 （2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体 （1）形体特征: 底面是多边形，棱 线交于一点，侧棱面均为三角形。 （2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。 （3）投影分析
【例4-1】 作四棱台的正投影图 解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行， 前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面 为正 垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投 影反映实形；其正面、侧面投影积聚为 直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投 影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投 影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面 坡屋面 双坡屋面
四坡屋面 同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。 同坡屋面交线的画法，其实 质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称
建筑制图与识图3立体的投影
3
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
第三章-立体的投影PPT课件
1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●
第三章 工程制图A 立体的投影
二、棱锥
1.棱锥的组成
由一个底面和几个侧 棱面组成。侧棱线交于有 限远的一点——锥顶。
棱锥---底面是多边形，各侧面为 若干具有公共顶点的三角形。 正棱锥----底面为正多边形,各侧面 是全等的等腰三角形的棱锥。
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C
棱锥的底面
B
• 一个特殊的棱锥：正棱锥 把底面为正多边形，侧面是全等的三角形的棱 锥叫作正棱锥
第二节 曲面立体的投影
回转体——由回转面或回转面和平面围成的立体 母线
轴线
(a)形成
(b)回转体
•一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。
•形成回转面的动线称为母线，定线称为轴线, 母线在 回转面上的任意位置都称为素线。
O
轴线
母线
顶圆 素线 轴线
赤道圆
O
喉圆
纬圆 底圆
回转面的术语
在投影图上表示回转 体，就是把组成立体的 回转面或平面表示出来， 然后判断可见性。如图 所示。
棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥… 截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五 棱台…
棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶
点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
正棱锥台----由正棱锥截得的棱台。 四棱锥台的投影图
(a) 直观图
(b) 投影图
平面立体投影可见性的判别规律
小结
1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面 （立体表面）和（棱）线投影的作图。
2.在立体表面上取点、取线的方法与在 平面上取点、取线的方法相同。
——如果点或直线在特殊位置平面内，则 作图时，可充分利用平面投影有积聚性的 特点，由一个投影求出其另外两个投影；
第四章 立体的投影
（6）根据三等关系作立体的其他两面投影。
第一节 平面立体的投影
例4-1 作四棱台的正投影图，如图4-5所示。
图4-5
四棱台的投影
第一节 平面立体的投影
解：(1)分析 1)四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、
右两棱面为正垂面。 2)上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投 影积聚为直线。 4)左、右两棱面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾 斜，投影为缩小的类似形。 5)四根斜棱线都是一般位臵直线，其投影都不反映实长。 (2)作图
方法来帮助求解。这种方法是先过已知点在立体表面作一辅助直线，求出 辅助直线的另两面投影，再依据点的“从属性”，求出点的各面投影。
例：在三棱锥的SAB棱面上给出了点M的正面投影m’，又在SBC棱面上给
出了点N的水平投影n。求点M的水平投影和N点的正面投影。
第一节 平面立体的投影
例：如图，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线 段的其他投影。
当点位于立体表面的某条 棱线上时，那么点的投影 必定在棱线的投影上。即 可利用线上点的“从属性” 求解。
图4-6 三棱柱表面上定点
第一节 平面立体的投影
2.积聚性法：当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时， 那么点的投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。 例：如图，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M，N的正面投 影 ，求出另外两面投影。
(1) 圆锥的投影特点
轮廓线的投影
(2) 圆锥可见性的判别—V面 曲面的可见 性的判断。
后半面 不可见
前半面 可见
(3) 圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
右半面 不可见 左半面 可见
机械制图第三章 基本体投影
2'
5' 3' 4' 6'
4
PW
1" 2" 5"
4"
6" 3"
y
解题步骤
1、分析两圆柱的相对位置
2、判断相贯线的已知投影 是，由已知求未知投影.
3、求出相贯线上的特殊点.
4、求出一对一般点. 5、顺次光滑地连接各 点，并且判别可见性.
6、加粗可见轮廓线。
y
1
2
PH
5 36
一、辅助平面求点法——柱与孔
5 67 4
32
8
1 10 9
P Q
〔例8 〕 完成组合立体被截切后的投影
1' 4' (5')2' (3')
3" 5"
4" 2" 1"
3 5 1 4 2
2. 求曲面立体截交线的步骤
求曲面立体截交线的步骤：
找若
确定 截切 前基 本体 形状
判断 截平 面数 量及 位置
判断 各截 平面 形状
截平 面为 曲线 图形
1. 球的投影及表面取点
球的投影及表面取点： 辅助平面法。
1'
2'
如何求？
1" 3"
(2")
投投影影 可可见见否否？？
1 (2)
2. 作曲面立体投影及表面取点的注意问题
作曲面立体投影及表面取点的注意问题： （1）需要确定各投影面转向轮廓线的位置； （2）分清各条转向轮廓线在三个投影面的投影； （3）选择合适的辅助平面求点的投影。
4''
曲面立体的投影.
【例4-6】 如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影a′，求a、a″。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
《曲面立体的投影》课件
实例分析和解决方法
对上述实例进行分析，提供解决问题的方法和改 进方案。
总结
投影的意义和应用
总结曲面立体投影的意义和广泛应用，以及 投影技术对各行业的重要性。
挑战及改进方向
探讨投影技术面临的挑战和未来发展的方向， 以及可能的改进和创新。
参考资料
1 参考书目
列举一些相关的书籍和 参考资料，以便读者进 一步学习和深入了解曲 面立体投影。
斜投影
斜投影是经过旋转或倾斜处理后的投影方式，可以呈现出更真实的透视效果。 本节将介绍斜投影的类型和其在图形设计中的应用。
等角投影
等角投影是一种能够保持物体比例和角度的投影方法，具有很高的表现力和 逼真度。本节将深入探讨等角投影的特点和在建筑设计等领域的应用。
曲面投影
曲面投影是指将图形投影到曲面上的技术，可以创建出华丽且充满艺术感的效果。本节将介绍曲面投影 的特点和其在广告设计及艺术创作方面的应用。
介绍如何获取和处理相 关数据，以便更好地进 行投影设计和制作。
2 绘制过程中要注意
的问题
概述绘制过程中常见的 问题和注意事项，以便 避免错误和提高绘制效 果。
3 常见的错误及调整
列举一些常见的绘制错 误，并提供相应的调整 方法，帮您纠正错误 和改进效果。
实例分析
某实例
分享一个具体的实例，展示曲面立体投影在实际 项目中的应用和效果。
《曲面立体的投影》PPT 课件
本课程介绍曲面立体投影的概念、应用场景以及各种投影类型的特点和制作 方法。通过本课件，您将深入了解投影的意义、技巧和效果。
概述
曲面立体投影是一种将平面上的图形投影到曲面上的方法。本节将介绍曲面 立体投影的定义及其在实际应用中的重要性。
【机械制图】第4章 立体的投影
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球 表面求点只 能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投 影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱 棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面相 交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的 水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？
立体及其交线
C B A 利用积聚性先求出水平投影
4.圆柱面上的曲线
a’ c’
注意求出特殊位 置的点（A、C） ----特殊点 利用积聚性 先求出侧面投影
曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影； 然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。
二、圆锥体的投影
圆锥的形成
1.圆锥体的组成 由圆锥面和底圆组成。
S
1’ a’
b’ c’ c c”
1” a”
a锥被截切后的水平投影和侧面投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
y
4 1
3
y
2
[例题5] 求立体切割后的投影
6 6 5 4 1 2
（5 ）
1
4
2
（3）
3
Ⅵ Ⅴ 3 5
1 2 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4
第二节 曲面立体的投影
3.具体的作图步骤
4.截交线上的特殊点
极限点 转向点
特征点 结合点
一、 平面与圆柱相交
矩形
圆
椭圆
一、 平面与圆柱相交
截平面垂直于圆 柱轴线，截交线 为垂直于轴线的
截平面平行于圆 柱轴线，截交线 为 平行于轴线的
截平面倾斜于圆 柱轴线，截交线为
椭圆
圆
两条直线
[例1] 求圆柱被截切后的侧面投影
棱柱体
棱锥体
平面立体侧表面的交线称为棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥
平面立体的投影 是平面立体各表面投影的集合 ----由直线段组成的封闭图形。
1 棱柱的投影
1. 六棱柱
由两个底面 和六个侧棱面组
成。侧棱面与侧
平面立体
【例4-1】 作四棱台的正投影图 1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂 面，左、右两棱面为正垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、 侧面投影积聚为直线。
3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、 V面倾斜，投影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、 W面倾斜，投影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表示，不可见棱 线用虚线表示，以区分可见表面和不可见表面。
（一）棱柱体
（1）形体特征: 棱柱 的各棱线互相平行，底 面、顶面为多边形。棱 线垂直顶面时称直棱柱， 棱线倾斜顶面时称斜棱 柱。
【例4-2】已知三棱柱的三面 投影及其表面上的点M和N的 正面投影m‘和n’，求作它们的 另两个投影 。
平面多边形，多 边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点， 多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交 线。
求作平面立体截交线的方法有两种方法：
交点法：求出平面立体的棱线和截平面的交点。 交线法：求出平面立体的棱面和截平面的交线。
在实际作图时，常采用交点法。交点求出后的连 接原则是：位于同一棱面上的两个交点才能连接。 同时还要注意可见性：可见棱面上的两点用实线 连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。
作图：利用棱柱各棱面的水平投 影有积聚性，可向下引投影连接， 直接找到两点的水平投影m和n，然 后即可按投影规律求出这两点的侧 面投影m"和n"。
（二）棱锥体
（1）形体特征: 底面是多边形，棱线交于一点，侧棱 面均为三角形。
【例4-4】已知三棱锥的三面投影及其表面上点K 的正面投影k‘和点L的水平投影l,求出它们的别两 个投影。
机械制图讲义之第二章_立体的投影
第2章立体的投影2.1 立体及其表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。
一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。
当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线相重合时，应画粗实线。
常见的平面立体有棱柱和棱锥。
1、棱柱2、棱锥平面立体的投影的外围轮廓总是可见的，应画粗实线；而在投影的外围轮廓内部的图线，则应根据线、面的投影分析，按前遮后、上遮下、左遮右直接判断投影的可见性，决定画粗实线或虚线，必要时还可利用交叉两直线的重影点的可见性进行判断。
二、曲面立体曲面立体由曲面或曲面与平面所围成。
有的曲面立体有轮廓线，即表面之间的交线，如圆柱；有的曲面立体有尖点，如圆锥；有的曲面立体全部由光滑的曲面所围成，如圆球。
在画曲面立体的投影时，除了画出轮廓线和尖点外，还要画出曲面投影的转向轮廓线。
曲面立体的转向轮廓线是切于曲面的诸投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的平面或柱面与曲面的切线的投影，常常是曲面的可见投影和不可见投影的分界线。
曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。
常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球，圆环。
1、圆柱圆柱由圆柱面、顶面和底面所围成。
圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。
因此，画圆柱的投影就是画顶面和底面及轮廓线、圆柱面投影的转向轮廓线、轴线。
当圆柱的轴线与投影面垂直时，圆柱面在轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性。
因此，作圆柱表面2、 圆锥圆锥由圆锥面和底面所围成。
圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转而成。
因此，画圆锥的投影就是画尖点（即锥顶）、底面及轮廓线、圆锥面投影的转向轮廓线、轴线。
自考：02386土木工程制图,(知识点)讲义 第三章
第三章立体的投影第一节平面立体、曲面体的投影一、平面立体的投影基本几何体按其表面形状特征的不同，可分为平面基本立体和曲面基本立体两种。
1. 平面立体的表面特征是若干平面图形。
2. 曲面立体的表面特征是曲面或曲面和圆平面。
¾常用的基本平面立体包括：正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台。
¾常见的棱柱：三棱柱；四棱柱；五棱柱；六棱柱¾具有代表性的棱柱：六棱柱¾平面立体各表面的交线称为棱线。
平面立体的各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点确定，绘制平面立体的投影又可归结为绘制各棱线及各顶点的投影。
（一）六棱柱六棱柱由顶面和底面及六个侧棱面组成。
侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。
六棱柱的顶面和底面为水平面，水平投影反映实形，正面投影和侧面投影都积聚成直线段。
六条棱线均为铅垂线，在水平投影面上的投影积聚成一点，正面投影和侧面投影都互相平行且反映实长。
作图时，应判断其可见性，可见的投影画成粗实线，否则，画成虚线。
画图时一般先画出反映底面实形的那个投影（水平投影），然后再画正面和侧面投影。
作图步骤：①先用画出水平投影的中心线，正面投影和侧面投影的对称线;②画正六棱柱的水平投影根据正六棱柱的高度画出顶面和底面的正面投影和侧面投影。
③ 根据投影规律，再连接顶面和底面的对应顶点的正面投影和侧面投影，即为棱线、棱面的投影。
④最后线型加深。
总结：一个投影为多边形，另外两个为矩形，可判定为棱柱体，多边形的边数可以得出棱柱的棱数。
（二）棱锥棱锥的构成：由一个底面和三个侧棱面组成。
侧棱线交于有限远的一点锥顶。
棱锥处于图示位置时，其底面 ABC 是水平面，在水平投影上反映实形，正面投影和侧面投影积聚成水平直线段。
棱面 SAC为侧垂面，侧面投影积聚成直线段，正面投影和水平投影为类似形。
另两个棱面（SAB,SBC)为一般位置平面，三投影均不反映实形。
作图步骤：①画反映实形的底面的水平投影（等边三角形），再画Δ ABC 的正面投影和侧面投影，它们分别积聚成水平直线段；②根据锥高再画顶点 S的三面投影；③最后将锥顶 S与点 A、B、C 的同面投影相连，即得到三棱锥的投影图。
基本几何体的投影
影
由曲面或曲面与平面共同围成 的立体称为曲面立体，如圆柱、 圆锥、球等。 由于这些曲面都是由一母线 （直线或曲面）绕同一定轴线 旋转一周而形成的，因此曲面 又称为回转面，曲面立体又称 为回转体。
母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任意一点随母线旋转后形成的圆称为 纬圆。
1.圆柱
圆柱是由圆柱面与垂直其轴线的两个平面 上，即上、下底面所围成的。圆柱面是一 条直母线绕与其平行的轴线回转而形成的。 （1）圆柱的视图分析【P48例2-5】
2.圆锥
圆锥是由圆柱面与垂直其轴线的底圆平面 所围成的。圆锥面是由一条直母线绕与其 相交的轴线回转而形成的。 （1）圆锥的视图分析【P49例2-6】
基本几何体的投影
1.平面立体的投影
由平面围成的立体称为平面立体。 平面立体上相邻表面的交线称为 棱线。常见的基本平面立体有棱 柱和棱锥两类。棱柱的棱线彼此 平行，棱锥的棱线交于一点。
(1) 棱柱的三面投影 棱柱（正六棱柱）上一点的三面 投影。 （2）棱锥的三面投影 棱锥（正三棱锥）上一点的三面 投影。 作图的方法：长对正；高平齐； 宽相等。
3.圆球
圆球是由球面所围成的。球面是以圆为母 线绕与其直径回转形成的。母线上任一点 随母线回转的轨迹为垂直轴线的纬圆。
由曲面或曲面与平面共同围成 的立体称为曲面立体，如圆柱、 圆锥、球等。 由于这些曲面都是由一母线 （直线或曲面）绕同一定轴线 旋转一周而形成的，因此曲面 又称为回转面，曲面立体又称 为回转体。
母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任意一点随母线旋转后形成的圆称为 纬圆。
1.圆柱
圆柱是由圆柱面与垂直其轴线的两个平面 上，即上、下底面所围成的。圆柱面是一 条直母线绕与其平行的轴线回转而形成的。 （1）圆柱的视图分析【P48例2-5】
2.圆锥
圆锥是由圆柱面与垂直其轴线的底圆平面 所围成的。圆锥面是由一条直母线绕与其 相交的轴线回转而形成的。 （1）圆锥的视图分析【P49例2-6】
基本几何体的投影
1.平面立体的投影
由平面围成的立体称为平面立体。 平面立体上相邻表面的交线称为 棱线。常见的基本平面立体有棱 柱和棱锥两类。棱柱的棱线彼此 平行，棱锥的棱线交于一点。
(1) 棱柱的三面投影 棱柱（正六棱柱）上一点的三面 投影。 （2）棱锥的三面投影 棱锥（正三棱锥）上一点的三面 投影。 作图的方法：长对正；高平齐； 宽相等。
3.圆球
圆球是由球面所围成的。球面是以圆为母 线绕与其直径回转形成的。母线上任一点 随母线回转的轨迹为垂直轴线的纬圆。
三视图投影性质及画法
(一) 回转体的形成方法
名称 圆 锥 体
圆柱体
圆球体
圆环体
回 转 面 形 成
直母线绕和 它相交的轴线回 转而成圆锥面
O S
直母线绕和 它平行的轴线回 转而成圆柱面
O
A
圆母线绕以 它的直径为轴线 回转而成圆球面
O
圆母线绕和 它的共面但不过 圆心的轴线回转 而成圆环面
O
方
法
和
简
图
A
O
A1 O
O
O
形体 由圆锥面和一个圆 由圆柱面和两个圆 由圆球面围成的 由圆环面围成的
o'
o”
o
以底面对称中心作为坐标原点
二、平面立体及其表面上的点和线
(三) 平面立体的画法
棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚线。
注意：
s'
s”
1.所有投影的边缘轮 廓线都是可见的，要用粗 实线画出。
a'
1' c' 2'
2.边缘轮廓线内直线
c
b' s
的可见性，要利用交叉两
1(2)
直线上的重影点来判断。 a
各点投影符合 三面投影特性
俯视图：从上向下做正投射得到的图形。 左视图：从左向右做正投射得到的图形。
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
(一) 三棱锥的三视图
Z
V
s'
s”
a' b'
c'
a”
X
O (c”)
a
sc
b
b” Y
投影过程： (1)建立坐标系; (2)作正投影; (3)投影面展开;
工程图学基础第3章 立体的投影
1.平面与棱锥相交
图3-14 平面与三棱锥相交
2.平面与棱柱相交
例3-10 画出截切五棱柱的三面投影(图3-15)。 解 五棱柱被正垂面P截切，所得截交线为五边形。正面投影积聚在PV上，截平面与 侧表面CC1B1B，BB1A1A，AA1E1E、EE1D1D的交线的水平投影积聚在各自侧表面的 水平投影上。截平面与顶面ABCDE均垂直于V面，则交线为一正垂线，正面投影积聚 为一点。水平投影反映实长。截交线的侧面投影可由正面投影和水平投影求出。作图 步骤如下(图31)画出五棱柱的投影。 2)根据题目给定条件画出截平面的正面迹线PV。 3)求出截交线的水平投影五边形gfjih和侧面投影五边形g″f″j″i″h″。 4)去掉截切部分多余的轮廓线AF、BG、EJ及顶面上五边形BAEIH的投影，并判别投 影图的可见性。
(1)圆柱
图3-4 圆柱的三面投影
(2)圆锥
3-5 圆锥的三面投影
(3)圆球
图3-6 圆球的三面投影
(4)圆环
图3-7 圆环的三面投影
2.曲面立体表面上的点、线
(1)圆柱表面上的点、线 当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面对其投影有积聚 性，利用积聚性确定属于圆柱表面上的点。 (2)圆锥表面上的点、线 为了确定属于圆锥面上的点，根据圆锥面的性质可过圆锥 顶点作辅助直线，或者过给定点作辅助圆，如图3-10a所示。 (3)圆球表面上的点、线 由于圆球面上不存在直线。
(1)棱锥Байду номын сангаас投影
图3-1 三棱锥的投影
(2)棱柱的投影
图3-2 正五棱柱的投影
2.平面立体投影图的可见性判断
平面立体投影图的可见性判断实质上是判别立 体各棱线投影的可见性。通常采用分析立体表 面可见性的方法解决。判断立体表面可见性时， 应遵循的原则是：共一个棱线的两个表面对某 一投影面投影时，只要其中一个表面可见，则 该棱线的投影可见，如果两个投影均不可见， 则该棱线的投影不可见。
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棱锥的投影
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棱锥的投影
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棱锥表面上的点
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棱锥表面上的点
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辅助线法
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圆球的投影
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圆球的投影
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圆球的投影
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圆球表面上的点
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圆球表面上的点
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一.圆柱的投影：
1.圆柱的投影
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圆柱的投影
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圆柱的投影
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圆柱的投影
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练习1
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练习3
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练习4
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第四章
如棱柱和棱锥
立体的投影
表面都是平面的立体称为平面立体：
表面是曲面或曲面和平面的立体，称
为曲面立体：如球、圆柱、圆锥（主要
讲回转体）
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4－1平面立体及其表面上的点与线
一、平面立体：正棱柱的投影
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二.圆锥的投影
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圆锥的投影
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圆锥的投影
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圆锥的投影
圆锥的投影
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圆锥的投影
正六棱柱三面投影图
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棱柱表面上的点
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棱柱表面上的点
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棱柱表面上的点
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棱柱表面上的点
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二、平面立体：棱锥的投影
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圆球表面上的点
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圆球表面上的点
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例
已知条件
圆球表面上的点
求解过程
辅助平面
(1) 判别可见性、光滑连线 (2) (3) (4) 作球体左视图 作特殊点 作一般点 A、 C( 用辅助平面法） B
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2.圆柱表面上的点
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圆柱表面上的点
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圆柱表面上的点
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圆柱表面上的点
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例
求回转体表面上的点与线
( ( )
)
(1) 作一般点 (2) (3) (4) 作圆柱左视图 作特殊点 A B CD
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棱锥表面上的点
3－2 曲面立体的投影
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曲面立体的投影：所有表面的投影，也就是 曲面立体的轮廓线、尖点的投影以及曲面立体 的转向轮廓线。 转向轮廓线：常常是曲面的可见投影与不可 见投影的分界线 母线：某些曲面可看作一条线按一定规律运 动所形成，这条线称为母线，曲面上任一位置 的母线称为素线。 回转体：母线绕轴旋转，形成回转面。由回 转面或回转面与平面所围成的立体为回转体。
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圆锥表面上的点
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圆锥表面上的点
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圆锥表面上的点
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圆锥表面上的点
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圆锥表面上的点
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例
已知条件
辅助平面
圆锥表面上点的求法
求解过程
辅助素线
( )
(1) 作一般点 (2) (3) (4) 作圆锥左视图 作特殊点 A（用素线法） B( B 用辅助平面法）
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三.圆球的投影
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圆球的投影